Mathe F09: Gleichung einer Linearen Funktion bestimmen

Hallo liebe Schüler. Für diese Lektion ist es notwendig, dass ihr die Lektion „Lineare Funktionen in Normalform“ vorher gesehen habt.
Heute schauen wir uns die Punkt-Steigungs-Form bei den linearen Funktionen an. Zuvor wiederholen wir jedoch noch einmal, wie wir eine lineare Funktion aus zwei Punkten bestimmen können. Nehmen wir zwei Beispielpunkte A und B mit A(-2|-1). B(2|4). Graphisch sieht das dann wie folgt aus: Wir haben unser Koordinatensystem, zeichnen unseren Punkt A(-2|-1) ein und hier oben den Punkt B(2|4). Verbinden die beiden Punkte und erhalten dann einen Funktionsgraphen. Und wir wollen jetzt wissen, wie die Funktionsgleichung ist. Dazu stellen wir erstmal die Funktionsgleichung in Normalform auf, die da lautet: f(x) = m*x+n. f ist der Name unserer Funktion, m ist die Steigung und an n erkennen wir den y-Wert des Schnittpunktes mit der y-Achse. Man nennt diesen y-Wert übrigens auch y-Achsenabschnitt. Und jetzt gilt es m und n zu ermitteln, damit wir dann hier die Funktionsgleichung haben. Als erstes ermitteln wir m und m ergibt sich aus dem Steigungsdreieck, bzw. aus der Differenz vom einen x-Wert zum anderen x-Wert und von einem y-Wert zum anderen y-Wert der uns gegebenen Punkte. Also zeichnen wir mal diese beiden Strecken ein. Und hier verrät uns schon das Programm wie der Abstand sein wird. Also für x ist der Abstand von -2 zu 2 4 Einheiten. Und für y ist der Abstand von -1 zu 4, das sind 5 Einheiten. Rechnerisch ist das wie folgt aufzuschreiben: Wir schreiben hier m ist gleich hin, dann stellen wir ein Verhältnis auf, denn die Steigung ergibt sich ja aus Abstand y/Abstand x. Und wir schreiben hier nicht Abstand, sondern wir wählen das Deltazeichen Δ, das für Differenz steht. Differenz y zu Differenz x. Und jetzt müssen wir hier die entsprechenden Werte einsetzen. Wir schauen als erstes y-Werte an. y von B ist 4. y von A ist -1. Und wir können jetzt hier hinschreiben. Die Differenz von y ergibt sich aus den beiden y-Werten y_B-y_A. Also man kann es jetzt nochmals hier reinschreiben, damit man es besser sieht. y_B ist 4 und y_A ist -1. Und die setzen wir jetzt natürlich hier ein und erhalten 4-(-1). Und das gleiche machen wir für x, wir haben ja unser Δx und hier rechnen wir auch x_B-x_A. x_B das finden wir hier oben. Das ist 2 und x_A ist -2. Und genau die beiden Werte setzen wir jetzt hier ein. 2-(-2). Und schon können wir die Steigung berechnen: 4-(-1) ist 5. 2-(-2) ist 4, also 5/4, bzw. wenn wir das dividieren 5 durch 4 sind 1,25. So und diese Steigung können wir jetzt hier in die Normalform einsetzen, haben schon die Steigung für unsere Funktionsgleichung ermittelt. Jetzt gilt es noch den Wert für n zu bestimmen. Und schauen wir nochmal: n ist ja der Schnittpunkt mit der y-Achse, also die Höhe. Der Schnittpunkt hat immer die Koordinate x = 0 und y, hier zwischen 1 und 2 für unser Beispiel. Und das müssen wir jetzt herausbekommen. Und hierzu nutzen wir die Koordinaten einer der beiden Punkte. Nehmen wir A. Wir verwenden jetzt also unsere aktuelle Funktionsgleichung, setzen die hier oben hin und wir wissen ja, wenn wir hier ein x-Wert einsetzen, wird er hier eingesetzt, wir rechnen hier etwas aus und y kommt heraus. Schreiben wir ist gleich y hier hin. Und wir wissen weiterhin, die Punkte ergeben sich ja durch die Funktionsgleichung. Also wenn wir von A jetzt x gleich -2 hier einsetzen, x wird -2, dann wird hier auch -2 eingesetzt, was erhalten wir dann für einen y-Wert, richtig, bei A ist das -1. Also wenn wir -2 hier reinschmeißen kommt -1 heraus. Und jetzt machen wir nichts weiter als diesen Teil der Gleichung umzustellen nach n, denn wir haben hier nur eine Unbekannte und das lässt sich dann nach n auflösen. Also rechnen wir als erstes 1,25*(-2), das sind -2,5. +n gleich -1 bleibt. Und jetzt rechnen wir +2,5 auf beiden Seiten und wir erhalten 1,5. Das heißt bei 1,5 schneidet der Graph die y-Achse. Schauen wir, hier ist unser blauer Graph und richtig, er geht bei 1,5 durch. Das heißt wir können hier die Funktionsgleichung vervollständigen: das n ist 1,5. Und schon haben wir unsere Funktionsgleichung korrekt ermittelt. Und wenn wir hier jetzt den x-Wert von B einsetzen muss 4 herauskommen, also eine kleine Probe. Das heißt x wird 2. 2*1,5 sind 2,5. +1,5 sind 4. Richtig. Und jetzt können wir uns jeden beliebigen x-Wert aussuchen, den hier einsetzen und erhalten eine y-Koordinate. Und x und y sind dann zusammen die Koordinaten eines Punktes auf unserem Graphen. Gut, wie gesagt, dieses Verfahren funktioniert sehr gut, wenn wir zwei Punkte haben, was machen wir jedoch, wenn wir nur einen Punkt haben und die Steigung gegeben ist? Dann können wir das so ähnlich berechnen, oder wir nehmen die Punkt-Steigungsform. Schauen wir uns beides an.
Nutzen wir gleich unser Beispiel, das wir gerade berechnet haben und sagen, es sei nur A gegeben und die Steigung mit 1,25. Wie können wir jetzt die Funktionsgleichung bestimmen? Der direkte Weg, den jetzt jeder von euch schon gehen kann, ist der, den wir euch gerade gezeigt haben. Wir stellen die Funktionsgleichung in Normalform auf, können jetzt schon m mit 1,25 einsetzen und wir kennen ja den Punkt A mit -2 und -1 und können diese Koordinaten ebenfalls hier einsetzen. x wird -2, y wird -1. Und wir stellen jetzt hier nach n um und wie wir gesehen haben erhalten wir n gleich 1,5, das wir dann hier einsetzen können und wir haben dann unsere Funktionsgleichung. Gut, es gibt aber noch einen anderen Weg, die sogenannte Punkt-Steigungsform, die wir euch jetzt vorstellen wollen. Hierzu überlegen wir uns nochmal wie sich m ergibt, unsere Steigung. Und das hatten wir ja gerade gesehen, da nehmen wir die Differenz y durch Differenz x. Δy/Δx und dann die beiden Punkte einsetzen und wir erhalten unsere Steigung. Als nächstes wollen wir sehen, ob wir mit Hilfe dieser Formel irgendwie auf unser unbekanntes n kommen. Und was wir jetzt machen: Wir haben ja gegeben unser Punkt A, also y_A und x_A und unsere Steigung m. Das heißt m ist bekannt und die beiden sind bekannt. Und unser unbekannter Punkt ist ja der Schnittpunkt mit der x-Achse. Das heißt wir schreiben hier y_S und x_S. Einfach um es deutlich zu machen, dass sich dieser Punkt auf der y-Achse befindet. Nochmal im Koordinatensystem gezeigt: Hier ist unser Punkt A, dann haben wir hier die Steigung, die also den Verlauf des Graphen bestimmt, von Punkt A ausgehend und jetzt wollen wir das y_S bestimmen, also den y-Wert des Schnittpunktes, den y-Achsenabschnitt mit Hilfe der Steigungsformel. Und hier hilft uns eine Eigenschaft: der Schnittpunkt mit der y-Achse hat den x-Wert 0. Notieren wir das hier. Unser Schnittpunkt hat die Koordinate x_S und y_S, wobei x_S, richtig, 0 ist. So und dieses x_S wird also 0 und damit können wir es hier entfernen. Wir sehen also, m ergibt sich aus diesem Term, nehmen wir diesen hier mal weg. Und dieses y_S, das ist ja unser n, also an n erkennen wir wo sich der Schnittpunkt befindet. Bzw. andersrum gesagt, anhand dem Wert des Schnittpunktes erkennen wir unser n. Ersetzen wir also y_S mit n. Und jetzt wollen wir unser n bestimmen und dann stellen wir jetzt diese Gleichung um, sodass n alleine steht. Wir multiplizieren -x_A nach links rüber und dann bleibt rechts n-y_A stehen. Und jetzt addieren wir noch y_A hier rüber. So ergibt sich m*(-x_A)+y_A gleich n. Und jetzt können wir hier für n, diesen Term einsetzen. Jetzt können wir noch, weil es sich um eine Addition handelt, die Klammern wegnehmen und als nächstes können wir das m ausklammern. Also wir schreiben m dahin und dann das x, und dann kommt das m hier weg und dann erhalten wir diesen Term. Und natürlich müssen wir noch Plus Minus zu Minus machen. Und das ist die Punkt-Steigungsform. In diese Formel können wir unsere Steigung und die Koordinaten des Punktes einsetzen und erhalten sofort unsere Funktionsgleichung. Machen wir das für unser Beispiel.
Hier nochmal unser Punkt A und unsere Steigung und jetzt nehmen wir die Formel der Punkt-Steigungsform, die da lautet: f(x) = m*(x-x_A)+y_A. Und jetzt können wir einsetzen, m ist 1,25. x bleibt erhalten. x_A steht hier mit -2 und y_A steht hier mit -1. Also wir sehen, hier ist die Steigung und hier sind die Koordinaten unseres Punktes A. Und wenn wir das jetzt ausrechnen: x-(-2) sind x+2. Dann +(-1) sind -1, dann ausmultiplizieren: 1,25*x schreiben wir so hin. Und 1,25*2 sind 2,5. Und anschließend verrechnen wir 2,5-1, das sind 1,5. Und fertig ist unsere Funktionsgleichung. 1,25*x+1,5. Das ist auch genau die, die wir vorhin ermittelt hatten für unseren Graphen, nur das wir diesmal nur Punkt A gegeben hatten und nicht Punkt B, sondern statt Punkt B hatten wir diesmal die Steigung. So habt ihr also einen weiteren Weg kennengelernt, die Punktsteigungsform, um die Gleichung einer linearen Funktion zu ermitteln. Schauen wir uns im nächsten Teil an, wie wir diese Formel graphisch deuten können und lösen wir eine spezielle Aufgabe hierzu. Und falls ihr eigene Aufgaben lösen wollt, findet ihr die entsprechenden Programme auf unserer Website echteinfach.tv

Im Folgenden wollen wir uns eine Aufgabe anschauen bei der wir die Punkt-Steigungsform sehr gut anwenden können und sie uns wirklich Arbeit vereinfacht. Die Aufgabe heißt: Gesucht eine Gleichung einer Geraden, die parallel zu f(x) = 1,5x+1 verläuft und durch den Punkt A(1|0) geht. Wenn wir uns jetzt mal den Funktionsgraphen f(x) = 1,5x+1 anschauen, sehen wir, bei +1 geht er durch die y-Achse und die Steigung ist 1,5, das heißt 1 nach rechts und 1,5 nach oben. Und eine weitere Gerade, die ja parallel sein soll, soll durch den Punkt A(1|0) gehen. Wir müssen also hier eine Parallele erzeugen und wir brauchen jetzt die Funktionsgleichung dafür. Wie machen wir das? Also das erste was wir schon jetzt sehen, ist, beide Funktionen haben die gleiche Steigung. Und zwar 1,5. Das heißt wir haben von der unbekannten Geraden die Steigung mit 1,5 gegeben und wir wissen, dass sie durch den Punkt A(1|0) läuft. Ein Punkt und die Steigung gegeben, hey, wir benutzen die Punkt-Steigungsform, die da lautet: Steigung*(x - x-Koordinate des Punktes) + y-Koordinate des Punktes. Und jetzt können wir ganz bequem einsetzen. 1,5 ist die Steigung, die kommt bei m rein. Unsere x-Koordinate des Punktes ist 1. Und unsere y-Koordinate ist 0. Jetzt können wir das noch ausmultiplizieren. Es ergibt sich 1,5*x-1,5*1 und die 0 können wir entfernen. 1,5*1 ist 1,5. Und hier ist auch schon unsere fertige Funktionsgleichung. 1,5x-1,5. Zeichnen wir sie ein. Bei -1,5 geht der Graph durch, mit der Steigung 1 nach rechts 1,5 nach oben. Also hier. Und wie wir sehen, haben wir damit eine Parallele zu unserem Funktionsgraphen f. Das ist f und das ist g. Und weiterhin sehen wir, dass wir mit der Punkt-Steigungsform diese Art der Aufgabe sehr schnell lösen konnten. Und jeden weiteren Punkt den man uns gibt, für weitere Parallelen, dann könnten wir diese Geradengleichung ermitteln, also Funktionsgleichung, indem wir dann einfach hier jeweils die Koordinaten x und y des Punktes einsetzen. Wir können also mit Hilfe der Punkt-Steigungsform sehr schnell auf beliebig viele Geraden kommen, je nach dem welchen Punkt wir wählen.
Da das Auswendiglernen von Formel meist nur kurzfristig funktioniert, zeigen wir euch im Folgenden, wie ihr diese einzelnen Terme visuell vorstellen könnt, denn dann könnt ihr einen Zusammenhang herstellen und merkt euch die Formel wesentlich leichter. Als erstes wollen wir diese Klammer ausmultiplizieren, dann erhalten wir m*x-m*x_A. Und dann natürlich +y_A. Und wir erkennen, dass sich unser n, unser Schnittpunkt mit der y-Achse, also unser y-Achsenabschnitt ergibt, indem wir die Steigung mit dem x-Wert unseres Punktes A multiplizieren und dann noch den y-Wert des Punktes A heraufaddieren. Und so berechnen wir den y-Achsenabschnitt. Und das machen wir jetzt graphisch. Wählen wir uns als erstes eine gute Steigung. Nehmen wir 1,2. Dann sehen wir, wenn sich unser Punkt A direkt auf der y-Achse befindet und wir jetzt unsere Punkt-Steigungsformel anschauen und dort jetzt die Koordinaten unsere Punktes mit A(0|0) einsetzen, kommt nachher nur 1,2 x raus. Ohne eine Verschiebung des Punktes A, bleibt also nur die Steigung *x übrig. Verschieben wir ihn entlang der y-Achse nach oben. Zum Beispiel auf 1, setzen wir für y_A die 1 ein und unsere Funktionsgleichung erhält hier hinten n = 1. Also der y-Achsenabschnitt ist 1. Und wenn wir jetzt hier weiter nach oben schieben auf 2, dann ist das auch 2. Gut, jetzt verschieben wir den Punkt entlang der x-Achse. Zum Beispiel 1 nach links. Dann sehen wir, dass wenn wir den Wert hier einsetzen x_A, sich durch das Minus das Vorzeichen umkehrt und wir erhalten +1. Und das ist genau der Abstand vom Punkt A zur y-Achse. Und Frage ist jetzt, wenn wir eine Einheit entfernt sind, wie groß ist der Höhenunterschied unseres Punktes A zum Schnittpunkt. Also welche Höhendifferenz haben wir erzeugt, indem wir ein nach links gegangen sind. Und richtig, diese Höhe ermitteln wir die Steigung mit der 1 multiplizieren. Und 1*1,2 ergibt 1,2, wie ihr hier unten erkennen könnt. Zeichnen wir mal die Höhe ein, das ist 1,2. Wenn wir jetzt 2 Einheiten nach links gehen. Wie errechnet sich diese Höhe? Richtig, der Abstand ist 2 und wenn wir 2 weg sind, dann heißt das 2 mal die Steigung 1,2 und wir erhalten 2,4. Daher errechnen wir hier die 2,4. Und wenn wir jetzt noch zusätzlich unseren Punkt nach oben und unten verschieben, müssen wir natürlich diesen y-Wert auf unsere Höhe heraufaddieren, damit wir dann wieder auf den y-Wert des Schnittpunktes kommen. Also, wenn wir jetzt A einen nach oben verschieben, seht ihr, haben wir hier 1 Einheit und hier die 2,4 Einheiten. Also zusammen 3,4. Und genau das steht hier unten: 1+2,4 ergibt 3,4. Unser y-Achsenabschnitt. Und so habt ihr also die Formel: Nimm die Höhe unseres Punktes, die 1, addiere die Höhe, also den y-Wert dazu, der sich aus dem Abstand von A zur y-Achse ergibt und addiere die beiden Werte so erhältst du den y-Achsenabschnitt. 3,4 in dem Beispiel. Und genau das ist unsere Formel. Und deswegen hatten wir auch am Anfang die Punkt-Steifungsformel ausmultipliziert. Weil hier kann man es deutlicher erkennen. Wir haben hier die Steigung mit der x-Koordinate des Punktes A, also mit dem Abstand A zur y-Achse und dann hier noch die Verschiebung des Punktes A nach oben oder nach unten. Noch ein Hinweis zu dieser Formel: Für die, die die Lektion zu den quadratischen Funktionen gesehen haben, da hatten wir eine ähnliche Formel aufgestellt. Die Scheitelpunktform. Zur Erinnerung: Die Formel hieß a*(x-x_S)^2 + y_S, wobei x_S und y_S, die Koordinaten unseres Scheitelpunktes sind. Und erinnert euch, in der Lektion hatten wir gesehen, wenn wir die Parabel bzw. den Scheitelpunkt nach links verschoben haben, dann mussten wir den Wert der Verschiebung, also die x-Koordinate, wieder abziehen um auf die Position der y-Achse zu kommen. Und hatten wir die Parabel nach oben oder unten verschoben, so mussten wir diesen Wert der Verschiebung hier heraufaddieren. Und wichtig, a war ja nicht die Steigung, a war der Streckungs- bzw. Stauchungsfaktor. Und wie wir sehen ist die Formel für die Scheitelpunktform sehr ähnlich mit der Punkt-Steigungsform, nur dass hier das Quadrat fehlt und inhaltlich dieses m die Steigung darstellt. Also für diejenigen, die diese Formel schon beherrschen: Denkt euch diese Formel, nehmt das Quadrat weg und ihr habt die Punkt-Steigungsform. Da als kleiner Tipp.
Die Programme, die wir euch gezeigt haben, findet ihr auch zum Selbstausprobieren auf echteinfach.tv. Stellt hier eine Steigung ein, legt euren Punkt A fest und ihr könnt somit beliebige Aufgaben lösen bzw. die Funktionsgleichung so schnell bestimmen und auf Richtigkeit kontrollieren. Auch findet ihr ein Programm, wo ihr die Normalform und die Punkt-Steigungsform gegeben habt. Hier stellt ihr die Normalform ein: Sagen wir 0,5x+1,5 und hier seht ihr dann die Berechnung über die Punkt-Steigungsform. Und ihr habt da die Möglichkeit diesen Punkt hier beliebig zu verschieben und dann seht ihr hier seine x- und y-Koordinaten mit Berechnung der Funktionsgleichung.
So viel zur Punktsteigungsform. Sicher werdet ihr sie in der Zukunft gebrauchen können. Im nächsten und letzten Teil schauen wir uns ergänzend an, wie wir mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems eine Funktionsgleichung ermitteln können.

Der dritte und letzte Teil ist eine Ergänzung. Und zwar zu dem Thema „Funktionsgleichung bestimmen aus 2 Punkten mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems“. Also erinnern wir uns: Im ersten Teil hatten wir ja zwei Punkte gegeben und dann die Normalform aufgestellt. Dann hatten wir mit Hilfe der Koordinaten der zwei Punkte unsere Steigung ermittelt und dann, nachdem wir dieses m hatten, haben wir die Koordinaten eines der Punkte eingesetzt. Hier x_A, dann hier x_A und dann haben wir hier y_A verwendet und dann diese Gleichung nach n umgestellt. Und das Ergebnis für n, also die Zahl die hier herauskam, konnten wir dann auch hier einsetzen. Gut, jetzt zeigen wir euch ein Verfahren, bei dem wir das m nicht über die beiden Differenzen bestimmen, sondern mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems. Schauen wir uns das an. Das ist wieder unsere lineare Funktion in Normalform und wir haben m und n als Unbekannte. Also die beiden wollen wir jetzt herausbekommen. Und da nehmen wir uns jetzt eine Beispielaufgabe. Hier ist schon eingestellt A(-4|-1,5) und B(2|3). Und wir wollen jetzt die Funktionsgleichung dieses Graphen bestimmen. Im Übrigen, weil das hier ja eine Gerade ist, sagt man auch Geradengleichung dazu, das nur als zusätzlicher Hinweis. Also anstatt Funktionsgleichung könnten wir auch, da es ja lineare Funktion ist, jedes Mal von einer Geradengleichung sprechen. Welchen Begriff ihr verwenden möchtet, ist euch überlassen. Gut, wir notieren also die beiden Punkte A und B mit ihren Koordinaten. A ist A(-4|-1,5) und B ist B(2|3). Und jetzt verwenden wir diese Funktionsgleichung zweimal. Einmal für A und einmal für B. Schreiben wir sie hier hin. Ergänzen das ist gleich y und setzen jetzt den Wert für x ein. Bei A ist das -4, dann hier die -4. Und was erhalten wir für einen y-Wert? Richtig, -1,5. Und das gleiche Spiel für den Punkt B. 2 und 3 eingesetzt. Hier die 2 und hier die 3. Und jetzt erkennen wir. Nehmen wir mal den vorderen Teil hier weg, dass wir zwei Gleichungen haben mit zwei Unbekannten m und n. Und da bei beiden m und n gleich sein sollen, erinnern wir uns, können wir diese mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems lösen. Stellen wir das auf. I und II. Und jetzt fragen wir uns, welches Verfahren können wir hier am besten anwenden, Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren oder Additionsverfahren?! Und da wir hier ein n haben und hier ein n lasst uns doch das Gleichsetzungsverfahren wählen. Das heißt wir stellen beide Gleichungen nach n um und setzen sie dann gleich. Die erste Gleichung umgestellt nach n: Da müssen wir einfach m*(-4) hier rüber subtrahieren. Dann erhalten wir I‘ mit n gleich -1,5 und dann, wie gesagt, der Teil nach rechts rüber, -m*(-4). Und für die zweite Gleichung, da müssen wir m*2 hier rüber subtrahieren und wir erhalten II‘ mit n gleich 3-m*2. Und jetzt haben wir n hier, n hier. Wir setzen beide gleich, also n gleich n. Setzen jetzt die beiden Terme ein, also links den von I‘, rechts den von II‘. Und jetzt gilt es hier nach m aufzulösen. Machen wir das schnell. Die -1,5 hier rüber addiert, die -m*2 nach links addiert. -m*(-4) sind 4m. Das sind 2m, das heißt zusammen haben wir 6m. Und das ergibt 4,5. Jetzt noch schnell auf beiden Seiten durch 6 dividiert, dann bleibt hier 1m stehen. Und hier drüber 4,5/6 ergibt, richtig, 0,75. So haben wir also unser m bestimmt. Noch ein kurzer Hinweis zur Lösung dieses Gleichungssystems: Wir hätten diesen Rechenweg abkürzen können, indem wir hier bei I und II das Subtraktionsverfahren angewendet hätten. Das hieße wir ziehen von der ersten Gleichung die zweite ab. Und dann wäre das -4m-2m sind -6m. n-n sind 0. Und -1,5-3 sind -4,5. Jetzt noch durch -6 und wir erhalten m gleich, richtig, 0,75. Der Vollständigkeit halber schreiben wir hier noch I.-II. Gleichung. Und wie ihr seht, mit nur wenigen Schritten sind wir so zum gleichen Ergebnis gekommen. Und das Gleichsetzungsverfahren hat etwas länger gedauert. Nichtsdestotrotz, wir haben bei beiden das gleiche Ergebnis. Gut, weiter geht’s. Jetzt können wir dieses m in die erste oder zweite Gleichung einsetzen. Nehmen wir uns nochmal die beiden Gleichungen und jetzt können wir uns entscheiden, entweder in die erste einsetzen oder in die zweite. Nehmen wir mal die zweite Gleichung und m wird jetzt 0,75. 0,75*2 sind 1,5. Die noch herüber subtrahiert und wir erhalten n gleich 1,5. Und schon haben wir m und n für unsere Funktionsgleichung bestimmt. Die Normalform hingeschrieben und m wird 0,75 und n mit 1,5 eingetragen und schon sind wir fertig. Das ist unsere Funktionsgleichung. Und werfen wir nochmal einen Blick in unser Koordinatensystem, richtig, diese Funktionsgleichung ist 0,75x+1,5. Das ist der Graph dieser Funktion. Wunderbar. Gut, ihr habt jetzt mehrere Verfahren kennen gelernt, wie man Geradengleichungen, also Gleichungen von linearen Funktionen, ermitteln kann und seid jetzt in der Lage verschiedene Verfahren anzuwenden, viel Erfolg dabei wünscht echteinfach.tv