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Mathe G29: Biquadratische Gleichungen

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In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:

Was sind Quartische Gleichungen und Biquadratische Gleichungen?
Wie löst man biquadratische Gleichungen mit der Substitution?
Welche Lösungsverfahren existieren für Quartische Gleichungen?

Voraussetzung:

G12 Terme, Termumformung, Gleichungen

Klassenstufe laut Lehrplan: 9. - 10. Klasse

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Quartische Gleichungen sind Gleichungen 4. Grades. Fehlen x³ und x in der Gleichung, so sprechen wir von biquadratischen Gleichungen. Diese biquadratischen Gleichungen können wir mit Hilfe der Substitution lösen. Die Substitution bringt die Gleichung 4. Grades auf eine Gleichung 2. Grades, die sich dann mit den bekannten Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen berechnen lässt.

Zusätzlich erklären wir im zweiten Video, mit welchen weiteren Lösungsverfahren ihr reduzierte Quartische Gleichungen lösen könnt.

Diese Videos gibt es für Kunden:

1. Video Biquadratische Gleichungen: Substitution

Übersicht zu Gleichungen 1. bis 3. Grad. Was sind biquadratische Gleichungen und wie können wir diese mit Hilfe der Substitution (Ersetzung) berechnen. Lösung am Beispiel: -0,5*x⁴ + 4*x² - 3,5 = 0.

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2. Video Biquadratische Gleichungen: Quartische Gleichungen

Wir lösen reduzierte Quartische Gleichungen (4. Grad) mit Wurzelziehen, Ausklammern und Satz vom Nullprodukt. Lösung als Nullstellen von Funktionsgraphen. Zusammenfassung der Lösungsverfahren für die Gleichungstypen. Lösen einer Gleichung 6. Grades per Substitution.

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Wissen zur Lektion

Gleichungen niedriger Ordnung

Es gibt bestimmte Gleichungen, die sich besonders leicht klassifizieren, das heißt in bestimmte Klassen einteilen lassen. Die bekanntesten sind: Lineare, quadratische, kubische und quartische Gleichungen. Diese Klassifizierung hat ihren Ursprung in der Suche nach Nullstellen von Polynomen. Zur Erinnerung: Ein Polynom ist ein Term in der Form a_n·xⁿ + ... + a₃·x³ + a₂·x² + a₁·x + a₀ (vgl. Lektion F13), also zum Beispiel f(x) = 3·x² + 2,5·x + 5. Jedes Polynom kann = 0 gesetzt werden, es ergibt sich dann eine Polynomgleichung, mit der wir für die Unbekannte den Wert suchen, der die Gleichung zu Null ergibt.

Im Folgenden werden einige Arten von Gleichungen (Polyonmgleichungen) vorgestellt.

Bei einer linearen Gleichung $a·x + b = 0$ werden die Nullstellen eines linearen Polynoms $a·x + b$ gesucht. Die Variablen a und b bilden die sogenannten Koeffizienten des Polynoms.

Eine quadratische Gleichung ist ein Ausdruck der Form $a·x^2 + b·x + c = 0$. Es handelt sich um die Bestimmungsgleichung für die Nullstellen eines quadratischen Polynoms: $a·x^2 + b·x + c$.

Schließlich ist $a·x^3 + b·x^2 + c·x + d = 0$ die allgemeine Darstellung einer kubischen Gleichung. Das Polynom auf der linken Seite der Gleichung heißt kubisches Polynom.

Ist der Grad des Polynoms auf der linken Seite 4 (also die höchste Potenz der Unbekannten ist $x^4$, so nennt man die Gleichung zur Bestimmung seiner Nullstellen quartische Gleichung. Der Begriff kommt aus dem Lateinischen (quartus = vierte) und soll auf den 4. Grad des Polynoms in der Gleichung hindeuten: $a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x + e = 0$.

Gleichungen höherer Ordnung

Ganz allgemein ist ein Polynom n-ten Grades ein Ausdruck der Form
$$a_n·x^n + ... + a_2·x^2 + a_1·x + a_0$$
Entsprechend erhält man die Nullstellen dieses Polynoms durch die Forderung:

$$a_n·x^n + ... + a_2·x^2 + a_1·x + a_0 \color{blue}{= 0}$$

Es handelt sich dann um eine Gleichung n-ten Grades.

Gleichungen fünften oder höheren Grades sind mathematisch gesehen schon so kompliziert, dass man sich in der Schule mit Gleichungen bis maximal vierten Grades begnügt. Aber selbst hier gilt, dass man den Schülern beliebig gewählte Gleichungen dritten und vierten Grades im Allgemeinen nicht zumuten kann. Es ist übrigens so, dass eine allgemeine Lösungsdarstellung für Gleichungen vom Grad fünf oder höher nicht möglich ist. Mit sogenannten algebraischen Methoden (Berechnungsmethoden) lässt sich die Lösung einer Gleichung bis höchstens vierten Grades bewerkstelligen.

Lösungen von Gleichungen zweiter Ordnung

In der Schule lernt man heutzutage also hauptsächlich die Lösung linearer und quadratischer Gleichungen. Die Lösungen einer quadratischen Gleichung (siehe oben) erhalten Schüler zum Beispiel durch die abc-Formel (Mitternachtsformel):
$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4·a·c}}{2·a} $$

Eine quadratische Gleichung heißt normiert, wenn der Koeffizient vor dem $ x^2 $ gleich Eins ist. Die so erhaltene Normalform wird ganz häufig auch mit den Koeffizienten $p$ und $q$ in dem linearen Term (vor dem $x$) und dem konstanten Term ausgestattet:
$$ x^2 + px + q = 0$$
Die Lösungsformel hierfür mag dem ein oder anderen Schüler bekannt vorkommen, es ist die sogenannte p-q-Formel:
$ x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^2 - q} $

Ob eine quadratische Gleichung in der Schule mit den Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ oder mit den Koeffizienten $p$ und $q$ dargestellt wird, hängt von der Region oder dem Bundesland ab.

Noch einfacher lässt sich übrigens die Lösung einer linearen Gleichung a·x + b = 0 darstellen: $ x = \frac{-b}{a} $.

Biquadratische Gleichungen

Eine spezielle Gleichungsklasse bilden die sogenannten biquadratischen Gleichungen. Dies sind Gleichungen vierter Ordnung, in denen die Variable nur in geraden Potenzen vorkommt:

$$ a·x^4 + c·x^2 + e = 0 $$

Dies ist, wie man sieht, eine spezielle quartische Gleichung. Es sind $b=0$ und $d=0$ gewählt. Durch einen einfachen "Trick", und zwar die Substitution (Ersetzung) von $x^2$ durch $z$, erhält man eine quadratische Gleichung mit der Variablen $z$:

$$ a·x^4 + c·x^2 + e = 0 \\ a·(x^2)^2 + c·x^2 + e = 0 \\ a·z^2 + c·z + e = 0 $$

Diese Gleichung kann nun wieder mit der herkömmlichen Mitternachtsformel oder der p-q-Formel gelöst werden. Man erhält meist zwei Lösungen für $z$ ($z_{+}$ und $z_{-}$) und kann durch Rücksubstitution wegen $x^2 = z$ bis zu vier Lösungen für $x$ erhalten:

$$ x_{1,2} = \pm \sqrt{z_{+}} \\ x_{3,4} = \pm \sqrt{z_{-}} $$

Die Gleichung $ a·z^2 + c·z + e = 0 $ muss für die allgemeine Mitternachtsformel natürlich mit den Koeffizienten als $ a·z^2 + b·z + c = 0 $ betrachtet werden. Zur Anwendung der p-q-Formel muss die gesamte Gleichung (also jeder einzelne Summand) durch $ a $ geteilt werden. Es ergibt sich $ p = \frac{c}{a} $ und $ q = \frac{e}{a} $.

Beispiellösung einer biquadratischen Gleichung

Es sei durch
$$ x^4 - 4x^2 + 3 = 0 $$ eine biquadratische Gleichung gegeben. Die Substitution $ z = x^2 $ führt zu der Gleichung

$$ z^2 - 4 z + 3 = 0 $$

Es ist $ p = -4 $ und $ q = 3 $. Die Gleichung liegt glücklicherweise schon in Normalform vor. Als Nullstellen für $ z $ ergeben sich
$ z_{1} = -\left(\frac{-4}{2}\right) + \sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2 - 3} = 2 + \sqrt{1} = 3$
und
$ z_{2} = \left(-\frac{-4}{2}\right) - \sqrt{\left( \frac{-4}{2}\right)^2 - 3} = 2 - \sqrt{1} = 1$.

Die vier Lösungen der biquadratischen Gleichung in $ x $ erhält man durch Rücksubstitution:

$$ x_1 = \sqrt{z_{1}} = \sqrt{3} \approx 1,73 \\ x_2 = - \sqrt{z_{1}} = - \sqrt{3} \approx -1,73 \\ x_3 = \sqrt{z_{2}} = \sqrt{1} = 1 \\ x_4 = - \sqrt{z_{2}} = - \sqrt{1} = -1 $$

Spezielle Typen quartischer Gleichungen

Einige Typen quartischer Gleichungen, das heißt Gleichungen der Form
$ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$
lassen sich trotz der allgemeinen Kompliziertheit besonders einfach lösen.

Reinquartische Gleichungen

Sofern b=0, c=0 und d=0 sind, ergibt sich die Form:

$$ ax^4 + e = 0 $$

Dieser Typ lässt sich ganz allgemein betrachten, die Koeffizienten $a$ und $e$ können durch Zahlen ersetzt werden, je nachdem, welche Zahlen in der jeweiligen Aufgabenstellung vorliegen:

$$ \begin{align} a·x^4 + e = 0 &\quad\vert -e \\ a·x^4 = -e &\quad\vert :a \\ x^4 = -\frac{e}{a} &\quad\vert \pm \sqrt[4]{\quad} \\ x = \pm \sqrt[4]{-\frac{e}{a}} \end{align} $$

An der letzten Gleichung erkennt man, dass $ -\frac{e}{a} $ positiv sein muss (die Zahl unter dem Wurzelzeichen, der Radikand, muss positiv sein). Damit muss genau einer der beiden Koeffizienten $a$ und $e$ negativ sein, damit eine reelle Lösung existiert.

Sei zum Beispiel durch $x^4 - 81 = 0 $ eine quartische Gleichung gegeben. Dann ergeben sich die reellen Lösungen durch
$ x_{1,2} = \pm \sqrt[4]{-\left(\frac{-81}{1}\right)} = \pm 3 $.
Dies kann man nachvollziehen, indem man im oben angegebenen Lösungsweg die Variablen $a$ und $e$ durch die Zahlen $1$ und $-81$ ersetzt.

Lösungen von Gleichungen endlicher Ordnung als Nullstellen von Polynomfunktionen

Wird die linke Seite der quartischen Gleichung $ a·x^4 + e = 0 $ als Polynomfunktion $p(x) = a·x^4 + e $ aufgefasst, so entsprechen die Lösungen der quartischen Gleichung den Nullstellen der Polynomfunktion.

Ganz allgemein lässt sich feststellen, dass die Nullstellen einer Polynomfunktion in natürlicher Weise den Lösungen der dazugehörigen Gleichung endlicher Ordnung, und zwar $p(x) = 0$, entsprechen.

Hier als Beispiel ein Bild der Polynomfunktion f(x) = x⁴ - 5·x² + 4 mit ihren vier Nullstellen x = -2, x = -1, x = 1, x = 2.

"Endlicher Ordnung" meint hier übrigens, dass der Grad der Funktion endlich sein muss. Es sind Polynomfunktionen gemeint.

Quartische Gleichung mit quadratischem Glied

Sind bei einer quartischen Gleichung b=0, d=0 und e=0, so erhalten wir folgende Form:

$$ a·x^4 + c·x^2 = 0 $$

Dieser Gleichungstyp vierter Ordnung lässt sich durch das Ausklammern des Faktors $x^2$ vereinfachen:

$$ a·x^4 + c·x^2 = 0 \\ (a·x^2 + c)·x^2 = 0 $$

$ x = 0 $ resultiert als doppelte Nullstelle aus $ x^2 = 0 $ und das Problem reduziert sich zu:

$$ a·x^2 + c = 0 $$

Die Begründung für diese Vereinfachung liegt darin, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn wenigstens einer seiner Faktoren Null ist. Dieser einfache Zusammenhang wird gelegentlich als Satz vom Nullprodukt bezeichnet.

Die Lösungen zu dieser Gleichung erhält man auf ähnliche Weise wie für den Gleichungstyp a·x⁴ + e = 0. Sie ergeben sich zu
$ x_{1,2} = \sqrt{-\frac{c}{a}} $

Wieder sieht man, dass für die Existenz weiterer Nullstellen genau einer der beiden Koeffizienten $a$ oder $c$ negativ sein muss.

Sei zum Beispiel durch $ -x^4 + 25x^2 = 0 $ eine solche Gleichung gegeben. Dann ist die doppelte Nullstelle $ x_{1} = 0 $. Die anderen beiden Nullstellen ergeben sich aus
$ x_{2,3} = \pm \sqrt{-\left(\frac{25}{-1}\right)} = \pm 5 $.

Dies kann man bei Interesse oder einfach zur Übung auch handschriftlich mit den beiden konkreten Koeffizienten $ a= -1$ und $c = 25 $ nachvollziehen.

Eine andere Möglichkeit, die Nullstellen zu nummerieren, ist die doppelte Nullstelle als zwei übereinanderfallende Nullstellen $ x_{1} = x_{2} = 0 $ aufzufassen. Die anderen beiden (nicht-trivialen) Nullstellen erhalten dann die Bezeichnung $ x_{3} $ und $ x_{4} $.

Es sei aber darauf hingewiesen, dass $ x_{1} = x_{2} = 0 $ eigentlich nur eine einzige Nullstelle ist, die aufgrund ihrer Vielfachheit (ihre Vielfachheit ist zwei) zwei verschiedenen Namen x₁ und x₂ trägt.

Die Nullstellen einer quartischen Funktion lassen sich aus ihrer grafischen Darstellung ablesen. Als Beispiel sei der Graph der Funktion f(x) = -x⁴ + 4·x² mit doppelter Nullstelle bei x = 0 gezeigt:

Quartische Gleichung ohne Absolutglied

$$ a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x = 0 $$

Bei diesem Typ fehlt das absolute Glied oder Absolutglied. Diese Bezeichnung steht für den konstanten Term $ e $ einer Polynomfunktion. Dass dieser fehlt ist gleichbedeutend damit, dass er in der allgemeinen Darstellung gleich Null gesetzt wird $ e = 0 $.

In diesem Fall lässt sich immerhin noch ein x innerhalb der Nullstellenbestimmungsgleichung ausklammern:

$$ a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x = 0 \\ (a·x^3 + b·x^2 + c·x + d)·x = 0 $$

Der Satz vom Nullprodukt (siehe oben) erlaubt es nun wieder, das Problem der Nullstellensuche auf die kubische Gleichung
$ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$
reduziert zu betrachten. Diese ist zwar im Allgemeinen immer noch schwierig zu lösen, im Rahmen von Aufgaben in der Schule lassen sich Nullstellen allerdings meist raten oder sind besonders offensichtlich oder sogar in der Aufgabenstellung vorgegeben.

Zusammenfassung

Lineare und quadratische Gleichungen lassen sich besonders leicht lösen. Quadratische Gleichungen lassen sich durch die abc-Formel (Mitternachtsformel) oder durch die p-q-Formel darstellen und mit Hilfe dieser Formeln finden.

Gleichungen der 3. Ordnung heißen kubische Gleichungen. Kubische Gleichungen können bereits schwierig zu lösende Gleichungen sein.

Gleichungen der Form $a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x + e = 0$ heißen quartische Gleichungen (Gleichungen 4. Ordnung). Ihre Lösbarkeit und die Darstellungen ihrer Lösungen sind Gegenstand der höheren Mathematik.

In der Schule tauchen quartische Gleichungen meistens in einer vereinfachten Formen auf. Beispiele für vereinfachte Formen sind
$$ a·x^4 + e = 0 \quad|\quad \text{b = c = d = 0} \\ a·x^4 + c·x^2 = 0 \quad|\quad \text{ b = d = e = 0} \\ a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x = 0 \quad|\quad e = 0 $$

Die Form ohne b und d (b=0 und d=0) ist $ a·x^4 + c·x^2 + e = 0 $ Dies ist die sogenannte biquadratische Gleichung, sie ist die häufigste in der Schule auftauchende Form quartischer Gleichungen. Diese Gleichungen lassen sich durch die Substitution $ z = x^2 $ auf quadratische Gleichungen in $ z $ zurückführen: $ a·z^2 + c·z + e = 0 $

Die Form $ a·x^6 + b·x^3 + c = 0 $ ist ein weiteres Beispiel einer Gleichung höherer Ordnung (hier: sechster Ordnung oder sechsten Grades), die sich durch eine Substitution (nämlich $ z = x^3 $) lösen lässt.

In Schulaufgaben werden oft solche quartischen Gleichungen gegeben, die leicht zu ratende oder gar in der Aufgabenstellung vorgegebene Nullstellen haben.

Mathe-Programme Biquadratische Gleichungen

Nachdem ihr die Unbekannten einer Gleichung substituiert habt und nur noch eine Quadratische Gleichung vorliegt, könnt ihr das folgende Programm zum Lösen Quadratischer Gleichungen nutzen, um die Lösungen zu bestimmen:

Quadratische Gleichungen und p-q-Formel

Dieses Programm löst beliebige quadratische Gleichungen mit Hilfe der p-q-Formel, inklusive Rechenweg.

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Übungsaufgaben

Aufgaben als PDF herunterladen

1. Lineare Gleichungen

Bestimme die Lösungen folgender linearer Gleichungen:

a) 2·x + 4 = 0

b) 10·x - 10 = 0

c) 9·x - 3 = 0

d) -4·x + 12 = 0

2. Quadratische Gleichungen

Bestimme die Lösungen folgender quadratischer Gleichungen:

a) x² + x - 2 = 0

b) x² + 4·x - 5 = 0

c) 2·x² - 2·x - 12 = 0

d) 8·x² + 2·x - 3 = 0

3. Kubische Gleichungen

Bestimme die Lösungen folgender kubischer Gleichungen:

a) x³ - x = 0

b) x³ - x² - 6·x = 0

4. Biquadratische Gleichungen - ein spezieller Typ der quartischen Gleichungen

Bestimme die Lösungen der folgenden biquadratischen Gleichungen:

a) $ x^4 - 10·x^2 + 9 = 0 $

b) $ x^4 - 13·x^2 + 36 = 0 $

c) $ x^4 - 6·x^2 + 5 = 0 $

d) $ x^4 + x^2 - 6 = 0 $

5. Spezielle Typen quartischer Gleichungen: a·x⁴ + e = 0

Bestimme die Lösungen der folgenden quartischen Gleichungen der Form $ ax^4 + e = 0 $:

a) $ 5·x^4 - 80 = 0 $

b) $ -2·x^4 + 162 = 0 $

c) $ x^4 + 16 = 0 $

6. Spezielle Typen quartischer Gleichungen: a·x⁴ + c·x² = 0

a) $ x^4 - x^2 = 0 $

b) $ 2·x^4 - 8·x^2 = 0 $

c) $ 3·x^4 - 27·x^2 = 0 $

7. Spezielle Typen quartischer Gleichungen: a·x⁴ + b·x³ + c·x² + d·x = 0

a) $ x^4 - 2·x^3 - x^2 + 2·x = 0 $

b) $ 2·x^4 - 3·x^3 - 0,5·x^2 + \frac{3}{4}·x = 0 $

Häufige Fragen

Eine Auswahl an häufigen Fragen zu den Biquadratischen Gleichungen:

Zum Beispiel:
• Quartische oder biquadratische Gleichung - Bezeichnung?
• Gib den Funktionsterm einer quadratischen Funktion an?
• Nullstellen berechnen. 2x^4 -8x^2 -10=0
• Anwendungsaufgaben für biquadratische Gleichungen
• Gleichung 4. Grades lösen: x^4 +x-3=0
• Biquadratische Gleichung 2x^4 - 3x^2 - 20 = 0
• Sind biquadratische Gleichungen dasselbe wie Gleichungen 4. Grades?

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Untertitel

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Video 1: Biquadratische Gleichungen - Substitution

Hallo liebe Schüler. In dieser Lektion wollen wir uns die biquadratischen Gleichungen anschauen. Bevor wir richtig loslegen, wiederholen wir noch einmal ganz kurz, was wir bereits zu den Gleichungen bereits wissen. Wir hatten bereits die linearen Gleichungen kennen gelernt, in der Allgemeinform a*x+b gleich 0, bzw. wir hatten mx+n gleich 0 geschrieben. Dann hatten wir die quadratischen Gleichungen kennen gelernt mit der Allgemeinform ax²+bx+c gleich 0. Und dann hatten wir die kubischen Gleichungen mit der Allgemeinform ax³+bx²+cx+d gleich 0. Also wie ihr seht, hier war die Gleichung im Grad 1, also wir können uns hier ein x^1 denken. Hier haben wir eine Gleichung zweiten Grades. Die höchste Potenz bei den unbekannten x ist die 2, also zweiter Grad. Und hier haben wir eine Gleichung dritten Grades. Und richtig, jetzt fehlt uns noch die Gleichung vierten Grades mit der Allgemeinform ax^4+bx³+cx²+dx+e gleich 0. Und diese Art von Gleichung hat auch eine Bezeichnung. Man nennt sie „Quartische Gleichungen“. Und „Quart“ ist lateinisch und steht für „vier“. Wir haben hier also eine Gleichung vierten Grades. Um eine Gleichung dieser Art lösen zu können, benötigen wir schon Elemente der höheren Mathematik, das heißt ihr findet komplexe Formeln, bei denen ihr, mit Hilfe der Koeffizienten, auf eine Lösung für x kommt. Diese betreffen aber, wie gesagt, die höhere Mathematik. Und wir hatten ja gesagt, wir wollen uns die biquadratischen Gleichungen anschauen. Was haben jetzt biquadratische mit quartischen Gleichungen zu tun? Wenn wir bei der quartischen Gleichung die ungeraden Exponenten streichen, also das x³ und das x entfernen, haben wir eine Gleichung die hier ein x^4 und hier ein x² hat. Und diese nennen wir dann biquadratische Gleichung. Und das wisst ihr, „bi“ bedeutet „doppelt, zweifach“. Wir haben hier also eine doppelte quadratische Gleichung. Einmal haben wir hier das x², das ist also das eine Quadrat und jetzt können wir x^4 umformen zu x²*x², denn wie wir wissen ist das ja x^(2+2) also x^4. Und jetzt sehen wir, hier haben wir ein Element, hier haben wir das gleiche Element. Wir können das also als Quadrat schreiben, also als (x²)². Und hier haben wir das zweite Quadrat. Und daher sprechen wir von biquadratischer Gleichung. Und tatsächlich gibt es ein Verfahren, wie wir diese lösen können. Und zwar mit Lösungsverfahren, die wir bei den quadratischen Gleichungen kennen gelernt haben. Ihr müsst also die Lektion „Quadratische Gleichungen“ auf jeden Fall kennen, damit ihr die Inhalte die jetzt folgen, verstehen könnt. Wenn wir jetzt mal diese biquadratische Gleichung umschreiben, indem wir das x^4 ersetzen durch (x²)², dann erkennen wir, sofern wir jetzt x² hier und hier als ein eigenständiges Element betrachten, dass dies eine quadratische Gleichung ist. Also ersetzen wir mal das x² jetzt mit einem anderen Buchstaben. Nehmen wir mal das z. Das heißt das x² wird jetzt zu z und dieses x² wird ebenfalls zu z. Setzen wir noch das Malzeichen hier und hier und entfernen wir hier die Klammer, so sehen wir, wir haben hier eine quadratische Gleichung. a*z²+c*z+e gleich 0. Und a,c und e, das könnten jetzt beliebige Zahlen sein. Also es geht jetzt nur um das z², das z und dann hinten ist gleich 0. Und diese können wir mit der pq-Formel lösen. Ein wesentlicher Schritt zur Lösung ist also, die Ersetzung von x² mit z. Und diese Ersetzung nennt man „Substitution“. Substitution kommt aus dem lateinischen von „substituere“ was nichts weiter heißt als „ersetzen“. Und genau das machen wir. Wir ersetzen x² mit z. Und wir nennen das, mathematisch, Substitution. Gut, nehmen wir uns ein Beispiel und berechnen dieses mit Hilfe der Substitution und lösen es dann mit der pq-Formel. Kurz noch erwähnt: Ihr könnt auch die biquadratische Gleichung auch noch so schreiben: a*x^4+b*x²+c gleich 0. Also die Koeffizienten hiervor können wir auch a,b und c nennen. Ein Beispiel sie jetzt -0,5*x^4+4x²+(-3,5) ist gleich 0. Und jetzt wollen wir diese biquadratische Gleichung lösen und dazu müssen wir hieraus eine quadratische Gleichung machen. Und wir wissen ja, x^4 können wir schreiben als x²*x², denn das ergibt x^4. Und jetzt können wir das x² substituieren mit z. Wir legen also fest x² wird zu z. Natürlich könnt ihr auch einen anderen Buchstaben wählen, aber häufig findet ihr in den Büchern den Buchstaben z gewählt. Gut, und jetzt schreiben wir da wo x² steht überall unser z hin. Also hier und hier und hier. Und jetzt schreiben wir noch z*z noch als z² und schon haben wir eine quadratische Gleichung, die wir mit der pq-Formel lesen können. Gut, um diese quadratische Gleichung zu lösen müssen wir erstmal eine Normalform herstellen. Das heißt hier darf nur z² stehen. Wir müssen -0,5 wegbekommen. Und hierfür dividieren wir die gesamte Gleichung durch -0,5. Dann ergibt sich hier ein z². Dann 4z/(-0,5) sind -8z und hier hinten -3,5/(-0,5) sind 7. Dann das ist gleich. Und 0/(-0,5) ist 0. Das ist die Normalform der quadratischen Gleichung und jetzt können wir die pq-Formel anwenden. Also notieren wir sie hier allgemein. Und jetzt können wir zuordnen. Was ist unser p? Richtig, das ist hier -8. Und was ist unser q? Richtig, das ist hier die 7. Setzen wir also die beiden Werte hier ein: p ist -8 und unser q die 7 und rechnen das aus. -8/2 sind -4. Ins Quadrat sind 16. 16-7 sind 9, also hier unter der Wurzel kommt 9 heraus. Wurzel(9) ist 3. Und hier vorne -8/2 sind -4. Durch das Minus hier vorne haben wir 4. Und jetzt lösen wir auf nach z_1 und z_2. Also einmal das Ergebnis für Plus und einmal das Ergebnis für Minus. Dann erhalten wir hier 4+3 sind 7. Und hier 4-3 sind 1. Das sind also unsere Lösungen für unsere quadratische Gleichung, also diese -0,5z²+4z+(-3,5) = 0. Jetzt wollen wir jedoch unser x haben, denn unsere ursprüngliche Gleichung hat ja den Grad 4 und kein z, sondern ein x da stehen. Das heißt wir müssen jetzt von z zurückkommen auf unser x. Und wir wissen z ist ja x². Jetzt haben wir für z jeweils das Ergebnis 7 und 1. Das heißt wir können folgendes machen: Wenn x² gleich z ist und wir wollen jetzt nur x stehen haben, richtig, dann ziehen wir die Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung. Und dann müssen wir wieder ein positives und ein negatives Ergebnis berücksichtigen, so wie wir es auch bei den Wurzelgleichungen gelernt hatten. Also Plusminus die Wurzel und wir erhalten auf der linken Seite Wurzel(x²). Quadrat und Wurzel heben sich auf. Hier bleibt x stehen und hier haben wir Plusminus die Wurzel(z). Und genau diese allgemeine Gleichung können wir jetzt nehmen um von unseren Ergebnissen für z auf x zu kommen. Man nennt das hier übrigens auch „Rücksubstitution“. Wir rücksubstituieren von z zu x. Also wir können ja jetzt mal für z eines der Ergebnisse einsetzen. Nehmen wir die 7. Und um jetzt den Wert herauszubekommen, der quadriert 7 ergibt ziehen wir die Wurzel Plusminus. Und wir sehen x ist gleich Plusminus die Wurzel(7). Und das können wir mit dem Taschenrechner ausrechnen. Die Wurzel(7) ist rund 2,646. Und dann dürfen wir hier nicht das Plusminus vergessen. Das muss noch hiervor geschrieben werden. Denn ganz klar, eine (-2,646)² ergibt ebenfalls die 7. Und wie wir sehen wir haben ein Plusminus hier, richtig, dann müssen wir bei x auch eine 1 und eine 2 setzen im Index. Wir haben also zwei Lösungen. x_1 ist 2,646, x_2 ist -2,646. Und richtig, wir haben ja nicht nur die 7 als Lösung, wir haben ja auch noch die 1 als Lösung. Die müssen wir ebenfalls berücksichtigen. Merken wir uns also x_(1,2) ist Plusminus 2,646, schreiben das hier unten hin und betrachten jetzt unsere zweite Lösung für z, die 1. Also setzen wir jetzt hier und hier eine 1 ein. Wir nehmen also wieder die Rücksubstitution vor. Und jetzt aufpassen, hier dürfen keine 1 und 2 stehen, denn die haben wir hier schon berechnet, jetzt kommen wir zu den nächsten Ergebnissen, also 3 und 4. Aus z_1 ergeben sich x_1 und x_2, aus z_2 ergeben sich x_3 und x_4. Und Wurzel(1), richtig, das ist die 1. Wir haben also für x_3 und x_4 die Lösung Plusminus 1. Und jetzt haben wir also vier Lösungen für unsere biquadratische Gleichung, also unsere Gleichung vierten Grades und wir wissen ja, wenn die höchste Potenz 4 ist, haben wir bis zu 4 Lösungen. In diesem Fall haben wir genau vier Lösungen. Und wenn wir das jetzt noch auseinander nehmen hier. Das Plusminus jeweils zuordnen, steht da x_1 ist 2,646, x_2 ist -2,646, x_3 ist 1 und x_4 ist -1. Das heißt wir können diesen, diesen, diesen oder diesen Wert hier einsetzen in unsere Gleichung und auf der linken Seite ergibt sich 0. Wie wir gesehen haben, können wir diese biquadratischen Gleichungen lösen mit Hilfe der Substitution, die aus unserer Gleichung vierten Grades eine Gleichung zweiten Grades macht. Also hier hatten wir x² ersetzt mit z. Und hier hatten wir die x^4, die wir uns ja denken können als x²*x² ersetzt mit z*z, also z². Und dann konnten wir diese quadratische Gleichung lösen mit unserer pq-Formel, sind auf die Ergebnisse für z gekommen und mussten die Ergebnisse dann rücksubstituieren. Und zwar einmal für z_1, wodurch wir dann für x zwei Ergebnisse bekommen haben x_1 und x_2. Und dann einmal für z_2, wo wir dann zwei weitere Ergebnisse bekommen haben für x mit x_3 und x_4. Und wie ihr später auch noch sehen werdet, findet das Verfahren der Substitution, also in dem man einen Wert mit einem anderen ersetzt, häufiger in der Mathematik Anwendung. Deswegen merkt euch bitte: Substitution bedeutet, wir packen einen Wert, eine Variable, in eine andere um mit ihr einfacher rechnen zu können und müssen diese Variable nachher wieder auspacken, damit wir dann auf unsere Lösungen kommen. Gut, so viel zu den biquadratischen Gleichungen. Werfen wir im nächsten Teil noch einen Blick auf spezielle Formen von quartischen Gleichungen, die wir mit bereits bekannten Lösungsverfahren lösen können.

Video 2: Biquadratische Gleichungen - Quartische Gleichungen

Schauen wir uns also an, wie wir quartische Gleichungen lösen können, bei denen gewisse Elemente nicht vorkommen. Wir hatten ja die biquadratischen gehabt, wo bx³ und dx gefehlt haben und wir konnten diese dann lösen mit der Substitution. Die einfachste quartische Gleichung ist die, bei der bx³, cx² und dx fehlen. Also bei der b, c und d 0 sind. Denn damit 0 mal eine Zahl oder eine Variable ist immer 0. Das heißt damit fallen diese 3 weg. Und es bleibt übrig ax^4+e gleich 0. Und wie lösen wir diese reduzierte quartische Gleichung? Richtig, mit Hilfe der Wurzel. Also nehmen wir zwei Beispielwerte für a und e mit -2x^4+32 gleich 0. Dann können wir als erstes die 32 auf die rechte Seite rüber holen. Erhalten dann -2x^4 gleich -32. Jetzt noch die Gleichung durch -2 dividiert und wir erhalten x^4 gleich -32:(-2), also 16. Und um jetzt den Wert für x zu bestimmen, ziehen wir die vierte Wurzel aus dieser Gleichung und da müssen wir wieder Plusminus beachten. Die Vorzeichen. Denn durch das hoch 4 wird auch ein negativer Wert wieder positiv. Also wir ziehen die vierte Wurzel und erhalten damit x gleich Plusminus vierte Wurzel(16). Und jetzt brauchen wir den Taschenrechner nicht zu bemühen um die vierte Wurzel(16) zu berechnen, denn das kann man erkennen. Denn 2*2 sind 4. Mal 2 sind 8, mal 2 sind 16. Und richtig, hier haben wir die 2 viermal, also 2^4 sind 16. Wir können jetzt also die 16 mit 2^4 ersetzen. Hoch 4 und vierte Wurzel heben sich auf und es bleibt die 2 übrig. Und richtig, Plusminus die 2. Und wegen des Plusminus müssen wir natürlich hier noch x_1 und x_2 heran schreiben. Das heißt unser x_1 ist 2. Unser x_2 ist -2. Wir haben also für unsere Gleichung die zwei Ergebnisse 2 und -2. Und wenn wir jetzt mal diese Gleichung als Funktion verstehen, wie wir es auch schon bei den vorherigen Lektionen gemacht haben. Also wir sagen das hier ist ein Funktionsterm, der soll 0 sein. Dann wissen wir bei 2 und -2, unserer Lösung, wird dieser Term 0 sein und wenn wir jetzt also diese Funktion mal zeichnen, dann sehen wir, dass die Funktion so aussieht und dass sie bei 2 und -2 ihre Nullstellen hat. Also wir können noch ein wenig ranzoomen, dann sehen wir bei -2 und 2 die Nullstellen. Wir haben also nur zwei Lösungen anstatt vier Lösungen. Und schauen wir nochmal die biquadratische Gleichung an, die wir im ersten Video berechnet hatten mit -0,5x^4+4x²+(-3,5) gleich 0 und interpretieren diese jetzt ebenfalls als Funktionsgleichung. Nennen wir diese Funktion dann g und schauen uns jetzt diesen Graph an, dann sehen wir ist dieser Graph so geschwungen. Und schauen wir uns nochmals die Lösungen an, die wir ermittelt hatten. Das waren die folgenden vier. Die 2,646 positiv, negativ. Und die 1 positiv, negativ. Dann finden wir genau diese Nullstellen hier wieder. Also hier die 1, hier die -1. Und hier die 2,646 und hier die -2,646. Ihr seht also, wenn der Graph so geschwungen ist und die Graphenabschnitte jeweils durch den Graphen gehen, haben wir vier Lösungen. Würden wir den Graph jetzt weiter nach oben verschieben, also zum Beispiel so, hätten wir nur noch zwei Lösungen. Und wenn wir diesen Punkt auf die Höhe 0 verschieben, haben wir hier sogar eine doppelte Nullstelle, also diesen Wert 0 zweimal. Diese Funktionsgleichung ergibt sich, wenn bx^3, dx und e wegfallen und dann nur noch dasteht ax^4+cx² gleich 0. Denn dann können wir folgendes machen. Nehmen wir wieder ein Beispiel. Sagen wir a ist -2 und c ist 8. Und jetzt dürfen wir, weil hier x² und hier x^4 steht und kein weiterer Term, das x² ausklammern. Also wir ziehen es hier raus und erhalten damit folgende Gleichung, also x² raus gezogen und dann müssen wir diesen Term durch x² dividieren und diesen Term durch x² dividieren, so wie wir es bereits kennengelernt haben. Also wir erhalten x² Klammer auf -2x², also 2x^4:x² ist natürlich 2x². Und hier hinten x²:x² hebt sich auf zu 1, also hier bleibt 8 stehen. Und richtig, jetzt haben wir hier einen quadratischen Term und hier einen quadratischen Term und wir wissen, wenn dieser oder dieser 0 wird, ist die gesamte Gleichung 0. Diesen Sachverhalt nennt man übrigens auch „Satz vom Nullprodukt“. Gut, das heißt wir setzen x² gleich 0, erhalten dann zwei Lösungen, müssten dann also hier Plusminus die Wurzel aus 0 ziehen, erhalten damit zwei Lösungen. Zum einen x_1 gleich 0 und zum anderen x_2 gleich -0. Und 0 und -0 sind jeweils 0, also wir erhalten x_1 gleich 0, x_2 gleich 0. Das ist der erste Teil unserer Lösung von diesem Term ausgehend und jetzt fragen wir uns, wann wird dieser Term hier 0 und setzen damit diesen ebenfalls 0. Ziehen die 8 auf die rechte Seite mit -8. Erhalten diese Gleichung. Und jetzt noch durch -2 auf beiden Seiten, dann haben wir links x² und rechts ergibt sich 4. Und jetzt hier genauso, Plusminus Wurzel aus der 4 und wir erhalten zwei Ergebnisse, die wir jetzt x_3 und x_4 nennen, denn x_1 und x_2 hatten wir ja schon berechnet. Und Wurzel(4) ist 2, wir haben also 2 und -2 als Ergebnis. Fassen wir also unsere Ergebnisse zusammen für unsere Gleichung, dann sehen wir, haben wir vier Ergebnisse mit 0, 0, 2 und -2. Und da wir hier 0 zweimal haben, handelt es sich um einen doppelte Nullstelle unser Graph wird also die x-Achse berühren. Schauen wir uns das graphisch an. Unser Graph sieht dann so aus. Und richtig, er geht bei 0 nicht durch, sondern berührt unsere x-Achse. Und er geht durch bei -2 und 2. Also hier können wir die Ergebnisse ablesen: -2, hier 0 und 0 und hier 2. Und das nebenbei erwähnt: Natürlich könnt ihr quartische Gleichungen auch graphisch lösen, indem ihr sie in ein Koordinatensystem einzeichnet und dann schaut, wo sie die x-Achse berühren. Vorausgesetzt die quartische Gleichung ist gleich 0 gesetzt, damit die Lösung auch unseren Nullstellen entspricht. Schauen wir uns einen weiteren Typ von Gleichungen an, den wir ebenfalls mit Ausklammern lösen können. Und zwar bei dem Typ, wo unser absolutes Glied fehlt. Unser e sozusagen 0 ist und es damit wegfällt. Denn jetzt können wir mit Hilfe des Ausklammerns das x rausziehen aus diesem Term. Hier sind vier x’e, hier sind drei x’e, hier sind zwei x’e, hier ist ein x, das heißt wir können es herausziehen und damit ergibt sich eine kubische Gleichung. Also schreiben wir das mal auf. Das x ziehen wir heraus. Und dadurch wird jeweils durch x dividiert, also der Exponent wird jeweils -1 gerechnet. x^4:x, dann erhalten wir x³. bx³:x ist bx². Hier ist es dann cx²:x, also hier bleibt cx übrig. Und hier das x:x das wird zu 1, also bleibt d übrig. Und jetzt haben wir also eine Lösung mit 0 für dieses x und diesen Teil hier drin könnten wir jetzt mit den Verfahren, die wir bei den kubischen Gleichungen kennen gelernt haben, lösen. Gut, fassen wir das neugewonnene Wissen nochmals kurz zusammen.
Das Lösen einer quartischen Gleichung in der Allgemeinform ist sehr schwierig. Hierfür gibt es komplexe Formeln, die jedoch den Rahmen der Schulmathematik sprengen würden. Wir haben jedoch die Möglichkeit quartische Gleichungen zu lösen, bei denen einige der Elemente fehlen, zum Beispiel die Terme mit den ungeraden Exponenten x³ und x^1. Wenn die wegfallen erhalten wir diese Form der Gleichung mit nur geraden Exponenten und wir nennen diese biquadratische Gleichung, die wir dann mit Hilfe der Substitution zu einer quadratischen Gleichung verändern können. Also wir hatten z² mit x substituiert und x^4 dann zu x². Und nachdem wir die Lösung hatten zu z haben wir zurücksubstituiert um die Lösung für x zu erhalten. Den einfachsten Typ der quartischen Gleichung hatten wir so festgelegt mit ax^4+e gleich 0. Hier konnten wir die vierte Wurzel benutzen um die Lösung für x zu ermitteln. Also das e auf die rechte Seite durch a dividieren und dann Plusminus die vierte Wurzel rechnen. Dann hatten wir kurz diesen Typ der quartischen Gleichung angeschaut bei dem wir nur den Term vierten Grades und den Term zweiten Grades hatten und diesen dann mit Ausklammern von x² in zwei Faktoren zerlegen konnten und hatten dann für x² zweimal die 0 als Ergebnis erhalten und diesen Term in der Klammer 0 gesetzt und dann mit Hilfe der Wurzel auch hier zwei Ergebnisse errechnet. Es kann natürlich auch hier mal vorkommen, dass wir eine Wurzel aus einem negativen Wert ziehen, dann hätten wir hier nur die Lösung 0, 0. Und abschließend hatten wir gesagt, haben wir eine quartische Gleichung bei der das absolute Glied fehlt, also unser e, dann können wir auch hier das x ausklammern, haben dadurch für x schon mal die Lösung 0 und dann müssen wir hier diese kubische Gleichung lösen und weitere Ergebnisse bestimmen. Gut, in der Schulmathematik werdet ihr am häufigsten auf diese Form treffen bei der ihr die Substitution anwenden müsst. Das heißt das Verfahren der Substitution ist das, was ihr euch auf jeden Fall merken müsst. Auch deshalb, weil ihr mit der Substitution Gleichungen höheren Grades lösen könnt, sofern sie sich in einer bestimmten Form befinden. Zum Beispiel eine Gleichung sechsten Grades. Und auch hier erkennt ihr, hier ist ein x³ und hier ist ein x^6, die wir uns auch denken können als (x³)². Wir können also x³ substituieren mit z und erhalten z²+2z-3 gleich 0. Und das ist eine quadratische Gleichung, die wir jetzt mit der pq-Formel lösen können. Als Ergebnis ergibt sich für z_1 1 und für z_2 -3. Jetzt müssen wir das noch zurücksubstituieren. Das heißt das hier ist das x³ und das hier ist das x³, wir ziehen also hier und hier die dritte Wurzel und erhalten für x_1 dritte Wurzel(1) ist 1. Und für x_2 dritte Wurzel(-3) und damit rund -1,44. Und schon haben wir die Lösungen für die Gleichung sechsten Grades ermittelt. So viel zu diesem Thema. Wir hoffen ihr habt wieder etwas Neues gelernt und könnt dieses Wissen gut in der nächsten Klassenarbeit anwenden. Viel Erfolg dabei wünscht Echt Einfach TV.

Substitutionsverfahren

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