Mathe G30: Exponentialgleichungen

Hallo liebe Schüler und Willkommen zur Lektion „Exponentialgleichungen“. Um Exponentialgleichungen lösen zu können, müssen wir erstmal klären was das ist. Hier steckt ja das Wort „Exponent“ drin und wir erinnern uns an die Potenz, nehmen wir ein Beispiel: 2³ gleich 8. Dann haben wir das wie folgt bezeichnet: Die 2³ nennt man Potenz, das was da rauskommt den Potenzwert, also die 8. Die 2 selbst nennt man Basis und die 3, richtig, das ist unser Exponent. Das heißt wir sprechen von einer Exponentialgleichung, wenn wir eine Gleichung haben, in der die Unbekannte, also unser x, hier oben im Exponenten steht. Also hier nicht 2³, sondern 2^x. Und das hier ist eine sehr einfache Form einer Exponentialgleichung. Wenn wir haben 2^x gleich 8, dann fragen wir, was müssen wir 2 hoch nehmen, damit die 8 herauskommt. Und in unserem Beispiel war es einfach, das war die 3. Nur was passiert, wenn wir schwierigere Aufgaben haben, bei denen wir das eben nicht ablesen können. Und das hatten wir bereits in der Lektion „Logarithmus“ kennen gelernt, in der wir geklärt haben, was der Logarithmus ist und wie wir solche Sachen mit Hilfe des Logarithmus berechnen können. Die wichtigste Logarithmusregel war dabei folgende, dass wir einen Logarithmus mit Hilfe dieser Regel berechnen können. Und zwar berechnen wir hier Logarithmus zu einer anderen Basis, hier allgemein b dargestellt. Das heißt der Logarithmus c zur Basis a kann ausgedrückt werden über den Logarithmus c zur Basis b dividiert durch den Logarithmus von a zur Basis b. Das heißt unsere Basis hier, wir hier zum Numerus. Wer sich an diese Bezeichnung nicht erinnern kann, schaut sich unbedingt vor dieser Lektion hier, die Lektion „Logarithmus“ an, damit das klarer wird. Da hatten wir geklärt a ist Basis und c wird Numerus genannt und der Wert der hier rauskommt, der heißt dann Logarithmuswert oder kurz Logarithmus. Gut, und was heißt das jetzt anhand eines Beispiels? Diese Gleichung können wir als Logarithmus schreiben und zwar wie folgt: Logarithmus, zu welcher Basis? Richtig, das ist bei uns die 2. Und was kommt bei dieser Potenz hier raus? Richtig, die 8. Also die 8 hier hin. log_2(8) ist gleich unser x. Und ja, jetzt können wir diese Logarithmusregel anwenden. Und das log_2(8)so mit einem anderen Logarithmus berechnen. Also ordnen wir mal zu, nehmen wir unser Beispiel hier herunter und übertragen jetzt, 8 ist jetzt c, also wird dieses c zu 8. Und a die Basis ist jetzt 2, also wird dieses a ebenfalls zu 2. Und jetzt könnten wir uns den Logarithmus beliebig wählen, also die Basis und wenn wir uns mal den Taschenrechner zur Hand nehmen, sehen wir, bietet er uns einmal den Logarithmus zur Basis 10 und einmal den Logarithmus naturalis, also zur Basis e, der eulerschen Zahl. Wir können uns also einen der beiden aussuchen und dann diese Aufgabe berechnen. Nehmen wir jetzt für unser Beispiel den Logarithmus zur Basis 10. Das heißt wenn wir jetzt log_10(8) berechnen, dann drücken wir die Taste hier log einmal und dann die 8 ist gleich rund 0,903. Notieren wir das jetzt. Und an der Stelle brauchen wir übrigens kein Rundungszeichen setzen, wenn wir drei Nachkommastellen korrekt hinschreiben dürfen wir auch ein Ist-gleich-Zeichen setzen. Das nur als Nebenhinweis. Gut, und jetzt wollen wir noch wissen, was ist der log_10(2). Wir drücken wieder die log-Taste und dann die 2. Und der ist rund 0,301. Und wir sehen jetzt 0,903/0,301, richtig, das Ergebnis hieraus ist 3. Und schon haben wir unseren Exponenten berechnet. log_2(8) ist also 3. Und das heißt 2³, richtig, ist 8. Das ist also die Lösung unserer Exponentialgleichung: x gleich 3. Merkt euch also, sobald ihr einen Logarithmus berechnen sollt, wendet ihr diese Regel an, aber ganz einfach gesagt, ihr macht das folgende. Nehmen wir uns ein weiteres Beispiel: log_5(90). Also wir fragen „5 hoch was ist 90?“ und da nehmen wir den Taschenrechner und können jetzt eingeben: Logarithmus, also die log-Taste hier, jetzt die 90 dividiert durch Logarithmus, und jetzt die 5 ist gleich rund 2,796. Und das heißt 5^2,796 soll 90 sein. Machen wir also die Probe, tippen diese Potenz ein: 5, dann hier das hoch-Zeichen und jetzt der Exponent 2,796 ist gleich rund 90. Wir haben unseren Exponenten also richtig bestimmt. Gut und jetzt mit diesem Wissen können wir uns an die Exponentialgleichungen heranwagen. Ihr werdet übrigens auch sehen, dass wir hier genauso das Wissen zu den Potenzen brauchen, also auch die Potenzgesetze müsst ihr können. Insbesondere das Gesetz wenn wir zwei Potenzen miteinander multiplizieren, die die gleiche Basis, hier x, haben, wir die Exponenten miteinander addieren dürfen. Also 3²*3³ ist das gleiche wie 3^(2+3). Diese Regel werden wir bei den nächsten Aufgaben ebenfalls einsetzen. Gut, legen wir also los und lösen die Typen von Exponentialgleichungen, die euch in der Schule begegnen werden.
Der einfachste Fall von Exponentialgleichungen ist der, wo wir nur ein x im Exponenten haben. Also zum Beispiel 4^x gleich 120. Jetzt wollen wir das korrekt lösen und hierfür müssen wir als erstes dieses x aus dem Exponenten herausbekommen. Und das machen wir natürlich mit dem Logarithmus. Das heißt hier ein Strich an der Seite und wir schreiben log dorthin. Hierbei aufpassen, wenn wir nur log schreiben ist das mathematisch nicht ganz korrekt, weil wir dann hier noch die Basis heranschreiben müssten. Also log_10, denn die Taste log auf dem Taschenrechner ist ja der Logarithmus zur Basis 10. Und im Deutschen schreibt man eigentlich, wenn es sich um die Basis 10 handelt anstatt log nur lg. Also hier müssten wir eigentlich lg schreiben, denn das ist die Kurschreibweise für Logarithmus zur Basis 10. Also verwenden wir jetzt an der Stelle lg und merken uns, das ist die Taste log auf dem Taschenrechner. Wir verwenden jetzt also den Logarithmus auf beiden Seiten. Wir schreiben also lg(Linksterm) und dann lg(Rechtsterm). Und an der Stelle haben wir einen Logarithmus aus einer Potenz, also mit einem Exponenten hier und wir wenden die Logarithmusregel an, die wir auch in der Lektion Logarithmus kennen gelernt haben und zwar, dass wir diesen Exponenten, der sich im Numerus des Logarithmus befindet herausnehmen dürfen und als Multiplikation vor den gesamten Logarithmus schreiben dürfen. Also hier b^x. Das x geht raus, hier bleibt nur noch b übrig und wir schreiben es mit x mal vor den Logarithmus. Das heißt hier unser 4^x, wir dürfen diesen Teil umwandeln, nehmen das x heraus und schreiben es hier vor. Tun wir das. Und schon haben wir das x in der Multiplikation und können diese ganze Gleichung viel einfacher lösen. Denn jetzt können wir, weil hier eine Multiplikation ist diesen Logarithmusterm hier rüber dividieren und haben dann das x alleine stehen. Und jetzt können wir ganz bequem lg(120):lg(4) dividieren und erhalten unser Ergebnis. Also, nehmen wir uns wieder das Hilfsmittel, den Taschenrechner, und geben ein log(120), also hier wieder log 120 ist gleich und dividiert durch log 4 ist gleich und wir erhalten als Lösung rund 3,45345. Das heißt wenn wir fragen was 4 hoch ist 120, dann können wir einsetzen 4^(3,45345) ist 120. Testen wir das: 4^(3,45345) und wir haben rund 120. Unsere Lösung ist richtig. Gut, das war jetzt, wie gesagt, der einfachste Typ Exponentialgleichungen auf den ihr treffen könnt, schauen wir uns in den nächsten Teilen weitere Exponentialgleichungen an.

Bei der nächsten Exponentialgleichung haben wir im Exponenten einen Term stehen, der nicht nur aus einer Variablen besteht, denn hier haben wir ein x+2. Aber nichtsdestotrotz können wir wieder den Logarithmus auf beiden Seiten ziehen um den Exponenten nachher vor multiplizieren zu dürfen. Also tun wir das: Logarithmus zu Basis 10, wir schreiben lg, man sagt übrigens auch dekadischer Logarithmus, und jetzt schreiben wir das da hin. Also lg(7^(x+2)) ist gleich lg(451). Ja und jetzt, richtig, wenden wir wieder die Regel an x+2 ziehen wir hier aus dem Exponenten raus und schreiben ihn hier vor. Aber aufpassen: Unbedingt die Klammern um den Exponenten setzen, sonst würde hier stehen x+2*lg(7), aber wir haben hier ja den gesamten Term mal den Logarithmus. Also hier ist eine mögliche Fehlerquelle. Aufpassen bitte! Und jetzt, richtig, dividieren wir lg(7) hier rüber. Erhalten dann x+2 ist gleich lg(451):lg(7). Die beiden können wir jetzt ausrechnen mit dem Taschenrechner. Geben also ein lg(451):lg(7) ist gleich rund 3,1407. Und richtig, jetzt können wir hier auch die Klammern wegnehmen bei x+2 und jetzt müssen wir nur noch die 2 entfernen mit einer -2. Und haben dann x gleich 1,1407 als Lösung. Also wenn wir hier oben für x die 1,1407 einsetzen erhalten wir im Exponenten +2, also 3,1407. Schreiben wir das noch mal kurz hier unten hin, sozusagen als Probe und schauen ob das auch korrekt ist mit dem Taschenrechner. 7^3,1407 ist gleich rund 451. Und wir haben jetzt sicher gestellt, dass unser Ergebnis korrekt ist. Wunderbar, gehen wir über zum nächsten Typ von Exponentialgleichung. Wie können wir diese Gleichung lösen? Also wie kommen wir auf den Wert von x, wenn er einmal mit -2 im Exponenten steht und einmal alleine und dann noch beide Terme durch eine Addition verbunden sind. Und hier müssen wir ein paar mehr Rechenregeln benutzen um die Lösung für x zu finden, denn wir können ja jetzt nicht die beiden Potenzen miteinander verrechnen, da hier nur ein Plus ist. Wenn hier ein Mal gewesen wäre, also wenn das so ausgesehen hätte, wenn wir die beiden multipliziert hätten, dann hätten wir die beiden Exponenten ja addieren dürfen zu diesem Term. Und dann hätten wir hier 2x-2 gehabt. Hätten jetzt den Logarithmus auf beiden Seiten gezogen. 2x-2 davor gesetzt. lg(3) hier rüber dividiert und hätten das ausrechnen können. Das ist aber nicht möglich, da hier ein Plus steht. Das heißt wir müssen jetzt schauen wo wir einen Term umformen können. Und schauen wir, wir haben ja hier ein x-2 stehen und können ja diese Potenz umformen, damit nachher hier 3^x da steht und ein weiterer Term. Also wir hatten ja vorher nochmals diese Regel wiederholt: Haben wir zwei Potenzen mit der gleichen Basis aber unterschiedlichen Exponenten, a und b, und wir multiplizieren beide, so dürfen wir beide Exponenten addieren. Also unser 3^(x-2) soll hier y^(a+b) sein. Tauschen wir mal die Seiten hier. Dann können wir jetzt zuordnen. y ist 3. Hier und hier ebenfalls. Unser a ist da x und unser b ist die -2. Und schon sehen wir, dass wir 3^(x-2), also das hier, schreiben können als 3^x*3^(-2). Formen wir das hier um. Unser 3^(x-2) wird zu 3^x*3^(-2). Dann können wir auch die gesetzten Klammern wegnehmen und sehen jetzt, dass wir hier ein 3^x haben und hier ein 3^x. Aber beide immer noch durch eine Addition verbunden sind, wir sie also nicht verrechnen können. Und wir würden an der Stelle nicht weiterkommen. Daher müssen wir einen anderen Schritt als nächstes wählen und zwar sehen wir, wenn hier ein 3^x ist und hier ein 3^x und die beiden in einer Addition verbunden sind, dürfen wir beide Ausklammern aus dieser Addition, aus dieser Summe. Und das machen wir als nächstes. Schreiben wir den Term noch einmal hier hin und wir nehmen jetzt die 3^x hier raus. Wir schreiben sie davor mit Multiplikation. Und dann ändert sich natürlich alles in der Klammer, denn wir müssen jeden Wert durch 3^x dividieren. 3^x/3^x ist 1. Und hier (3^x*3^(-2))/3^x, dann wird diese 3^x zu 1 und wir haben fertig ausgeklammert. Und dann könntet ihr nochmal überprüfen: 3^x*1 ist 3^x + 3^x*3^(-2) ist 3^x*3^(-2). Richtig. Und dann fehlt da hinten noch das ist gleich 270. Gut, was haben wir dadurch jetzt geschafft durch dieses Ausklammern? Wir haben hier in dieser Klammer kein x mehr und das einzige x was noch existiert ist das bei der 3^x und diese Gleichung lässt sich jetzt lösen. Als erstes können wir den Teil in der Klammer zusammenaddieren. Das sind alles Zahlen ohne x. Wir können die 1 hier wegnehmen und jetzt 3^(-2) berechnen. Das ist ja 1/3², also 1/9. Und jetzt können wir berechnen: 1+1/9. 1 können wir erweitern zu 9/9 und es ergibt sich damit 10/9 innerhalb dieser Klammer. Und jetzt können wir diese 10/9 herüber dividieren zu 270 und es ergibt sich 3^x gleich 270:10/9 und das sind 243. Und jetzt können wir diese Gleichung lösen, so wie wir es auch mit den vorigen gemacht haben. Wir schreiben einen Logarithmus an die Seite. Nehmen wir an dieser Stelle mal statt lg ln, denn wir wissen ja, die Basis wird keine Rolle spielen, da kommt das gleiche raus und wir schreiben jetzt hier ln(3^x) ist gleich, richtig, ln(243). Jetzt die Regel anwenden, dass das x hier im Exponenten hervor multipliziert werden darf. Jetzt dividieren wir ln(3) hier rüber und können im Taschenrechner diesen Term berechnen. Also ln(243) dividiert durch ln(3) ist gleich 5. Die Lösung dieser Gleichung. Und kurz an dieser Stelle. Wir hätten genauso gut lg schreiben können, also unseren dekadischen Logarithmus und das hätten wir auch mit der log-Taste berechnen können. Hier nur als zusätzliches Beispiel log(243)/log(3) und wir hätten hier ebenfalls 5 herausbekommen. Also ob ihr ln oder lg wählt in diesem Schritt hier, ist euch überlassen. Gut, und jetzt natürlich noch die Probe, die x gleich 5 müssen wir hier in der Ausgangsgleichung einsetzen. Wir erhalten damit diese Gleichung. Dann können wir rechnen 3^5 sind 243. Plus. Und hier oben im Exponent ergibt sich 3, also 3³ und das sind 27. Und was sind 243+27? Richtig, 270. Die Probe stimmt, wir haben unseren Wert für x gleich 5 richtig berechnet. Schauen wir uns als nächstes einen weiteren Typ von Exponentialgleichung an, der noch etwas schwieriger ist.
In der nächsten Exponentialgleichung besteht die Schwierigkeit insbesondere darin, dass wir hier zwar Exponenten haben mit jeweils nur einem x, aber die Basis unterschiedlich ist. Hier ist die Basis 3, hier ist sie auch noch 3. Aber hier ist die Basis 2. Schauen wir also, wie wir diese Gleichung angehen können. Als erstes sehen wir, dass diese Potenz und diese Potenz ja mit einer Division miteinander verbunden sind. Das heißt wir können das Potenzgesetz anwenden, dass wenn Potenz mit gleicher Basis dividiert werden wir die Exponenten subtrahieren dürfen. Also es entsteht 3^(4x-x). Und jetzt dürfen wir natürlich 4x-x rechnen. Das sind 3x. Und jetzt erkennen wir, dass die Exponenten gleich sind. Hier 3x und hier 3x, nur die Basis ist unterschiedlich. Wenn wir als nächstes 3^(3x) hier rüber dividieren, das dürfen wir, weil hier eine Multiplikation mit einer Zahl steht, dann erkennen wir gleich folgendes. Also dividieren wir durch 3^(3x) und wir erhalten damit 2^(3x):3^(3x) gleich 54. Und jetzt lasst uns doch mal die Division als Bruch schreiben und dann, wenn wir die Potenzgesetze beherrschen sehen wir, dass wir den gleichen Exponenten von Zähler und Nenner auch herausschreiben dürfen. Also wir können 2/3 in Klammern schreiben hoch 3x. Tun wir das. Dass das geht haben wir übrigens auch in der Lektion „Potenzen“ kennen gelernt. Gut, und jetzt ist das natürlich wunderbar, denn wir haben nur noch einen einzelnen Exponenten mit einer Unbekannten. Und das lässt sich wieder über den Logarithmus berechnen. Wir schreiben an der Seite ln. Schreiben in der nächsten Zeile ln von diesem Linksterm ist gleich ln von diesem Rechtsterm und jetzt dürfen wir die 3x hier im Exponenten hier vor multiplizieren. Und schon können wir die Gleichung lösen. Wir dividieren ln(2/3) auf die rechte Seite herüber. Können dann diesen Wert berechnen mit dem Taschenrechner. ln(54)/ln(2/3) ist gleich rund -9,838. Und jetzt aufpassen, das ist ja unser 3x. Wir müssen also noch durch 3 dividieren. Also hier durch 3 den Teil. Und hier durch 3, dann dürfen wir auch die 3 wegnehmen. Und -9,838/3 ergibt rund -3,2793. Und das ist unser Ergebnis für unsere Gleichung hier oben. Und nochmal zur Erinnerung. Wir konnten diese Gleichung nur lösen, weil es uns möglich war, die Exponenten von verschiedenen Basen, also hier Basis 3 hier Basis 2, zusammen zu bringen und damit auch die beiden unterschiedlichen Basen zusammenzuführen zu einer neuen Basis. Und wir dann, als wir eine gleiche Basis hatten könnten wir diese Gleichung auflösen. Und natürlich könnt ihr an dieser Stelle noch selbst die Probe machen. Setzt diesen Wert hier in die Gleichung ein und auf der linken Seite und der rechten Seite sollte das gleiche herauskommen. Wunderbar, schauen wir uns noch ein paar abschließende Beispiele von Exponentialgleichungen an mit dem wir dann auch das Thema abschließen.

Beim nächsten Typ von Exponentialgleichung haben wir wieder zwei verschiedene Basen. Hier die Basis 16 und hier die Basis 4. Und beide haben den Exponenten x. Diese Gleichung lässt sich zum Beispiel lösen, wenn wir erkennen, dass sich die 16 aus 4*4 ergibt. Also wir können hier 16 zu 4² umformen. Als nächstes dürfen wir die beiden Exponenten, die 2 und das x, miteinander multiplizieren. Erinnert euch an die Potenzgesetze. Potenzieren wir eine Potenz, so dürfen wir den einen Exponenten mit dem anderen Exponenten multiplizieren. Also tun wir das als nächstes wir erhalten dann 4^(2*x). Und wir erkennen, dass wir so die gleiche Basis geschaffen haben. Die Basis 4. Jetzt können wir die 4^x auf die andere Seite rüber holen mit einer durch 4^x. Und so erhalten wir diesen Term. Und bei 4^(2x)/4^x können wir jetzt die Exponenten subtrahieren. Es ergibt sich 4^(2x-x) und hier bleibt x übrig. Und an dieser Stelle könnten wir wieder den Logarithmus ziehen auf beiden Seiten, das x herausnehmen aus dem Exponenten, als Faktor davor schreiben und das berechnen. Aber wir können uns das an der Stelle auch einfacher machen, denn wir wissen, die Wurzel(4) ist ja 2. Wir können die Wurzel auch schreiben als hoch ½. Das heißt 4^(1/2) ist 2. Wir haben damit schon die Lösung ½ bestimmt. Nochmal dargestellt den Gedankengang von hier: Wir wissen, dass Wurzel(4) 2 ist und wir wissen, dass Wurzel(4) auch geschrieben werden kann als 4^(1/2). So sehen wir also hier an dieser Stelle, dass 4^(1/2) 2 ist. Sehr schön! So haben wir diese Aufgabe ebenfalls gelöst. Noch eine kleine Ergänzung an dieser Stelle. Wir hätten hier auch kürzer rechnen können, da die Exponenten gleich sind. Und zwar in dem wir die 4^x herüber dividieren, dann wäre links ein Bruch entstanden und dann könnten wir, wie wir es schon gelernt haben den Exponenten x heraus schreiben und 16/4 berechnen. Das wäre 4. Also würden wir hier erhalten 4^x = 2. Und jetzt hätten wir unser x mit x gleich ½ bestimmen können. Wie gesagt, das ist ein kürzerer Weg der möglich war, da die Exponenten gleich waren. Mit dem ersten Lösungsweg wollten wir euch jedoch ein weiteres Lösungsverfahren vorstellen, indem ihr hier die gleiche Basis bildet. Gut, und wie wir auch in vorigen Lektionen zu quadratischen, kubischen Gleichungen etc. gesehen hatten, können wir so eine Gleichung auch als zwei Funktionsgraphen interpretieren und so prüfen ob unsere Lösung stimmt. Tun wir das also für diese beiden Term hier. Sagen wir 16^x ist eine Funktion und 4^x*2 sei die andere Funktion. Und diese Funktionsgraphen zeichnen wir jetzt einmal ein. Dieser rote Graph ist 16^x und nehmen wir jetzt noch den blauen Graph dazu, unser 4^x*2, und wir sehen hier an der Stelle x gleich 0,5 schneiden sich die beiden Graphen, das ist also auch unsere Lösung für x. Gut, schauen wir uns abschließend noch ein Verfahren an, wie wir Exponentialgleichungen lösen können.
Bei dieser Exponentialgleichung haben wir das Problem, dass wir hier eine Addition und hier eine Subtraktion haben. Wir können jetzt also nicht besonders gut umformen um dann die Potenzen zusammenzubringen. Hier bietet es sich an, das Verfahren der Substitution zu verwenden, das wir auch schon bei den biquadratischen Gleichungen kennen gelernt hatten. Und zwar haben wir hier eine 5^(2x) und hier eine 5^x und wir wissen wir können 5^(2x) auch schreiben als 5^(2*x) und da hier ein Multiplikation ist, dürfen wir auch die beiden Faktoren verdrehen. Und dann wissen wir, wenn im Exponenten eine Multiplikation steht, dürfen wir auch einen der Faktoren herausschreiben als Exponent. Also wir hatten ja die Regel (a^x)^y, dann ist das das gleiche wie a^(x*y). Und hier haben wir ja 5^(x*2), das heißt wir dürfen die 2 oder das x herausschreiben. Und wir machen das mit der 2. Die 2 schreiben wir als Exponent der Potenz 5^x. Wir haben sozusagen diese Regel rückwärts angewendet. So hier nochmal untereinander geschrieben und ihr seht die Regel wurde korrekt von uns angewendet. Gut, und jetzt ersetzen wir unser 5^(2x) mit (5^x)². Und damit haben wir hier ein 5^x und hier ein 5^x und richtig, jetzt können wir die Substitution anwenden. Wir ersetzen unser 5^x mit einer Variablen die wir einfach z nennen. Das heißt überall wo ein 5^x steht wird jetzt z hingeschrieben. Hier und hier. Und wie wir jetzt erkennen können, haben wir eine quadratische Gleichung hier stehen, die wir mit Hilfe der pq-Formel lösen können. Also pq-Formel rausgeholt und entsprechend zugeordnet. p ist der Koeffizient vor dieser Variablen und das ist bei uns die 1. Und q ist der Wert hier hinten. Das ist bei uns -30. Hier müssen wir noch richtig schreiben +(-30) um das richtig zuzuordnen. Also setzen wir ein: p wird 1 und q wird -30. So ergibt sich die Wurzel(30,25) ist 5,5 und wir erhalten z_(1,2) ist -0,5 Plusminus 5,5. So ergibt sich also für z_1 gleich 5 und für z_2 gleich -6. Und das müssen wir natürlich noch zurücksubstituieren, denn z ist ja 5^x und wir sehen hier ist unser z_1, also setzen wir hier für z unsere 5 ein und erhalten diese Gleichung. Und was muss x sein, damit diese Gleichung funktioniert, richtig, x muss 1 sein. Das ist unser erstes Ergebnis x gleich 1. Und schauen wir hier auf der rechten Seite. Hier wird unser z zur -6. Wir nehmen also z gleich 5^x nochmal hier runter und setzen jetzt für z unsere -6 ein und wir fragen uns 5^(welcher Wert) ist -6. Und dann werden wir feststellen, dass wir für x keinen Wert finden werden bei dem 5^x dann -6 ergeben wird. Also eine positive Basis hoch x wird immer positiv bleiben und nie einen negativen Wert annehmen. Das heißt unser x ist hier nicht definiert. Dass 5^x immer positiv ist, seht ihr natürlich sehr gut, wenn ihr 5^x als Funktion interpretiert und das als Funktionsgraph zeichnet, denn dann erhaltet ihr einen solchen Graphen. Ihr seht er geht gegen 0, aber er wird nie ins Negative gehen. Und hier rechts geht er ins positiv Unendliche. Also 5^x wird immer positiv bleiben. So haben wir also unsere Aufgabe 5^(2x)+5^x-30 gleich 0 gelöst mit der Antwort „x muss 1 sein!“ damit diese Gleichung funktioniert. Und das kann man auch leicht prüfen. Im Kopf: 5^(2*1) sind 5². Das sind 25. 5^1 sind 5. 25+5 sind 30. 30-30 sind 0. Unsere Aufgabe ist also korrekt gelöst.
Betrachten wir uns die letzte Aufgabe, die erst einmal harmlos aussieht. An der Stelle haben wir zwei unterschiedliche Basen und zwei unterschiedliche Exponenten. Da jedoch hier eine Potenz und hier eine Potenz steht, können wir sofort den Logarithmus ziehen und erhalten diese Gleichung. Im nächsten Schritt können wir wieder die Logarithmusregel anwenden mit der wir den Exponenten hier nach vorne multiplizieren können. Hier auf der linken Seite ebenfalls. An dieser Stelle machen wir etwas anderes als bei den anderen Gleichungen. Hier multiplizieren wir aus. Und zwar haben wir hier (x-2) und das multiplizieren wir mit lg(5). Und wir erhalten x*lg(5) und -2*lg(5). Jetzt ziehen wir x*lg(5) auf die linke Seite rüber mit einer Subtraktion. So erhalten wir x*lg(2)-x*lg(5) ist gleich -2*lg(5). Das hier wird ein Zahlenwert, aber hier und hier haben wir noch eine Variable. Und richtig, diese Variable können wir ausklammern. Wir schreiben sie hier hin. Und in die Klammer kommt jetzt lg(2)-lg(5). Und richtig, das ist -2*lg(5). Jetzt haben wir hier unsere Variable in Multiplikation. Und jetzt können wir diesen Term hier in der Klammer, da hier eine Multiplikation ist, herüber dividieren, so dass wir x links alleine stehen haben. Also hier dividiert durch unseren Term in Klammern. Ja und jetzt brauchen wir das nur noch in den Taschenrechner einzugeben und haben schon das Ergebnis für x. Fangen wir hinten mit dem Wert in Klammern an: lg(2)-lg(5) ergibt rund -0,398. Und hier vorne -2*lg(5) ist gleich -1,398 gerundet. Und dieser Wert geteilt durch -0,398 ergibt rund 3,5126. Wunderbar, und schon haben wir die Lösung für diese Gleichung ermittelt.
Wir haben euch jetzt also verschiedene Möglichkeiten gezeigt, wie man Exponentialgleichungen lösen kann. Mit Hilfe von Ausklammern, mit Hilfe vom Substituieren, mit Hilfe der Potenzgesetze und natürlich insbesondere mit Hilfe der Logarithmen und den Logarithmusregeln. Beachtet aber bitte auch, dass ihr nicht jede Exponentialgleichung lösen könnt. So etwas wie 3^x+4^x = 5^x, können wir zum Beispiel nicht mit den vorgestellten Verfahren lösen. Wir könnten jetzt beispielsweise mal den Logarithmus ziehen. Was passiert dann? Dann erhalten wir folgende Gleichung: ln(3^x+4^x) und ln(5^x). Das hier ist eine Summe. Wir dürfen jetzt nicht das x nach vorne ziehen, das heißt hier haben wir eine Addition und an der Stelle kommen wir nicht weiter. Solche Typen von Gleichungen, die sich nicht mit Hilfe der vorgestellten Verfahren umformen und lösen lassen, lassen sich meist nur numerisch lösen. Also bei Verfahren, bei denen man sich an die Lösung annähert, in dem man ein x einsetzt, einen Wert errechnet. Diesen neuen Wert dann wiederverwendet und sich an den Lösungswert annähert. Also wie zum Beispiel das sogenannte Newton-Verfahren, das wir uns jedoch in einer späteren Lektion anschauen werden. Meist behandelt ihr jedoch zum Thema Exponentialgleichungen die Verfahren, die wir euch heute vorgestellt haben. Viel Erfolg also bei den kommenden Arbeiten wünscht euch Echt Einfach TV.