Mathe G02: Kommutativgesetz + Assoziativgesetz

Hallo liebe Zuschauer und willkommen zur Lektion „Rechengesetze“. Es gibt drei wesentliche Rechengesetze, die man beherrschen muss. Da haben wir zum einen das Kommutativgesetz, dann das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz. Beginnen wir mit dem Kommutativgesetz. Das Wort kommutativ kommt von „commutare“, das ist lateinisch und steht für „vertauschen“. So, was meint das? Was können wir denn hier vertauschen? Schauen wir mal. Schreiben wir mal als Beispiel 4+7. Und bei 4+7 kommt 11 heraus. Und wenn wir jetzt bei dieser Addition mal die 4 und die 7 vertauschen, also die 7 nach vorne springt und die 4 nach hinten, dann haben wir jetzt 7+4. Und 7+4 sind, richtig, 11. Das heißt, trotz dem wir die beiden hier vertauscht haben, haben wir in beiden das gleiche Ergebnis heraus. Und das funktioniert auch, wenn wir hier hinten eine andere Zahl hinzuaddieren. Zum Beispiel die 5. Dann wäre das 7+4 sind 11, dann die 5 noch dazu sind 16. Und hier unten: 7+4. Jetzt können wir die 5 zum Beispiel hier hin schreiben. Wir könnten jetzt aber auch die 5 hier hin schreiben. Und dann schauen wir mal: 5+7 sind 12. Plus 4 sind 16. Und hier: 5+7 sind 12. Plus 4 sind 16. Das heißt bei der Addition können wir beliebig die Summanden vertauschen. Sie können an beliebigen Positionen sein. Graphisch kann man sich das so denken, dass wir hier zum Beispiel mal die +4 als Strecke abzeichnen, also diese +4. Daneben mal die +7 setzen und dann hier oben noch die +5 hier unten hinschreiben. Wenn wir das jetzt mal vertauschen und zwar zu 5+7+4 sieht das so aus. Wie wir sehen erreichen wir genau hier die gleiche Stelle. Also die 16. Jetzt hier unten noch 7+5+4 würde dann so aussehen und wir hätten auch wieder die 16. Gut, wie sieht denn das aus mit der Subtraktion, wenn wir zum Beispiel nehmen 4-2 würde da stehen 2. Wenn ich jetzt umdrehen würde 2-4 hätten wir eine Zahl die nicht mehr in den Natürlichen Zahlen ist. Schon vorab gesagt, das ist -2, als das ist ein anderes Ergebnis. Das heißt an der Stelle, bei der Subtraktion dürfen wir Kommutativgesetz nicht anwenden, wir dürfen nicht vertauschen. Bei der Multiplikation, nehmen wir als Beispiel 3*6 sind 18, denn 3*6 sind ja 6+6+6, dann hätten wir 12, 18 hier. Funktioniert! Und wenn wir das mal verdrehen, dann haben wir 6*3 stehen und das wären auch 18, denn das sind ja 3+3+3+3+3+3, das heißt wir vertauschen die Faktoren und es kommt immer noch das gleiche raus. Wenn wir jetzt mal noch eine 2 hinzunehmen, würde hier stehen *2. Und 18*2, das sind 36. Und wenn wir jetzt hier eine 2 hinzunehmen, richtig, haben wir auch hier 36. Das heißt das Kommutativgesetz gilt auch für die Multiplikation. Wie sieht es aus mit der Division? Nehmen wir mal 18/6. Das sind 3. Und jetzt 6/18 und das sind … irgendwas anderes. So etwas schauen wir uns später bei der Bruchrechnung an. Gut, merken wir uns also, das Kommutativgesetz gilt für Addition und Multiplikation. Hier dürft ihr beliebig vertauschen. Gut, schauen wir uns als nächstes das Assoziativgesetz an. Das Wort „assoziativ“ kommt vom lateinischen „associare“ und das heißt so viel wie „verknüpfen“. Und ja, was verknüpft man denn hier? Man sagt man hat zum Beispiel 3+4+1 und dann kann man das wie folgt rechnen bzw. verknüpfen: Man kann als erstes die 3+4 rechnen. Das schreiben wir mal in Klammern, damit man das besser sieht. Dann hätten wir 3+4 sind 7 und dann noch die 1 hinten dran. Man kann aber auch die 4+1 als erstes rechnen. Dann hätten wir die 3 von da links und 4+1 sind 5. Und hier oben 7+1 sind 8. Und hier unten 3+5 sind 8. Das heißt bei dem Assoziativgesetz darf man frei wählen, was man zuerst berechnet. Entweder die hier vorne als erstes, oder die hier hinten als erstes. Und wenn ihr Klammern setzt, könnt ihr immer gut anzeigen, was ihr denn als erstes gerechnet habt. Aber selbstverständlich merkt ihr euch bitte, wenn ihr eine Klammer habt bei einer beliebigen Aufgabe, wie zum Beispiel 9-(2+2), dann rechnet ihr bitte immer zuerst die Klammer und dann den Rest. Doch für diese Lektion benutze ich die Klammer um euch das Assoziativgesetz besser zu verdeutlichen.
Schauen wir als nächstes, ob wir bei der Multiplikation auch beliebig verknüpfen dürfen. Nehmen wir uns wieder ein Beispiel: 5*3*4. Dann könnten wir jetzt 5*3 als erstes rechnen oder 3*4 als erstes rechnen. Testen wir mal. 5*3, hier vorne, das ist natürlich 15. Und 15*4 das sind 60. Und jetzt testen wir das hier unten. Wenn wir jetzt hinten als erstes 3*4 rechnen, dann haben wir die 12. Und 5*12 sind, richtig, auch 60. Das heißt bei der Multiplikation können wir auch beliebig verknüpfen. Entweder wir rechnen die als erstes oder wir rechnen diese hier als erstes. Funktioniert einwandfrei. Jetzt hatten wir die Subtraktion noch nicht angeguckt. Nehmen wir noch ein Beispiel dafür: 20-10-5. Schauen wir mal ob das assoziativ ist, also ob man das verknüpfen kann wie man möchte. Erste Zeile rechnen wir 20-10 als erstes. Und in der zweiten Zeile 10-5 als erstes. Dann haben wir hier drüben 20-10 sind 10. Und 10-5 sind 5. Hier haben wir hingegen 10-5 sind 5. Und 20-5 sind, richtig, 15. Das heißt Assoziativgesetz funktioniert nicht bei der Subtraktion. Wie schaut es aus mit der Division. Nehmen wir als Beispiel 100/10/2. Ist das assoziativ? Verknüpfen wir wieder hier die ersten beiden Zahlen und hier die hinteren beiden Zahlen und testen. 100/10 sind 10, denn 10*10 sind 100. Und 10/2 sind 5. Und hier 10/2 sind 5 und 100/5, was kommt da wohl raus? Richtig, 20, denn 20*5 sind 100. Und wie ihr seht ist hier eine 5 als Ergebnis, hier eine 20 als Ergebnis, das heißt die Division ist nicht assoziativ. Fassen wir zusammen, das Assoziativgesetz genau wie das Kommutativgesetz gilt für Addition und für die Multiplikation. Und wenn wir das jetzt ganz allgemein ausdrücken wollen, können wir folgt festhalten. Für die Addition beim Kommutativgesetz, da wäre also eine Zahl 3+4 das gleiche wie, andersherum, 4+3. Und allgemein sagt man dann. Man ersetzt die Zahl hier mit einem Buchstaben, also Variable genannt, da wäre dann das a. Das hier auch a. Und die 4 sei jetzt b, dann hier auch b. Also a+b ist das gleiche wie b+a. Und für die Multiplikation hatten wir gesagt, so etwas wie 4*5 ist ja das gleiche wie 5*4. Und dann auch wieder ersetzt a*b ist das gleiche wie b*a. Und hier können wir natürlich beliebig erweitern; wir könnten hier jetzt ein c dransetzen und dann hier irgendwo das c mit dransetzen. Wir könnten sogar noch ein d, e und so weiter. Wir könnten mehrere Zahlen hier ergänzen. Das gleiche übrigens auch hier. Könnten hier ein c ransetzen, oder auch hier vorne ein c ransetzen. Assoziativgesetz für die Addition, kann man sich also ein Beispiel ausdenken 3+4+5, ganz einfach und dann schreiben wir hier drüben auch nochmal 3+4+5. Und man sagt, man kann als erstes die 3+4 rechnen, aber man könnte jetzt auch als erstes die 4+5 rechnen. Da kommt schließlich das gleiche raus. Und wieder allgemein, dann setzen wir a, b und c ein. Und für die Multiplikation genau der gleiche Spaß: 3*4*5 auf beiden Seiten geschrieben, können wir als erstes hier vorne verknüpfen oder wir können auch als erstes die hier hinten rechnen und wiederum verallgemeinern. Zum Ende hin noch ein abschließender Hinweis. Habt ihr zum Beispiel eine Rechnung wie 3*2+4, dann dürft ihr hier nicht die 2 mit der 4 miteinander vertauschen, denn Punktrechnung, also die Multiplikation, geht vor Strichrechnung. In dem Fall die Addition. Und was sollte hier rauskommen? Überlegen wir: 3*2 ist das gleiche wie 2+2+2, dann noch die 4 und wir erhalten insgesamt 10. Gut, testen wir die andere Variante und sagen, gut wir drehen das mal ausnahmsweise. Die 2 und 4 tauschen ihren Platz; 3*4 sind 12. Plus 2 sind 14. Wie ihr seht, muss man aufpassen, wenn sich Mal und Plus in einer Aufgabe vermischen. Gleiches gilt für das Assoziativgesetz: Habt ihr eine Aufgabe wie 3+7*2, dann dürft ihr jetzt nicht beliebig verknüpfen, sondern müsst erst den hinteren Teil, die 7*2 rechnen, denn ansonsten erhaltet ihr ein falsches Ergebnis. Also hier müsst ihr als erstes die 7*2 rechnen, das ist 14. Und 3+14 sind dann 17. Hättet ihr es anders verknüpft am Anfang und erst 3+7 gerechnet, was falsch gewesen wäre, hättet ihr hier 10 raus und 10*2 sind 20 und nicht 17. Also bitte auch hier aufpassen.