Mathe G10: Primzahlen, Primfaktorzerlegung

Hallo liebe Zuschauer und herzlich Willkommen zur Lektion „Primzahlen und Primfaktorzerlegung“. Gleich vorab gesagt, bei diesem Thema bewegen wir uns im Zahlenbereich der natürlichen Zahlen. Das heißt alle Zahlen beginnen bei 1 und dann jeweils plus 1 weiterlaufend. Also alle ganzen Zahlen, die positiv sind. Die 0 betrachten wir jedoch nicht. Wenn es um das Thema Primzahlen geht, geht es um den Begriff Teilbarkeit. Und zwar merken wir uns als erstes, dass jede Zahl durch 1 dividierbar ist und jede Zahl durch sich selbst dividierbar ist. Also als Beispiel nehmen wir mal die 2. 2 ist durch 1 teilbar und da kommt 2 raus. Und 2 ist auch durch sich selbst teilbar, da kommt 1 raus. Können wir eine höhere Zahl mal nehmen. Nehmen wir die 9. 9 durch 1 ist 9. Und 9 durch 9, durch sich selbst, ist wiederum 1. Diese Definition gilt übrigens für alle Zahlen, bis auf die 0. Denn 0 durch sich selbst. 0 durch 0, das ist nicht definiert. Warum das so ist, schauen wir uns in einer anderen Lektion an. Ok, was sind nun Primzahlen? Eine Zahl ist nur durch 1 teilbar und durch sich selbst. Das ist der große Unterschied zu den anderen Zahlen. Also die 2, das hatten wir schon, ist nur durch 1 teilbar und durch sich selbst. Gucken wir uns mal die 5 an. Die 5 ist durch 1 und durch sich selbst teilbar. Und schauen wir alle Zahlen von 1 bis 5 an. Die 1 und die 5 können wir natürlich wegnehmen. Jetzt ist die Frage, ist 5 durch 2 teilbar, ist 5 durch 3 teilbar und ist 5 durch 4 teilbar. 5 durch 2 ergibt eine gebrochene Zahl. 5 durch 3 ergibt eine gebrochene Zahl und 5 durch 4 ergibt eine gebrochene Zahl. Das heißt 5 ist eine Primzahl, denn sie ist nur durch 1 und 5 teilbar. Wie schaut es aus mit der 10? 10 durch 1 ist 10, klar. 10 durch 10 ist 1. Als nächstes müssten wir die Division testen mit allen zwischen 1 und 10. Doch, da dieser Vorgang mit dem Prüfen sehr lange dauert, bzw. umständlich ist, kann man auch eine andere Herangehensweise wählen. Man guckt ganz einfach, wie sich die 10 zerlegen lässt und zwar in sogenannte Primfaktoren. Also, aus welchen Primzahlen besteht denn die 10? Und das kann man erkennen, die 10 ergibt sich aus 2 mal 5. 2 ist eine Primzahl, 5 ist eine Primzahl. Und da sich die 10 aus einer Multiplikation ergibt, wissen wir, dass 10 durch 2 5 ist. Und 10 durch 5 2. Das heißt also, die 10 hat nicht nur den Teiler 1 und den Teiler 10, also sich selbst, sondern auch noch den Teiler 5 und den Teiler 2. 10 ist also keine Primzahl. So könnt ihr euch also auch höhere Zahlen nehmen und diese testen. Um Primzahlen zu finden, gibt es übrigens auch noch eine andere Methode und zwar kann man sich die Zahl beginnend von 2 aufschreiben und wir können folgendes testen. Die 2 hatten wir gesagt, ist eine Primzahl. Und nebenbei, die 2 ist die einzige gerade Primzahl. Alle anderen Primzahlen sind ungerade. Warum? Ganz einfach. Wenn wir 2 mal verdoppeln, also 2 mal 2 rechnen, kommen wir natürlich auf 4. Das heißt 4 ist schon keine Primzahl mehr, denn sie ist ja durch 2 teilbar. Das heißt 4 können wir schon mal streichen. Und richtig, wenn wir jetzt mal die 2 mal 3 rechnen, kommen wir auf 6, das heißt 6 ist auch keine Primzahl. Und so weiter, wenn wir jetzt die 2 mit der 4 rechnen, haben wir die 8. 2 mal 5 sind 10. 2 mal 6 sind 12 und 2 mal 7 sind 14. Gut, die 3 lässt sich offensichtlich nicht durch 2 teilen, das heißt sie ist eine Primzahl. Die 5 haben wir schon gesehen, lässt sich nicht durch 2, nicht durch 3, nicht durch 4 teilen, das heißt 5 ist auch eine Primzahl. 6 ist abgearbeitet. Die 7 ist weder durch 5, 3, noch 2 teilbar, sie ist also eine Primzahl. Für die 9 können wir jetzt mal zurückgucken zu der 3 und stellen mal die Vielfachen der 3 her. 3 zu 6, 6 zu 9. Das heißt 3 ist Teiler der 9. 9 ist also keine Primzahl. 9 zu 12. 9 zu 15. 15 ist auch keine Primzahl, denn 3 mal 5 wären 15. Jetzt können wir die 5 nehmen, die Vielfachen bilden 5, 10, 15. Keine Primzahlen. Dann können wir uns die 7 nehmen. 7, 14, keine Primzahl. Jetzt haben wir noch die 11, die ist Primzahl und wir haben die 13 und die ist auch Primzahl. So haben wir also, durch das Ablaufen der Vielfachen, die Vielfachen herausgefiltert, denn Vielfache haben immer einen Teiler.
Jetzt noch die Frage, ist die 1 eine Primzahl? Und die Antwort ist ganz klar „Nein!“. Warum das so ist? Ganz einfach, die Definition war ja: Eine ist nur durch 1 teilbar und durch sich selbst. Und dabei sagt man die durch 1 ist der eine Teiler und durch sich selbst ist der andere Teiler, das heißt es geht hier um zwei verschiedene Teiler. Und bei der 1 wäre sie durch 1 teilbar und dann die 1 durch sich selbst, wäre auch wieder 1. Das heißt wir haben hier nur den gleichen Teiler und nicht zwei verschiedene! Daher ist die 1 keine Primzahl und per Definition ausgeschlossen.
Schauen wir uns als nächstes die Primfaktorzerlegung ein bisschen genauer an. Wir hatten ja bereits gesagt, dass wir jede Zahl, wie zum Beispiel 6, zerlegen können in Primfaktoren. Dabei sind Primfaktoren nichts weiter als Primzahlen, die in einer Multiplikation geschrieben werden, also als Faktoren. Habt ihr übrigens eine Primzahl, so lässt sich diese nicht mehr zerlegen. Zum Beispiel die 7 bleibt die 7. Dieses Zerlegen kann übrigens auch schrittweise erfolgen. Also wenn ihr zum Beispiel eine gerade Zahl habt, wie die 16, könnt ihr erstmal die 16 durch 2 rechnen. Dann erhaltet ihr die 8 und wisst also 8 mal 2 sind 16. Dann könnt ihr die 8 mal 2 nehmen und die 8 wieder durch 2 rechnen, bzw. schauen 2 mal was ist denn 8? Und das ist natürlich 2 mal 4. Im nächsten Schritt habt ihr immer noch die 4 zu stehen. Und die ist natürlich 2 mal 2. Und so habt ihr also die 16 zerlegt in 2 mal 2 mal 2 mal 2. In Primfaktoren. Und das könnt ihr mit beliebigen Zahlen machen. Zum Beispiel auch die 100. Ihr könnt die 100 durch 2 dividieren, dann wisst ihr, da kommt 50 raus. 50 mal 2 sind 100. Die 50 ergibt sich aus 25 mal 2. Dann noch die 2 wieder hinten ran geschrieben. Und die 25 ergibt sich aus 5 mal 5. Und hinten noch die 2en ran und schon haben wir die Zerlegung in Primfaktoren. Die Reihenfolge, wie ihr diese Primfaktoren schreibt, ist übrigens beliebig. Und zwar erinnert euch an das Kommutativgesetz, da durftet ihr die einzelnen Faktoren vertauschen.
Unter echteinfach.tv findet ihr übrigens eine kleine Software, bei der ihr die Primzahlen testen könnt. Die Software fängt an bei Primzahl 2 und ihr könnt sie durchklicken. Ihr seht, 4 ist keine Primzahl, sie ist ja zerlegbar in 2 mal 2. Und ihr könnt hier natürlich auch höhere Zahlen wählen, zum Beispiel 20, die ist zerlegbar in 2 mal 2 mal 5. Die Software hilft euch also dabei zu entscheiden, welche Zahlen Primzahlen sind und welche nicht. Auch höhere Primzahlen lassen sich dabei feststellen. Außerdem findet ihr unter echteinfach.tv eine weitere Software, in der ihr die Primzahlen in Länge abgetragen habt. Ihr könnt also hier entlang laufen und die Primzahlen bis 997 lernen.
Einige von euch fragen sich vielleicht, wozu braucht man denn diese Primzahlen eigentlich? Wenn ihr zum Beispiel eine Division rechnet, könnt ihr dort folgendes feststellen. Die 42 kann ja zerlegt werden in 2 mal 21. Und die 21 kann zerlegt werden in 7 mal 3. Diese 21 kann auch zerlegt werden in 7 mal 3. Das heißt, wenn ihr jetzt die Primzahlen hier wegstreicht, die sich gegenseitig wegkürzen. Hier die 7 und hier die 7, hier die 3 und hier die 3, bleibt die 2 übrig. Und ganz klar, 42 durch 21 ist natürlich 2. Das häufigste Anwendungsgebiet ist das sogenannte größte gemeinsamer Teiler und kleinste gemeinsame Vielfache. Diese beiden schauen wir uns ganz konkret in der nächsten Lektion an.
Ihr merkt euch aus dieser Lektion, eine Primzahl ist nur durch 1 und sich selbst teilbar und folglich: Eine Zahl, die weitere Teiler hat, ist damit keine Primzahl. Und die dritte Sache: Jede Zahl lässt sich in Primfaktoren zerlegen. Und Primfaktoren waren Primzahlen, aus denen die Zahl besteht.