Mathe G16: Prozente / Prozentrechnung

Hallo liebe Zuschauer und willkommen zur Lektion „Prozentrechnung“. Dieses Video zeigt euch, was es mit dem Prozentzeichen auf sich hat. Im nächsten Teil schauen wir uns die Formeln an. Damit ihr diese Lektion verstehen könnt, müsst ihr euch vorher die Lektion Bruchrechnung angeschaut haben. Denn wir werden aus der Lektion Bruchrechnung einige Inhalte hier benutzen. Fangen wir an: Was bedeutet denn das Wort Prozent? Das Wort Prozent besteht aus zwei Teilen: pro und cent. Diese beiden Teile kommen aus dem Lateinischen, wobei „pro“ zu Deutsch in etwa „für/von“ heißt und „cent“ kommt von dem lateinischen „centum“ und wird im Deutschen als „hundert“ übersetzt. Also Prozent heißt so viel wie „von hundert“. Und im Italienischen hat sich damals aus dem pro das per ergeben aus dem centum, das cento, und diese beiden Wörter wurden dann als cto. abgekürzt. Per cento, also von Hundert, bedeutet also cto. . Und aus diesem cto. entstand schließlich unser Zeichen fürs Prozent. Schauen wir hierzu eine kleine Animation an. Das t wurde flach gelegt, das c hat sich geschlossen und das o wurde rangesetzt. So hat man dann das Prozentzeichen. Gut. Frage ist: Was können wir jetzt mit diesem von hundert, bzw. mit Prozent denn alles anfangen? Und wofür ist das überhaupt gut? Allgemein könnt ihr euch zuerst folgendes merken: Wenn wir nichts haben, haben wir 0 Prozent von einer Menge. Wenn wir alles von einer Menge haben, haben wir 100 Prozent. Und wenn wir die Hälfte einer Menge haben, haben wir 50 Prozent. Was die Menge hier sein soll, das entscheiden wir selbst. Das heißt diese Menge könnte zum Beispiel 2000 Liter sein. Das könnte aber genauso gut so etwas sein wie 80 Personen. Das heißt der Inhalt ist beliebig. Betrachten wir uns als nächstes diese Prozentzeichen hier einmal mathematisch. Wir haben also einen Wert, wie zum Beispiel die 1. Und ein Prozentzeichen dazu. Dann heißt das ja: 1 von 100. Wir hatten ja gelernt: Prozent heißt „von Hundert“. Das heißt 1 Prozent ist 1Teil von 100 Teilen. Und bei der Bruchrechnung hatten wir gesagt 1 von 100 kann man auch wie folgt schreiben: 1 durch 100 und das jetzt als Bruch umgewandelt, ergibt 1/100. Wir können uns also merken, dass 1 Prozent das gleiche ist wie 1 durch 100. 1/100. Wenn wir hier jetzt zum Beispiel 5 Prozent hätten, dann hätten wir hier 5/100 und erinnert euch an die Bruchrechnung, da hatten wir auch gelernt das wir 5/100 auch schreiben können als 5 mal 1/100. Das heißt 5 Prozent könnt ihr euch entweder merken als „durch Hundertstel“ oder aber 5 hier drüben die 5 und Prozent als mal 1/100. Und allgemein natürlich anstatt fünf können wir die Variable x schreiben. Dann ist x Prozent gleich x durch 100 beziehungsweise x mal 1/100. Das heißt schreiben wir einmal 50 Prozent dann wissen wir das sind 50/100. Außerdem hatten wir gelernt, das man 50/100 ja kürzen kann oben durch 50 unten durch 50 und wir erhalten oben im Zähler 50 durch 50 ist 1 und unten im Nenner 100 durch 50 ist 2. Das heißt ½, die Hälfte, ist 50 Prozent. Bzw. andersherum. 50 Prozent ist eine Hälfte. Und hier sehen wir auch. Wir können hier nicht nur von Prozent in einen Bruch umwandeln. Wir können auch von einem Bruch in Prozent umwandeln. Wir könnten jetzt also ½ erweitern mit 50 und erhalten dann 50/100. Und 50/100, hier haben wir jetzt auf 1/100 angepasst. Gucken wir oben nochmal. x/100 sind bei uns jetzt 50/100, das heißt wir dürfen das Hundertstel in ein Prozentzeichen umwandeln. Also kommt hier rechts raus: ist gleich 50 Prozent. Ihr merkt euch also, man kann jeden Bruch in Prozent umwandeln und jedes Prozent auch wieder in einen Bruch. Gleiches gilt übrigens auch für beliebige Zahlen. Hierzu ein Beispiel.
Nehmen wir uns die 0,2 und da hatten wir gelernt man kann 0,2 auch schreiben als 2 dividiert durch 10, denn dadurch war ja das Komma ein nach links gesprungen. Und diese 2 durch 10 hatten wir in der Bruchrechnung gesehen, können wir auch als Bruch schreiben, als 2/10. Und jetzt, damit wir hier unten ein Hundertstel stehen haben und als Prozent schreiben dürfen, müssen wir oben und unten mit 10 erweitern. Tun wir das. Das heißt oben ergibt sich 2 mal 10 gleich 20. Und unten: 10 mal 10 ist 100. Und jetzt, an dieser Stelle dürfen wir das Hundertstel umwandeln in ein Prozentzeichen. Wir schreiben „ist gleich 20 Hundertstel, also Prozent“. So sehen wir also, dass 0,2 das gleiche ist wie 20 Prozent. An dieser Stelle noch der Hinweis. Die 0,2 hätten wir auch anders umformen können. Wir hätten auch schreiben können, 0,2 mal 100 durch 100. Und wir wissen ja, dass dies neutral ist. Also 0,2 mal 100 durch 100 ist immer noch 0,2. Dann hätten wir 0,2 mal 100 gerechnet. Da wären dann 20 herausgekommen. 20 durch 100 als Bruch geschrieben, hätten wir 20/100 und das wären 20 Prozent. Das nur als alternativer Weg.
Den Zusammenhang zwischen Prozenten und Brüchen könnt ihr euch unter echteinfach.tv übrigens an einem kleinen Programm selbst vor Augen führen. Hier seht ihr das Prozent wie zum Beispiel 50 Prozent, das gleiche ist wie 50/100 und 50 durch 100 ist das gleiche wie 0,5. Auch seht ihr rechts den gekürzten Bruch, denn 50/100 ist ½. Und hier habt ihr auch wieder die Hälfte graphisch dargestellt. Bei 100 Prozent seht ihr zum Beispiel, dass es 100/100 sind. Und 100/100 ist 1. Wir haben also ein Ganzes. Ihr könnt hier auch andere Prozente ausprobieren und selbstständig lernen. Alternativ könnt ihr euch auch die Prozente an einem Kreis anschauen, den hatten wir schon bei der Bruchrechnung. Und hier könnt ihr die Brüche festlegen, wie zum Beispiel 2/4. Und dann seht ihr, das ist das gleiche wie 50/100 und das sind 50 Prozent. Könnt ihr auch selbstständig Werte wählen und euch die Prozente jeweils ermitteln.
Doch gehen wir nochmals einen Schritt zurück und schauen uns die Prozentrechnung nochmal an einer Fläche an. Stellt euch vor, ihr habt ein Feld von 5 mal 5 Feldern, also 25 Felder. Und ihr habt jetzt ein Stück markiert von 25 Feldern. Die Frage ist jetzt, warum sind das 4 Prozent? Schauen wir einmal: Graphisch könnt ihr euch das so vorstellen, dass wir diese 25 Felder in 100 Felder aufteilen. Wir schneiden jedes der 25 Felder also nochmals in 4 weitere Felder. So haben wir dann 10 mal 10, also 100 Felder. Und jetzt nicht 1 von 25 markiert, sondern 4 von 100. Und 4 von 100 sind natürlich 4 Prozent. Wenn wir an der Stelle noch einmal die 1 von 25 als Bruch schreiben, als 1/25, dann sehen wir um auf Hundertstel zu kommen müssen wir mit 4 erweitern. Und genau das entspricht auch der Zerteilung der Felder. Also 1 von 25 in 4 von 100 im Verhältnis. Wenn wir mal 5 Felder nehmen von 25, haben wir 20 Felder markiert von 100. Damit 20 Prozent. Wir können natürlich auch eine andere Stückelung nehmen, wie zum Beispiel 4 Stücke und wir wählen uns 1 Stück aus. 1 Stück von 4 ist im Verhältnis 25 Stück von 100. Also 25 Prozent. Wählen wir 1 Stück von 1 Stück und passen auf Hundertstel an, so sehen wir, dass wir 100 von 100 Feldern markiert haben, also 100 Prozent. Und damit die gesamte Fläche. Rechnerisch entspricht das übrigens der Erweiterung mit 100 auf 100/100. Und das sind 100 Prozent. Und bei einer Stückelung von 100 Feldern ist natürlich jedes markierte Feld 1 Prozent. Interessant wird es, wenn wir die Stückelung über 100 erhöhen. Hier also zum Beispiel auf 400 Stück. Und wählen wir uns von 400 Stück 4 aus, haben wir 1 Prozent. Warum? Ganz einfach. Diese 4 Stück von 100 entspricht 1 von 100. Das heißt wir haben 1 Prozent. Rechnerisch wäre das 4 von 100 gekürzt um 4 auf 1/100, also auf 1 Prozent. Was wir also tun müssen ist also übrigens jedes Mal die Anpassung auf 100 Stück. Also auf Hundertstel. Schauen wir uns als nächstes ein paar Aufgaben an und ein paar Formeln die wir hierfür benötigen.

Im vorigen Teil hatten wir gesehen was es mit dem Prozentzeichen auf sich hat. In diesem Teil schauen wir uns an wie man damit rechnet und wie die Formeln zustande kommen. Nehmen wir wieder ein Beispiel. Sagen wir, wir haben insgesamt 200 Käfer und von diesen 200 Käfern sind insgesamt 24 rote Käfer dabei. Frage: Wie viel Prozent sind das? Da machen wir folgendes: Das hatten wir schon im letzten Teil gesehen. Wir sagen 24 von 200. Stellen das als Division dar. Die Division wiederum als Bruch. Dann hatten wir gesagt wir müssen jetzt auf 1/100 anpassen, damit wir dann Prozent schreiben dürfen. Da brauchen wir natürlich das Kürzen mit der 2. Und jetzt können wir berechnen: Oben 24 durch 2 sind 12 und unten im Nenner: 200 durch 2 sind 100. Und nun können wir aus 12/100 12 Prozent machen. Die Lösung wäre, 24 von 200 Käfern sind rot. Das entspricht 12 Prozent. Bevor wir uns die Formeln anschauen, klären wir noch die Begriffe, die wir in der Prozentrechnung benötigen. Zum einen haben wir hier die Gesamtmenge, also das was unsere 100 Prozent ausmacht. Dann haben wir hier den Anteil von der Gesamtmenge. Und dann haben wir hier hinten das Prozent. In der Prozentrechnung, nennt man diese Sachen jedoch anders. Die Gesamtmenge heißt „Grundwert“. Und wird mit G abgekürzt. Vom ersten Buchstaben. Der Anteil heißt nicht Anteil, sondern „Prozentwert“ und wird mit W abgekürzt. Das „W“ von „Wert“. Und Prozent heißt Prozentsatz und wird mit p abgekürzt. Von dem p hier vorne. Gut. Wenn ihr Prozentaufgaben bekommt, wird immer einer dieser Werte fehlen. Entweder der Grundwert oder der Prozentwert oder Prozentsatz. Berechnen wir also unsere Beispielaufgabe für jeden einzelnen Wert und ermitteln wir dadurch die Formeln. Lasst uns an dieser Stelle Käfer mit Stück ersetzen. Allgemein. Und notieren wir die Werte hier links unten. Jetzt können wir loslegen. Für den ersten Fall sagen wir, dass die Gesamtmenge, der Grundwert, nicht gegeben ist. Also ersetzen wir die 200 mit der Variable x, für unbekannt. Was müssen wir jetzt machen um den Grundwert zu ermitteln? Wir benutzen den Dreisatz. Den hatten wir bereits in einer vorigen Lektion. Wenden wir ihn hier an. Wir haben folgende Werte gegeben: Wir wissen, dass 12 Prozent gleich 24 Stück entspricht. 12 Prozent ergibt einen Anteil, einen Prozentwert, von 24 Stück. Am Ende dieser Rechnung wollen wir wissen, was 100 Prozent sind. Also unsere gesamte Menge, der Grundwert. Jetzt machen wir das, was wir beim Dreisatz gelernt hatten. Wir gehen von 12 Prozent auf 1 Prozent und dazu müssen wir auf der linken Seite die 12 durch 12 dividieren, denn 12 durch 12 ist 1. Und entsprechend der Proportionalität müssen wir diese durch 12 auch auf der rechten Seite durch führen. Und 24 durch 12 ergibt dann 2 Stück. Hier sehen wir, dass 1 Prozent 2 Stück entspricht. Und jetzt müssen wir als nächstes um von 1 auf 100 zu kommen, mal 100 rechnen. 1 mal 100 ist 100. Und diese Operation auch auf der rechten Seite. Und 2 mal 100 sind 200. Und diese 100 Prozent, die 200 Stück, ist die Gesamtmenge, also unser Grundwert: 200 Stück. Lasst uns an dieser Stelle mal die rechte Seite betrachten und die linke Seite ausblenden. Als nächstes können wir, diese ganze Berechnung hier in einer Zeile schreiben. Also, wir haben als erstes die 24 Stück, diese dann durch 12 dividiert. Haben dann 2 Stück erhalten. Also das hier würde jetzt 2 ergeben. Und wir mussten dann das Ergebnis mal 100 multiplizieren. Das heißt wir schreiben jetzt hier die mal 100 hin. Und daraus ergaben sich dann unsere 200 Stück. Unsere Gesamtmenge. Gut, versuchen wir das zu verallgemeinern und eine Formel daraus zu machen. Schreiben wir es noch in eine Zeile und schauen wir mal, was wir schon da haben. Wir haben hier 24 Stück, die lassen sich hier wiederfinden. Hier haben wir die 200 Stück und die finden sich hier unten wieder. Und hier haben wir durch 12 mal 100, das sind auf den ersten Blick keine 12 Prozent, das heißt hier müssen wir irgendetwas umformen. Als erstes schreiben wir diese durch 12 hier als Bruch, dann setzen wir die mal 100 hoch zum Zähler. Jetzt können wir, erinnert euch an die Bruchrechnung, diese 12tel auf die 100stel ziehen. Wir erhalten 24 Stück mal 100/12 und das ist immer noch das gleiche! Jetzt wandeln wir die Multiplikation in eine Division um. Dazu müssen wir den gesamten Bruch umdrehen. Ihr solltet euch hier an die Bruchrechnung erinnern, da hatten wir gesagt bei der Division mit einem Bruch müssen wir den Bruch umdrehen. Zähler und Nenner tauschen. Der sogenannte Kehrwert. Und den Bruch multiplizieren. Das haben wir jetzt rückwärts durchgeführt. Ja und jetzt steht hier durch 12/100. Und 12/100, ganz klar, das ist 12 Prozent. Das heißt durch 12 mal 100 ist das gleiche wie durch 12 Prozent. Das heißt hier oben schreiben wir jetzt 12 Prozent hinein. Und jetzt ist es uns erlaubt zu verallgemeinern. Denn wir finden alle drei Elemente hier unten wieder. Das heißt die 24 Stück entspricht unserem Prozentwert W, dem Anteil. Ersetzen wir 24 Stück mit W. Die 12 Prozent hier unten, das ist der Prozentsatz p. Ersetzen wir die mit p. Und die 200 Stück. Das ist unser Grundwert, die Gesamtmenge Ersetzen wir das mit G. Und richtig, das ist die allgemeine Formel um den Grundwert zu berechnen. Drehen wir sie noch um. Also G ist gleich W durch p. Und machen wir aus dem W durch p einen Bruch. Das heißt wir merken uns, der Grundwert ergibt sich aus dem Verhältnis von Prozentwert und Prozentsatz. Das heißt, wenn ihr diese Formel beherrscht und so eine Aufgabe bekommt, könnt ihr sofort für W und p die Werte einsetzen und berechnen. Machen wir das gerade noch. Wir haben also einen Anteil W von 24 Stück. Tragen wir das hier ein. Und wir haben einen Prozentsatz p von 12 Prozent. Tragen wir den hier ein. Und 24 durch 12 Prozent ist das gleiche wie 24 durch 0,12 und wir erhalten 200 Stück. Mit dieser Formel sind wir relativ schnell zum Ergebnis gekommen. Schauen wir uns als nächstes den Fall an, dass der Grundwert gegeben ist. Der Prozentsatz ebenfalls, doch der Prozentwert fehlt. Das heißt wir suchen den Anteil. Um den Anteil ermitteln zu können, müssen wir von der Gesamtmenge ausgehen. Unsere 200 Stück entsprechen 100 Prozent. Als nächstes wollen wir wissen, was denn 1 Prozent ist. Dazu dividieren wir 100 durch 100 und erhalten dann die 1. Gleiches gilt es natürlich wieder auf der linken Seite zu machen. Und 200 durch 100 ergibt 2. Nun wollen wir wissen. Schauen wir hier unten, was 12 Prozent sind. Das heißt wir müssen von 1 auf 12 Prozent kommen. Hierfür multiplizieren wir 1 mal 12. Und natürlich mal 12 wieder auf der linken Seite. Und 2 mal 12 ist 24. Und das ist auch unsere Lösung. 24 Stück ist der Anteil. Tragen wir die hier ein. Die Frage ist, wie können wir diese Rechnung verkürzen? Betrachten wir hierzu nur die linke Seite. Das heißt was haben wir hier gemacht? 200 Stück haben wir als erstes durch 100 dividiert. Da kam dann 2 heraus. Und diese 2 Stück haben wir dann mit 12 multipliziert. Und so kamen dann 24 Stück heraus. Also wieder verallgemeinert. 200 Stück ist der Grundwert, die Gesamtmenge. Schreiben wir hier G. Jetzt haben wir hier durch 100 mal 12. Schreiben wir die mal 12 vor das G und nun sehen wir, dass wir diese durch 100 ja in Prozent umwandeln können. So dass dann da steht mal 12 Prozent. Und die haben wir auch hier unten, das ist unser Prozentsatz p. Tragen wir also hier p ein. Und die 24 Stück, unser Ergebnis war natürlich der Prozentwert. Drehen wir noch die beiden Seiten um, dann erhalten wir W gleich G mal p. Das ist die zweite Formel die wir heute lernen. Und wenn ihr diese Formel beherrscht, könnt ihr sehr schnell rechnen. Ihr könnt nämlich eintragen für das G die 200 Stück, für das p die 12 Prozent und ihr könnt nun rechnen: 200 mal 12 Prozent, das ist das gleiche wie 200 mal 0,12. Und daraus ergeben sich 24 Stück.
In diesem Teil haben wir also die Formel für den Grundwert und den Prozentwert kennen gelernt. Unter echteinfach.tv findet ihr Software zum Ausprobieren dieser Formeln. Unter anderem ein Programm, bei dem ihr die 100 Prozent festlegt und dann den Prozentwert und Prozentsatz einstellt. Hier unten seht ihr dann live die Berechnungen für den Prozentwert, den Prozentsatz und den Grundwert. Die Formel für den Prozentsatz haben wir noch nicht kennen gelernt und schauen wir uns im nächsten Teil an.

Gut, die nächste und letzte Formel ist die, die wir brauchen, wenn der Prozentsatz fehlt. Stellen wir wieder den Dreisatz auf. Wir haben gegeben 100 Prozent. Das sind unsere 200 Stück. Wir wollen zum Schluss nicht 100 Prozent, sondern unseren Prozentsatz haben, also p Prozent, der einem Anteil von 24 Stück entspricht. Unserem Prozentwert. Wie kommen wir jetzt darauf? Schauen wir einmal. Wir haben hier 200 Stück. Lasst uns als erstes ermitteln, was 1 Stück ist. Und richtig, da müssen wir durch 200 dividieren. Gleiches tun wir auf der linken Seite. Und 100 durch 200 sind 0,5. Also wir erhalten hier 0,5 Prozent. Als nächstes wollen wir auf den Prozentwert kommen. Den Anteil. Die 24 Stück. Das heißt um von 1 auf 24 zu kommen, rechnen wir mal 24. Und gleiches tun wir auf der linken Seite. Und 0,5 mal 24, da erhalten wir 12. Und schon haben wir unseren Prozentsatz. Der ist 12 Prozent. Machen wir wieder daraus eine Formel. Was haben wir gemacht? Wir haben zuerst die 100 Prozent durch 200 geteilt. Dieses Ergebnis, also 0,5 Prozent, dann mal 24 gerechnet und sind dann auf den Prozentsatz 12 Prozent gestoßen. Verallgemeinern wir: 200 ist unser Grundwert G, die 24 ist unser Prozentwert W. Und die 12 Prozent ist unser gesuchter Prozentsatz p. Diese Formel kann jetzt noch vereinfacht werden. Wir können die 100 Prozent noch umwandeln. Wir hatten gelernt, dass 100 Prozent das gleiche ist wie 100 durch 100 und damit 1 ergibt. Also 1 ganzes. Jetzt formen wir 1 durch G mal zu einem Bruch und erinnern uns an die Bruchrechnung, dass mal W hier hoch multipliziert werden kann. Und 1 mal W ist natürlich W. Das heißt die fertige Formel für den Prozentsatz ist W durch G. Drehen wir das noch um und merken uns: p gleich W durch G. Gut. Alle drei Formeln nochmals in der Übersicht. Wir haben den Prozentsatz, der sich ergibt aus dem Verhältnis „Anteil durch Gesamtmenge“. Dann haben wir den Prozentwert, der sich ergibt aus der Gesamtmenge multipliziert mit dem Prozentsatz. Und dann haben wir den Grundwert, die Gesamtmenge, die sich ergibt aus dem Verhältnis „Anteil dividiert durch Prozentsatz“. Wenn ihr wisst wie man Gleichungen umstellt, braucht ihr diese drei Formeln gar nicht auswendig lernen. Ihr müsst euch nur eine nehmen und diese entsprechend umstellen. Geeignet ist: Prozentwert ist gleich G mal p. Schauen wir warum: Nehmen wir uns die Formel und sagen, wir wollen jetzt die Formel allgemein für G haben, für den Grundwert. Was müssen wir tun? Ganz klar. p auf die andere Seite rüberholen. Das heißt wir müssen durch p rechnen, dadurch steht auf der linken Seite W durch p ist gleich und auf der rechten Seite W gleich G mal p durch p. Erinnert euch an die Lektion Gleichungen umstellen, da haben wir gelernt mal p durch p fällt weg. Und hier drüben das W durch p, schreiben wir noch als Bruch. Und dieses W/p finden wir hier oben bei unserer Formel wieder. G gleich W durch p. Wollen wir die Formel für das p haben, für den Prozentsatz, dann müssen wir einfach nur durch G dividieren. Drehen wir vorher G mal p um, mit Hilfe des Kommutativgesetzes und rechnen jetzt durch G auf beiden Seiten. Dann steht auf der linken Seite W durch G und auf der rechten Seite: p mal G durch G. Mal G durch G lösen sich auf und wir erhalten p gleich W durch G. Und als Bruch geschrieben: p gleich W/G. Und tatsächlich hier oben es ist die Formel, die wir vorher schon ermittelt hatten. Betrachten wir als nächstes, wie wir Textaufgaben mit diesen drei Formeln berechnen können.
Legen wir los. Die Beispielaufgabe soll lauten: Es gibt 20 Prozent Rabatt auf 120 € teure Schuhe. Welcher Betrag muss gezahlt werden? An der Stelle gucken wir wieder was gegeben ist. Wir haben hier die 120 €, das ist der Gesamtwert. Und dann haben wir hier die 20 Prozent, das ist unser Prozentsatz. Wir wollen also 20 Prozent von 120 € ermitteln. Also einen Anteil. Unseren Prozentwert. Hierfür nehmen wir uns die entsprechende Formel: W gleich G mal p. Und setzen unsere Werte ein. G sind 120 € und p sind 20 Prozent. Jetzt können wir ganz schnell rechnen. Schreiben wir kurz das Euro nach hinten und wandeln Prozent in „durch 100“ um. Nun ergibt sich 120 mal 20 sind 2400 und jetzt durch die durch 100 fallen die letzten beiden Nullen weg. Und wir erhalten 24 €. Also 120 € mal 20 Prozent sind 24 Euro. Und unser Rabatt. Und jetzt war ja eigentlich gefragt welcher Betrag muss gezahlt werden? Das heißt der Ursprungspreis waren 120 €. Jetzt ziehen wir davon den Rabatt ab. Die 24 €. Und wir erhalten den neuen Wert, also den Zahlwert von 96 €. Und das ist auch die Lösung unserer Aufgabe. Es gibt an dieser Stelle einen Trick, wie ihr es noch schneller machen könnt. Überlegen wir mal. Diese 120 € hier, sind ja die 100 Prozent. Und was ziehen wir hier ab? Ganz klar, 24 € sind ja 20 Prozent. Das heißt, was kommt hier raus? Richtig: 80 Prozent. 100 minus 20 sind 80. Und anstatt jetzt den Weg über die 120 € zu gehen hier können wir auch folgendes machen. Wie sagen ganz einfach, wir wollen direkt 80 Prozent von 120 haben. Denn 80 Prozent ist ja der endgültige Zahlpreis. Das heißt wir schreiben auf: 120 € mal 0,8. Also das hier sind ja die 80 Prozent. Und 120 mal 0,8 sind, richtig, 96 €. Und wir haben sofort das Ergebnis.
Betrachten wir als nächstes eine Aufgabe, wo der Grundwert gesucht ist. Die Beispielaufgabe lautet: Eine Fahrradtour endet mit einem Platten. Die letzten 15 Prozent der Strecke müssen gelaufen werden, das sind 6 km. Gesucht ist die Gesamtstrecke. Wie gehen wir vor? Wir schauen als erstes wieder, was gegeben ist. Wir haben hier Prozent, also den Prozentsatz. Und hier haben wir 6 km. Und hier steht ja, die letzten 15 Prozent sind diese 6 km, das heißt 6 km ist der Anteil, der Prozentwert. Gesucht ist also die gesamte Strecke, der Grundwert. Nehmen wir uns die Formel für den Grundwert. Die ist G gleich W zu p. Und jetzt tragen wir ein. W der Anteil, das sind 6 km. Schreiben wir die hier rein. Und p, das sind die 15 Prozent. Schreiben wir das als nächstes als Division, also 6 km dividiert durch 15 Prozent. Jetzt wandeln wir 15 Prozent um in 0,15 und 6 durch 0,15 ergibt 40 km. Und damit haben wir schon die Aufgabe gelöst. Die Fahrradtour hat eine Gesamtstrecke von 40 km. Die dritte und letzte Aufgabe ist eine Aufgabe wo der Prozentsatz gesucht ist. Sie heißt: Der Kilopreis für Gold ist von 25.500 € auf 26.520 gestiegen. Gib die Wertsteigerung in Prozent an. Was ist hier zu tun? Natürlich ist hier gesucht der Prozentsatz und dessen Formel lautet W durch G. Und hier muss man nun aufpassen, dass man den richtigen Anteil nimmt und sich die richtige Gesamtmenge sucht, also die 100 Prozent. Der Ursprungswert sind ja 25.500 €. Und der neue Wert, der gestiegene Wert, sind 26.520 €. Und stellen wir uns vor dieser Wert hier wäre nicht gestiegen, dann hätten wir eine gleich hohe Säule, also 0 Prozent Veränderung. Jedoch ist sie jetzt nach oben gestiegen und die Steigung selbst, das ist der neue Anteil. Das ist der Wert der jetzt heraufgeschlagen wurde. Unser Prozentwert W. Wir müssen also diese Differenz aus beiden berechnen. Machen wir das gerade schnell. Wir nehmen uns als erstes den höheren Wert, die 26.520 und ziehen davon die 25.500 ab. Und wir erhalten 1020 €. Der Betrag um den der Preis gestiegen ist. Und den tragen wir als Anteil ein. Und wie schon gesagt, der Grundwert, die 100 Prozent, sind die 25.500. Und jetzt können wir das in den Taschenrechner eingeben. 1.020 dividiert durch 25.500 ergibt 0,04. Und 0,04 als Prozent sind 4 Prozent. Das heißt die Antwort lautet, die Wertsteigerung beträgt 4 Prozent.

Falls ihr einmal einen Prozentsatz höher als 100 Prozent erhaltet, wie zum Beispiel 200 Prozent, dann erinnert euch daran, dass dieses Prozentzeichen nichts weiter ist als durch 100. Und 200 durch 100 sind 2. Ihr wisst also, dass 200 Prozent der 2 entspricht. Bekommt ihr also eine Aufgabe wie 200 Prozent von 500 kg. Dann wisst ihr, dass wir die 200 Prozent mal 500 kg rechnen müssen. Und jetzt können wir die 200 Prozent mit der 2 ersetzen, dann steht da 2 mal 500 kg. Und das sind 1.000 kg. Wie ihr seht ist hier der Anteil höher als der Grundwert. Durch die 200 Prozent wird also ein Wert verdoppelt. Wenn wir jetzt hier zum Beispiel 400 Prozent hätten, wären das ja 400 durch 100, also 4. Das heißt 400 Prozent von 500 kg, sind dann 4 mal 500 und das ergibt 2.000.
Betrachten wir uns als nächstes bequeme Prozentsätze. Damit meint man Prozentsätze, die sich gut als Bruch schreiben lassen. Zum Beispiel haben wir 50 Prozent, dann wissen wir, dass das das gleiche ist wie 50/100 und 50/100 kann man kürzen. 50. Und dann kommt man auf ½. Das heißt für 50 Prozent kann man sich ½ einprägen. Warum ist das jetzt so vorteilhaft? Ganz einfach. Rechnen wir einen Anteil aus und nehmen dazu einen Grundwert von 200 € und wollen davon 50 Prozent haben. Also G mal p steckt hier dahinter. Können wir statt mal 50 Prozent ganz einfach die 50 Prozent ersetzen und ½ eintragen. Was heißt das dann für uns? 200 € mal ½. Dann erinnert euch an die Bruchrechnung. 200 springt hier hoch zur 1. Und dann haben wir dazu stehen: 200 mal 1 sind 200. Und jetzt 200 durch 2 sind 100 €. Mit anderen Worten, wenn wir mal 50 Prozent rechnen, können wir gleich mal ½ rechnen bzw. sofort durch 2! Gibt natürlich noch andere angenehme Prozentsätze, die man sich auf jeden Fall merken sollte. 33,3 als ein Drittel. 25 Prozent als ein Viertel. 25 Prozent als ein Achtel und 10 Prozent als ein Zehntel.
Gut, gucken wir uns ein paar Fehlerquellen an, die häufiger auftreten. Sagen wir: Ein Wert wird um 10 € erhöht, danach um 10 € vermindert. Frage: Bleibt der Wert gleich? Das ist sehr einfach. Sagen wir der Wert sind 200 €, dann sagen wir plus 10 € dazu, sind 210 €. Und jetzt noch 210 € minus die 10 € wieder. Die Verminderung. Und wir erhalten 200 €. Den ursprünglichen Wert. Bei der Prozentrechnung ist das jedoch problematischer. Sagen wir, ein Wert wird um 10 Prozent erhöht, danach um 10 Prozent vermindert. 200 € soll jetzt um 10 Prozent erhöht werden, also müssen wir den Anteil suchen W. Und W ist ja gleich Grundwert mal Prozentsatz. Also. Grundwert sind 200 €. Prozentsatz sind 10 Prozent, also 0,1. Und 200 mal 0,1 sind 20 €. Das heißt wir erhöhen den Wert um 20 € und erhalten damit 220 €. Wenn wir jetzt die 220 € als neuen Wert nehmen. Und wir jetzt minus, schreiben wir hier in Klammern, 10 Prozent rechnen sollen, dann schauen wir mal: Wir haben also unseren Grundwert, der jetzt jedoch 220 € ist. Das ist jetzt der Grundwert, von dem 10 Prozent abgezogen werden sollen. Also 220 mal 10 Prozent. Und die 10 Prozent zu 0,1. Und 220 mal 0,1 ergibt 22 €. Und wenn wir jetzt hier oben die 10 Prozent mit 22 € ersetzen, dann steht hier 220 € minus 22 € und das sind 198 €. Das heißt, es kommt nicht der gleiche Wert heraus. Wir haben um 10 Prozent erhöht, da kam 220 € heraus, dann haben wir um 10 Prozent vermindert, da kam 198 € heraus. Einmal waren 10 Prozent 20 € und danach entsprachen 10 Prozent 22 €. Und das kam daher, dass sich der Grundwert geändert hatte. Erst war der Grundwert 200 €. Danach war Grundwert 220 €.
Eine weitere Fehlerquelle ist die, wenn ihr eine solche Aufgabe bekommt: Der Zahlbetrag brutto beläuft sich auf 35 €. Wie hoch ist der Nettobetrag und die Mehrwertsteuer? Der Mehrwertsteuersatz liegt bei 19 Prozent. An dieser Stelle müsst ihr wissen, was die 35 € sind. Die 35 € sind in dem Fall nicht der Grundwert. Das ist nicht unser G. Der Grundwert ist der Nettobetrag. Warum? Da erinnern wir uns an netto – brutto, netto ist die Ware ohne Mehrwertsteuer, also 100 Prozent. Dann kommt die Mehrwertsteuer da drauf. Das was der Staat berechnet, das sind 19 Prozent. Und brutto ist der Gesamtwert, den wir dann bezahlen dürfen und der beläuft sich dann auf 119 Prozent. Machen wir das mal zu absoluten Werten, also zu Eurowerten. 119 Prozent ist, haben wir gesagt, der Zahlbetrag: 35 €. Die 19 Prozent kennen wir nicht. Und die 100 Prozent kennen wir auch nicht. Wie kommen wir jetzt darauf? Hier sollten wir jetzt als erstes die 100 Prozent ermitteln. Und die 100 Prozent, unser Grundwert G, hat die Formel W/p. Also W durch p. Und jetzt fragt ihr euch was ist denn das W. Das W, also der Anteil, könnte dieser Wert von den 19 Prozent aus sein oder aber auch der Wert von 119 Prozent ausgehend, also 35 €. Ein Prozentsatz von 119 Prozent ergibt also einen Anteil von 35 €. Also 35 € ist unser W und p sind 119 Prozent. Jetzt wandeln wir 119 Prozent um in 1,19 und rechnen mit dem Taschenrechner. 35 dividiert durch 1,19 und wie erhalten 29,41 gerundet. Unseren Grundwert. Und jetzt können wir von 29,41 € den Anteil berechnen, die 19 Prozent. Also Anteil ist gleich Grundwert mal Prozentsatz. Grundwert sind jetzt 29,41 €. Prozentsatz sind 19 Prozent. Schreiben wir wieder 0,19 und mit dem Taschenrechner: 29,41 mal 0,19 ergibt 5,5879, also gerundet 5,59. Und diese 5,59 € sind unsere Mehrwertsteuer. Natürlich hätten wir um auf 19 Prozent zu kommen auch schneller rechnen können. Wir hätten einfach nur 35 € minus 29,41 € rechnen müssen und wären dann auch auf 5,59 € gestoßen. Ganz klar. 35 € sind 119 Prozent minus 100 Prozent ergibt 19 Prozent.
Schauen wir uns als letztes die Formeln an, die ihr in einigen Lehrbüchern findet. Diese unterscheiden sich von diesen hier vorgestellten Formeln, da sie mal bzw. durch 100 enthalten. Warum? Schauen wir einmal. Nehmen wir uns die Formel für den Prozentsatz. Die lautet bei uns p gleich W durch G. Und in einigen Lehrbüchern steht eine mal 100 dazu. Wenn wir jetzt mal Werte einsetzen. Sagen wir unserer Prozentwert, der Anteil, sollen 20 € sein und der Grundwert 400 €. Dann können wir jetzt eintragen. Hier oben 20 €. Hier unten 400 € und gleiches auf der rechten Seite. Und wenn wir das jetzt ausrechnen. 20 durch 400. Dann erhalten wir 0,05. Und das ist ja das gleiche wie 5 durch 100. Und das sind dann 5 Prozent. Hier drüben wären dann auch 20 durch 400 0,05. Und dann noch diese mal 100 dazurechnen. Dann ergibt sich aus 0,05 mal 100 5. Und wie ihr hier seht, ist es nicht 5 Prozent, sondern 5. Rechnet ihr als mal 100, erhaltet ihr sofort die Zahl, die vor dem Prozentzeichen steht.
Wenn ihr einmal einen Wert nicht je 100 rechnet, sondern je 1000, dann nutzt ihr die Promille. „mille“ kommt aus dem Lateinischen und heißt „tausend“. Prozent hatten wir so abgekürzt. Promille wird hingegen so abgekürzt. Wenn ihr also mal einen Promillewert berechnen müsst. Zum Beispiel: Klaus hat 1,1 Promille Alkohol im Blut. Was heißt das dann? Sagen wir Klaus hat 6 Liter Blut im Körper und davon sind 1,1 Promille Alkohol. Und hier können wir auch die gleiche Formel benutzen wie bei der Prozentrechnung. Wir wollen jetzt also einen Anteil haben „Wie viel Alkohol hat er denn in seinem gesamten Blut?“. Und dann schreiben wir W gleich G mal p. G sind unsere 6 Liter. Und p ist jetzt der Promillewert. Die 1,1 Promille. Und jetzt können wir die 1,1 umwandeln zu 1,1 durch 1000 und dann geben wir das in den Taschenrechner ein: 6 mal 1,1 durch 1000 und wir erhalten 0,0066 Liter reinen Alkohol den er im Blut hat. Promille findet sich im Alltag, so zum Beispiel auch bei dem Reinheitsgrad von Gold. Wenn ihr eine 999 darauf stehen habt, sind das 999 Promille Reinheit. Bzw. 99,9 Prozent reines Gold.