Mathe G26: Quadratische Gleichungen

Hallo und herzlich Willkommen zur nächsten Lektion. Heute schauen wir uns die quadratischen Gleichungen an. Wir klären was das ist und mit welchem Verfahren wir diese lösen können. Wir hatten ja bereits bei den quadratischen Funktionen in mehreren Videos angesehen, wie wir diese berechnen und lösen können. Klären wir an dieser Stelle, was denn eigentlich der Unterschied zwischen einer Funktion und einer Gleichung ist. Wir hatten bei den Funktionen gelernt, dass wir eine Funktion so notieren können. f(x) gleich, und bei den quadratischen waren es zum Beispiel, x² + 2. Und im Gegensatz dazu haben wir die quadratischen Gleichungen und das wäre x² als Beispiel + 2 gleich 5. Der Unterschied hierbei ist also, bei der quadratischen Funktion setzen wir hier einen Wert für x ein und erhalten hier als Ergebnis den Wert für y. Also setzen wir mal für x die 1 ein. Also hier und hier, dann rechnet sich 1² ist 1 + 2, das ist 3. Wir haben also ein x festgelegt und dann einen Wert für y herausbekommen. Nehmen wir mal für x einen anderen Wert, wie zum Beispiel die 2. So ergibt sich 2² ist 4 + 2 sind 6. Ihr seht also bei einer Funktion werfen wir sozusagen einen Wert rein. Dieser wird verändert durch die Formel und wir erhalten jeweils einen Wert für y. Wir erhalten also sozusagen Wertepaare x und y, die nachher, wie wir gelernt haben, unsere Punkte des Graphen darstellen, mit den Koordinaten x und y. Also x war 2, hier auch. Dann haben wir das x mit der Formel verändert und dann kam die 6 heraus für y. Gleiches hier oben. Da hatten wir x 1 festgelegt und 3 kam heraus. Und allgemein können wir das natürlich auch schreiben mit x und y. Und hier, wenn ihr so etwas schreibt, bitte immer einen Index an das P heransetzen, damit sich die Punkte unterscheiden oder andere Buchstaben nehmen. Wir nehmen den Index, also schreiben wir 1 und 2 heran. Und diese beiden Punkte können wir jetzt ins Koordinatensystem einzeichnen und so ergibt sich nachher eine Parabel. Bei unserer Gleichung hingegen haben wir keinen y-Wert der herauskommt. Wir haben nur die Möglichkeit ein x einzusetzen und dann soll diese Gleichung stimmen. Der Wert für x ist sozusagen schon festgelegt. Und wir müssen die Gleichung durch Äquivalenzumformung so umformen, dass wir nachher das x herausbekommen. Also hier ist der Wert für x festgelegt, er wird sich nicht verändern können bei den Gleichungen. Und hier bei den Funktionen setzen wir ein beliebiges x ein und erhalten einen Wert für y. Hier haben wir also eine Zuordnung. Gut, so viel zum Unterschied zwischen Gleichung und Funktion. Schauen wir uns, bevor wir mit den quadratischen Gleichungen beginnen, die lineare Gleichung an.
Lineare Gleichungen erkennt ihr daran, dass wir nur die Unbekannte x in der Gleichung haben, zum Beispiel x + 3 gleich 4. Wir haben hier nur ein x mit der Potenz hoch 1, die wir ja nicht mitschreiben. Und wenn wir so eine lineare Gleichung lösen wollen, geht das über die Äquivalenzumformung. Das heißt wir formen die Gleichung einfach um in dem wir die 3 einfach rüber subtrahieren und dann erhalten x gleich 1, die Lösung für unsere lineare Gleichung. Und wenn wir jetzt die 1 hier einsetzen, sehen wir 1+3 sind 4. Eine wahre Aussage, die Gleichung ist erfüllt. Ihr solltet an dieser Stelle wissen, dass wir jede Gleichung als Funktion interpretieren können. Was heißt das? Wenn ihr diese Gleichung x+3 gleich 4 habt, dann können wir diesen Term x+3 als Funktionsgleichung ansehen. Also wir schreiben f(x), das soll unsere Funktion sein, ist x+3. Und jetzt haben wir gesagt, da soll 4 herauskommen. Und erinnert euch an die Normalform der linearen Funktion, die ja hieß, m*x + n gleich y. Also Steigung mal x plus das n, an dem wir nachher den Schnittpunkt mit der y-Achse erkennen und dann kommt unser y-Wert heraus. Wunder euch hier nicht. Vor dem x scheint ja nichts zu stehen, aber doch, wir haben hier eine 1*, die wir jedoch nicht mitgeschrieben haben. Das heißt wir haben eine Steigung von 1 und den Schnittpunkt mit der y-Achse bei y gleich 3. Zeichnen wir diese x+3 einmal ins Koordinatensystem ein. Das sieht dann so aus. Das ist unser Graph f mit der Funktionsgleichung x+3. Das heißt der geht bei 3 durch die y-Achse und hat eine Steigung von 1. Also 1 nach rechts und 1 nach oben, so wie wir es auch bei den linearen Funktionen schon kennen gelernt hatten. Und jetzt hatten wir ja gesagt, diese Funktion x+3, soll 4 sein. Wir können also diese Gleichung so verstehen, dass wir die x+3 als Funktion haben und fragen, wann hat die die Höhe 4, also wann ist y gleich 4. Und jetzt schauen wir nochmal auf die Graphik. Wir gucken hier auf der y-Achse bei 4. Gucken nach rechts und wir sehen, wir haben hier einen Schnittpunkt, also wir können jetzt mal die konstante Funktion einzeichnen, mit 4. Und ihr seht, diese konstante Funktion 4 schneidet die x+3 hier bei x gleich 1. Und richtig, x gleich 1 ist ja die Lösung unserer Gleichung. x gleich 1. Also ihr seht, jede Gleichung lässt sich als Funktion interpretieren. Und nicht nur als eine Funktion, für die wir die Höhe suchen, sondern auch als zwei Funktionen. Einmal auf der linken Seite die eine, einmal auf der rechten Seite die andere. Nehmen wir noch ein zweites Beispiel. Das zweite Beispiel heißt 2x – 1 ist gleich -2x + 5 und wir sollen das auflösen, so dass wir nachher den Wert für x bekommen. Die beiden unbekannten x sind übrigens hoch 1, das heißt wir haben eine lineare Gleichung. Wir formen wieder um. -2x auf die linke Seite mit +2x. So erhalten wir hier 4x und hier rechts fällt die 2x weg zu 0. Und als nächstes müssen wir noch die 1 hier rüberziehen mit +1. Und wir erhalten hier links 4x, weil das wegfällt. Und als Rechtsterm die 6. Und als letztes gilt es noch die 4 von dem x wegzubekommen, das heißt wir dividieren durch 4. So erhalten wir schließlich hier links 1x und hier rechts 1,5. Die Lösung für unsere Gleichung heißt also 1,5, also setzen wir 1,5 für x ein, so sind beide Seiten gleich. Machen wir die Probe schnell. x wird 1,5 hier und hier. Und wir erhalten links 3-1 sind 2. -2*1,5 sind -3 + 5 sind 2. Beide Seiten sind gleich, wir haben also die richtige Lösung mit x gleich 1,5 bestimmt. So und jetzt interpretieren wir diesen Term und diesen Term jeweils wieder als Funktion. Also das hier als f(x)und das hier als g(x). Und wie wir es bei den Funktionen in der Lektion „lineare Funktionen“ gesehen haben, wir setzen hier zwei Funktionen gleich, wir suchen also deren gemeinsamen Schnittpunkt. Und jetzt schauen wir uns die beiden Graphen an. Hier der rote 2x-1 und hier der blaue -2x+5, also -2 er geht hier nach unten. Und wenn wir hier schauen, haben wir den Schnittpunkt bei, richtig, 1,5. Und genau diesen Wert hatten wir als Lösung raus für unsere Gleichung. Ihr seht also, wir haben mehrere Möglichkeiten lineare Gleichungen zu interpretieren und anschaulich darzustellen, so dass wir ihre Lösung als Punkte in einem Koordinatensystem erkennen können. Häufig findet ihr den Fall, dass eine Gleichung ist gleich 0 gesetzt wird. Und das können wir mit dieser Gleichung hier auch machen. Entfernen wir f und g. Und ziehen die -2x nach links rüber und die +5 nach links herüber. So erhalten wir die 2x und hier die -5. Und jetzt können wir rechnen 2x+2x sind 4x und -1-5 sind -6. Und richtig, das ist 0. Jetzt haben wir die Möglichkeit diese Gleichung wieder als Funktion zu verstehen. Das ist unser Funktionsterm und der soll 0 sein, also wir fragen hier nach der Nullstelle. Lasst uns 4x-6 im Koordinatensystem einzeichnen. Hier sind noch die beiden Graphen, als wir noch den Linksterm und den Rechtsterm als Funktion interpretiert haben und jetzt zeichnen wir 4x-6 ein. Und ihr seht, dieser Graph, jetzt grün schneidet die x-Achse bei 1,5. Also an dieser Stelle. Und das ist, richtig, die Lösung unserer Aufgabe: 1,5. Wie ihr seht, haben wir verschiedene Möglichkeiten eine Gleichung zu interpretieren. Ihr könnt jeweils die linke und die rechte Seite als Funktion interpretieren oder wir können nach 0 umstellen und dann diesen Term als Funktion verstehen, deren Nullstelle wir suchen. In jedem Fall erhalten wir für x eine eindeutige Lösung. Also einen Punkt auf dem Graphen, bzw. einen Schnittpunkt. Es gibt natürlich noch Ausnahmen, wie zum Beispiel x+1 gleich x. Hier könnten wir zwar versuchen umzustellen, zum Beispiel –x hier rüber, doch dann würde 1 gleich 0 dastehen, also eine falsche Aussage. Und wenn wir uns das als Funktionen anschauen x+1 und x, dann haben wir rot dargestellt x+1, blau dargestellt x. Und wie ihr seht haben die beiden keinen Schnittpunkt, also gibt es keine Lösung. Die beiden Graphen sind parallel zueinander. Oder für den Fall 2x gleich 2x. Was erhalten wir da als Lösung? Wenn wir jetzt mal hier -2x rechnen würden, dann erhalten wir 0 gleich 0, eine sogenannte Identität. Das heißt nichts weiter, als dass wir für x alle beliebigen Werte einsetzen können. Also wenn der hier verdoppelt wird, der Wert, dann wird er auch hier verdoppelt. Also x kann jede beliebige Zahl sein. Und als Graph sieht das wie folgt aus. Hier haben wir das eine 2x und jetzt zeichnen wir die anderen 2x und die liegen natürlich aufeinander. Das heißt sie haben unendlich viele Schnittpunkte. Gut, so viel zu den linearen Gleichungen, deren Lösung und Interpretation als Funktionsgraphen. Jetzt gehen wir einen Schritt weiter und schauen uns die quadratischen Gleichungen an und betrachten wie wir diese lösen können.

Was sind also quadratische Gleichungen? Und diese Frage lässt sich relativ einfach beantworten, dass sind Gleichungen in denen eine Unbekannte im Quadrat drin vorkommt. Also zum Beispiel x² gleich 9 ist eine quadratische Gleichung, weil die Unbekannte x hoch 2, also im Quadrat, da steht. Oder x²+x gleich 9 ist immer noch eine quadratische Gleichung, weil hier immer noch die höchste Potenz 2 ist. Hier ist sie x hoch 1, die 1 schreibt man nicht mit. Und hier ist sie x hoch 2. Also 2 ist die höchste Potenz, ein Quadrat. Wir haben eine quadratische Gleichung. Und häufig haben wir dann noch hier einen Wert und das ist immer noch eine quadratische Gleichung. Also auf diese Form der quadratischen Gleichung werdet ihr häufig treffen. Wie schon im letzten Teil gesagt, haben Gleichungen sehr viel mit Funktionen zu tun. Wenn wir uns an die quadratischen Funktionen erinnern, da hatten wir folgendes kennen gelernt. Und zwar eine Gleichung der Form a*x^2+b*x+c. Diese Funktionsgleichung hatten wir Allgemeinform genannt. Und genauso bei den quadratischen Gleichungen. Haben wir so eine Form und dann noch ein ist gleich 0 dahinter, so sprechen wir auch hier von der Allgemeinform oder man sagt auch allgemeine Form. Und wenn unser a hier 1 ist, also dass wir dann nur noch x² schreiben, so sprechen wir von der Normalform. Und dann nennen wir das hier nicht b und c, sondern p und q. Was es also mit Allgemeinform und Normalform auf sich hat, das werden wir gleich bei der Anwendung der pq-Formel sehen. An dieser Stelle noch ein paar allgemeine Hinweise und zwar zur Benennung. Wir nennen den Teil beim x² quadratisches Glied, den Teil b*x nennen wir lineares Glied und der konstante Wert hier hinten, den nennen wir absolutes Glied. Wichtig bei den quadratischen Gleichungen ist, dass das a hier vorne keine 0 ist. Denn wenn wir hier für a eine 0 einsetzen würden, richtig, dann würde das x² wegfallen, denn 0 mal eine Zahl ist 0. Und dann würde da nur noch b*x+c gleich 0 stehen; das wäre eine lineare Gleichung. Und noch ein Hinweis. Die Zahlen vor dem x, also a und b, aber auch das c nennen wir allgemein „Koeffizienten“. Das kommt aus dem lateinischen „coefficere“ und heißt so viel wie „mitwirken“. Denn sie verändern ja unsere Gleichung, bzw. wenn wir uns das als Funktion vorstellen, verändern die Koeffizienten den Verlauf unseres Funktionsgraphen. Gut, nehmen wir als nächstes eine Beispielgleichung dieser Form und lösen diese mit Hilfe der pq-Formel.
Nehmen wir uns also eine beliebige Gleichung und um jetzt diese Gleichung lösen zu können benötigen wir ein Lösungsverfahren, so dass da nachher wieder steht x gleich und dann unsere Lösung. Denn diese Gleichung lässt sich jetzt nicht sofort durch Äquivalenzumformung lösen. Also wir können jetzt nicht -8x oder x oder ähnliches, so können wir x nicht isolieren. Das heißt so können wir x nicht alleine auf eine Seite bringen, stattdessen benutzen wir die sogenannte pq-Formel, die wir auch schon bei den quadratischen Funktionen benutzt haben um die Gleichung zu lösen. Also um den Wert für x zu bestimmen. Um sie anzuwenden, müssen wir zuerst diese Gleichung in die sogenannte Normalform bringen, das heißt hier muss ist gleich 0 stehen und die 2 vor dem x², soll wegfallen. Also 1 soll da stehen. Ziehen wir also als erstes die 4 auf die linke Seite, damit hier ist gleich 0 steht und so ergibt sich hier eine 6. Im nächsten Schritt wollen wir die 2 weghaben, das heißt wir dividieren durch 2. Und zwar die gesamte Gleichung, so ergibt sich 2/2 ist 1. Wir haben unser 1x². Hier 8x/2 sind 4x. 6/2 sind 3 und 0/2 sind 0. Dann brauchen wir die 1 nicht mitschreiben, sondern notieren einfach nur x². Das ist also die Normalform und das hier oben, das nennen wir die Allgemeinform. Gut, und von dieser Formel ausgehend können wir die pq-Formel anwenden, die da lautet: x_(1,2), das zeigt zwei mögliche Lösungen an für x ist gleich -p/2 plusminus Wurzel( (p/2)^2 - q). Jetzt müssen wir natürlich noch wissen, was p und q ist. Und das haben wir hier. Die Zahl vor dem x ist das p, also ist die 4 das p. Und hier das absolute Glied ist die 3, das ist unser q. Und jetzt können wir zuordnen. Wir setzen für p die 4 ein und für q die 3. So erhalten wir, wenn wir das jetzt ausrechnen 4/2 sind 2, also -2. Und dann hier 4/2 ist wieder 2. Und dann 2² ist 4. Und 4-3 ist 1, also Wurzel(1) steht dann hier. Und da wissen wir Wurzel(1) ist wieder 1. Und hier die Klammer können wir bei der 2 wegnehmen. Unser Ergebnis ergibt sich also einmal für x_1 aus -2+1 und für x_2 aus -2-1. Deswegen haben wir ja hier das Plusminus, einmal x_1 einmal x_2. Und -2+1 ist natürlich -1. Und hier -2-1 sind -3. Wie wir sehen hat unsere quadratische Gleichung, nicht nur eine Lösung mit -1, sondern noch eine zweite Lösung mit -3. Und diese beiden Lösungen -1 und -3, erfüllen diese Gleichung und erfüllen die ursprüngliche Aufgabe. Also wir könnten jetzt für 2x²+8x+10 gleich 4 für x -1 oder -3 einsetzen und beide ergeben dann auf der linken Seite ist gleich 4. Und das würde dann so aussehen. Unser x ist hier -1 und unser x ist hier -3. Und wenn wir das jetzt hier ausrechnen. (-1)² ist 1. Das heißt hier ist 2. Dann 8*(-1) ist -8. 2-8+10 ist 4. Richtig! Und bei der nächsten: (-3)² sind 9. Mal 2 sind 18. Dann hier 8*(-3) sind -24. Plus die 18 sind -6. Plus 10 sind 4. Das heißt die Probe stimmt, die beiden Gleichungen sind erfüllt. Sie funktionieren. Die Ergebnisse für x_1 und x_2 sind korrekt. Und wie wir schon erwähnt haben, können wir diese quadratische Gleichung auch als Funktion deuten. Das machen wir jetzt mal und schauen uns das graphisch an. Wir sagen also, das hier soll eine Funktion sein und da kommt der y-Wert 4 heraus. Das heißt wir zeichnen jetzt mal diese Funktion. Das ist der Funktionsgraph. Und wir sehen die Funktion soll ja ist gleich 4 sein, wir schauen also bei y gleich 4, ziehen eine horizontale Linie und sehen wir haben hier den Schnittpunkt bei -1. Und hier einen weiteren Schnittpunkt bei, richtig, -3. Das heißt diese Funktion hat den y-Wert 4, bei x gleich -1 und bei x gleich -3. Und wenn wir uns jetzt noch einmal die Normalform anschauen, die wir hier ermittelt hatten. Sie lautete x²+4x+3 gleich 0 und diese jetzt als Funktion deuten, nenne wir diese g(x), dann hieße das, wann ist diese Funktion gleich 0? Und dazu zeichnen wir diese ebenfalls ins Koordinatensystem ein. Das ist jetzt der violette Graph. Und wie wir sehen, hat dieser Graph die Nullstelle bei -1 und bei -3. Was ja der Lösung unserer Gleichung entsprach. -1 und -3. Wie wir sehen haben wir aus dem f(x), indem wir bei dieser Gleichung die 4 rüber gezogen haben und die gesamte Gleichung durch 2 dividiert haben, die Form geschaffen. Haben also einen anderen Graphen geschaffen, der jedoch immer noch die gleichen Werte für x enthält. Also immer noch die gleiche Lösung. Gut, als nächstes betrachten wir uns noch einmal die pq-Formel und leiten diese schnell her. Und wenn wir das erledigt haben, schauen wir uns weitere Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen an. Denn das hier, die pq-Formel, oder auch Mitternachtsformel genannt, ist nicht die einzige Möglichkeit wie wir quadratische Gleichungen lösen können.
Auf echteinfach.tv findet ihr übrigens noch ein Programm das euch hilft quadratische Gleichungen mit Hilfe der pq-Formel zu lösen. Ihr gebt hier eine Gleichung an, also hier 2x²+8x+10 gleich 4. Euch wird die Allgemeinform berechnet, also die 4 geht hier rüber zur 10; 10-4 für unser absolutes Glied. Und dann bilden wir daraus die Normalform, indem wir die Gleichung durch 2 dividieren und x²+4x+3 gleich 0 erhalten. Ihr seht, unser p für die pq-Formel ist 4. Und unser q ist die 3. Und dann ist hier die pq-Formel allgemein festgehalten. Dann wird p und q eingesetzt und berechnet. Und dann seht ihr, erhalten wir als Lösung für die Gleichung -1 und -3. Unter Umständen kann es übrigens auch mal sein, dass ihr keine Lösung erhaltet. Tragen wir einen anderen Wert ein. Dies ist der Fall, wenn nachher bei der pq-Formel unter der Wurzel ein negativer Wert entsteht. Für das Beispiel hier ist das -0,75. Und wir wissen der Wert unter der Wurzel darf nicht negativ sein, denn dann ist die Wurzel nicht definiert. Das heißt einerseits, es gibt keinen Wert für x, den wir einsetzen können, so dass dann die Gleichung funktioniert. Sie ist also nicht lösbar. Und andererseits, wenn wir das graphisch interpretieren, was meint denn dann keine Lösung? Um das zu sehen zeichnen wir die Allgemeinform der Gleichung als Funktionsgraph. Und schauen wo die Nullstellen des Graphen sind. Dann haben wir hier 2x²-6x und jetzt noch die +6 eingestellt. Und diese Gleichung soll ja gleich 0 sein, das heißt wir suchen die Nullstelle. Doch wie ihr seht, der Graph hat gar keine Nullstelle, denn er befindet sich oberhalb der x-Achse. Er hat keine Nullstelle und wir somit keine Lösung für x. Das heißt hier ist es auch praktisch sich die Gleichung als Graph vorzustellen und dann zu schauen, ob es Nullstellen gibt. Gut, so viel dazu. Schauen wir uns jetzt weitere Lösungsverfahren an.

Schauen wir uns also als nächstes an, wie wir die pq-Formel herleiten können mit der wir jede quadratische Gleichung lösen können. Vorab gesagt, die pq-Formel hat auch weitere Namen. Sie wird auch Mitternachtsformel genannt oder kleine Lösungsformel. Und um diese pq-Formel herleiten zu können, benötigen wir die quadratische Gleichung in Normalform. Also in der Form x²+p*x+q gleich 0. Und wie wir im vorigen Video gesehen hatten, können wir aus jeder allgemeinen Form diese Normalform herstellen. Hätten wir jetzt noch einen Koeffizienten a davor, können wir die Gleichung durch a dividieren. Hätten wir hier keine 0, sondern einen anderen Zahlenwert, könnten wir den hier rüber subtrahieren und hätten dann die 0. Gut, um also die pq-Formel hieraus herzustellen, müsst ihr euch an die binomischen Formeln erinnern! Speziell an die erste binomische Formel, die da lautet: a²+2ab+b² gleich (a+b)². Und wir wollen jetzt aus diesem Teil hier vorne, x²+px, so eine Gleichung herstellen, damit wir das hier nachher in Klammern setzen können mit dem Quadrat. So dass wir mit Hilfe der Wurzel das Quadrat aufheben können. Und genau das machen wir jetzt. Uns interessiert der Teil hier vorne, deswegen können wir das q mit -q auf die rechte Seite herüber ziehen. Und jetzt wollen wir x²+p*x in die Form der binomischen Formel bringen. Was ist also a und was ist b? Und hier ist es gut zu erkennen, hier steht x², hier steht a², also ist für diese Formel unser a das x. Lasst uns also schon mal den neuen Term mit der Klammer hier hin schreiben und für das a das x einsetzen. Jetzt gilt es noch zu klären, was das b ist. Und hier steht ja p*x und hier steht 2*a*b. Das heißt hier ist irgendwo die 2 verschwunden. Eigentlich müsste noch eine 2 davor stehen. Das heißt die 2 ist irgendwie in dem Term p*x enthalten. x ist ja fest. Wenn wir hier unten mal unser b nach vorne drehen, dann können wir jetzt zuordnen a ist das x, sowie hier und p ist offensichtlich 2*b. Schreiben wir das hin. Und wir wollen ja jetzt rauskriegen was b ist. Wie machen wir das? Richtig, wir teilen diese kleine Gleichung durch 2. So erhalten wir p:2 gleich b. Bzw. können wir das auch als Bruch schreiben, also b = p/2. Und genau diese p/2 können wir jetzt für b einsetzen. Und wenn wir jetzt diesen Term, diese Klammer, ausmultiplizieren, erhalten wir a²+2ab+b². Also tun wir das. Multiplizieren wir das aus. Es ergibt sich x²+2*p/2*x und dann noch b², also (p/2)². Dann können wir 2*p/2 verrechnen. p/2*2 ist natürlich p alleine und wir sehen x²+px und x²+px stimmen überein. Doch jetzt ist das (p/2)² zu viel, denn hier steht ja gar nichts, bzw. hier steht eine 0. Das heißt, wie kriegen wir das weg? Richtig, wir rechnen einfach -(p/2)². Denn dann stimmt dieser Teil hier links mit diesem überein. Und da wir diesen Teil umformen zu (x+p/2)², schreiben wir die Klammer hierum, müssen wir jetzt noch das (-p/2)² hieran schreiben, damit dieser Term mit dem dann übereinstimmt. Also tun wir das. Jetzt ist also x²+px das gleiche wie (x+p/2)² - (p/2)². Und das soll dann wieder -q sein. Wer an der Stelle nicht ganz mitgekommen ist, kann natürlich jetzt gerne dieses nochmal ausrechnen und dann davon das (p/2)² abziehen und ihr werdet sehen, es bleibt stehen x²+px. Wir haben hier sozusagen ein neues Element erschaffen um nachher diese Form herzustellen. Und wie gesagt, wenn wir das hier ausrechnen, kommt hier zusätzlich (p/2)² raus und das ziehen wir dann wieder mit -(p/2)² ab. Gut, und was wir jetzt machen können, denn wir haben es fast geschafft, wir ziehen die (p/2)² auf die rechte Seite rüber, erhalten dann -q+(p/2)² auf der rechten Seite. Und jetzt können wir hier die Wurzel ziehen, damit das Quadrat wegfällt. Und natürlich aufpassen, wir müssen das positive und das negative Ergebnis berücksichtigen, also Plusminus die Wurzel. Und dann ziehen wir die Wurzel über diesen Term und diesen Term und erhalten diese beiden neuen Terme. Jetzt können wir hier das Quadrat und die Wurzel auflösen, es bleibt x+p/2 stehen. Und wie wir sehen haben wir jetzt an dieser Stelle unser x sozusagen freigelegt. Wir haben es alleine stehen, wir müssen nur noch das p/2 hier rüber ziehen, mit -p/2. Und wir erhalten, x ergibt sich aus Plusminus Wurzel( -q+(p/2)²) - p/2. Und das ist eigentlich schon unsere pq-Formel, man stellt sie bloß noch entsprechend um. Das machen wir auch noch schnell. Und zwar schreibt man -p/2 nach vorne und schreibt das (p/2)² hier vor das q. Und natürlich durch das Plusminus erhalten wir zwei Ergebnisse x_1 und x_2. Das ist also die fertige Lösungsformel, die pq-Formel, um die Werte für x ausrechnen zu können. Und diese Formel solltet ihr wirklich auswendig lernen, da sie sehr hilfreich ist, quadratische Gleichungen lösen zu können. Also x_(1,2) ist gleich -p/2 Plusminus Wurzel((p/2)² - q). Sehr schön. Nach dieser Wiederholung können wir uns jetzt die weiteren Lösungsverfahren anschauen.
Was gibt es also noch für Verfahren um quadratische Gleichungen zu lösen. Nehmen wir zu Beginn ein einfaches Verfahren für die Beispielgleichung x²-9 gleich 0. Dann können wir die 9 auf die rechte Seite rüber ziehen und dann Plusminus die Wurzel ziehen. Und wir erhalten x_(1,2) ist gleich Plusminus die Wurzel(9). Wurzel(9) ist 3, also haben wir zwei Ergebnisse mit x_1 gleich 3 und x_2 gleich -3. Diese Art von quadratischen Gleichungen, bei denen das lineare Glied fehlt, nennt man übrigens reinquadratische Gleichungen. Wir haben hier ein Quadrat und ein absolutes Glied. Also bitte merken: reinquadratische Gleichungen, die wir dann eben über die Wurzel recht schnell lösen können. Dann haben wir Gleichungen folgenden Typs x²+2x = 0. Diese können wir über das sogenannte Ausklammern lösen, indem wir hier das x und hier das x herausziehen. Also wir schreiben jetzt mal x² als x*x und 2x ist 2*x. Und wenn wir hier das x ausklammern müssen wir dieses x entfernen und hier bei 2*x auch das x entfernen. Und schon haben wir ausgeklammert. Jetzt sehen wir hier eine Multiplikation und können fragen, wann ist diese 0? Und wir wissen, wenn ein Element der Multiplikation 0 ist, ist der gesamte Term 0, also wenn ein Faktor 0 ist, entweder die Klammer oder das x, dann kommt hier 0 raus. Das heißt ein Ergebnis wird auf jeden Fall 0 sein, denn 0*(x+2) ist auf jeden Fall 0. Das können wir also hier hin schreiben. Und der zweite Teil des Ergebnisses, wann ist (x+2) 0? Richtig, wenn x -2 ist. Das ist das zweite Ergebnis. Und schon haben wir unsere beiden Ergebnisse sehr schnell ermittelt. 0 und -2. Es kann auch mal sein, dass ihr folgenden Typ von quadratischer Gleichung bekommt: (x+1)*(x+2) ist gleich 0, dann gilt das hier, was wir gerade gesagt haben bei dieser Multiplikation hier. Ist der eine Faktor 0, so ist der gesamte Term 0. Ist dieser Faktor 0, ist der gesamte Term 0. Also, wann ist (x+1) 0? Richtig, x muss dazu -1 sein. Und wann ergibt sich hier 0? Richtig, x muss dazu -2 sein. Das heißt bei dieser sogenannte Linearfaktorform, also man nennt diese beiden jeweils Linearfaktoren, können wir die Nullstellen direkt ablesen. Das hatten wir übrigens auch schon bei den quadratischen Funktionen kennen gelernt. Es gibt noch ein weitere Möglichkeit Nullstellen zu bestimmen, also quadratische Gleichungen zu lösen und zwar über die graphische Methode. Ihr lest also die Nullstellen in einem Koordinatensystem ab. Schauen wir uns ein Beispiel hierzu an.
Sagen wir ihr bekommt die Gleichung 0,5*x^2-1x-1,5 gleich 0. Dann hieße das, wenn wir das graphisch deuten, das ist unsere Funktionsgleichung, eine quadratische Funktion. Und die soll 0 sein. Also wir suchen, mit anderen Worten, die Nullstelle dieser Funktion, dieses Graphen. Das heißt ihr müsstet euch jetzt eine Wertetabelle anlegen und dann ein paar Werte für x einsetzen und schaut euch an, was da herauskommt. Also das könnte dann in etwa so aussehen. Hier ist die Wertetabelle, hier ist der x-Wert, hier ist der y-Wert. Also wir legen jetzt für x einen Wert fest, wie zum Beispiel -2. Setzen die -2 hier ein und berechnen das. Also (-2)² sind 4. Mal 0,5 sind 2. Minus -2, das sind also plus 2. Das sind dann 4. Minus 1,5 und wir erhalten 2,5. Und das macht ihr jetzt mit allen x-Werten. Setzt die ein und ihr erhaltet euer y. So erhaltet ihr diese Punkte, also jeder Wert x,y ist immer ein Punkt (-2|2,5) ist der erste Punkt. (-1|0) ist der zweite Punkt und so weiter. Und diese tragt ihr dann in euer Koordinatensystem ein und verbindet sie. Ihr erhaltet dann diesen geschwungenen Graphen, diese Parabel. Und jetzt hatten wir gesagt, wir wollen ja die Nullstellen finden, also wo ist dieser Graph 0? Und das sehen wir, das ist bei -1 und bei 3. Also wenn x 3 ist, haben wir eine Nullstelle und bei -1 haben wir eine Nullstelle. Wir können sie also hier schön ablesen. So haben wir also graphisch gelöst. Und natürlich haben wir das auch schon in unserer Wertetabelle gesehen. Bei -1 kam 0 raus und bei 3 kam 0 raus. Als letztes schauen wir uns ein Lösungsverfahren an, das man abc-Formel nennt. Denn mit dieser abc-Formel könnt ihr direkt von der Allgemeinform a, b und c einsetzen und erhaltet die Lösung für x_1 und x_2. Mehr hierzu im nächsten Teil.

Schauen wir uns abschließend die abc-Formel, bzw. große Lösungsformel an, mit der wir die Möglichkeit erhalten unsere Koeffizienten a, b und c direkt in diese Formel einzusetzen und die Lösung für x erhalten. Wie ihr seht haben wir hier schon die Allgemeinform der quadratischen Gleichung hingeschrieben. Und wir wollen uns die pq-Formel zur Hand nehmen um diese Sache wieder umzuformen. Die pq-Formel schreiben wir hier hin. Und jetzt hatten wir ja gesagt p und q ergeben sich aus der Normalform x²+px+q gleich 0. Und diese erhalten wir ja, indem wir die Allgemeinform durch a dividieren, so dass es hier vorne wegfällt und x² stehen bleibt und sich dabei schließlich b und c zu p und q verändern. Schreiben wir diesen Schritt hier nochmal hin, :a, und schreiben und schreiben wir jetzt anstatt p das bx/a hin. Also b:a ist hier der Bruch b/a. Und das gleiche für c, c/a. Das heißt wir haben jetzt das ganz allgemein gelassen und wie wir sehen ist das p b/a und das q ist das c/a. Und genau diese beiden Terme setzen wir jetzt hier ein entsprechend. Lasst uns p/2 der einfacher halber als p:2 schreiben und hier genauso. Und jetzt für p den Bruch b/a einsetzen. Und hier ebenfalls. Und natürlich, unser q ist das, richtig, c/a. Und diese Gleichung formen wir jetzt weiter um. Als erstes wissen wir, wenn wir hier durch 2 dividieren bzw. durch 2/1, ist das das gleiche, als wenn wir mit ½ multiplizieren. Erinnert euch an die Bruchrechenregeln. Und dann können wir Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizieren. Also erhalten wir für den Zähler das b und für den Nenner 2*a. Als nächstes können wir das Quadrat auf die beiden Terme ziehen. Also auf b/a und auf die 2, dann erhalten wir hier 4 und hier b²/a². Und jetzt können wir auch diese durch 4, bzw. durch 4/1 als *1/4 schreiben. Und dann wieder Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multiplizieren, das heißt die 4 wandert zu a². jetzt wollen wir diesen Bruch und diesen Bruch voneinander subtrahieren, das heißt wir brauchen gleiche Nenner. Und hier bietet sich an, das a zu erweitern auf 4a², in dem wir es mit 4a erweitern. So ergibt sich also im Nenner 4a² und im Zähler 4*a*c. Und jetzt können wir die beiden Zähler wie folgt voneinander subtrahieren. Wir schreiben sie beide auf den gleichen Nenner 4a². Nun dürfen wir noch die Wurzel auf Zähler und Nenner ziehen, das erlauben uns die Wurzelgesetze. Und wir dürfen jetzt auch noch die Wurzel(4a²) rechnen. Wurzel(4) ist 2, Wurzel(a²) ist a, also bleibt hier unten 2a stehen. Wir erkennen, dass hier 2a steht und hier 2a, die also gleichnamig sind. Wir dürfen die Zähler wieder zusammen auf 2a schreiben, wobei wir dieses Minus hochziehen zum b, also hier steht dann (-b Plusminus Wurzel(b²-4ac))/(2a). Und wunderbar, wir haben es geschafft. Das ist die abc-Formel. Wir können jetzt also a, b und c nehmen, hier direkt einsetzen, das ausrechnen und erhalten unsere Werte für x_1 und x_2. Lasst uns das als nächstes für unser Beispiel tun. Das war unser Beispiel. Da müssen wir noch die 4 hier rüber subtrahieren, damit hier 0 entsteht. Jetzt können wir zuordnen a, b und c und entsprechend in die Formel einsetzen. Also unser a ist 2. Setzen wir das hier und hier ein. Und unser b ist die 8. Hier und hier. Und klar unser c, das ist die 6. So ergibt sich unter der Wurzel 8² sind 64 minus 2*6 sind 12. Mal 4 sind 48. Also 64-48 sind 16. Daraus die Wurzel, das ist natürlich 4. Und dann noch hier unten im Nenner. 2*2, das sind auch 4. So können wir also rechnen für x_1 -8+4 sind -4. Durch 4 sind -1. Und für x_2 machen wir ein Minus draus, also -8-4 sind -12. Durch 4 sind -3. Und wieder haben wir unsere Lösungen -1 und -3 berechnet. Und diesmal über die sogenannte abc-Formel, die da lautet x_(1,2) ist gleich (-b Plusminus Wurzel(b²-4ac))/(2a). Nehmen wir noch ein weiteres Beispiel das da lautet 3x²-9x-7 gleich 5. Als erstes brauchen wir die Allgemeinform, das heißt hier muss ist gleich 0 stehen. Ziehen wir also die 5 hier rüber und wir erhalten hier -12 und dann ist die ganze Gleichung 0. Die Allgemeinform sieht so aus und wir sehen hier ist ein Plus, hier ist ein Minus. Das heißt wir müssen hier eine Addition draus machen und das machen wir, indem wir hier ein Plus schreiben und das Minus zur 9 setzen. Also +(-9). Und genauso hier. Es ist eine -12. Wir haben hier aber ein +c stehen. Das heißt wir müssen hier auch eine Addition draus machen: +(-12). Jetzt können wir zuordnen: a ist 3, b ist -9 und c ist -12. Dann nehmen wir uns die abc-Formel zur Hand und setzen entsprechend ein. Also a ist 3. Hier und hier. Und b ist -9. Das heißt wir müssen hier -9 einsetzen. Und hier ebenso. Und dann noch unser c ist die -12. Die setzen wir ebenfalls hier ein. So und jetzt gilt es das noch aufzulösen. Machen wir das in der nächsten Zeile: -(-9) ist 9. (-9)² ist 81. Und hier 4*3 sind 12. Und 12*12 sind 144. Und dann Minus mal Minus ist Plus. Also +144. Und hier unten 2*3 sind 6. So und jetzt müssen wir noch die Wurzel ausrechnen und dann sind wir gleich fertig. 81+144 sind 225. Und daraus die Wurzel, das sind 15. So und jetzt können wir ausrechnen. Für x_1 (9+15)/6. 9+15 sind 24. Durch 6 und das ergibt 4. Und für x_2 mit Minus, schreiben wir das hier hin, und wir erhalten 9-15 sind -6. Durch 6 sind -1. Und schon haben wir die Lösung unserer Aufgabe. Und zwar einmal x_1 gleich 4 und x_2 gleich -1. Diese beiden Werte erfüllen also unsere Gleichung hier oben. Wunderbar!
Fassen wir das wichtigste Wissen zu den quadratischen Gleichungen jetzt in einer Übersicht zusammen. Wir hatten als erstes die Allgemeinform kennen gelernt, die wir an der Form erkennen ax²+bx+c gleich 0. Wenn wir diese durch a dividieren, erhalten wir die sogenannte Normalform, wo wir das x² mit dem Koeffizienten 1 haben, den wir nicht mitschreiben. Also 1x²+px+q gleich 0. Und die quadratische Gleichung in der Normalform können wir stets mit der pq-Formel lösen. Die wie folgt aussieht: x_(1,2) gleich -(p/2) Plusminus Wurzel((p/2)² - q). Das ist die Formel, die ihr auswendig kennen müsst. Denn mit dieser Formel lassen sich alle quadratischen Gleichungen lösen. Der einzige Zwischenschritt jedoch, ihr müsst die Normalform erstmal herstellen aus der Allgemeinform, indem wir die Allgemeinform durch a dividiert. Wollt ihr die Gleichung jedoch ohne Umwege lösen, so bietet sich die abc-Formel an. Denn dann könnt ihr a, b und c direkt in diese Formel einsetzen. Und die abc-Formel lautet: x_(1,2) gleich (-b Plusminus Wurzel(b²-4ac))/(2a). Es ist euch natürlich freigestellt, welche der Formeln ihr benutzt, Hauptsache das Ergebnis stimmt. So viel zu den quadratischen Gleichungen. Wir hoffen ihr habt eine Menge Neues gelernt und ihr könnt dieses neue Wissen auch in euren Tests und Klassenarbeiten anwenden. Viel Erfolg dabei wünscht Echt Einfach TV.