Mathe G24: Terme und Gleichungen umformen

Hallo und willkommen zur nächsten Lektion, die da heißt „Terme und Gleichungen umformen“. Wir hatten uns ja bereits in Grundlagen 1 Terme und Gleichungen angeschaut und dabei unter anderem gelernt, was Terme sind. Zur Erinnerung: Ein Term ist ein sinnvoller mathematischer Ausdruck. Also so etwas wie +++ ist nicht sinnvoll, damit können wir nichts anfangen, also ist das zum Beispiel kein Term. Ein Term ist zum Beispiel die 3, das ist sinnvoll. 2+4 macht Sinn. 7*8. 7*x. 4,25*x+4, das sind alles jeweils Terme. Es sind also zusammengestellte Zeichen, die mathematisch eine Bedeutung haben. Und wenn wir zwei Terme mit einem =-Zeichen verknüpfen, dann haben wir eine Gleichung, die einen Linksterm und einen Rechtsterm miteinander verbindet. Und wenn hier eine Unbekannte, eine Variable ist, dann gilt es ihren Wert herauszubekommen, in dem wir diese Gleichung umformen mit der sogenannten Äquivalenzumformung. Also wir machen hier einen Strich an der Seite und verändern beide Terme mit dieser Operation. Also lösen wir diese Gleichung hier. Wir subtrahieren -5 auf beiden Seiten, damit diese wegfällt und zwar zu 0. Hier drüben ergibt sich 51. Und als nächstes dividieren wir durch 4,25 auf beiden Seiten. So bleibt links x übrig. Und rechnen wir den rechten Term aus, ergibt sich 12. Und jetzt wissen wir, dass das die Lösung unserer Ausgangsgleichung ist. Denn nur wenn wir hier, für dieses x, die 12 einsetzen, stimmt diese Gleichung. Nur dann ergibt sich auf der linken Seite 56, sowie auf der rechten Seite. Machen wir schnell die Probe; setzen die 12 da ein und rechnen das aus. Hier ist unsere Gleichung. Wir setzen x = 12 ein, also wird dieses x zu 12. Und wir können den Linksterm zusammenrechnen, 4,25*12 sind 51, +5 sind 56. Und für die rechte Seite 7*8 sind 56. Beide Seiten sind gleich, wir haben eine wahre Aussage, das heißt der für x eingesetzte Wert mit 12 war korrekt. Würden wir für x einen anderen Wert einsetzen, würde auf der linken Seite nicht 56 herauskommen. Auf diese Art und Weise konnten wir also Gleichungen lösen. Bevor wir richtig loslegen noch ein letzter Hinweis zu der Kurzschreibweise von Termen. Seht ihr so etwas wie 2x, dann bedeutet das 2*x, also das Mal wird in diesem Fall nicht mitgeschrieben. Weitere Beispiele wären 100x ist 100*x. 3(…) bedeutet 3*(…). xy bedeutet x*y und wenn mehrere Variablen zusammen stehen, dann multiplizieren wir diese miteinander. Und dann lässt sich natürlich auch damit rechnen. Wenn wir so etwas bekommen wie x+9x, was ist das? Richtig! 9x ist 9*x. Und dann erinnern wir uns, das ist ja hier 1x, also dürfen wir auch schreiben 1*x. Und dann können wir das zusammenzählen und wir erhalten 10x. Und auch das können wir wieder ohne Malzeichen schreiben. Gut, schauen wir uns als nächstes an wie wir Terme umformen können mit Hilfe des Distributivgesetzes.
Vorab der wichtige Hinweis, hinter dem Begriff „Ausmultiplizieren“ steckt das sogenannte „Distributivgesetz“. Das heißt wenn wir in dieser Lektion von dem Distributivgesetz reden, meinen wir das Ausmultiplizieren. Wir hatten uns das Distributivgesetz ja schon grundsätzlich angeschaut, bei den Grundlagen 1. Und hier nochmals als Wiederholung. Was bedeutet das Distributivgesetz? Es bedeutet, dass wir einen Faktor, hier 2, auf die beiden Elemente in der Klammer verteilen. Also auf diese multiplizieren. 2 geht auf die 12, 2*12. Plus, plus. Und dann 2 auf die 5, also 2*5. Mit Variablen ausgedrückt sieht das so aus: a*(b+c) ist gleich a*b + a*c. Gut, wir wollen jetzt den Fall betrachten, dass in der Klammer ein x steht. Hierzu tasten wir uns langsam ran. Das heißt wir wollen für unsere Gleichung hier jetzt die 12 einmal umformen zu einer Multiplikation. Denn 12 können wir auch schreiben als 3*4, denn 3*4 sind 12 und dann hätten wir hier das gleiche Ergebnis wie hier oben. Und auch dieses Ergebnis wollen wir jetzt als 3*4 schreiben. Und auch hier hätten wir jetzt das gleiche Ergebnis wie hier oben. Und jetzt stellen wir uns vor, dass wir die 4 gar nicht kennen würden. Also hier ein x stehen würde. Genauso hier. Und wenden wir auch gleich die Kurzschreibweise an. 3*x schreiben wir als 3x. Und jetzt sehen wir, wenn wir eine Variable in der Klammer haben, hier also 3x und wir multiplizieren die Klammer mit 2, müssen wir 2*3x rechnen, wie es hier steht. Also 2*(3x+5) ist das gleiche wie 2*3x, das steht hier. Plus. Plus. 2*5, 2*5. Also auch hier multiplizieren wir den einen Term, die 3x, mit der 2 und den anderen Term, die 5, mit der 2. Noch ein Hinweis. Hier hatten wir ein = geschrieben, um zu zeigen, dass wir von diesem Term auf diesen Term gekommen sind und jetzt stellen wir eine Gleichung auf. Und hier sagen wir der Linksterm soll dem Rechtsterm entsprechen, also hier müssen wir einen Wert für x finden, damit 22 auch auf der linken Seite herauskommt. Und wie machen wir das? Als erstes formen wir mit dem Distributivgesetz so um, dass die Klammer wegfällt, also wir multiplizieren aus: 2*3x, dann das Plus, und dann 2*5, dann das = und da soll 22 rauskommen. Im nächsten Schritt fassen wir das hier zusammen, das heißt wir rechnen die Multiplikation aus. 2*3x sind 6x und 2*5 sind 10 und das soll 22 sein. Jetzt formen wir die Gleichung um, in dem wir die 10 wegsubtrahieren auf beiden Seiten. 10-10 ist 0, das heißt das fällt weg und es bleibt nur 6x übrig. Und 22-10 ist 12. Und jetzt wollen wir ja nicht 6 mal die Unbekannte haben, sondern nur einmal die Unbekannte, und dann um die 6 hier zu einer 1 zu machen, dividieren wir durch 6. Und das natürlich wieder auf beiden Seiten der Gleichung. Dann erhalten wir hier durch 6 und hier durch 6. Und jetzt wissen wir: 6x sind 6*x, da hier ein Mal ist, dürfen wir x und 6 vertauschen und wir sehen eine Zahl mal 6 und dann durch 6 ist die Zahl wieder selbst. Bzw. wenn wir uns jetzt nur diesen Teil angucken, 6:6 ist 1 und 1*x ist natürlich wieder x. Genau was wir wollten, x alleine auf einer Seite. Und hier 12 durch 6 ist 2. Und jetzt haben wir uns Ergebnis für x. x ist 2 und wir müssen das testen, ob denn, wenn wir es in unsere Ausgangsgleichung einsetzen, diese stimmt. Das heißt wir machen die sogenannte Probe und setzen für dieses x hier die 2 ein. Wir schreiben also hier x soll 2 sein, dann setzen wir es ein und hier steht 3*2. Und jetzt brauchen wir das nur noch ausrechnen: 3*2 sind 6. Und 6+5 sind 11. Die Klammer können wir wegnehmen und 2*11 ergibt 22. Und das ist gleich 22. Also eine wahre Aussage. Unseren Wert für x, den haben wir korrekt ermittelt. Noch ein wichtiger Hinweis: Es kann übrigens auch sein, dass die 2 mal, nicht vor der Klammer steht, sondern hinter der Klammer. Lasst euch hiervon nicht verwirren, denn das Distributivgesetz gilt dann immer noch, das heißt wir müssen dann immer noch 2*3x rechnen und 2*5. Schauen wir uns hierzu noch ein weiteres Beispiel an.
Die Gleichung soll lauten 5*(2x-3) ist gleich (3x-4)*4. Was können wir hier als erstes machen? Hier müssen wir das Distributivgesetz anwenden und können dann die Klammern auflösen. Fangen wir also hier an 5*2x ist der erste Term, dann folgt das Minus und jetzt steht da 5*3, der zweite Term. Ist gleich. Und hier wie gesagt, selbst wenn die 4 hinter geschrieben ist, gilt das Distributivgesetz, wer sich übrigens fragt warum, der sei darauf hingewiesen, dass wir das hier auch wie folgt schreiben können: Wir denken uns das was hier rauskommt, als eine Zahl und schreiben dafür jetzt die Unbekannte a und sagen 4 soll jetzt eine beliebige Zahl sein, wir nennen sie b. Hier seht ihr übrigens auch gut, dass eine Variable auch einen Term enthalten kann und es nicht nur eine Zahl sein muss. Also eine Variable kann auch solch einen Term enthalten, 3x-4. Gut, was wir euch aber jetzt zeigen wollen ist, a*b, da kennen wir das Kommutativgesetz, ist das gleiche wie b*a. Wir können also die beiden Faktoren tauschen. Und genau das machen wir hier oben. Wir können die 4 nach vorne schreiben und das a, also (3x-4), dahinter. Und schon haben wir die Form wie hier oben, dass die Zahl vor der Klammer steht. Und ihr seht beide Seiten sind immer noch das gleiche. Das heißt ihr könnt hier oben auch gerne umformen zu 4*(3x-4). Und dann ausrechnen: 4*3x - 4*4. Gut, und jetzt heißt es das wieder zusammenfassen, also ausrechnen. 5*2x sind 10x. Das sind 15, 4*3x sind 12x und 4*4 sind 16. Jetzt müssen wir wieder die Gleichung umformen, so dass x alleine auf einer Seite steht und die eine Zahl auf der anderen Seite, das heißt wir wollen als erstes die -16 wegbekommen, rechnen +16 auf beiden Seiten. Das heißt wir schreiben sie hier hin und hier hin. -16+16 das fällt weg zu 0. Und hier drüben -15+16 ist 1. Jetzt haben wir 10x+1 ist gleich 12x und wir wollen die 10x hier weghaben, dass die 1 alleine steht. Das heißt wir rechnen -10x. So erhalten wir hier -10x und hier -10x. Diese können wir hier vor schreiben und wir sehen 10x-10x, ein Element subtrahiert mit sich selbst ist 0. Das heißt hier links bleibt die 1 übrig. Und hier rechts 12x-10x ergibt 2x. Und der letzte Rechenschritt, wir haben ja 2x stehen, also ein 2*x, dass wir ja auch mit dem Kommutativgesetz als x*2 schreiben können. Und jetzt sehen wir schon, wenn hier eine *2 ist, die wir wegbekommen wollen, müssen wir durch 2 rechnen. Links und rechts. Links ergibt sich 1:2 gleich 0,5. Und rechts 2:2 ist 1. Und x*1 ist x. Und schon haben wir uns Ergebnis für x mit 0,5. Das heißt wenn wir 0,5 hier oben für x einsetzen, soll diese Gleichung stimmen. Und genau das machen wir wieder mit der Probe, die wie folgt aussieht. Wir schreiben hin, dass wir x mit 0,5 ersetzen und hier setzt dann *0,5 und hier *0,5. Und das ergibt 1-3 und das sind -2. Innerhalb der Klammer. Und hier, 3*0,5 sind 1,5, -4 sind -2,5. 5*(-2) sind -10. Und 4*(-2,5), richtig, sind -10. Wir erhalten eine wahre Aussage, das heißt der Wert für x war mit 0,5 richtig ermittelt. Sehr schön!
Zum Abschluss schauen wir uns an, wie wir zwei Klammern miteinander multiplizieren können. Auch hier steckt das Distributivgesetz dahinter, denn die Regel gilt: Multipliziere a mit der Klammer und die 3 mit der Klammer. Also das sieht wie folgt aus. Wir haben unser a mal die Klammer plus 3 mal die Klammer. Wir haben also das Distributivgesetz angewendet, von diesem Element ausgehend auf diese Klammer und von diesem Element ausgehend auf diese Klammer. Und dann können wir hier das Distributivgesetz anwenden, so wie wir es gerade gelernt haben und wir erhalten: a*b-a*5 + 3*b-3*5. Und hier erkennen wir auch die vielen bekannte Regel: Jedes Element der einen Klammer wird mit jedem Element der anderen Klammer multipliziert. Und in der nächsten Zeile rechnen wir das aus und erhalten: ab-5a+3b-15. Und hier können wir nichts weiter zusammenfassen, das wäre jetzt der aufgelöste Term. Und für den Fall, dass hier keine 3, sondern eine 3x steht, na da nehmt ihr überall wo die 3 ist eine 3x. Das würde dann so aussehen. Oder falls ihr noch ein drittes Element in der Klammer habt. Machen wir wieder eine 3 draus. Und da jetzt +y stehen würde, dann müssten wir auch dieses Element zusätzlich mit den -5 multiplizieren. Also das hier vorne haben wir schon erledigt und jetzt noch +y mal, richtig, (b-5). Und dann berechnen wir das hier mit dem Distributivgesetz und schreiben das in Kurzform. Das wäre dann der ausmultiplizierte Term von hier oben. Sehr schön! Jetzt wisst ihr also, wie ihr mit Hilfe des Distributivgesetzes, solche Arten von Aufgaben lösen könnt. Als nächstes schauen wir uns das Ausklammern an.

Schauen wir uns also als nächstes das Umformen mit dem Ausklammern an. Die wenigsten wissen, dass es sich dabei eigentlich um das Distributivgesetz handelt nur rückwärts angewendet. Also, wenn wir eine Aufgabe haben wie 2*12 + 2*5, dann wissen wir, wir können die 2 ausklammern und hinschreiben 2*(12+5). Und meistens stehen die Aufgaben natürlich nicht so da, sondern dieser Faktor, der ausgeklammert werden kann, ist meistens versteckt. Das heißt wir rechnen das mal aus. 2*12 sind 24 und hier ergibt sich 10. Wir nehmen also an, wir hätten diese Aufgabe 24+10, dann müsstet ihr erkennen, dass hier die 2 in beiden drinsteckt und dann 24 ist 2*12. 10 ist 2*5. Das heißt beide haben die 2. Wir dürfen die 2 rausziehen. 24 durch 2 ist 12, 10 durch 2 ist 5. Ändern wir als nächstes unser Beispiel und machen aus der 10 eine 10x. Wie finden wir also die auszuklammernde Zahl? Die erste Überlegung ist, welcher Faktor steckt in der 24 und in der 10? Und dazu erinnert euch an die Primzahlen, wir können ja jede Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen. 24 ist 2*12. 12 zerlegt ist 2*6. Und 6 zerlegt ist 2*3. Und das gleiche mit der 10. Was sind deren Primfaktoren? Richtig: 2*5. Und wir sehen, beide haben die 2 gemeinsam. Das heißt wir können die 24 durch 2 teilen und die 10 durch 2 teilen. Und genau das machen wir hier drüben. Wir wollen ja diesen Term in einer Klammer stehen haben, wobei wir jetzt hier und hier den gemeinsamen Faktor herausziehen, der bei uns also 2 ist. Und wenn wir jetzt hier die 2 mal hinschreiben, müssen wir hier durch 2 dividieren und hier ebenfalls, damit nachher diese Gleichung wieder stimmt. Denn 24:2*2 ist wiederum 24, wie hier links und 10x:2*2 ist wieder 10x. Das heißt das ist korrekt. Das stimmt mit dem überein. Und jetzt berechnen wir 24:2 ist 12 und 10x:2 ist 5x. Und schon haben wir die 2 aus diesem Term hier links ausgeklammert. Und erhalten 2*(12+5x). Fertig! Wählen wir noch ein Beispiel. Wir wollen jetzt einen Wert bei 60x-210 ausklammern. Welcher könnte das sein? Dazu zerlegen wir 60 und 210 in ihre Primfaktoren. 60 ist 2*2*3*5 und 210 ist 2*3*5*7. Welche Primfaktoren sind gemeinsam? Richtig, 2, 3 und 5. Das heißt das ist der gemeinsame Teiler von den beiden. Er ist 2*3*5, also 30. Wir können also die 30 hier oben rausziehen. Wer sich übrigens hieran nicht erinnern kann, der schaut sich bitte das Video mit dem größten gemeinsamen Teiler an, da hatten wir nämlich das gelernt und wie folgt notiert: ggT(60,210) = 30. Und diese 30 ziehen wir jetzt hier oben raus. 30 mal; was ist 60x:30? Richtig, 2x. Minus 210 durch 30 sind 7. Und schon haben wir diesen Term ausgeklammert. Das Ausklammern ist insbesondere hilfreich, wenn ihr solche Aufgaben habt, in dem ein x² vorkommt. Also x² ist ja x*x. Wenn wir also hier das x bestimmen sollen, den Wert für x, dass diese Gleichung funktioniert, so würde es, wenn wir die Gleichung so bekommen, nicht so einfach sein, sich den Wert für x zu denken. Hier können wir ausklammern. Und zwar was? Wie gesagt x² kann man schreiben als x*x. Machen wir das. Und wir wissen 13x ist die Kurzschreibweise für 13*x. Und hier seht ihr schon. Hier ist ein mal x und hier ist ein mal x. Und folgerichtig können wir das x ausklammern. Das heißt den Linksterm verändern wir jetzt zu x mal Klammer auf, jetzt nehmen wir hier das x weg, das schwarze x bleibt übrig, dann das Plus und hier nehmen wir auch das x weg und die 13 bleibt übrig. Und Klammer zu. Und schon haben wir das x ausgeklammert. Wenn ihr also jetzt das mit dem Distributivgesetz wieder rechnet: x*x, dann habt ihr hier x². Und x*13, dann habt ihr hier 13x. Sehr schön, das ist richtig ausgeklammert und hier soll ja 0 rauskommen. Im nächsten Schritt erinnert euch an die Multiplikation mit der 0. Alles was mit 0 multipliziert wird ergibt 0. Also, wenn dieser Teil hier 0 ist, oder das Ergebnis in der Klammer 0, dann wird die linke Seite auf jeden Fall 0 sein. Das heißt wir haben schon das erste Ergebnis, wenn dieses x 0 ist, dann ist die gesamte linke Seite 0 und dann haben wir 0 gleich 0. Also Ergebnis 1 ist x_1 gleich 0. Dieser Index 1 zeigt, das ist eine Möglichkeit der Lösung, denn wir haben jetzt noch eine zweite, denn wann ist dieser Term hier 0? Und richtig, das seht ihr, sobald x -13 ist, steht da -13+13 und wir hätten hier 0. Also ist die zweite Lösung dieser Gleichung x_2 gleich -13. Und das sind die Werte für x, die wir einsetzen können. Wir haben jetzt nicht mehr nur einen Wert von x als Lösung, sondern zwei Werte. Und das können wir gerne mal testen. Setzen wir jetzt in diese Gleichung hier, noch nicht in die Ausgangsgleichung, die Lösungswerte mal ein. Also wenn x_1 gleich 0 ist, setzen wir für x die 0 ein, dann erhalten wir 0 mal, und das hier drin ist 13. Und 0 mal einen Wert ist immer 0, also steht hier 0. Und 0 gleich 0 ist eine wahre Aussage, die Lösung x_1 gleich 0, stimmt. Und machen wir das gleiche mit der -13. Kopieren wir das hier noch mal hier runter und setzen jetzt für x -13 ein. Dann sehen wir -13+13 hier drin kommt 0 raus. Die Klammer können wir wegnehmen. Und 0 mal einen Wert ist immer 0. Also hier kommt 0 raus. Wieder eine wahre Aussage, folglich ist unser Ergebnis mit -13 ebenfalls richtig. Gerne könnt ihr jetzt auch noch die Probe machen für unsere Ausgangsgleichung. Setzt doch hier einfach mal -13 ein und setzt 0 ein für x und rechnet das aus. Ihr werdet sehen beide Gleichungen sind korrekt. Und das müsste bei euch dann auf dem Papier stehen.
Rechnen wir noch drei kleine Aufgaben bei denen wir ausklammern sollen. Nehmen wir als erstes 9a+3. Was können wir hier ausklammern? Richtig, die 9 hat den Teiler 3 und die 3 hat den Teiler 3. Das heißt wir dürfen die 3 ausklammern. Und zwar wie folgt: Wir schreiben sie raus. 3 mal, und jetzt, wenn wir die 9a durch 3 teilen, erhalten wir 3a. Und wenn wir die 3 durch 3 teilen, erhalten wir 1. Und schon haben wir ausgeklammert. 3*3a sind 9a. Plus. Plus. 3*1 sind 3. Fertig! Nehmen wir die zweite Aufgabe: 5xy+10xz. Hier haben wir drei Variablen: x, y und z. Und hier müssen wir schauen, was sich ausklammern lässt. Auf jeden Fall, das sehen wir: hier ist ein x und hier ist ein x, wir dürfen also das x ausklammern. Wir nehmen es hier heraus, schreiben also x mal Klammer auf, nehmen das x raus und dann nehmen wir es auch hier raus, dann können wir die Klammer zu setzen. Das heißt x*5y ist 5xy und x*10*z ist 10*x*z. Also hier lasst euch nicht verwirren, wenn wir hier das x rein multiplizieren, dürfen wir es an eine beliebige Stelle setzen, also x*5y können wir auch umformen, in dem wir die 5 nach vorne ziehen. Und dann können wir wieder die Malzeichen wegnehmen. Und genauso hier hinten + x*10z. Dann wissen wir, das ist 10*z, wir dürfen die 10 nach vorne ziehen und dann haben wir auch hier 10xz. Also genau wie hier. Und jetzt fällt uns noch was auf, denn die 5 und die 10 haben ja beide den gleichen Teiler und zwar die 5. Beide lassen sich durch 5 dividieren. Das heißt hier lässt sich noch die 5 rausziehen. Also schreiben wir jetzt die 5 hier vor. 5 mal, dann muss aber die 5 hier raus und dann 10:5 ist 2. Und schon haben wir die 5 ausgeklammert. 5*y ist 5y. 5*2z ist 10z. Und x*5 können wir auch gerne schreiben als 5*x. Und dann dürfen wir hier auch das Mal wegnehmen. Schon haben wir 5x*(y+2z). Und natürlich, das können wir auch wieder ausmultiplizieren: 5x*y sind 5xy. 5x*2z, 2*5 sind 10 und x*z sind xz. Fertig! Das ist der Term umgeformt, wir haben so weit wie möglich ausgeklammert. Und als letztes die dritte Aufgabe bei der wir Quadrate mit zu stehen haben bei den Variablen. Und dann schauen wir, was haben wir hier enthalten? Wir können ja jetzt mal jeden einzelnen Term auseinander nehmen. Notieren wir die jeweilige Primfaktorzerlegung. 36 können wir zerlegen in 2*18. 18 in 2*9 und die 9 in 3*3. Dann haben wir noch das c²*d. Und dann wissen wir c² ist c*c. Das ist also unsere 36*c²*d aufgeteilt in ihre Primfaktoren und die Variablen. Bei 3*c*d, da können wir nichts aufteilen, das lassen wir so stehen. Und bei 48cd²: Nehmen wir als erstes die 48 auseinander. 48 sind 2*24. 24 sind 3*8 und die 8 sind 2*4. Und 4 natürlich 2*2. Nehmen wir die mal 3 noch nach hinten. Und jetzt haben wir *c*d² und d², richtig, sind d*d. Jetzt suchen wir die gemeinsamen Faktoren, die wir herausziehen können. Da bei der 3cd keine 2 dabei ist, können wir also schon mal keine 2 herausziehen. Wir können also nur die 3 herausziehen. Denn diese kommt bei allen drei Termen vor. Und was kommt noch bei allen drei Termen vor? Das c hier und hier. Gut, das können wir auch rausziehen. Und hier haben wir noch das d. Hier haben wir es auch und hier haben wir es auch. Das d ist also auch für das Ausklammern geeignet. Den Term, den wir also ausklammern ist 3*c*d. Gut, nehmen wir das weg, merken uns aber, dass wir 3*c*d ausklammern wollen. Und schreiben das in Klammern und jetzt 3cd als Multiplikation davor und gleichzeitig als Division bei jedem einzelnen Term. Das sieht dann so aus. Wir multiplizieren es hier vorne und müssen es dann bei jedem einzelnen Term dividieren. Und warum? Ganz klar, das hatten wir schon gesagt, wenn wir das :3cd*3cd rechnen, kommt auch das wieder raus, also 36c²d. Genauso bei den anderen beiden. So jetzt ziehen wir 3cd hier raus. Das machen wir wie folgt. Wir dividieren ja durch diesen Term. Und hier übrigens noch der Hinweis, besser wäre es noch gewesen, wenn wir hier jeweils, bei der Division, Klammern gesetzt hätten, wie wir es hier gemacht haben, damit es eindeutig ist, dass wir durch den gesamten Term 3cd dividieren und nicht nur durch 3. Also mit Klammern wäre die richtige Schreibweise. Und die, die gut mit Brüchen umgehen können, können das natürlich gerne als Bruch schreiben, denn dann wird es einfacher, denn da wissen wir, wir dürfen die Elemente, wenn alle in einer Multiplikation sind, im Zähler und im Nenner, miteinander kürzen. d und d fallen weg. Und c² ist ja c*c. Das heißt dieses c und dieses c fallen weg, und dann steht 36c/3 dort. Und dann lässt sich noch 36/3 rechnen und das sind 12, also erhalten wir 12c. Und wenn wir jetzt die 12c hier oben einsetzen für diese Division und die 12c mit diesen 3cd multiplizieren, seht ihr 12*3 sind 36 und c*c sind c² und mal d, das kommt noch dazu. Das heißt wir erhalten wieder 36c²d. Hier haben wir also korrekt ausgeklammert. Hier wird es jetzt einfacher beim nächsten Term, denn wir dividieren ein Element durch sich selbst, das heißt hier bleibt 1 übrig. Und beim letzten Term können wir das genauso machen wie bei dem Term hier vorne mit der 36. Wir schreiben ihn hier hin und als Bruch. Und jetzt können wir kürzen. Schreiben wir das d² noch als d*d und kürzen die einzelnen Variablen. Dieses d mit diesem d. Dieses c mit diesem c und wir erhalten 48d/3. Also erhalten wir 16*d. Das heißt wir können diesen Term hier oben ersetzen mit 16d. Und schon haben wir so weit wie möglich ausgeklammert. Stellen wir den Ausgangsterm und den ermittelten Term gegenüber und wir haben unsere Lösung für das Ausklammern. Wunderbar! So viel zum Ausklammern. Schauen wir uns als nächstes an, wie uns die binomischen Formeln beim Umformen und Lösen von Gleichungen helfen können.

Schauen wir uns abschließend an wie wir die binomischen Formeln benutzen können um Terme zu vereinfachen. Die binomischen Formeln hatten wir bei den Grundlagen 1 kennen gelernt und wir hatten die Formel aufgestellt: (a+b)² ist das gleiche wie a² + 2ab + b². Und wir wissen, wenn wir ein Quadrat hier haben, können wir das auch so schreiben. Beide Schreibweisen sind möglich. Entweder (a+b)² oder (a+b)(a+b). Das meint das gleiche. Und wir haben die zweite binomische Formel kennen gelernt, die so ähnlich ist wie die erste, nur, dass wenn hier ein Minus steht, sich hier ein negativer Wert ergibt. Und wir hatten die dritte binomische Formel mit (a+b)*(a-b) und da ergab sich a² - b². Wer sich nicht erinnern kann, schaut sich bitte nochmals die Lektion „Binomische Formeln“ an. Was wir jetzt machen wollen ist, Terme die so aussehen zurückwandeln in die Klammerschreibweise. Nehmen wir ein Beispiel. Für unser Beispiel wollen wir den Term also mit Hilfe der binomischen Formel vereinfachen und dann die Gleichung lösen. Das Beispiel heißt x²-4x+4 = 0. Und hier wäre es jetzt schwierig die Lösung für x abzulesen um nachher auf der linken Seite 0 zu erhalten. Deshalb benutzen wir hier die binomische Formel um unser Ergebnis direkt ablesen zu können. An der Form des Terms erkennen wir, dass es sich um die zweite binomische Formel handelt. Um den Term besser zuordnen zu können, tauschen wir die Seiten unserer Formel. Wie ihr seht a² ist x², das heißt hier ist es direkt abzulesen: Das a ist unser x. a ist x, dann hier und hier. Jetzt fragt sich, was ist b? Hier lässt es sich nicht so gut ablesen, weil hier haben wir 4*x. Und hier scheint es als ob ein Element fehlen würde, weil hier sind es ja eins, zwei, drei Elemente und hier sind nur zwei Elemente. Das hat aber damit zu tun, dass sich in der 4 zwei Elemente verbergen. Schauen wir zum nächsten Element hier hinten: Die 4 ist das b². Was muss b also sein, damit da 4 herauskommt? Richtig, 2, denn 2² ergibt 4. Wir können also für b die 2 einsetzen. Und jetzt seht ihr, 2*2 sind 4, und dann haben wir hier 4x stehen, genau wie hier oben. Also schreiben wir das hier nochmal als 4x und 2² jetzt als 4, dann sehen wir x²-4x+4, genau wie es hier oben steht, darf geschrieben werden als (x-2)². Und genau das machen wir. Wir ersetzen diesen Term mit der Klammer ins Quadrat. Und das soll immer noch 0 sein. Und nun können wir dieses Quadrat auflösen, indem wir das (x-2)*(x-2) schreiben. Und jetzt machen wir genau das, was wir vorhin schon gesagt haben, sobald ein Element der Multiplikation 0 ist, ist alles 0 und dann würde unsere Gleichung stimmen. Das heißt, wann ist dieser Term hier 0? Was muss für x eingesetzt werden? Und richtig, da seht ihr schon, x muss 2 sein. Denn dann steht hier 2-2 ist 0 und 0 mal irgendetwas ist immer 0. Und bei dem rechten Term gilt das genauso, wenn wir hier für x eine 2 einsetzen, 2-2 ist 0 und 0 mal einen Term ist immer 0. Das heißt unsere Lösung für x können wir ablesen mit x ist gleich 2. Und an dieser Stelle sei erwähnt, da wir hier zwei x stehen haben, müssen wir auch x_1 und x_2 so korrekterweise schreiben. Und man würde hier schreiben x_1 ist 2 und dann für das zweite x_2 ist 2. Und das wäre unsere Lösung. Wenn wir jetzt also für x die 2 einsetzen, erhalten wir folgendes. Wir machen die Probe. Das x wird 2 und das x wird 2. Und jetzt sehen wir 2² ist 4, 4*2 sind 8. Und wir erkennen 4-8 sind -4 und plus 4 ist 0. Eine wahre Aussage! Das heißt unser Ergebnis für x mit 2 ist korrekt. Häufig findet ihr übrigens die Anwendung der dritten binomischen Formel bei der Umformung von Brüchen. Zum Beispiel (x²-4)/(x+2) und das soll 0 sein. Diese sogenannten Bruchgleichungen, bei denen im Nenner eine Unbekannte steht, eine Variable, schauen wir uns in der Lektion „Bruchgleichungen“ ausführlich an. Hier wollen wir euch nur kurz zeigen, wie wir die binomische Formel anwenden können um das hier zu lösen. Hier sehen wir x²-4 und erkennen die Form der dritten binomischen Formel. Dazu schreiben wir 4 als 2². Wir sehen also a²-b², also x²-2². Und die können wir schreiben als (a+b)*(a-b). Kopieren wir das hier hoch und ordnen jetzt zu. a ist das x, wir schreiben also für jedes a x. Und das b ist die 2, wir schreiben also für b 2. Und schon sehen wir, wenn wir das 2² nochmal als 4 schreiben, dass wir den Term x²-4 hier oben ersetzen können durch (x+2)*(x-2). Und genau das machen wir auch hier in der nächsten Zeile. Und das sieht dann so aus. Und jetzt haben wir die Möglichkeit, schreiben wir x+2 noch in Klammern, dieses (x+2) mit diesem (x+2) zu kürzen, so dass nur noch (x-2) hier oben übrig bleibt. Und wir erhalten (x-2) gleich 0. Da können wir hier auch die Klammern wegnehmen, jetzt, um die 2 wegzubekommen +2 auf beiden Seiten und dann erhalten wir hier, das fällt weg, und hier 0+2 ist 2. Und wir haben unser Ergebnis für x mit 2. Und wenn wir jetzt hier 2 einsetzen. 2² ist 4 und 4-4 ist 0. Und im Nenner 2+2 ist 4, also 0/4 ist 0. Die Lösung ist also korrekt. Mehr Gleichungen dieser Art, in denen im Nenner eine Unbekannte steht, behandeln wir in der Lektion „Bruchgleichungen“.
Bevor wir uns jetzt auf weitere Aufgaben stürzen wiederholen wir nochmal, wie wir mit Hilfe der binomischen Formeln diesen Term auflösen können. Wir sehen ja, dass es hier die erste binomische Formel ist, also dieser Form und jetzt wollen wir diesen Term so auflösen, dass er in dieser Form dasteht. Und dazu müssen wir nichts weiter tun, als x und y zuzuordnen. Wir sehen x ist ab, das heißt wir dürfen hier und hier ab eintragen. Und wichtig immer die Klammern setzen, damit keine Fehler entstehen. Und jetzt y ist 0,5cd, das setzen wir hier und hier ein. Und schon haben wir die vorliegende Form und müssen jetzt nur noch ausmultiplizieren und da würde sich ergeben, (ab)² sind a²*b², das haben wir bei den Potenzen gelernt, dass das Quadrat auf die jeweiligen Faktoren in der Klammer gezogen wird. Dann hier können wir die Klammern auflösen und 0,5 mit 2 multiplizieren. Also 0,5 haben wir nach vorne genommen. Und hier hinten, das Quadrat geht auf 0,5, auf c und auf d. Und dann in der nächsten Zeile: Das hier ergibt 1, die brauchen wir dann nicht mehr mitzuschreiben und 0,5² sind 0,25 und schon haben wir unseren ursprünglichen Term mit der binomischen Formel umgeformt. Gut, schauen wir uns jetzt weitere Aufgaben an bei denen wir die binomischen Formeln brauchen um Terme umzuformen. Als erstes sollen wir diesen Term ausmultiplizieren und hier sehen wir (x-1)*(x+1), das ist die dritte binomische Formel. Wir können hier also notieren (x²-1²) und 1² ist 1. Und als nächstes, wie wir es vorhin gesehen haben, wir multiplizieren jedes Element dieser Klammer mit jedem Element dieser Klammer und erhalten im ersten Schritt diese Form. Also x² mit (x+3) multipliziert und -1*(x+3) multipliziert. Und jetzt das hier ausmultiplizieren zu x²*x + x²*3 minus und dann 1 mal diese Klammer. Dann können wir das 1 mal wegnehmen. Und hier aufpassen, es steht ein Minus vor der Klammer, das heißt wenn wir die Klammer jetzt auflösen, wird dieses positive x negativ und diese positive 3 ebenfalls negativ. Gut und jetzt können wir das zusammenfassen und erhalten x³ + 3x² - x – 3. Der fertige Term, den wir aus diesen Klammern erhalten haben. Und ein kleiner Tipp an der Stelle: Wählt euch ein beliebiges x und testet ob das Ergebnis das hier rauskommt, auch mit der Ergebnis das hier rauskommt, übereinstimmt. Also so eine Art Probe. Wir stellen also die beiden gegenüber und wählen jetzt einen beliebigen Wert für x. Nehmen wir einfach die 4. Und jetzt können wir ausrechnen im Kopf: 3*5 sind 15. 15*7 sind 105. Und für die rechte Seite: -4-3 sind -7. 4² sind 16. Und 4³ sind 16*4, wir erhalten 64. Und 3*16 das sind 48. Und wir erkennen 64+48 sind 112. -7 sind 105. Eine wahre Aussage, das heißt unsere Termumformung stimmt. So weit so gut, gehen wir jetzt zur nächsten Aufgabe über.
Bei der nächsten Aufgabe sollen wir mit Hilfe der binomischen Formel diesen Term vereinfachen. Also diesen Bruch auflösen. Und wir haben hier schon x und y farbig markiert, so erkennen wir, dass y und x hier oben bei beiden vorkommen. Das heißt die erste Idee ist x und y auszuklammern. Und ebenfalls, hier ist eine 5, hier ist eine 5, also klammern wir die auch aus. Machen wir das hier unten. Das heißt wir setzen jetzt erst einmal die Klammer drum herum und schreiben jetzt ein y mal davor, dann müssen wir hier das y wegnehmen und hier haben wir y³, also dreimal das y, das heißt wir nehmen eins weg. Aus y*y*y wird also y*y, also y². Als nächstes nehmen wir ein x raus, das heißt aus diesem x³ wird, richtig, ein x². Und hier hinten, das x nehmen wir weg. Und jetzt haben wir noch die 5 hier und die 5 hier, die wir jetzt rausnehmen mit 5 mal. Und bei x² und y² können wir jetzt nichts mehr ausklammern. Das heißt schreiben wir das noch als 5xy und das ist die ausgeklammerte Version dieses Terms hier oben im Zähler. Das heißt wir ersetzen diesen mit diesem Term. Und an dieser Stelle müsst ihr erkennen, dass hier ein Quadrat und hier ein Quadrat verbunden sind mit einem Minus, was auf die dritte binomische Formel hindeutet. Das heißt, wenn wir das hier auseinandernehmen mit Hilfe der dritten binomischen Formel, dann können wir jetzt schreiben (x+y)*(x-y). Jetzt könnt ihr diesen Term hier oben mit diesem ersetzen. Schreiben wir den nochmal in die nächste Zeile und tragen jetzt hier diesen Term ein. Und was sich jetzt ergibt, das sehen wir. Hier ist ein (x-y) und hier ist ein (x-y), was wiederum heißt wir können beide miteinander kürzen. Und es bleibt übrig. 5xy*(x+y). Und an dieser Stelle haben wir so weit wie möglich ausgeklammert und wir sind fertig. Wenn ihr wollt könnt ihr jetzt auch wieder die Probe machen. Wählt euch für x und y jeweils eine schöne Zahl, setzt die hier ein und es muss bei beiden das gleiche rauskommen. Gut, schauen wir uns noch eine Aufgabe an.
Bei dieser Aufgabe sollen wir so weit wie möglich vereinfachen. Und dazu nutzen wir als erstes das Ausklammern, denn wir sehen hier ist ein a² und hier ist ein a². Wir schreiben das also raus und erhalten dann in der Klammer die (25b² - 225). Schauen wir als nächstes ob 25 und 225 zusammenhängen. Überlegen wir, ist 225 durch 25 teilbar? Und dies ist der Fall. Die 25 passt neunmal da rein. Das heißt wir können die 25 da ausklammern, im nächsten Schritt, und notieren dann hier das b² - 9. Und hier überlegen wir weiter könnte hier drin die dritte binomische Formel stecken? Und richtig, hier ist ein Quadrat und hier die 9, ja, das ist doch 3². Das heißt wir können das hier auseinandernehmen mit Hilfe der dritten binomischen Formel. Und zwar was ist das? Richtig, (b-3)*(b+3). Und jetzt können wir (b²-9) mit diesem Term ersetzen. Dann können wir die 25 noch nach vorne schreiben und die Malzeichen wegnehmen und wir erhalten 25a²(b-3)(b+3). Das ist also die Lösung unserer Aufgabe. Wir haben diesen Term vereinfach zu diesem Term.
Zum Abschluss noch einen Hinweis zum Thema umformen. Wo besteht der Unterschied zwischen einer Termumformung und einer Umformung von Gleichungen? Bei der Termumformung verändern wir sozusagen die Schreibweise des Terms. Zum Beispiel die 12 kann geschrieben werden als 3*4 oder als 4+4+4. Oder auch auf andere Art und Weise. Beim Umformen von Gleichungen, also der Äquivalenzumformung verändern wir hingegen den Linksterm und den Rechtsterm im Wert. Also 12 wird zu 4 und die 4 wird zur 2. Was hier jedoch konstant bleibt also im Werte gleich ist unser x. Wenn wir die Lösung 2 für x hier einsetzen, steht hier 2 gleich 2. Das ist richtig. Setzen wir sie hier ein: 2*2 ist 4. Ist richtig. Oder setzen wir sie hier ein: 2*2 ist 4. Plus 8 sind 12. Also wie ihr seht, das x bleibt im Wert unverändert, bei der Äquivalenzumformung und bei der Termumformung bleibt der Wert des Terms unverändert.
Gut, jetzt habt ihr die wesentlichen Umformungswerkzeuge kennen gelernt. Zum einen das Distributivgesetz, dann das Ausklammern und dann die binomischen Formeln. Und mit diesen Werkzeugen seid ihr jetzt in der Lage diverse Terme zu vereinfachen und auch Gleichungen zu lösen. Ihr werdet noch auf viele verschiedene Aufgaben stoßen, aber gleichzeitig sehen, dass meistens diese drei Umformungsmöglichkeiten gebraucht werden. Also viel Erfolg beim Lösen der Aufgaben wünscht echteinfach.tv.