Mathe G20: Wurzeln und Wurzelgesetze

Willkommen zur Lektion „Wurzeln“. Da die Wurzeln auf den Potenzgesetzen basieren, müsst ihr also die Lektion „Rechnen mit Potenzen“ gesehen und verstanden haben. Dann können wir loslegen. Bei den Potenzen hatten wir gelernt, dass wir so etwas wie 3 mal 3, dass wir so was schreiben können als 3². Und 3² oder 3 mal 3 waren dann 9. Bei den Wurzeln hat man nur den Potenzwert hier hinten, die 9, und fragt dann, welche Zahl wurde denn mit sich selbst multipliziert, dass diese Zahl hier herauskam. Und um das anzuzeigen schreibt man dann „zweite Wurzel aus 9“. Also hier hatten wir 3². Die 2 geht auf dieses Zeichen hier vorne rauf. Und die 9 schreiben wir unter diesen Strich. Und zweite Wurzel aus 9 hätte dann den Wert 3. Man fragt also, welche Zahl muss zweimal mit sich selbst multipliziert werden, damit 9 heraus kommt. Und die Lösung wäre 3. Weil 3 mal 3 bzw. 3² 9 ist. Noch ein Wort zu dem Wurzelzeichen. Wie ihr erkennen könnt, ist das hier eigentlich ein „r“ mit verlängertem Ende. Und das Wort Wurzel kommt von dem lateinischen „radix“ was übersetzt „Wurzel“ heißt. Und dieses Wort findet sich heutzutage auch noch bei Radieschen wieder, die Wurzel. Man sagt übrigens auch für das Berechnen einer Wurzel, Wurzelziehen oder Radizieren. Ihr könnt euch also vorstellen, wenn wir diese 9 haben, dann wollen wir auf ihren Ursprung zurück. Auf ihre Wurzel. Die ist in dem Fall 3. Wir können natürlich diese Potenz noch erweitern, wir können jetzt zum Beispiel schreiben 3 mal 3 mal 3. Dann würde hier 3³ stehen und das ergibt 27. Und dann könnten wir schreiben: Dritte Wurzel aus 27 ist, richtig, die 3, weil 3³ 27 ist. Hier können wir jetzt noch einmal eine 3 dazuschreiben. Dann erhalten wir 3^4 und das ist 81. Und na klar, jetzt müssen wir hier schreiben: Vierte Wurzel aus 81 und das ist wieder 3. Noch kurz ein Wort zu den Begrifflichkeiten: Diese Zahl, die hier vorne drauf steht auf dem Wurzelzeichen, die nennt man Wurzelexponent. Bei der Potenz hatten wir Exponent gesagt, hier ist es der Wurzelexponent. Das hier unten, das war ja der Potenzwert, heißt Radikand. Das hier ist das Wurzelzeichen. Und das was herauskommt, nennt man Wurzelwert. Und der Wurzelwert gibt uns schließlich die Basis der Potenz wieder. Wenn wir so etwas übrigens haben 3^4 ist 81, vierte Wurzel aus 81 ist 3, dann können wir übrigens auch wie folgt schreiben. Wir sagen 81 ist ja 3^4, das heißt wir tragen für die 81 hier 3^4 ein. Und wir sehen: Vierte Wurzel aus 3^4 ist 3. Dann hatten wir ja vorher 3³ ist 27 und dritte Wurzel 27 ist 3. Dann können wir jetzt für diese 27 die 3^3 einsetzen und wir sehen dritte Wurzel aus 3^3 ist 3. Allgemein können wir also sagen, machen wir aus der 3 ein x und aus der 4 ein n und dann sehen wir n-te Wurzel aus x^n ist wiederum x. Die Potenz und die Wurzel heben sich gegenseitig auf, sofern n den gleichen Wert hat. Daher sagt man auch, die Wurzel ist die Umkehrung der Potenz. Sie macht sie rückgängig. Wer übrigens Probleme mit den Wurzeln hat findet unter echteinfach.tv eine Software mit der man Üben kann. Hier seht ihr zweite Wurzel aus 9 ist 3, weil 3^2 9 ist. Wenn wir jetzt die zweite Wurzel aus 16 einstellen kommt 4 heraus, weil 4² 16 ist. Selbstverständlich könnt ihr auch den Wurzelexponenten hier ändern. Zum Beispiel die dritte Wurzel aus der 8 ist 2, weil 2³ 8 ist. Ihr werdet übrigens feststellen, dass viele Werte oft Nachkommastellen haben, die dann gerundet werden. Lasst euch davon aber nicht abschrecken.
Noch ein Hinweis zur Schreibweise: Wenn ihr zweite Wurzel aus 9 habt, dürft ihr die 2 hier vorne auch weglassen, also Wurzel aus 9 schreiben. Das nennt man dann Quadratwurzel, genau wie bei den Potenzen, wo wir für „hoch 2“ „Quadrat“ sagen. Merkt euch: Ohne die Zahl hier drauf ist es immer die zweite Wurzel.
Kommen wir als nächstes zu den Rechengesetzen. Vorher müssen wir uns jedoch noch den Zusammenhang zwischen Wurzel und Potenz klar machen. Nutzen wir hierzu das Beispiel zweite Wurzel aus 3^4. Und nehmen wir diese 3^4 mal auseinander in 3² mal 3². Erinnert euch, die Exponenten 2 und 2 werden addiert und wir erhalten die 4. Jetzt können wir das ausrechnen. 3² ist 9 und 3² ist 9 und wir erhalten zweite Wurzel aus 9 mal 9. Die 9 mal 9 können wir jetzt als Quadrat schreiben. Und richtig, die zweite Wurzel aus 9², die beiden heben sich auf, und es bleibt die 9 übrig. Als nächstes nehmen wir diese 9 hier runter und versuchen aus ihr eine Potenz herzustellen. 9 ergibt sich ja aus 3 mal 3, wir können also schreiben, ist gleich 3². An dieser Stelle wollen wir diese 2 verändern. Wir wollen aus ihr einen Bruch machen. Warum? Das seht ihr gleich. 2 hier runter. Und schreiben wir sie jetzt als 2/1. Jetzt lasst uns diese 2/1 mal erweitern. Um 2. Wir erhalten für den Zähler 4 und für den Nenner 2, also 4/2. Das sind ja 2. Jetzt tragen wir diese 4/2 hier oben als Wurzelexponent ein. Schreiben als ist gleich 3^(4/2). Und jetzt erkennen wir, dass 3^(4/2) dasselbe ist wie zweite Wurzel aus 3^4. Schreiben wir mal beide nebeneinander. Und hier erkennen wir einen neue Regel. Wenn wir die Wurzel in eine Potenz überführen wollen, müssen wir folgendes machen. Wir schreiben hier den Radikanden, die 3, als Basis der Potenz. Dann nehmen wir diese 4 hier, als Exponent. Und wir nehmen diesen Wurzelexponenten, die 2, als Nenner des Exponenten. 4 geht nach oben, 2 geht nach unten in den Bruch. Das heißt wir erhalten 3^(4/2). Und allgemein machen wir aus der 2 ein a. Aus der 2 ebenfalls. Aus der 4 ein b. Hier ebenfalls. Und aus der 3 die Variable x. Und das ist unsere neue Regel. a-te Wurzel aus x^b ist das gleiche wie x^(b/a). Mit dieser Regel können wir uns viel Rechenaufwand sparen. Zum Beispiel ihr bekommt die Aufgabe : Berechne die vierte Wurzel aus 3^8. Einige würden dann erstmal die 3^8 ausrechnen. Würden dann auf 6561 kommen und daraus die vierte Wurzel scheint etwas schwierig zu sein. Stattdessen können wir diese Regel hier anwenden. Das heißt wir wandeln diese Wurzel in eine Potenz um. Und zwar steht dann da 3^(8/4). Und klar 8/4 ist 2. Wir können also schreiben 3². Und 3² ist wiederum 9. Wie ihr seht, sind wir sehr schnell auf unser Ergebnis gekommen. Falls ihr übrigens mal eine Wurzel habt wie zum Beispiel Wurzel aus 9 und sollt die in eine Potenz umwandeln. Erstmal geht es um die Quadratwurzel, also schreiben wir zweite Wurzel aus 9, dann machen wir aus der 9 eine 9^1, denn laut Potenzgesetz ist 9^1 wieder 9. Und jetzt haben wir diese Form hier: a-te Wurzel aus x^b, also zweite Wurzel aus 9^1 und wir können umwandeln in 9^(1/2). Und ganz klar, wenn ihr mal einen Wert habt wie x^(1/3), dann wisst ihr, das ist die dritte Wurzel aus x. Und hier für die 3 könnt ihr alle natürlichen Zahlen einsetzen. Also wir können auch jetzt als Variable allgemein formulieren x^(1/n) ist dann n-te Wurzel aus x. Gut, machen wir weiter mit der Multiplikation von Wurzeln. Wenn ihr so etwas habt wie a-te Wurzel aus x mal a-te Wurzel aus y, dürft ihr rechnen a-te Wurzel aus x mal y. Ihr dürft also die Wurzel auf beide Faktoren ziehen. Warum ist das so? Schauen wir mal. Um das nachzuweisen, wandeln wir die beiden Wurzeln in Potenzen um. Wir wissen, dass wir hier aus x ein x^1 machen können und aus y auch ein y^1. Jetzt können wir den Wurzelexponenten in den Exponenten ziehen und als Potenz schreiben. Wir erhalten x^(1/a) mal, und hier, y^(1/a). Jetzt erinnern wir uns an die Potenzgesetze, da hatten wir gelernt, dass wir einen gleichen Exponenten auf zwei verschiedene Basen ziehen dürfen. Das heißt wir erhalten ist gleich (x mal y)^(1/a). Und an dieser Stelle wandeln wir den Exponenten wieder zu einer Wurzel um. Das heißt wir erhalten a-te Wurzel aus x mal y hoch 1. Die hoch 1 können wir hier wegnehmen. Und auch die Klammer. Und wir erhalten a-te Wurzel aus x mal y. Genau wie hier oben.

Willkommen zurück. Im vorigen Teil hatten wir uns diese Regel für die Multiplikation von Wurzeln hergeleitet, jetzt schauen wir uns ein Beispiel dafür an. Sagen wir dritte Wurzel aus 32 mal dritte Wurzel aus 2, dann können wir jetzt dritte Wurzel aus 32 mal 2 berechnen. 32 mal 2 sind 64. Und welcher Wert muss dreimal mit sich selbst multipliziert werden, damit 64 rauskommt? Naja ganz klar, das ist die 4. Schauen wir, ob die Regel auch für die Division funktioniert. Das hatten wir ja gerade bei der Multiplikation ermittelt. Machen wir mal ein Divisionszeichen hieraus. Und wir fragen uns jetzt, ob hier auch das Divisionszeichen einfach so gesetzt werden darf und die Regel dann auch gilt. Das heißt für den Nachweis machen wir auch Potenzen hieraus. x^(1/a) ist richtig, dann Division. y^(1/a) ist auch richtig. Und jetzt wissen wir, wenn wir zwei Potenzen mit unterschiedlicher Basis, bei gleichen Exponenten dividieren, dann dürfen wir diesen Exponent auf beide ziehen. Das heißt wir dürfen hier x durch y schreiben. Und hier dann natürlich auch. Dann noch das hoch 1 weg und die Klammer und erhalten: a-te Wurzel aus x durch y. Das heißt die Regel hier oben stimmt auch. Oft werdet ihr diese Regel auch in Bruchschreibweise finden. Das heißt diese Division wird als Bruch ausgedrückt und das ergibt dann a-te Wurzel aus x durch y. Die Wurzel wird also über beide gezogen. Noch kurz eine Beispielaufgabe hierzu. Wir sollen jetzt die Wurzel aus 9/16 berechnen. Dann dürfen wir diese Wurzel auf die 9 und die 16 ziehen. Dann steht dort Wurzel aus 9 durch Wurzel aus 16. Das kann man dann jetzt schnell ausrechnen. Wurzel aus 9 ist 3 und die Wurzel aus 16 ist 4. Und wir erhalten 3/4. An dieser Stelle der Hinweis: Die Wurzelgesetze gelten nur für die Multiplikation und Division, genau wie bei den Potenzgesetzen.
Was passiert, wenn wir die Wurzel aus einer Wurzel ziehen? Nehmen wir als Beispiel: Dritte Wurzel aus zweiter Wurzel aus 3. Was kommt hier heraus? Und die Regel verrate ich euch, wenn wir so etwas haben, dann dürfen wir beide Wurzelexponenten einfach miteinander multiplizieren. Das heißt wir schreiben: (3 mal 2)-te Wurzel aus 3. Und 3 mal 2 ist natürlich 6. Also 6-te Wurzel aus 3. Warum ist das so? Benutzen wir wieder die Potenzschreibweise. Wandeln wir diese Doppelwurzel in eine Potenz um. Dazu denken wir uns als erstes diese Quadratwurzel aus 3 in Klammern und schreiben auch ein hoch 1 daran. Jetzt wandeln wir diese dritte Wurzel um, dass sie in den Exponenten geht. Also dass die 3 in den Nenner hier geht. Wir erhalten also zweite Wurzel aus 3 hoch 1/3. Als nächstes schreiben wir an die 3 eine kleine hoch 1 heran. Jetzt wandeln wir diese Wurzel hier um in eine Potenz. Dann erhalten wir 3^(1/2) und jetzt noch die 1/3 daran. Und jetzt erinnern wir uns an das Potenzgesetz, dass wir wenn wir eine Potenz potenzieren, die Exponenten multiplizieren dürfen. Das heißt wir dürfen schreiben: 3^(1/2 mal 1/3). Und 1/2 mal 1/3 sind 1/6. Und wenn wir diese 1/6 wieder zu einer Wurzel umwandeln, erhalten wir 6te Wurzel aus 3^1. Die hoch 1 wieder weggenommen und da steht 6te Wurzel aus 3. Genau der gleiche Wert, den wir hier herausbekommen haben, als wir die beiden Wurzelexponenten miteinander multipliziert haben.
Es gibt noch weitere Sachen, die ihr wissen müsst. Da wäre zum Beispiel die Schreibweise einer Zahl und gleich daneben eine Wurzel. Das bedeutet nichts weiter, als dass ihr die beiden miteinander multiplizieren müsst. Das heißt 4 Wurzel 11 heißt 4 mal Wurzel 11. Das könnt ihr euch auch von 4x wäre das gleiche wie 4 mal x. Diese aber bitte nicht verwechseln mit der gemischten Zahl. Wo wir schreiben 3 1/2 und das ist 3 plus 1/2. Hier bitte aufpassen!
Schauen wir uns als nächstes das teilweise Wurzelziehen an, bzw. man sagt auch vereinfachen. Habt ihr zum Beispiel eine Wurzel aus 80, die man nicht direkt im Kopf rechnen kann, so könnt ihr zumindest einen Teil daraus berechnen. Ihr zerlegt einfach die 80 in ihre Faktoren. Sinnvoll wären zum Beispiel 16 mal 5. Jetzt wissen wir, dass wir eine Wurzel über zwei Faktoren auch separat ziehen können. Also auf die 16 und auf die 5. Schreiben wir das gerade mal so hin. Dann haben wir Wurzel aus 16 mal Wurzel aus 5 und dürfen die Wurzel aus 16 berechnen. 16 ist ja 4². Also Wurzel aus 4² ist natürlich wieder 4. Und die Wurzel aus 5 berechnen wir nicht weiter, die lassen wir so stehen. Wir schreiben als 4 mal Wurzel 5, oder eben kurz 4 Wurzel 5.
Schauen wir uns als nächstes ein paar Sonderfälle an. Zum Beispiel die Wurzel aus 0. Das meint ja die zweite Wurzel aus 0 und es ist also gefragt, welche Zahl ins Quadrat wäre denn 0? Und natürlich, 0 selbst im Quadrat ist 0. Das heißt Wurzel aus 0 ist 0. Da die 0 mit sich selbst multipliziert immer 0 ergibt, können wir beliebige Potenzen heranschreiben. Also wir können aus 0 ein 0² machen oder ein 0³, 0^4 und so weiter. Wenn wir also ein 0² haben, heben sich der Wurzelexponent und der Exponent der Potenz gegenseitig auf und wir erhalten 0. Und das gilt nicht nur mit der hoch 2, sondern mit jeder beliebigen Zahl. Das heißt wir können hier auch verallgemeinern. n-te Wurzel aus 0^n ist 0. Und da ja immer 0 mal 0 mal 0 usw. 0 ergibt, kann man das hoch n auch wegnehmen, und jede n-te Wurzel aus 0 ist 0. Also jede beliebige Wurzel aus 0 ist 0. Das gilt jedoch nur, wenn n eine natürliche Zahl ist. Schauen wir uns als nächstes den Fall an, dass n 0 ist.
Sagen wir, wir wollen die 0te Wurzel aus einer beliebigen Zahl. Wie kann man das berechnen? Und an der Stelle wandeln wir das wieder in eine Potenz um. Wir erhalten 0te Wurzel aus x^1. Dann die 0 in den Exponenten hinein und wir erhalten x^(1/0). Und 1/0 heißt ja Division durch 0 und die ist nicht definiert. Daher ist auch die 0te Wurzel aus einer Zahl nicht definiert! Also wir erhalten kein Ergebnis. Wie schaut es aus, wenn wir einen negativen Exponenten haben? Nehmen wir als Beispiel -2te Wurzel aus 4. Wenn wir mal die in den Taschenrechner eingeben erhalten wir: -2, dann Shift Wurzel aus 4 ist gleich 0,5. Klären wir, warum das so ist. Dazu wandeln wir diese Wurzel wieder in eine Potenz um. Das heißt wir schreiben die 4 hin. Wir wissen, dass die 4 eigentlich 4^1 ist und wir jetzt den Exponenten für die Potenz bilden können. Das heißt die 1 geht in den Zähler und die -2 in den Nenner. Jetzt können wir das Minuszeichen vor den gesamten Bruch ziehen. Wir schreiben also 4^(-1/2). Dann kennen wir die Regel aus den Potenzgesetzen, dass bei einem negativen Exponenten eine 1 durch die Potenz mit positiven Exponenten gerechnet werden muss. Das heißt wir schreiben hier hin: Ist gleich 1 durch 4^(1/2). Diese 1/2 können wir jetzt wieder zu einer Wurzel machen und zwar zur zweite Wurzel aus 4^1. Dann können wir das hoch 1 wegnehmen und wir erhalten zweite Wurzel aus 4. Wenn wir das jetzt noch ausrechnen: Zweite Wurzel aus 4 ist natürlich 2, weil 2² ja 4 ist und wir erhalten 1/2. Und diese 1/2 ergibt im Wert 0,5. Das ist auch, was wir im Taschenrechner errechnet hatten. Wir merken uns also, dass diese -2te Wurzel aus 4, das gleiche ist wie 1 durch zweite Wurzel aus 4. Und wenn wir das verallgemeinern. Dann erhalten wir aus der -2 -a, dass man also einen negativen Wert. Dann schreiben wir für die 2 plus a. Und für die 4 schreiben wir ein x und hier ebenfalls. Das heißt die Regel lautet: -a-te Wurzel aus x ist gleich 1 durch a-te Wurzel aus x. Und wir hatten ja vorher noch die 1 dran stehen und hier ebenfalls und das können wir auch verallgemeinern. Wir können ja einfach schreiben b. Und schon haben wir eine neue Regel, die da lautet: -a-te Wurzel aus x^b ist das gleiche wie 1 durch a-te Wurzel aus x^b.
Gut, fassen wir nochmal kurz zusammen, was wir bisher gelernt haben. a-te Wurzel aus x^a. Die beiden Exponenten lösen sich auf und wir erhalten x. Dann hatten wir a-te Wurzel aus x^b und das ergibt x^(b/a). Als Spezialfall hatten wir hier: a-te Wurzel aus x ist gleich x^(1/a). Dann hatten wir die Multiplikation von Wurzeln und haben gesagt: a-te Wurzel aus x mal a-te Wurzel aus y ist gleich a-te Wurzel aus x mal y. Gleiches galt für die Division. Dann hatten wir Wurzel aus Wurzel und da durften wir die beiden Wurzelexponenten miteinander multiplizieren. Außerdem hatten wir gesagt, dass so etwas wie die 0te Wurzel aus x nicht definiert ist. Und wir hatten gelernt, dass die -a-te Wurzel aus x^b gleich 1 durch a-te Wurzel aus x^b ist.
Im nächsten Teil werdet ihr erfahren, warum so etwas wie die Wurzel aus -9 nicht definiert ist. Warum so etwas wie die dritte Wurzel aus einem negativen Wert definiert ist. Und warum es manchmal zu Widersprüchen kommt, wenn wir eine Wurzel mit negativen Radikanden in eine Potenz umwandeln. Außerdem lösen wir ein paar Beispielaufgaben zu den Wurzeln, die euch begegnen könnten.

Hallo zurück zum letzten Teil zu den Wurzeln. Legen wir los. Zuerst wollen wir wissen, was die zweite Wurzel aus -9 ist. Jetzt ist ja gefragt, welcher Wert mit sich selbst multipliziert ergibt schließlich -9? Und da könnten wir jetzt lange probieren, weil jeder Wert mit sich selbst multipliziert immer einen positiven Wert ergibt. Alle Werte die wir quadrieren, also wir könnten hier auch x² schreiben, sind stets positiv, also niemals -9. Aus diesem Grund haben wir hier auch kein Ergebnis und wir schreiben: nicht definiert. Anders sieht es jedoch aus, wenn wir hier einen ungeraden Exponenten haben. Also keine 2, sondern beispielsweise eine 3. Und nehmen wir mal anstatt der -9, die -27. Dann hieße das hier unten x³ ist gleich. So, und gibt es einen Wert der dreimal mit sich selbst -27 ergibt? Und den gibt es tatsächlich. Wenn wir nämlich die -3 dreimal mit sich selbst multiplizieren, stellen wir fest, dass -3 mal -3 ist plus 9. Und dann plus und minus ergibt wieder minus und 9 mal 3 ist 27. Das heißt ist gleich -27. Der Wert, der also hier als Radikand steht. Das heißt die dritte Wurzel aus -27 ist tatsächlich -3. Hat also ein Ergebnis. Wir merken uns also. Bei einem geraden Exponenten hier oben. Also 2, 4, 6, 8 usw. und einem negativen Wert unter der Wurzel, hier mal als -x dargestellt, gibt es nie ein Ergebnis. Bei einem ungeraden Exponenten, wie zum Beispiel der 3 und einem negativen Radikanden, haben wir stets ein Ergebnis. Hier als -y dargestellt. Wobei das Ergebnis eben immer negativ sein wird. Und hier, das müsste nicht 3 sein, das könnte auch 5, 7, 9, 11 usw. sein. Diese Sonderfälle könnt ihr gerne mit dem Programm unter echteinfach.tv trainieren. Könnt euch negative Radikanden auswählen, ungeraden Exponenten, und ihr seht es kommt ein Ergebnis raus. Sobald ihr einen geraden Exponenten einstellt ist die Sache nicht definiert, da die Potenz immer einen positiven Wert ergibt.
An dieser Stelle seien noch zwei Sachen kurz erwähnt. Die Wurzel aus 1 ist immer 1, da natürlich 1² 1 ist. Und richtig, wir können natürlich sagen, dass 1 hoch jede beliebige Zahl ist 1. Das heißt wir können hier schreiben 1^n, da dies für jede beliebige Zahl gilt, können wir dann hier auch die n-te Wurzel aus 1 ziehen und die ist dann eben immer 1. Außerdem merken wir uns, wenn wir so etwas haben wie dritte Wurzel aus 8², können wir auch rechnen dritte Wurzel aus 8 in Klammern hoch 2. Das heißt der Exponent verlässt die Wurzel und geht nach außen. Mit anderen Worten: Hier rechnen wir erst die Potenz, danach ziehen wir die Wurzel. In diesem Fall ziehen wir die Wurzel und dann potenzieren wir. Also wenn wir das ausrechnen: 8² ist 64. Und dritte Wurzel aus 64 ist die 4. Und wenn wir hier drüben zuerst die dritte Wurzel aus der 8 rechnen, kommen wir auf 2. Dann natürlich noch die Klammer und das Quadrat. Und wenn wir jetzt das 2² rechnen, kommen wir auf die 4. Also auf beiden Seiten das gleiche. Und verallgemeinert lautet die Regel. Machen wir aus der 3 ein a, hier ebenfalls. Aus unserer 2 ein b, hier ebenfalls. Und aus der 8 ein x. Wer sich diese Regel auch noch herleiten will, kann das wieder mit den Potenzen machen. Nimmt sich diese Wurzel hier herunter. Macht daraus eine Potenz. Jetzt können wir diesen Bruch hier trennen. Und zwar machen wir aus b/a, 1/a mal b, denn das ergibt ja dann wieder b/a. Und jetzt wenden wir die Potenzregel an und wir können diese Multiplikation der Exponenten in eine Klammer zurückwandeln. x^(1/a) in Klammern hoch b. Das 1/a noch umgewandelt in eine Wurzel und dann steht dort a-te Wurzel aus x in Klammern hoch b. Und die hoch 1 können wir hier wegnehmen. Wie wir hier sehen erhalten wir das gleiche Ergebnis wie hier oben.
Betrachten wir uns als nächstes, wann es bei der Umwandlung von einer Potenz zu Widersprüchen kommen kann. Dies kann passieren, wenn x negativ ist. Nehmen wir hierzu ein Beispiel. 3te Wurzel aus -8, das wissen wir, das ist -2. Denn (-2)³ wären -8. Merken wir uns das gerade hier oben. Und machen eine Umwandlung in eine Potenz. Wir sagen also, hier haben wir die (-8)^(1/3), wie wir es bisher gemacht hatten. Jetzt haben wir ja hier oben einen Bruch. 1/3. Und wir wissen wir können ja einen Bruch erweitern. Zum Beispiel mit 2. Dann würde sich hier oben 2 ergeben und für den Nenner hier unten 6. Und wenn wir hieraus wieder eine Wurzel machen, müssten wir schreiben 6te Wurzel aus (-8)². Und wenn wir jetzt die (-8)² rechnen, kommen wir 64. Und die 6te Wurzel aus 64, das ist 2. Wie wir sehen, erhalten wir ein positives Ergebnis, vorher hatten wir jedoch ein negatives Ergebnis. Bei solchen Umformungen müssen wir also aufpassen. Sofern a eine natürliche Zahl ist und x positiv, dürfen wir ohne Probleme umformen.
Als allerletztes schauen wir uns noch drei kleine Beispielaufgaben an. Die erste wäre: 2 Wurzel 3 plus 3 Wurzel 3. Die erste Sache an die ihr euch erinnern müsst, ist, dass hier eine Multiplikation dazwischen steht. Und dann erinnern wir uns an die Rechengesetze, die wir kennen. 2 mal ein Wert und 3 mal ein Wert ist 5 mal der Wert. Also 5 mal Wurzel 3. Und dann können wir das Mal wieder wegnehmen. Und schreiben hier als Lösung: 5 Wurzel 3. Habt ihr so eine Aufgabe wie zum Beispiel 7 Wurzel 5 mal 6 Wurzel 5. Dann hier auch wieder die Multiplikationszeichen einsetzen. Als nächstes mit dem Kommutativgesetz die Faktoren vertauschen, so dass Wurzel 5 ganz hinten steht und wir erhalten: 7 mal 6 mal Wurzel 5 mal Wurzel 5. 7 mal 6 sind 42, und bei der Wurzel 5 mal Wurzel 5 dürfen wir die Wurzel auf beide 5en ziehen. Das heißt es steht da 42 mal Wurzel aus 5 mal 5. Und 5 mal 5 sind 5². Dann heben sich Quadrat und Wurzel auf und wir erhalten 42 mal 5. Und das ergibt natürlich 210, die Lösung unserer Aufgabe. Schauen wir uns noch eine letzte Aufgabe an. Sagen wir, dass da steht: Berechne bei einer quadratischen Fläche von 2.025 m² die Seitenlänge a. Dann müssen wir als erstes die Formel aufstellen für eine Fläche, die man mit A angibt. Die da lautet: Fläche ist a mal a. Also diese Seite und diese Seite miteinander multipliziert. Dann kann man natürlich auch gleich schreiben ist gleich a². Und für A haben wir den Wert, das sind 2.025 m². Setzen wir die hier ein. Um jetzt auf a zu kommen, müssen wir nichts weiter machen als die Wurzel zu ziehen auf beiden Seiten. Das heißt wir schreiben hier: Querstrich, Wurzelzeichen. Das heißt die Wurzel ziehen wir aus 2.025 und aus a². Wurzel aus a² ist natürlich wieder a. Und die Wurzel aus 2.025, da nehmen wir uns den Taschenrechner. Klicken Wurzel und dann 2025 ist gleich 45. Wir wissen als, die Seitenlänge a beträgt jeweils 45 m. Hier und hier. Noch ein Hinweis an dieser Stelle. Bei vielen Aufgaben ist es notwendig anstatt nur der Wurzel Plusminus die Wurzel zieht. Damit ihr als Ergebnis einmal einen positiven Wert hier 45 m herausbekommt und einmal einen negativen Wert, das wären dann -45 m, also immer zwei Ergebnisse. Warum ist das so? Ganz einfach: 45² sind 2.025 und (-45)² sind 2.025. Da jedoch eine negative Strecke bei dieser Aufgabe keinen Sinn macht, haben wir sie einfach weggelassen. Bei anderen Aufgaben müsst ihr jedoch immer darauf achten, dass es eventuell auch ein zweites Ergebnis gibt mit negativem Vorzeichen. Solch eine Aufgabe wäre zum Beispiel ihr habt die Funktion f(x) = x² und die soll den Wert 4 annehmen. Also y soll 4 sein, was muss dann x sein? Schauen wir mal kurz die Funktion an. Wir haben also irgendeinen x-Wert und der soll quadriert werden und die Höhe 4 ergeben. Wir sehen da schon. Links und rechts, hier erreichen wir die 4. Also wären die Lösungen 2 und -2. Versuchen wir das als nächstes rechnerisch nachzuweisen. Wir schreiben x² = 4 hier runter und ziehen jetzt auf beiden Seiten Plusminus die Wurzel. Dann steht hier Wurzel aus x² gleich Plusminus die Wurzel aus 4. Wurzel und x² dürfen wir auflösen. Müssen dann aber hinschreiben x_1 und x_2, weil wir ja zwei Ergebnisse erhalten werden. Und jetzt rechnen wir erst mal die Wurzel aus 4, die ist 2 und wir müssen das Plusminus noch davor schreiben. Und jetzt nehmen wir das hier noch auseinander. Wir schreiben x_1 ist gleich, dann machen wir aus dem Plusminus ein Plus und hier ein Minus. Und das sind unsere beiden Lösungen. Zum Testen können wir das jetzt hier einsetzen. Schreiben die Funktionsgleichung hier nochmal zweimal hin und überprüfen jetzt, ob die Ergebnisse stimmen. Nehmen wir für die erste Gleichung die 2. Setzen die hier ein für x, dann steht da f(2) ist gleich 2² und 2² ist natürlich 4. Diese Aussage stimmt schon mal. Nehmen wir jetzt für die zweite Gleichung die -2, setzen die für x ein. f(-2) ist gleich (-2)². Und (-2)² ist natürlich Plus 4. Auch diese Aussage ist richtig. Das heißt wir haben hier zwei Punkte. Zum Einen den Punkt 1 mit den Koordinaten 2 und 4. Und den Punkt 2 mit den Koordinaten -2 und 4. Genauso, wie wir es auch in der Graphik hatten. 2 und 4 hier und -2 und 4 hier drüben.