DVD Mathematik Trigonometrie 2

• Sinus und Kosinus am Einheitskreis

Eine Einführung zum Einheitskreis zur Ermittlung von Sinus und Kosinus für beliebige Winkel. Wie können wir die Werte für sin und cos am Einheitskreis ablesen. Zusätzlich klären wir die Wortherkunft "Einheitskreis". Wir zeigen, wie ihr euch wichtige Sinus- und Kosinuswerte merken könnt.

• Referenzdreieck, Punktkoordinaten

Wann sind Sinus und Kosinus positiv und negativ. Sinus und Kosinus lassen sich mit Referenzdreiecken für jeden Quadranten des Koordinatensystems bestimmen (ähnliche Dreiecke). Wertebereich für Sinus und Kosinus (mögliche Werte). Sinus und Kosinus ablesen an den Punktkoordinaten (Punkt des Winkels).

• Tangens am Einheitskreis

Tangens für beliebige Winkel mit Hilfe des Einheitskreises. Im Gegensatz zum Sinus und Kosinus kann der Tangens auch "nicht definiert" sein, wir klären, bei welchen Winkeln dies der Fall ist. Positive und negative Tangenswerte je nach Quadrant. Tangens mit Punktkoordinaten berechnen.

• Identitäten zur Winkelbestimmung

Winkel (0° bis 360°) aus Sinus- und Kosinuswert bestimmen. Was sind Identitäten und wozu brauchen wir sie. Wir behandeln eine Auswahl an Identitäten. Mit Hilfe der Identitäten vom Sinus zum Kosinus. Deutung des Kosinus als um 90° rotierter Sinus mit: sin(a) = cos(a-90°). Abschließend klären wir, warum Kosinus Ko-Sinus heißt.

• Trigonometrischer Pythagoras

Trigonometrischer Pythagoras inklusive Herleitung. Schreibweise sin²(a) für (sin(a))². Ermittlung der Formel cos²(a) + sin²(a) = 1 sowie der im Zusammenhang stehenden Koordinatengleichung des Einheitskreises x² + y² = 1. Wir zeigen, wie man von einem Winkel mit Sinuswert rechnerisch zum Kosinuswert kommt.

• Einführung Sinusfunktion

Was bedeutet Sinus-Funktion, wie ergibt sie sich? Wir stellen die Sinusfunktion im Koordinatensystem dar und erhalten einen geschwungenen Graphen (Sinuskurve). Beispiel aus dem Alltag: Beschreibung der Flughöhe eines Balles.

• Kosinusfunktion + Periode

Wie ergibt sich die Kosinusfunktion? Einführung der Periode bei Sinus und Kosinus. Darstellung der (Ko)Sinusfunktion im Einheitskreis. Kosinus-Schwingung am Beispiel des Pendels! Lineare Bewegung kontra Kosinusschwingung.

• Tangensfunktion

Wie ergibt sich die Tangensfunktion? Der Tangensgraph unterscheidet sich vom (Ko)Sinus-Graphen. Auch klären wir, wie man die Periode der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion notiert, für Sinus: sin(a) = sin(a + k*360°).

• Allgemeine Sinusfunktion

Wie lässt sich die Sinusfunktion verändern? Wir betrachten die Gleichung f(x) = a*sin(b*x + c) + d und klären die Bedeutung der einzelnen Variablen. Wir strecken und stauchen den Sinusgraphen und spiegeln ihn.

• Allgemeine Kosinus- und Tangensfunktion

Wir verschieben die Sinusfunktion und schauen uns an, wie sich die Kosinus- und Tangensfunktion verändern lassen. Auch klären wir in diesem Zusammenhang die Begriffe Amplitude, (Kreis)Frequenz und Phasenverschiebung.

• Einführung Bogenmaß

Wiederholung der Winkelmaße. Definition von Bogenmaß mit alpha = Kreisbogen / Kreisradius. Einheit: Radiant. Zusammenhang zwischen Bogenmaß und Kreiszahl Pi.

• Grad in Bogenmaß umrechnen

Wie rechnen wir Grad in Bogenmaß um. Wie lässt sich Pi hierzu benutzen? Herleitung der Umrechnungsformeln. Abschließend 2 Aufgaben zur Umrechnung Grad <-> Bogenmaß.

• Bogenmaß mit dem Taschenrechner

Auf was müssen wir achten, wenn wir mit dem Taschenrechner Grad und Bogenmaß umrechnen. Taschenrechner-Modi: DEG, RAD, GRAD. Bogenmaß statt Gradmaß beim Sinus: sin(90°) = sin(0,5*Pi) = 1. Bogenmaß bei der Sinusfunktion.

• Herleitung der Kreiszahl Pi

Wir schauen uns die Kreiszahl Pi näher an: Warum schreibt man Pi? Pi als Verhältnis von Kreisumfang/Kreisdurchmesser. Wir zeigen, wie wir uns dem Pi-Wert von 3,1415... über Polygone (Vielecke) annähern können.

• Einführung Trigonometrische Gleichungen

Einführung zu Gleichungen und Lösungsmöglichkeiten (1 Lösung, mehrere Lösungen, keine Lösung). Was ist das Intervall und wie beeinflusst es die Lösungsmenge bei den Trigonometrischen Gleichungen. Wie ist die Lösung im Bogenmaß anzugeben.

• Zweite Lösung per Identität + Periodizitätssummand

Die Gleichung sin(x)=0,5 hat 2 Lösungen im Intervall [0°, 360°]. Darstellung der 2. Lösung am Einheitskreis mittels Identität sin(x) = sin(180°-x). Wir lernen den Periodizitätssummand kennen. Lösung am Sinusgraphen, Umrechnung der Lösung ins Bogenmaß.

• Lösung von cos(x)=-0,5 und sin(2*x)=0,5

Wir lösen die Gleichung cos(x)=-0,5. Darstellung am Einheitskreis. 2. Lösung mit Hilfe der Identität cos(x) = cos(-x). Periodizitätssummand bei Kosinus. Lösung der Aufgabe: sin(2*x)=0,5. Wie verändert der Faktor vor x die Lösung + Periode. Darstellung am Funktionsgraphen.

• Nullstellen des Sinusgraphen + Lösungsformel

Wir untersuchen sin(x), sin(2x), sin(x+10°), sin(x-90°) und sin(2*x-90°). Auswirkungen auf die Nullstelle des Sinusgraphen. Herleitung der allgemeinen Lösungsformel x = -c/b + k*180/b für alle Nullstellen von sin(b*x)+c = 0.

• Lösen von Sinusgleichungen

Nullstellen bei a*sin(b*x+c)+d=0. Lösung der Gleichung sin(2x+30°)-0,5=0. Berechnung der Periode und Ermittlung der 2. Nullstelle mittels Sinusidentität unter Berücksichtigung der veränderten Sinusgleichung.

• Lösen von Kosinus- und Tangensgleichung

Wir lösen Kosinusgleichung und Tangensgleichung. Berechnung der Aufgabe cos(2x-90°)+0,5=0. Ermittlung der 2. Lösung über Kosinusidentität. Aufgabe: 0,3*tan(1,5x-90°)+0,3=0. Periode bei Tangens mit 180°/b.

• Additionstheorem für Sinus

In diesem Video zeigen wir die grafische Herleitung des Additionstheorems für Sinus mit sin(a+ß) = sin(a)*cos(ß)+cos(a)*sin(ß) sowie die Anwendung der Additionstheoreme zum Nachweis von trigonometrischen Identitäten.

• Additionstheorem für Kosinus

Wir zeigen zuerst, wie das Sinus-Additionstheorem zum rechnerischen Nachweis von Sinuswerten für Winkel > 90° genutzt werden kann. Anschließend gibt es die vollständige Herleitung des Additionstheorems für Kosinus: cos(a+ß) = cos(a)*cos(ß)+sin(a)*sin(ß)

• Additionstheorem für Tangens

Wir zeigen, wie sich das Additionstheorem für Tangens ergibt mit: tan(a + ß) = (tan(a) + tan(ß) ) / ( 1 - tan(a)*tan(ß) ). Danach nutzen wir das Additionstheorem, um Tangenswerte für Winkel > 90° zu berechnen.

• Herleitung weiterer Additionstheoreme

Was passiert, wenn wir statt sin(a + ß) ein sin(a - ß) haben? Es ergeben sich neue Additionstheoreme. Wir zeigen auf, welche das sind für sin(a - ß), cos(a - ß) und tan(a - ß).

• Herleitung der Doppelwinkelfunktionen

Die Doppelwinkelfunktionen sind ein Spezialfall der Additionstheoreme, denn hier wird der Sinus/Kosinus/Tangens des doppelten Winkels betrachtet. Welche neuen Formeln sich hierbei ergeben, lernen wir in diesem Video. Abschließend lösen wir noch einige Aufgaben mit Hilfe der Additionstheoreme.

• Einführung Kehrwertfunktionen

Was bedeutet Kehrwert bei der Funktion. Wie sind die Kehrwertfunktionen definiert. Sinus -> Kosekans, Kosinus -> Sekans, Tangens -> Kotangens. Wertebereich (mögliche y-Werte) der Kehrwertfunktionen.

• Kosekans und Sekans am Einheitskreis

Wir betrachten uns, wie sich die Kehrwertfunktionen Kosekans und Sekans am Einheitskreis ergeben. Klärung der Begriffe Ko-Sekans und Sekans über den Sekantenabschnitt.

• Kotangens am Einheitskreis + sec/scs/cot-Funktionen

Wir schauen uns an, wie Kotangens am Einheitskreis abgelesen wird und weshalb man den Begriff Ko-Tangens verwendet. Danach betrachten wir die csc-/sec-/cot-Funktionen im Koordinatensystem inklusive Definitionslücken. Beispielaufgabe zum Finden des Schnittpunktes: cot(x-30°) = tan(x-30°).

• Ergänzungen zur Trigonometrie + Ausblick höhere Mathematik

Berechnung der Aufgabe sin(x)=cos(x). Was sind gemischt-goniometrische Gleichungen. Was ist die Umkehrfunktion Arkussinus. Ausdruck des Sinuswertes sin(45°) über eine Wurzel. Rückführungen der trigonometrischen Funktionen auf Sinus. Ausblick höhere Mathematik: Taylorreihen und Fourierreihen.