Rechentrick RT01: Schnelle Division durch 5

Hallo liebe Mathefreunde, heute zeigen wir Euch einen Trick, wie Ihr durch 5 schneller rechnen könnt.
Bisher rechnet Ihr wahrscheinlich wie folgt: Wenn wir eine Zahl durch 5 dividieren, ist dies nicht ganz so einfach. Meistens zerlegen wir diesen Teil dann im Kopf, um uns das Ergebnis zusammen zu stellen. Also, wir wissen ja, dass zum Beispiel 100 : 5 = 20 ist. Und wenn wir dann 400 haben durch 5, dann sind das 4 * 20, also 80. Und dann der Rest, die 40 : 5, das sind 8. Also ist das Ergebnis 88. Das können wir dann auch hier oben eintragen. Auf diese Art und Weise rechnen viele, um dann auf das Ergebnis zu kommen. Sie zerlegen hier vorne die Zahl, den Dividenden, und dann teilen sie die einzelnen Stücke durch 5. Also wenn wir das übrigens auf eine Zeile schreiben, dann sieht das so aus. Hier sind die 440, und die teilen wir jetzt in 400 + 40. Also (400 + 40), und die Klammer nicht vergessen, und laut Distributivgesetz müssen wir die durch 5 auf beide Zahlen hier ziehen. So und dann 400 : 5 = 80 und 40 : 5 = 8; 80 + 8 = 88. Das ist alles sehr aufwändig, es wäre doch schön, wenn wir das einfacher rechnen können; und ja, hier gibt es eine Möglichkeit, die wir Euch im Folgenden zeigen, den sogenannten „Rechentrick“.
Um den Rechentrick durchzuführen, macht Ihr das Folgende: Ihr nehmt die Zahl, die dividiert werden soll, verdoppelt diese, also da kommt hier 880 raus, und im nächsten Schritt streicht Ihr die 0 hinten weg. Und schon habt Ihr das Ergebnis. 440 : 5 = 88.
Und dass das immer funktioniert, können wir Euch mit ein paar Beispielzahlen vorrechnen. Hier haben wir ein kleines Programm, das uns Vielfache der Zahl 5 erzeugt, also Zahlen, die durch 5 teilbar sind, im Bereich von 0 bis 2000. Und den Rechentrick wenden wir jetzt an. Wir lassen uns eine Zahl geben, und die dividieren wir jetzt durch 5.
Nr. 1 ist 60. 60 verdoppelt sind 120, die 0 weg, sind 12. Und richtig: 12 * 5 = 60.
Nehmen wir noch eine: 1635. Die zu verdoppeln, das müssen wir im Kopf machen, das sind 16 verdoppelt sind 32, 35 verdoppelt sind 70, also 3270. Dann hinten die 0 weg, also 327. Gucken wir uns das im Taschenrechner an: 327 * 5 = 1635. Also natürlich 1635 : 5 ist wieder 327. Richtig.
Und da es so schön ist, noch eine dritte Zahl, ein drittes Beispiel: 400. 400 verdoppelt sind 800, hinten die 0 weg, wir haben 80. Und richtig, das kann man im Kopf machen: 80 * 5 = 400.
So habt Ihr jetzt also einen Rechentrick kennengelernt, mit dem Ihr die Division durch 5 sehr schnell durchführen könnt: Die Zahl verdoppeln und dann hinten die 0 wegstreichen. Und das ist das Ergebnis.
Natürlich steckt hinter dem Rechentrick ein Rechenmechanismus, also es ist kein Zufall, dass es funktioniert. Was hinter diesem Rechentrick steht, erklären wir im Folgenden für Interessierte. Man kann diese Berechnung auf mehrere Arten nachweisen, wir zeigen Euch im Folgenden drei Stück.
Die erste ist: Wir können ja diese durch 5 mal in Klammern setzen, und wir wissen, dass sich 5 ergibt als 10 : 2, also schreiben wir das mal hier hin.
Wenn wir jetzt an der Stelle die Klammern auflösen wollen, müssen wir aufpassen, dass hier aus der Division eine Multiplikation wird. Also dann steht da in der nächsten Zeile durch 10 mal 2. Wer sich jetzt wundert, weshalb hier aus „durch“ jetzt „mal“ wird, kann sich das auch an einem kleinen Beispiel vor Augen führen, und zwar an 40 : 5.
Das ist also kurz als Nebenbeispiel. Wenn wir jetzt hier eine durch 10 durch 2 draus machen, müssen wir als Erstes die Klammer rechnen: 10 : 2 = 5; 40 : 5 = 8. Wenn wir jetzt die Klammern einfach so auflösen und die Division dastehen lassen, rechnen wir 40 : 10 = 4; und 4 : 2 = 2! Wie Ihr seht, es ist nicht mehr 8, das heißt, dieser Term, also das, was hier links steht, ist ungleich diesem Term. Und wenn wir jetzt hier ein mal draus machen, können wir rechnen: 40 : 10 = 4, * 2 = 8. Ihr seht also, wenn wir hier die Klammer auflösen wollen, muss hier ein mal gesetzt werden, damit das Ergebnis weiterhin gleich bleibt. Einfach die Klammern auflösen und die Division stehen lassen, das wäre falsch! So ist also 40 : (10 : 2) = 8 = 40 : 10 * 2. Und dann können wir hier die 8 noch wegnehmen. Gut, das war nur eine Randbemerkung, jetzt versteht Ihr diesen Schritt.
Und hier sehen wir auch schon den Rechentrick, und zwar sind das ja zwei Operationen: Einmal durch 10 und einmal mal 2. Und wenn wir 440 : 10 rechnen, heißt das die 0 hinten wegstreichen, und mal 2, die 44 verdoppeln, und wir kommen auf 88. Und wir müssen nicht als erstes durch 10 hier rechnen in diesem Term, wir können auch als erstes mal 2 rechnen und dann durch 10! Und so ergibt sich also der Rechentrick: Verdopple den Dividenden, also die 440, und streich hinten die 0 weg. Und so kommst Du auf das richtige Ergebnis. Und das gilt nicht nur für die 440, das gilt für jede beliebige natürliche Zahl, die wir hier einfach x nennen. Und dann muss natürlich hinten die 88 weg, denn es kommt ja je nach der eingesetzten Zahl jeweils ein Ergebnis heraus.
Gut, wir haben gesagt, wir wollen Euch noch einen weiteren Nachweis zeigen, dass durch 5 das Gleiche ist wie mal 2 durch 10, und zwar mit den Brüchen. Denn x : 5 können wir natürlich auch als Bruch schreiben als x/5. Und an der Stelle müsst Ihr natürlich die Bruchrechnung beherrschen, um die folgenden Umformungen nachvollziehen zu können. Als Erstes wissen wir, dass wir eine durch 5 auch schreiben können als mal 1/5. Und zwar dürfen wir hier oben schreiben x * 1, und dann können wir die 5 entweder auf das x ziehen oder die 1. Also ziehen wir sie auf die 1, damit steht das x alleine. x * 1/5. Und als nächstes erweitern wir die 1/5 mit 2! Dadurch entsteht aus 1/5, richtig, 2/10. Und das können wir selbstverständlich wieder als Division schreiben 2 : 10. Und an der Stelle sehen wir: Wenn wir eine Zahl durch 5 dividieren, so ist es das Gleiche, als ob wir die Zahl verdoppeln und dann durch 10 dividieren. Und wenn wir eine durch 5 teilbare Zahl verdoppeln, wird die letzte Ziffer immer eine 0 sein; denn eine Zahl, die durch 5 teilbar ist, also ein Vielfaches von der 5 ist, hat hinten entweder die 5 oder die 0 als letzte Ziffer. Und wenn wir dann diese Zahl verdoppeln, dann bleibt 0 0, und die 5 wird zur 10, also die letzte Ziffer wird dann auch eine 0. Deswegen können wir einfach sagen an der Stelle: Bei der durch 10 streich die 0 hinten weg.
Und noch ein dritter Nachweis, dass durch 5 das Gleiche ist wie mal 2 durch 10, ebenfalls mit den Brüchen, und zwar ändern wir wie folgt: Wir schreiben x : 5 zu x/5 um, und dann erweitern wir hier schon oben und unten mit 2! Und dann rechnen wir hier unten 5 * 2 aus, das sind 10. Und jetzt können wir den Bruchstrich wieder als Division schreiben und erhalten x * 2 : 10. Und wieder haben wir nachgewiesen, dass unsere durch 5 das Gleiche ist wie mal 2 durch 10.
Super! Jetzt habt Ihr nicht nur den Rechentrick gesehen, sondern Ihr habt ihn auch noch verstanden.
Guckt doch bei uns auf echteinfach.tv vorbei, nutzt dieses kleine Matheprogramm hier und übt die schnelle Division durch 5 mit diesen Zufallszahlen. Hier zum Beispiel: Wir müssen die Zahl verdoppeln, dann sind wir bei 490, also ist 245 : 5 = 49. Oder hier: Das sind 2130, das heißt, diese Zahl durch 5 sind 213. Und so weiter.
Alles klar? Viel Erfolg in Mathe wünscht das Team von Echt Einfach TV!