Rechentrick RT02: Komma-Fünf-Zahlen schnell quadrieren

Hallo liebe Mathefreunde, heute zeigen wir Euch einen Trick, wie Ihr Komma-Fünf-Zahlen, also Zahlen, die auf Komma-Fünf enden, schnell und vor allem ohne Taschenrechner quadrieren könnt!

Nehmen wir ein Beispiel: 3,52. Der Trick geht wie folgt: Ihr nehmt Euch die erste Ziffer, die 3, multipliziert die nächsthöhere Zahl mit der 3, das wäre in dem Fall die 4, und addiert auf dieses Ergebnis 0,25. Und das ergibt 12,25, was gleichzeitig dem Ergebnis von 3,52 entspricht. Nutzen wir den Taschenrechner und schauen, ob das stimmt und tippen ein 3,52. Und Ihr seht, es kommt 12,25 raus. Und das geht nicht nur mit 3,52; Ihr könnt auch diverse andere Zahlen nehmen.

Nehmen wir 7,52 als ein zweites Beispiel. Dann heißt das nach unserem Muster: Die 7 nehmen, diese mit der nächsthöheren Zahl, also 8 multiplizieren, und richtig, hinten noch die 0,25 draufschlagen. Was kommt heraus? 7 * 8 = 56; also 56,25, was gleichzeitig unserem Ergebnis für 7,52 entspricht. Zum Test den Taschenrechner und wir tippen ein: 7,52. Und Ihr seht, es kommt 56,25 raus.

Und weil es so schön ist, noch ein Beispiel mit einer höheren Zahl: Nehmen wir 99,52. Wir müssen 99 also mit 100 multiplizieren und richtig, 0,25 hinzuaddieren. Und wir erhalten 9900,25, das Ergebnis unseres Quadrats. Zur Probe den Taschenrechner, wir tippen ein 99,52 und erhalten 9900,25.

Sehr schön - das ist also ein Trick, wie Ihr sehr schnell Komma-Fünf-Zahlen quadrieren könnt! Und dieser Trick ist selbstverständlich keine Zauberei. Dieser Rechenweg, dieser Rechenmechanismus lässt sich herleiten.

Schauen wir uns das kurz an, wie man von dem Quadrat auf diese Form kommt. Nehmen wir für die Herleitung noch eine andere Zahl, nehmen wir 9,52. Dann ergibt sich hier 9 * 10 + 0,25, und das sind 90,25. Gut, wie kommen wir also von diesem Quadrat auf diese Multiplikation plus Addition? Als erstes nehmen wir die 9,5 und schreiben die 9,5 als Summe, und zwar: (9 + 0,5)2. Und das ist immer noch das Gleiche wie das. Und als nächstes erinnern wir uns an die binomische Formel, und zwar an die erste, und wenden diese an, indem wir die Klammern ins Quadrat auflösen zu 92 + 2 mal jetzt die 9 und dann die mal 0,5, und dann + 0,52. Also wie gesagt, wir haben hier jetzt einfach die binomische Formel angewendet (a + b)2 = a2 + 2 * a * b + b2. Diese Formel sollte Euch bekannt sein. Gut, weiter mit unserem Beispiel: Wir können hier die 2 mit der 0,5 verrechnen; also erinnert Euch ans Kommutativgesetz: In einer Multiplikation können wir die Faktoren beliebig vertauschen, also schreiben wir die 2 zur 0,5. Und dann können wir 2 * 0,5 rechnen, und das ergibt 1. Und die mal 1 brauchen wir nicht mitschreiben, das neutrale Element der Multiplikation. Dann rechnen wir noch die 0,52, das sind 0,25; und jetzt schreiben wir die 92 als 9 * 9. Dann erkennen wir nämlich, dass wir die 9 hier und hier ausklammern können aus dieser Teilsumme! Und zwar schreiben wir die 9 mal Klammer auf, und jetzt, um diese 9 * 9 zu erzeugen, müssen wir hier eine 9 hinschreiben, dann das plus; und um diese 9 zu erzeugen, hier steht ja sozusagen, wie wir grad gesehen hatten, 9 * 1, müssen wir einfach eine 1 hier hinschreiben. Und schon haben wir die 9 ausgeklammert. 9 * 9 ist diese 9 * 9, plus plus 9 * 1 ist diese 9. Und dann noch die +0,25 hier ran. Und jetzt seht Ihr schon:
9 + 1 ist, richtig, 10; also können wir schreiben 9 * 10 + 0,25, was dann natürlich 90,25 ergibt, und was unserem Rechentrick entspricht! Die 9 um 1 erhöht, also hier habt Ihr 9 + 1, das ist die Erhöhung um 1; 9 * 10 und dann hinten die 0,25 ran. Das ist unser Rechentrick!

Und wir können das hier verallgemeinern, indem wir für die 9 ein n einsetzen, also eine Variable, die wir jetzt „n“ nennen, und dann hier jede 9 mit n ersetzen. Also hier, hier, hier und hier, diese 9en werden zu n, und diese beiden ebenfalls. Und hier oben die 9,5 schreiben wir jetzt ausnahmsweise als „n,5“. Also hier aufpassen: Das n steht jetzt nur für die Ziffer. Das ist mathematisch nicht korrekt notiert, es ist nur ein Hinweis für Euch, woher dieses n aus der Klammer stammt, also die Ziffer beziehungsweise die Ziffern vor dem Komma. Gut, und wir sehen also: Nimm die Ziffer vor dem Komma, multipliziere sie mit dem um 1 erhöhten Wert, und addiere die 0,25 darauf.

Sehr gut! So habt Ihr also wieder einen neuen Rechentrick kennengelernt, der Euer Kopfrechnen noch viel schneller macht.