STE01: Volumen des Quaders

Hallo liebe Schüler. Heute schauen wir uns an, wie wir das Volumen eines Quaders bestimmen können. Und wir stürzen uns auch gleich auf ein anschauliches Beispiel. Wir haben hier einen großen Block aus Ziegelsteinen der die Form eines Quaders hat. Das heißt die Seiten sind Rechtecke und die gegenüberliegenden Seiten sind gleich groß. Also diese Seite ist genauso groß wie diese Seite. Markieren wir diese Seiten farblich. Dann erkennt ihr dieses grüne Rechteck ist genauso groß wie dieses hier. Und dieses blaue hier ist genauso groß wie dieses hier. Und dieses schwarze ist genauso groß wie, lasst uns den mal kurz etwas hochheben, wie dieses hier. Der Fachbegriff hierzu ist deckungsgleich bzw. kongruent. Das heißt diese grüne Fläche kann exakt auf die andere grüne Fläche herauf gelegt werden. Und wie wir sehen, sie passen direkt aufeinander. Und das gleiche gilt für diese Fläche. Sie passt direkt auf die andere. Merkt euch außerdem, dass beim Quader alle Winkel rechtwinklig sind. Als nächstes wollen wir berechnen, wie viel Volumen diese Quader hat. Das heißt wir wollen wissen wie groß seine Ausdehnung ist. Und um das berechnen zu können, müssen wir wissen, wie groß er ist. Wir bestimmen also die folgenden Seiten: Die Breite, die Höhe und die Tiefe, bzw. mathematisch korrekt sagt man Länge. Die Länge dieses Quaders. Und mit Hilfe der drei Seiten können wir dann das Volumen berechnen. Messen wir also alle drei Seiten und benutzen dazu ein Gitternetz. Also gleich große Kästchen und jetzt können wir abzählen. 1, 2, 3 ,4 Kästchen. Und wenn wir wissen, dass ein Kästchen 1 Meter lang ist, dann sind das hier 4 Meter für die Länge. Dann zählen wir mal hier die Breite: 1, 2, 3. Perfekt. 3 Meter. Und wie hoch ist der denn? Und jetzt können wir nicht dieses Gitternetz um nach oben zu schauen, lasst uns doch noch hier an der Seite eins eintragen. Und dann sehen wir: 1, 2 Kästchen hoch, das heißt 2 Meter. Und jetzt nehmen wir uns die Formel für das Volumen. Sie lautet: Breite * Höhe * Länge. Und das sind dann 3*2 sind 6. Mal 4 sind 24. Das heißt dieser Quader hat ein Volumen von 3*2*4, also 24 m³. Und m*m ist m² und nochmal haben wir m³. Also Kubikmeter. Erinnert euch an die Potenzen. Das heißt also unser Ziegelsteinblock hat ein Volumen von 24 m³. Viele wissen jedoch nicht auf Anhieb, wie man sich solche Volumenangaben richtig vorstellt bzw. was das denn überhaupt bedeutet. Daher zeigen wir euch im Folgenden noch ein paar hilfreiche Visualisierungen. Zuerst halten wir fest: 1 m³ ist ja 1 m breit, 1 m hoch und 1 m lang, das sieht dann so aus. Beschriften wir: 1 m breit, 1 m hoch, 1 m lang. 1*1*1 1 m³. Bei so einem Quader sprechen wir übrigens auch von einem Würfel, denn alle Seiten sind gleich lang. Und wenn wir jetzt hier noch einen Würfel hinsetzen, dann haben wir jetzt hier 2 m. 1*1 ist gleich geblieben, also haben wir 2 m³. Anders gesagt, wir haben 2 mal einen 1 m³ Würfel. Lasst uns doch die Würfel einmal einzeichnen. Und jetzt lasst uns diese Textur hier etwas transparent machen. Jetzt sehen wir das besser. Also die Würfel sind hier etwas kleiner gezeichnet, damit man es besser sieht. Eigentlich müssten die so groß gezeichnet werden, ja. Das ist 1 m³, das ist 1 m³, also haben wir 2 m³. Und wenn wir jetzt unseren Quader auf 3 m Breite erweitern haben wir, richtig, 3 mal einen Würfel, also 3 m³. Und jetzt wollen wir die Höhe um 1 erweitern. Das bedeutet, wir setzen noch eine Reihe von Würfeln darauf. Das heißt jetzt wir haben hier 2 m, hier 3 m und hier 1 m, also wir haben 3*1*1, das sind die unteren drei Würfel zweimal, also zwei Reihen. Damit sind es 6 Würfel, also 6 m³. Oder wenn wir jetzt noch einen hoch gehen, auf 3 m, wie viel Kubikmeter haben wir dann? Hier unten sind 3 m³, hier sind 3 und hier nochmal 3. 9 m³ bzw. 9 Würfelchen. Und jetzt, wenn wir unser Objekt eins nach links erweitern, also nicht mehr 1 Meter, sondern 2 Meter da haben, dann haben wir nicht mehr 9, sondern, richtig, 2*9 also 18 m³. 18 Würfel mit jeweils 1 m³. Werfen wir nochmal einen Blick auf unsere Aufgabe. Dann sah das so aus: Die 24 m³ und dann können wir uns vorstellen, dann haben wir hier 3 m*2 m, also 1, 2, 3 und 1, 2, 3 Kästchen, also 6 Kästchen und die viermal. Zeichnen wir die mal ein. Machen wir es mal etwas transparenter. Und wir sehen 6 Kästchen, die 1, 2, 3, 4 mal also vier Reihen. 6*4 sind 24. So habt ihr also eine Vorstellung, wie sich das Volumen ergibt. Wenn ihr also 24 m³ vor euch habt, wisst ihr, das sind 24 mal 1 Kubikmeterwürfel. Und denken wir uns an dieser Stelle ein kleines Beispiel. Stellen wir uns vor, das sind die Abmessungen eines Swimmingpools, dann wissen wir, da müssen 24 m³ Wasser rein. Und wir wissen 1 m³ sind 1000 l. Wir brauchen also 24.000 l um den Swimmingpool zu füllen. Merken wir uns außerdem für das Volumen, dass die Anordnung der Würfel unterschiedlich sein kann. Also wir könnten jetzt auch anstatt 2*3*4 um 24 m³ zu erreichen eine Anordnung zu wählen wie zum Beispiel 6*4 bei einer Höhe von 1. Das sind auch 24 m³, die sind jedoch anders angeordnet. Oder ganz extrem: Die Quaderbreite ist 2 m, die Länge 1 m und die Quaderhöhe 12 m. Dann haben wir 2 Würfel zwölfmal übereinander gelegt. Also 24 m³. Wie gesagt, es gibt verschiedene Möglichkeiten die 24 m³ darzustellen. Schauen wir uns noch ein paar kleine Details an. Wenn wir zum Beispiel eine Breite, eine Höhe oder eine Länge von 0 haben ist das ganze Volumen 0. Also wenn wir jetzt eine Breite von 0 m einstellen haben wir kein Volumen. Dann haben wir nur 1 m * 2 m, also eine Fläche. Gleiches gilt für die Länge, wenn wir da jetzt 0 m haben, dann erhalten wir für unser Volumen 0. Und natürlich auch für die Höhe, wenn wir die auf 0 reduzieren haben wir auch hier ein Volumen von 0. Also sobald ein Faktor hier 0 ist, wird alles 0. Und bei der Größe von Quadern sind uns keine Grenzen gesetzt, wir können große Werte für Höhe, Breite und Länge einstellen und erhalten entsprechend große Volumen. Das hier verwendete Programm könnt ihr übrigens auch selbst ausprobieren auf unserer Webseite echteinfach.tv. Übrigens, als kleine Anwendung für euch. Falls ihr euch gerade in einem Raum befindet, versucht doch mal euch dessen Volumen auszurechnen. Das heißt ihr messt die Grundfläche, also wie lang ist der Raum und wie breit ist der Raum. Und danach messt ihr die Deckenhöhe. Die ist vielleicht 3 m. Und der Raum hat vielleicht Maße von 5 m* 3 m. Und dann rechnet doch einfach mal das Volumen aus. Und an der Stelle noch ein interessanter Hinweis. Wir können das hier auch anders schreiben in dem wir jeweils 1 m herausziehen. Und zwar wie folgt: Wir können 3 m schreiben als 3*(1 m). Wir können das hier genauso machen 3*(1 m). Und hier 5 m sind 5*(1 m). Und was wir jetzt erkennen ist, wenn wir die 1m nach hinten schreiben, dass sich ja hier 1 m * 1 m * 1 m also ein Kubikmeter ergibt. Was ja unserem ein Kubikmeterwürfel entspricht. Das heißt das ist unser Würfel und hier versteckt sich die Anzahl der Würfel. Und berechnen wir diese: 3*3 sind 9. Mal 5 sind 45. Wir haben also 45 * 1 m³, also 45 m³. Auch so könnt ihr euch die Volumenangaben mit dem Würfel vorstellen. Super, wir hoffen ihr habt die Volumenformel von Quadern jetzt besser verstanden und könnt diese in Zukunft besser anwenden. Viel Spaß und Erfolg wünscht Echt Einfach TV.