Mathe: Strahlensätze

Die Bruchrechnung ist Voraussetzung zum Verständnis dieser Lektion. Betrachten wir uns heute die Strahlensätze. Wichtig bei Strahlensätzen sind immer die Verhältnisse. Deswegen möchte ich mit einem einfachen Beispiel beginnen. Betrachten wir uns zu Beginn ein Rechteck und beschriften dessen Seiten mit a und b. Jetzt können wir sagen, dass a zu b in einem gewissen Verhältnis steht, das man als Bruch schreiben kann. Wenn wir nun das Rechteck ein wenig vergrößern, und wir die Seiten des neuen Rechtecks mit a2 und b2 beschriften, dann können wir hier ebenfalls ein Verhältnis feststellen. Das Verhältnis wäre also a2 zu b2. Lasst uns jetzt reale Werte nehmen, tragen wir für a = 2 und für b = 3 ein. Stellen wir uns vor, das Rechteck wird verdoppelt, dann hat a2 die Länge 4 und b2 die Länge 6. Nun schauen wir uns die Verhältnisse an: v = a / b - jetzt werden a und b konkret wir setzen die Werte 2 / 3 ein. Für das zweite Verhältnis haben wir jetzt für a2 die 4 und für b2 die 6, also 4 / 6. Dann stellen wir fest, dass wir 4 / 6 kürzen können, und zwar durch 2. Dadurch ergibt sich 2 / 3. Dadurch ergibt sich 2 / 3. Und siehe da, das erste Verhältnis entspricht dem zweiten Verhältnis. Das heißt 2 verhält sich zu 3 genauso wie 4 zu 6. Das liegt daran, dass die Rechtecke zueinander ähnlich sind, Und genau das können wir auch für die Strahlensätze benutzen. Vorher denken wir uns jedoch noch das Folgende: Wir teilen das Rechteck, sodass ein Dreieck entsteht. Und wir teilen das große Rechteck, damit hier auch ein Dreieck entsteht. Jetzt entfernen wir die Außenlinien und erkennen zwei Dreiecke, die zueinander ähnlich sind. Nehmen wir uns das obere Dreieck und ziehen es etwas weiter runter. Wenn wir jetzt das kleine Dreieck nehmen und vergrößern, stellen wir fest, dass es genau auf das große Dreieck passt. Aus diesem Grund sind die Verhältnisse zueinander auch immer gleich. Wir nehmen uns also ein Dreieck, anstatt gleich zwei Strahlen zu zeichnen, und beschriften das Dreieck mit a und b. Nun sagen wir, es besteht ein Verhältnis a zu b. Jetzt können wir das Dreieck vergrößern. Und beschriften es mit a2 und b2, wobei a2 die gesamte Strecke hier unten ist. Schreiben wir das a ausnahmsweise deshalb in das Dreieck, damit es keine Verwechslungen gibt. a ist also die kleine, kurze Strecke, und a2 ist die gesamte Strecke. Okay, a2 und b2 stehen jetzt auch wieder im Verhältnis. Und wie wir gerade bei dem Rechteck gesehen hatten, ist bei zwei ähnlichen Körpern das Verhältnis der Strecken zueinander gleich. Das heißt, das Verhältnis a zu b hat genau die gleiche Größe wie a2 zu b2, sodass wir also für v den gleichen Wert herausbekommen würden. So dürfen wir also sagen, wenn v = a / b ist und v = a2 / b2 ist, dann ist v = a/b = a2/b2. An der Stelle können wir das v einmal entfernen. Und das ist schon der erste Strahlensatz, den wir heute lernen. Und zwar: Seite a verhält sich zu Seite b genauso wie Seite a2 zu Seite b2. Lasst uns an dieser Stelle doch einmal mit der Bruchrechnung weitermachen. Wir wollen b2 auf die linke Seite herüberholen. Mit der Termumformung, die euch ja ein Begriff ist, können wir mit * b2 auf beiden Seiten multiplizieren. Dann haben wir auf der linken Seite a / b * b2 und auf der rechten Seite bleibt a2 stehen. Jetzt wisst ihr, wenn wir a/b * b2 rechnen, können wir b2 auch umwandeln und in den Bruch hineinmultiplizieren. b2 wird zu b2 / 1 und dann können wir hier oben rechnen: a * b2 sowie b * 1 im Nenner, und b * 1 ist natürlich b. Jetzt wollen wir das a hier rüber auf die rechte Seite haben. Also dividieren wir auf beiden Seiten :a Dann fällt in dem linken Bruch das a aus dem Zähler heraus und rechts haben wir dann a2 zu stehen, dividiert durch a. Und das ist auch schon der nächste Strahlensatz. Vorher erinnert euch aber noch, dass wir die Bruchrechnung benutzen können, um auf beiden Seiten einen Kehrwert zu bilden. Das heißt, Nenner und Zähler tauschen ihre Plätze. Und jetzt können wir den Strahlensatz veranschaulichen: Seite b verhält sich zu Seite b2 genauso wie Seite a zu Seite a2. Und richtig, der ein oder andere von euch vermutet es vielleicht: Den Strahlensatz kann man nicht nur auf die Seite a hier unten und die anliegende Seite anwenden, sondern auch auf Seite a und die darüberliegende Seite, und setzt beide ins Verhältnis. Die rot markierte Seite bennen wir also mit c. Und die gesamte Länge der Seite nennen wir c2. Dann haben wir auch ein Verhältnis hier, und zwar Verhältnis von c zu a. Und das Verhältnis von c2 zu a2. Und wie wir gerade festgestellt hatten, sind die beiden Dreiecke ähnlich, damit sind die Verhältnisse der Strecken identisch. Das heißt, wir können das gleiche wie eben nochmals anwenden. Wenn die Verhältnisse gleich sind, können wir die Brüche nebeneinander schreiben. Und dann sehen wir, dass sich die beiden v entsprechen. Soll heißen: Wenn die beiden gleich sind, dann sind auch die beiden gleich. dann sind auch die beiden gleich. Okay, wir haben unseren nächsten Strahlensatz. Was steht hier. c zu a (markieren wir das in der Grafik) c zu a steht im gleichen Verhältnis wie c2 zu a2. Und jetzt bemühen wir noch einmal die Bruchrechnung und stellen wieder um. Wir haben a2 hier unten zu stehen und das wollen wir auf die linke Seite herüber haben. Also müssen wir auf beiden Seiten mit a2 multiplizieren. Dann steht auf der linken Seite: c / a mal a2 und auf der rechten Seite c2 / a2 mal a2. Das a2 auf der rechten Seite kürzt sich weg, und zwar zu c2. Und c / a mal a2 können wir natürlich wieder zusammenführen, wie wir es vorhin gemacht hatten, und dann bleibt links stehen: c * a2 / a Und als nächstes wollen wir das c auf die rechte Seite herüberbringen. Dazu müssen wir auf beiden Seiten durch c dividieren. Dann fällt links das c raus, also bleibt übrig a2 / a und rechts erhalten wir c2 / c Räumen wir wieder ein bisschen auf und wenden wir wieder den Kehrwert an auf beiden Seiten der Gleichung. Das heißt Zähler und Nenner tauschen sich einfach. Und das ist auch schon der nächste Strahlensatz: Seite a verhält sich zu Seite a2 genauso wie die Seite c zur Seite c2. So, und für den letzten Strahlensatz legen wir noch ein c3 sowie ein a3 fest. Und nun nutzen wir unseren Strahlensatz, den wir als letztes behandelt hatten. Vorher sagen wir aber noch, dass c2 (also die gesamte Strecke hier) sich ergibt aus c + c3 Und a2 (die gesamte untere Strecke) ergibt sich aus a + a3 Vorher wenden wir jedoch die Reziproke an, drehen wir Nenner und Zähler jeweils um. Und nun setzen wir für a2 das (a + a3) einmal ein und für das c2 setzen wir (c + c3) ein. Übertragen wir nun den Nenner auf beide Summanden im Zähler und gleiches machen wir auch auf der rechten Seite. Jetzt stellen wir fest, dass a:a = 1 ist und c:c ist natürlich auch = 1 Wenn wir jetzt auf beiden Seiten minus 1 rechnen, fallen die 1 auf beiden Seiten weg. Und jetzt erkennen wir, dass sich hier ein neuer Strahlensatz versteckt. Vergrößern wir noch mal unser Dreieck. Der Satz heißt also: a zu a3 verhält sich genauso wie c zu c3. Wichtige Voraussetzung für das Funktionieren der Strahlensätze ist stets, dass die Seiten g1 und g2 parallel zueinander sind.