Lösungen zur Mathematik-Abschlussprüfung Berlin (2008)

Willkommen zur Mathematik Abschlussprüfung Berlin 2008. Diese Prüfung besteht insgesamt aus 10 Aufgabenkomplexen, die wir in den nächsten 9 Videoteilen gemeinsam lösen werden. Die Aufgaben findet ihr zum Austragen übrigens unter echteinfach.tv. Die erste Aufgabe lautet: Geben Sie den kleinsten und den größten Wert an. Da haben uns die Prüfer einige nette Zahlen vorgegeben und die gilt es der Reihe nach zu ordnen. Natürlich könntet ihr jetzt euren Taschenrechner rausnehmen, die Werte eingeben und die Ergebnisse dann sortieren. Für diese Aufgabe tun wir jedoch so als ob unser Taschenrechner kaputt wäre. Das heißt wir dürfen unseren Kopf anstrengen. Wir müssen die Zahlen also umformen, so dass wir sie miteinander vergleichen können. Und da muss man natürlich einige Regeln kennen, die man schon beim ersten Element anwenden muss. 4*10^(-2). Für diese Dinger hier oben, die nennt man Exponenten, gilt: Sobald ein negatives Vorzeichen ist, also ein Minus, muss sich das ganze Ding umdrehen. Also 10^(-2) ist nichts weiter als 1/10^2. Und dann könnt ihr hier oben schreiben, nicht 10^(-2), sondern 1/10^2. Und dann wisst ihr 10^2 ist ja nix weiter als 10*10, was wiederum 100 ist. Und 4*1/100, das habt ihr bei der Bruchrechnung gelernt, sind nichts weiter als 4/100. Also die 4 springt sozusagen hoch zur 1. Und 4*1, naja klar, 4. Also 4/100. Und wer 4/100 nicht rechnen kann, der erinnere sich erst an 4/10. Das sind natürlich 0,4. Und 4/100 sind dann natürlich 0,04, also wir springen zweimal mit dem Komma nach links. Gut, die erste Zahl haben wir damit zu einer Dezimalzahl gemacht. Dann haben wir hier die 0,43, die sieht gut aus. Dann kommt hier die Wurzel aus 16. Wurzel heißt ja, welches Element muss mit sich selbst multipliziert werden, also x*x, damit in dem Fall 16 rauskommt. Und die meisten wissen das, das ist natürlich 4*4. Denn 4*4 sind 16, also schreibt man Wurzel(16) ist gleich 4. Schreiben wir das hier oben hin: 4. ¼, das müsstet ihr aus dem ff können, ist natürlich 0,25. Und für die, die nicht wissen, dass ¼ 0,25 ist, die können sich den Bruch nehmen und den Bruch einfach mal erweitern. Und zwar mit 25. Dann stellt ihr fest, dass oben im Zähler stehen bleibt 1*25 ist 25 und unten im Nenner 4*25 ist 100. Und 25/100 sind natürlich 0,25. Das heißt diese Zahl hatten wir gerade da hingeschrieben. Und als letztes 4^0. Da müsstet ihr gelernt haben, dass jede Zahl hoch 0 immer 1 ist. Wer sich das nicht merken kann, der kann sich folgendes merken. Wir können zum Beispiel rechnen 2^1/2^1 und dann müsstet ihr die Regel kennen, dass die Exponenten, also die Dinger hier oben bei einer Division miteinander subtrahiert werden, das heißt hier würde dann stehen 2^(1-1). Und was ist 1-1? Richtig, das ist 0. Also 2^0. Und wenn ihr euch das jetzt mal anguckt: 2^1 ist ja die 2 selbst dividiert durch 2. Was ist 2/2? 2/2 ist 1. Das heißt 2^0 ist 1. Und das gilt für jede beliebige Zahl. So alles konkret hergeleitet, jetzt schauen wir mal an, ob wir die sortieren können. Wir haben die 0,04; 0,43; 4 0,25 und 1. Machen wir doch überall mal zwei Nachkommastellen. Für die 4 und auch für die 1. Und jetzt schreiben wir die alle mal untereinander. Jetzt ist es einfach, wir können von vorne anfangen. Die erste Ziffer, da ist die 4 die höchste. Die kommt als nach unten. Dann kommt die 1, das ist richtig, und hier haben wir eins, zwei, drei Nullen. Dann muss man auf die nächste Ziffer gucken. Auf die Zehnerstelle: 0, 4, 2. Die 4 ist die höchste, also kommt sie unter die 2. Und jetzt sieht die Reihenfolge schon richtig aus. Als letztes müssen wir natürlich noch die originalen Werte zuordnen. Damit haben wir die richtige Reihenfolge hergestellt. Sicherlich sagen jetzt einige von euch, hätte ich alles in den Taschenrechner eingegeben, aber man muss dazusagen, die Regeln, die ihr hier gerade gesehen habt, sind sehr wichtig für weitere Aufgaben.
Die nächste Aufgabe 1b: Welche Umformung ist jeweils richtig? Kreuzen Sie an. Und als erstes gibt man uns (x-8)*7 und man gibt uns drei Lösungsvorschläge, die da wären 7x-8, 7x-56 und x-56. Was ihr hier benötigt ist das sogenannte Distributivgesetz. Das sagt nämlich, dass wir jedes Element in der Klammer mit dieser 7 hier vorne multiplizieren dürfen. Und das hier ein bisschen schwierig aussieht, benutzen wir einfach das Kommutativgesetz, das heißt wir dürfen das was hier vorne steht und das was hier hinten steht, wenn ein Multiplikationszeichen dazwischen steht, einfach verdrehen. Das heißt nicht mehr mal 7, sondern 7 mal. Und jetzt könnt ihr ganz einfach die 7 mit dem x multiplizieren. 7*x. Dann folgt das Minuszeichen und jetzt 7 mal und die 8 hier hinten. 7*8. Und 7*8 sind natürlich 56. Das heißt ganz klar, wir haben hier die zweite Lösung anzukreuzen. Der zweite Teil dieser Aufgabe hat ein paar Brüche in den Gleichungen 17a/3 - 7/3 + 1/3 und die drei Lösungsvorschläge sind 11/3, 17a-6 oder (17a-6)/3. Und jetzt muss man die Bruchrechnung beherrschen um das Ding zu analysieren, das heißt wir können, wenn hier unten im Nenner die Drittel stehen, alle Zähler auf einen Nenner bringen. Also auf 1/3. Tun wir das gerade. Dann steht da (17a-7+1)/3. Und ja, 17a kann man nicht verrechnen, da ist kein weiteres a. Aber -7 und +1 ist natürlich -6. Und ja, da sieht man schon, das dritte Ergebnis wäre in dem Fall richtig: (17a-6)/3.
So, was wird von uns bei Aufgabe 1c verlangt? Da steht: Berechnen Sie schrittweise den Wert des Terms. Und erinnert euch ein „Term“ heißt nichts weiter als ein mathematischer Ausdruck. Und dieser ganzer Bruch hier sieht vernünftig aus, ist damit ein Term. Und wir sollen den berechnen. Und da sehen wir schon, es ist erstmal ein Bruch. Es sind Potenzen mit drin und da gibt es wieder einige Regeln zu beachten. Legen wir los: Was man als erstes sehen sollte, ist: Hier steht 10^5 und hier steht 10^5. Und wenn wir 2*10^5 haben und 6*10^5 haben wir sie insgesamt 8mal, also schreiben wir 8*10^5. Das ist genauso wie 2*x+6*x, da hätten wir auch 8*x. So und unten lassen wir 4*10^3 stehen. So und als nächstes kürzen wir ganz einfach. Als erstes die 8 und die 4. Die können wir beide mit 4 kürzen. Dann bleibt stehen 2/1. Und hier 10^5 und 10^3 bleiben unberührt. Und jetzt ist natürlich noch die 10^5 mit der 10^3 zu kürzen. Da erinnert euch an die Potenzen und machen wir eine kleine Nebenrechnung hier links. 10^5/10^3. Wenn da steht hoch 5 heißt das ja nichts weiter als multipliziere die 10 fünfmal mit sich selbst. Schreiben wir das hin. Und 10^3 heißt, multipliziere die 10 dreimal mit sich selbst. So können wir nun die jeweiligen 10’en miteinander kürzen. Diese 10 mit dieser 10. Diese 10 mit dieser 10. Diese mit dieser. Und übrig bleiben 10*10. Schreiben wir das hin. Und 10*10, das wisst ihr, können wir als Quadrat schreiben: 10^2. Und was wir hier erkennen: Wir haben die 5 und die 3 subtrahiert. Da kam 10^2 raus. Also wir können auch schreiben 10^(5-3) und das ist dann eben 10^2. Das heißt für unsere Aufgabe, wenn wir 10^5 und 10^3 kürzen, fällt die 10^3 unten weg und oben bleibt 10^2 stehen. Und 2*10^2/1 ist natürlich 2*10^2. 10^2 ist 10*10, also 100. Und 2*100, das ist simpel, das sind 200. Und das ist das fertige Ergebnis.

Betrachten wir uns als nächstes Aufgabe 1d, die da lautet: Addiert man zu einer Zahl 2 und multipliziert man das Ergebnis mit 4, so erhält man 12. Wie heißt die gesuchte Zahl? Begründen Sie. Wunderbar. Legen wir los. Hier geht es ja offensichtlich um Unbekannte, also Variablen, so etwas schönes wie x. Und hier steht „addiert man zu einer Zahl“. Und diese Zahl ist ja dieses x. Also addiert man zu einer Zahl 2. Eine beliebige Zahl ist x und da soll man jetzt 2 hinzuaddieren, also x+2. Das heißt da kommt was raus. Ist gleich y. Und dieses Ergebnis soll nun multipliziert werden mit 4, also y*4. So erhält man 12. Erhält man ist immer ist gleich 12. Wie heißt die gesuchte Zahl? Okay, jetzt haben wir hier eine Gleichung und hier haben wir eine zweite Gleichung. Man kann jetzt eine in eine von den anderen einsetzen. Das sogenannte Einsetzungsverfahren. Hier steht ja x+2 ist y. Und y steht ja auch hier. Das heißt wir nehmen uns jetzt dieses Ding mal hier runter und sagen: Okay, wenn y x+2 ist und y hier steht, dann darf ich doch für dieses gleiche Element x+2 einsetzen. Also y wird dann zu x+2. Okay, das heißt also (x+2)*4 gleich 12. Und jetzt schreiben wir die 4 erstmal nach vorne. Das darf man bei einer Multiplikation. Und dann können wir rechnen 4*x und dann 4*2. Machen wir das in der nächsten Zeile. 4*x+4*2 und 12 kommt heraus. 4*2 sind 8 und 4x lassen wir stehen. Jetzt machen wir eine Äquivalenzumformung, ziehen auf beiden Seiten 8 ab. Dann steht da links 4*x+8-8 ist gleich 12-8. Ich schreib hier gerade die -8 noch einmal hin, damit einige von euch sehen, warum die hier verschwindet und hier drüben verrechnet wird. Okay, jetzt das gleiche auf beiden Seiten. Dividieren wir durch 4, damit die 4 vorne wegkommt. Dann steht hier 4*x/4. Damit löst sich diese 4 und diese 4 zu 1 auf. Und hier drüben steht 4/4 und das ist natürlich 1. So und 1*x ist natürlich x. Dann bleibt also stehen x gleich 1. Und das wäre die Lösung. Jetzt können wir x gleich 1 in eine der beiden hier oben eintragen. Tun wir das gerade für die erste Gleichung. Also x in I. Und dann stand ja x+2 gleich y und x ist jetzt 1. Also 1+2 ist gleich y und natürlich wird es dann zu 3. Also 3 gleich y. Und jetzt testen wir nochmal das y in der zweiten, also y in II. y soll ja 3 sein. Setzen wir die 3 ein: 3*4 gleich 12. Stimmt. Das heißt die gesuchte Zahl für unsere Aufgabe ist 1. Dann stimmt auch die Aussage.
Die nächste spannende Aufgabe erwartet uns. Aufgabe 1e, die da lautet: Auf einer Landkarte mit einem Maßstab von 1:100 000 ist eine Strecke 2 cm lang. Wie viel km lang ist die Strecke in Wirklichkeit? Maßstäbe ist etwas sehr interessantes. Das trifft man oft, wenn man einen Blick in den Atlas wirft. Wir versuchen jetzt die Aufgabe zu lösen. Grundsätzlich, wenn wir den Maßstab 1:100 000 haben, heißt das, dass eine Einheit im Original 100 000 mal verkleinert wird. Bzw. die Einheit in der Abbildung ist in echt 100 000 mal größer. Das heißt 1 cm in unserem Atlas entspricht in der Wirklichkeit 100 000 cm. Und wie hier oben schon steht, die Strecke ist 2 cm lang. Das hieße 2 cm sind dann natürlich 200 000 cm. Und da ja hier km gefragt ist, müssen wir die 200 000 noch umrechnen. Und dann wissen wir 1 km sind 1 000 m. Und dann wissen wir 1 m sind 100 cm. Also wenn wir 200 000 cm in m haben wollen, müssen wir nur die beiden Nullen hinten wegstreichen oder durch 100 rechnen. Das heißt 200 000 cm sind, übertragen wir das nochmal, in Meter, zwei Nullen weg, 2 000 m. Und 1 000 m zu 1 km, dann müssen wir hinten die letzten drei Nullen wegnehmen oder durch 1 000 rechnen. Machen wir das gerade: 2 000 m, die drei Nullen weg sind 2 km. Und das ist schon das fertige Ergebnis. 2 km bei dem Maßstab 1:100 000.

Für die Aufgabe 2 muss man sich ein wenig in der Trigonometrie auskennen, also alles was so mit Sinus, Kosinus und Tanges zu tun hat. Und man muss wissen was spitze Winkel sind, denn hier steht: Geben Sie von den beiden spitzen Winkeln des Dreiecks jeweils den Sinus als Längenverhältnis zweier Seiten an. Und spitze Winkel sind kleiner als 90° und da haben wir β und γ. Und für den Sinus muss man wissen, dass er das Verhältnis ist aus Gegenkathete/Hypotenuse. Und das müsstet ihr dann gelernt haben, dass die Hypotenuse die längste Seite im Dreieck ist, bei uns also a und die Gegenkathete je vom Winkel ausgehend, die gegenüberliegende Seite ist. Also für β liegt b gegenüber und für γ liegt c gegenüber. Okay, das heißt wir sollen jetzt β in Form eines Sinus ausdrücken mit zwei Seiten. Das heißt wir schreiben davor: sin(β) ist gleich, und jetzt Gegenkathete/Hypotenuse. Und die Gegenkathete haben wir gerade gesagt für β ist b. Tragen wir das ein. Und die Hypotenuse, das ist die längste Seite im Dreieck, ist bei uns a. Also sin(β) = b/a. Gleiches machen wir jetzt für γ. sin(γ) ist gleich Gegenkathete durch Hypotenuse. Gegenkathete hatten wir gerade gesagt für γ ist Seite c. Tragen wir die ein und Hypotenuse ist immer noch a. Heißt also sin(γ) = c/a. Und dies sind auch schon die beiden Lösungen für diese Aufgabe. Gehen wir über zur Aufgabe 2b.
Wie groß ist der Winkel, wenn gilt: tan(β) gleich 2/3. Und für den Tangens muss man wissen, der ergibt sich aus Gegenkathete/Ankathete, also für β: Tangens ist das Verhältnis aus Gegenkathete durch Ankathete. Und die Ankathete ist immer die Seite, die dem Winkel sozusagen am Fuße liegt. Aber nicht die Seite, denn die Seite a liegt ja auch am Fuß, die die Hypotenuse ist. Für γ wäre übrigens Ankathete diese Seite, die Seite b. Und für γ wäre die Gegenkathete c. Und das bleibt die Hypotenuse. Okay, Gegenkathete und Ankathete soll im Verhältnis 2 zu 3 sein. Also die Seite b soll 2 lang sein und die Seite c hier unten soll 3 lang sein. So was macht man an dieser Stelle? Man möchte ja den Winkel für β haben. Um jetzt den Wert für β zu bekommen müssen wir den Arkustangens verwenden. Also noch einmal zur Erinnerung den Zusammenhang zwischen Tangens und Arkustangens. Wir haben Tanges von einem Winkel, also y° und da kriegen wir einen Wert heraus, der uns das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete sagt. Und wenn wir jetzt von dem Wert ausgehend wieder den Winkel haben wollen, benötigen wir den Arkustanges. Also sozusagen rückwärts herum. Und wir schreiben jetzt hier den Wert hinein, den wir beim Tangens bekommen hatten und heraus sollte die Gradzahl kommen. Machen wir ein Beispiel. Nehmen wir mal tan(45°). Ein Blick in den Taschenrechner und wir tippen ein: tan(45°) ist gleich 1. Tragen wir den Wert hier ein. Und wenn ich jetzt den arctan, bzw. im Taschenrechner steht ja tan^(-1), also wenn ich jetzt den arctan(1) berechne, müsste ja hier 45° rauskommen. Nehmen wir den Taschenrechner. Arkustanges ist tan^(-1), das ist hier gelb dargestellt, also müssen wir die Shift-Taste benutzen: Shift + tan^(-1) + 1 ist gleich. Und wie ihr seht kommt 45° heraus. Also merken wir uns Arkustangens ist genau die Umkehrung von Tangens. Okay, zurück zur Aufgabe. Für unsere Aufgabe brauchen wir den arctan(2/3), denn der gibt uns dann den Winkel β wieder. Benutzen wir an dieser Stelle den Taschenrechner. Wie gerade eben erläutert ist Arkustanges im Taschenrechner mit tan^(-1) angegeben. Wir müssen also die Shift-Taste drücken, dann auf tan^(-1), anschließend Klammer auf setzen, dann 2/3 eingeben, denn das ist ja unsere 2/3, Klammer zu setzen und ist gleich. Und heraus kommt der Wert 33,69 gerundet für β. Falls ihr euch an dieser Stelle unsicher seid, ob das denn wirklich stimmt, dann macht doch folgendes: Dann setzt doch hier für tan(β), einfach mal die 33,69° ein. Dann rechnen wir tan(33,69°) im Taschenrechner. tan(33,69°) ist gleich. Und herauskommt 0,6666… und das sind unsere 2/3 und wir können mit Aufgabe 2c weitermachen.
Aufgabe 2c sagt: Berechnen Sie die Länge der Seite a, wenn gilt: γ gleich 60° und b 12 cm. Das heißt dieses γ hier 60°, die Seite b 12 cm und gesucht ist die Seite a. Seite a ist die Hypotenuse. Das ist die erste Überlegung. Jetzt haben wir den Sinus, den Cosinus und den Tangens zur Verfügung. Sinus ist ja Gegenkathete durch Hypotenuse. Cosinus ist ja Ankathete durch Hypotenuse. Und Tangens ist ja Gegenkathete durch Ankathete. Diese tollen Verhältnisse gucken wir uns jetzt also genauer an: Wir suchen die Hypotenuse und die kommt offensichtlich nur hier bei Cosinus und hier bei Sinus vor. Der Tangens wird uns eventuell nicht weiterhelfen. Und wenn wir uns jetzt die Winkel angucken, haben wir offensichtlich nur γ bekommen. Und setzen wir hier mal ein sin(γ) und cos(γ). sin(γ) hieße ja, Gegenkathete, Seite c, durch Hypotenuse, Seite a. Wir haben jedoch Seite b gegeben. Und nicht Seite c. Das heißt Seite c ist für uns auch unbekannt. Gucken wir uns cos(γ) an. cos(γ) heißt Ankathete/Hypotenuse. γ ist hier. Die Ankathete ist die, die am Winkel dran klebt, das ist Seite b. Und die Hypotenuse ist immer noch a. Das heißt offensichtlich können wir den cos(γ) benutzen um diese Aufgabe zu lösen. Legen wir los: Ankathete hatten wir gerade gesagt ist bei uns b. Und der Wert für γ, der Winkel, beträgt 60°. Tragen wir den für γ ein. Und der Wert für b beträgt 12 cm. Tragen wir den doch einfach für b ein. So und jetzt ist also a gesucht. Und diese Gleichung hier können wir jetzt umformen, indem wir einfach auf beiden Seiten mal a rechnen. Dann fällt das a aus dem rechten Term weg und links schreiben wir es einfach hin: mal a. Und jetzt gilt es noch das a alleine dastehen zu lassen, das heißt wir müssen hier noch dividieren durch cos(60°). Dann bleibt links stehen: a ist gleich und rechts der Bruch 12 cm/cos(60°). Ja und das brauchen wir jetzt einfach nur noch in den Taschenrechner einzugeben. Heißt also 12/cos(60°) ist gleich 24. Tragen wir das ein. Ist gleich 24 cm. Das heißt die Lösung lautet: Die Länge der Seite a beträgt 24 cm. Und die Aufgabe 2c haben wir hiermit erledigt.

Aufgabe 3 ist eine Wahrscheinlichkeitsaufgabe. Lesen wir uns kurz die Aufgabe durch. Sie sagt: Es gibt eine Lostrommel mit 50 Lotterielosen. Die Hälfte davon sind Nieten. Bei 15 Losen gibt es einen Gewinn im Wert von 1 €, bei 5 weiteren Losen bekommt man einen Gewinn von 2 €. Die anderen Gewinne sind alle Hauptgewinne. Aufgabe a ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Niete zu ziehen? Für diesen Teil der Aufgabe interessiert uns also erstmal nur der obere Teil. Eine Lostrommel mit 50 Lotterielosen. Die Hälfte der Lose sind Nieten. Und die Hälfte sind ja 50%. Und wie groß wird wohl die Wahrscheinlichkeit sein eine Niete zu ziehen? Wenn wir 100% Lose haben und davon sind 50% Nieten und die anderen 50% offensichtlich Gewinne, dann haben wir beim Ziehen nur zwei Möglichkeiten. Gewinnen oder verlieren. Es gibt also keine andere Möglichkeit. Das heißt die Wahrscheinlichkeit ist ganz einfach 50%, dass wir eine Niete ziehen. Genauso ist sie übrigens auch 50% einen Gewinn zu ziehen. Man kann diese Aufgabe auch noch anders lösen, indem man einfach ein Verhältnis aufstellt von Nieten zu Gesamtlosen. Da die Hälfte also Nieten sind, das sind 25 Stück und wir insgesamt 50 Stück haben, können wir also schreiben 25 zu 50. Und man sieht bei diesem Bruch, den kann man erweitern mit 2. Dann hat man stehen: Oben 25*2 und unten 50*2 und das ergibt schließlich 50/100. Und wir wissen 50/100 sind 50%.
Der nächste Teil der Aufgabe, Aufgabe b, ist schon etwas komplizierter. Da steht: Susanne zieht als erstes ein Los mit Hauptgewinn. Rebecca zieht dann ein zweites Los. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass sie auch einen Hauptgewinn hat? Gucken wir doch mal unsere Lose an. Schauen wir doch mal die Aufgabe an. Da stand es gibt 15 Lose mit einem Gewinn von 1 € und es gibt 5 Lose mit einem Gewinn von 2 €. Die anderen sind Hauptgewinne. x Lose sind Hauptgewinne. Und da hatten wir gesagt, von den 50 Losen ist die Hälfte Nieten. Und das hatten wir schon gesagt, das sind 25 Stück. Okay, jetzt ist die Frage, wie viele Lose gibt es denn für den Hauptgewinn. Und da können wir ganz einfach zusammenrechnen. Hier unten müssen ja 50 Lose herauskommen. 25 Nieten ziehen wir hier mal ab, dann bleiben nur noch 25 Lose übrig. Jetzt ziehen wir mal 15 Lose ab, die mit dem 1 €. 25-15 sind 10. Und dann haben wir noch 5 Lose übrig, die ziehen wir auch ab. 10-5 sind 5. Das heißt 5 Lose bleiben übrig und das sind die Hauptgewinne. Gut, Susanne zieht also ein Los und hat einen Hauptgewinn, damit ist eins der Lose ja schon weg. Also grundsätzlich hatten wir ja 50 Lose. 1 Los müssen wir jetzt für Susanne abziehen. Susanne hat schon gezogen, bleiben 49 Lose übrig. Und von den 5 Losen, die ja Hauptgewinne sind, haben wir jetzt leider auch schon eins verloren. Also 5 Lose minus 1 Los des Hauptgewinns, sind nur noch 4 Hauptgewinne. Das heißt von diesen 49 Losen kommen 4 in Frage als Hauptgewinn. 4 Hauptgewinne zu 49 Losen. Und wenn ihr das in den Taschenrechner eingebt, dieses Verhältnis: 4/49 erhaltet ihr 0,08163. Da es sich hier ja um Prozent handeln soll mal 100, erhalten wir also 8,163, also rund 8,163%. Und das ist die Lösung für die Aufgabe b.

Aufgabe 4 besagt: Ein Tourist ist in Berlin. Möchte das Brandenburger Tor fotografieren und stellt sich natürlich vor das Tor in die Mitte. Er kann mit seinem Fotoapparat Bildausschnitte mit einem Winkel von 80° aufnehmen, wobei das Tor 65 m breit ist. Aufgabe a heißt: Fertigen Sie eine Skizze an und beschriften Sie diese. Okay, tun wir das. Was sind die wichtigen Informationen aus der Aufgabe? Der Tourist steht vor dem Brandenburger Tor, also zeichnen wir kurz ein kleines Tor von oben. Dieser Strich soll es jetzt mal tun und er steht in der Mitte davor, also etwa hier vielleicht. Und hier steht er kann mit seinem Fotoapparat Bildausschnitte mit einem Winkel von 80° aufnehmen. Das heißt wenn der Fotoapparat in der Hand gehalten wird und er guckt das Brandenburger Tor an, dann hat er nach oben, also von ihm aus nach rechts und von ihm aus nach links einen Winkel aufgespannt. In etwa so. Und jetzt soll dieser Winkel, der sich zwischen den beiden Achsen ergibt 80° groß sein. Tragen wir die hier ein. Gut. Und jetzt steht da, das Tor ist 65 m breit. Das beschriften wir noch hier an der Seite. Okay, das ist eine gute Skizze mit der lässt sich arbeiten. Gucken wir uns Aufgabe b an. Die lautet: In welcher Entfernung vom Tor muss sich der Tourist aufstellen, wenn das Bild die ganze Breite des Tores aufnehmen soll. Und jetzt haben wir das ja schon so eingezeichnet, dass das ganze Tor drauf passt. Auf das Bild des Fotoapparates. Frage ist also in welcher Entfernung muss er stehen vorm Tor. Und das ist ja offensichtlich unsere gestrichelte Linie hier. Beschriften wir die einmal mit a. Und die Frage, die sich jetzt stellt: Wie kommen wir auf den Wert von a? Wenn ihr ein gutes Auge habt, seht ihr, dass wir ja nicht nur hier ein großes Dreieck haben, sondern auch zwei kleine Dreiecke, die beide jeweils einen rechten Winkel haben. Kurz eingezeichnet. Und wenn wir ein rechtwinkliges Dreieck haben, können wir unsere Sinus- und Kosinussätze anwenden oder manchmal auch den Pythagoras. Der Pythagoras bietet sich jedoch nicht an, weil wir hier nur eine von drei Seiten gegeben haben. Daher müssen wir Sinus, Cosinus oder Tangens anwenden. Vorher brauchen noch die Überlegung, dass das obere Dreieck ja nicht diesen Winkel mit 80° hat, sondern nur die Hälfte und zwar 40°. Und das untere natürlich auch 40°. Und zusammen ergibt das natürlich wieder 80°. Okay, und dann müssen wir natürlich überlegen, dass sich genau das gleiche auch hier abspielt. Die 65 m werden durch 2 geteilt. Einmal für die Seite dieses Dreiecks und einmal für die Seite dieses Dreiecks. Und 65 m/2 ergibt natürlich 32,5 m. Und jetzt können wir auch schon loslegen. Wir haben hier einen Winkel 40°. Wir haben dessen Gegenkathete, also die Seite, die diesem Winkel entgegen liegt. Und wir haben hier offensichtlich die Ankathete dieses Winkels, die Hypotenuse ist ja diese lange Seite hier außen, die längste Seite des Dreiecks. Also bewaffnet mit Gegenkathete und den 40° und dem Wert a müssen wir etwas zusammenbasteln. Und wir hatten ja schon gesagt: Für die Hypotenuse, die längste Seite haben wir keine Wertangabe. Und da sich ja Sinus und Cosinus auf die Hypotenuse beziehen, wäre das hier also keine gute Idee. Daher nutzen wir den Tangens. Der Tangens eines Winkels, nennen wir ihn α, ergibt sich ja aus Gegenkathete/Ankathete. Und für unsere Aufgabe können wir sagen: α ist bei uns 40°, tragen wir die mal ein. Und die Gegenkathete ist bei uns ja hier drüben 32,5 m. Tragen wir die hier ein. Die Ankathete ist bei uns für den Winkel 40° die Seite a. Tragen wir die hier ein. Und jetzt haben wir hier einen Wert, hier einen Wert und nur eine Unbekannte. Und diese Aufgabe lässt sich lösen. Schreiben wir das hier noch einmal richtig als Bruch und formen um, indem wir auf beiden Seiten mit a multiplizieren. Strich an der Seite mal a könnt ihr schreiben. Dann fällt das a hier weg und 32,5 m bleiben übrig. Und links erscheint es ja wieder, mal a. Und als nächstes dividieren wir natürlich durch tan(40°) auf beiden Seiten. Dann fällt es links weg und rechts dividiert durch tan(40°). Und das können wir gerne in den Taschenrechner eingeben: 32,5/tan(40°). Und herauskommen rund 38,732. Schreiben wir die hier hin. Und die Meter nicht vergessen. Und das ist auch schon die Lösung der Aufgabe 4b. Der Fotograph muss 38,732 m entfernt stehen, vorm Brandenburger Tor, um mit seiner Kamera, das Tor komplett auf ein Foto zu bekommen.

Weiter geht es mit Aufgabe 5. Sie heißt: Auf die beiden Pfeiler eines Tores soll je eine Kugel aus Sandstein gelegt werden. Die Kugeln haben einen Durchmesser von 52 cm. Jede Kugel wird aus einem Würfel hergestellt. Seine Kantenlänge ist genauso groß wie der Kugeldurchmesser. Zur Veranschaulichung habe ich gerade ein kleines Bild für euch. Dieses schematische Tor mit zwei Pfeilern, soll also hier oben jeweils noch eine Kugel draufbekommen. Und jetzt die erste wichtige Sache: Es geht gar nicht um die Pfeiler, die können wir hier eigentlich löschen, sondern es geht nur um die Kugel selbst. Die Kugeln, die berechnet werden sollen sind aus Sandstein, das ist nicht weiter interessant. Sie haben einen Durchmesser von 52 cm. Das ist doch mal interessant, das halten wir fest. Weiterhin steht hier: Jede Kugel wird aus einem Würfel hergestellt, den halten wir auch fest und dessen Kantenlänge entspricht dem Kugeldurchmesser. Also Seite des Würfels ist gleich Durchmesser der Kugel. Okay, dann haben wir schon einmal die grundlegenden Daten und da die Kugel ja aus einem Würfel hergestellt wird, legen wir doch einmal einen Würfel drum herum. Okay, dieses äußeren Markierungen hier sind also der Würfel für beide Kugeln. Und dieser Würfel wird beschliffen, so dass nur noch eine Kugel übrig bleibt. Wir sollen also für Aufgabe a herausbekommen, wie viel Kubikmeter Abfall bei der Herstellung beider Kugeln entstehen. Um das rauszukriegen müssen wir jetzt als erstes einen Würfel mit einer Kugel genauer anschauen. Wenn wir für die Kugel ein Modell nehmen und das einfach mal in der Mitte durchschneiden haben wir so eine Form. Wenn wir jetzt den Durchmesser mal eintragen, dann wissen wir, dass er von der einen Seite zur anderen Seite durch die Kugel durchgeht. Jetzt hatten wir gesagt, dass drum herum der Würfel ist. Tragen wir ihn mal ein. Und der Würfel hat ja für seine Seiten die Länge des Durchmessers. Das heißt der Durchmesser entspricht der jeweiligen Seite. Okay, jetzt sollen wir sagen wie viel Abfall entsteht. Und zum Abfall gehören der Teil, der Teil, der Teil und der Teil. Alles was vom Würfel abgeschnitten wird. Und wir machen es uns jetzt einfach. Wir berechnen jetzt als erstes das äußere Volumen, also das des Würfels und danach das innere Volumen des Kreises und ziehen beide voneinander ab, damit nur noch die Außenseiten im Volumen übrig bleiben. Das Volumen gibt man mit V an und um es jetzt speziell zu machen. Wir sagen wir wollen das Volumen des Würfels, stellen wir unten noch ein kleines W ran ;). Volumen des Würfels ergibt sich aus s^3. Und zwar müssen wir jede Seite des Würfels multiplizieren, so dass wir das Volumen erhalten. Der Wert von s entspricht ja dem Wert des Durchmessers, also 52 cm. Setzen wir die also für s ein. Hoch 3. Und die können wir auch schon ausrechnen mit dem Taschenrechner. 140 608 cm^3 und nicht die hoch 3 vergessen! Gut, den ersten Wert haben wir, wie sieht es aus mit der Kugel? Das Volumen der Kugel, schreiben wir ein kleines K dahin ist gleich 4/3*π*r^3. Und jetzt müssen wir natürlich auch wieder wissen, dass der Radius der Hälfte des Durchmessers entspricht. Das heißt zweimal den Radius ergibt den gesamten Durchmesser. Und da unser Durchmesser ja 52 cm ist, erhalten wir den Radius indem wir sagen, Radius ist gleich Durchmesser/2. Also 52 cm/2 und das sind 26 cm. Und die 26 cm können wir unten eintragen für r. Gut, und dann brauchen wir nur noch auszurechnen. Und zwar wieder mit dem Taschenrechner. Sagen wir 4/3, dann π, also mal π. Und dann (26 cm)^3, also 26^3 ist gleich 73 622 cm^3. Jetzt haben wir also das Volumen des Würfels und das Volumen der Kugel und wir ziehen beide voneinander ab. Also, unser gesuchtes Volumen, sozusagen der Abfall ergibt sich aus dem Volumen des Würfels abzüglich des Volumens der Kugel. Und jetzt können wir einfach die Werte einsetzen 140 608 cm^3 - 73 622 cm^3 ergibt 66 986 cm^3. Das ist also das Volumen an Abfall das anfällt, wenn wir eine Kugel bearbeiten. Jetzt wurde jedoch gesagt, wir haben zwei Kugeln. Also müssen wir dieses Volumen zweimal berechnen, damit wir dann auf den gesamten Abfall kommen. Und 2*66 986 cm^3 ergibt 133 972 cm^3. Und das ist schon fast die Lösung der Aufgabe 5a. Einzige Sache noch, es wurde in der Aufgabe gefragt nach Kubikmetern. Das heißt zum Schluss müssen wir diesen Wert noch in Kubikmetern umrechnen und da überlegt man sich folgendes: 1 m entspricht ja 100 cm. Wenn man den hier quadriert, also Meter mal Meter, dann rechnet man hier drüben ja 100 cm*100 cm. Da haben wir also noch zwei Nullen extra dran. Und für den Kubikmeter müssen wir müssen wir nicht nur 100*100 rechnen, sondern 100*100*100, so dass wir hier noch zwei Nullen dranhängen können. Und das ist die Umrechnungszahl: 1 000 000. Okay, das heißt wir müssen 133 972 durch eine Millionen dividieren. Da kommt raus gerundet 0,134 m^3. Und jetzt haben wir endlich das fertige Ergebnis.
Die Aufgabe b heißt: Die Herstellung pro 100 cm^2 Kugeloberfläche kostet 0,94 €. Wie hoch sind die Kosten für beide Kugeln zusammen? Okay, wir sollen also die Kugeloberfläche ermitteln. Flächen werden immer mit A angegeben. Und da es hier die Oberfläche ist, nehmen wir ein O noch mit dazu. Und diese Oberfläche ergibt sich für die Kugel aus 4*π*r^2. Das heißt wir brauchen erstmal nur den Radius. Und der Radius, den hatten wir ja vorhin festgestellt, der betrug 26 cm. Das können wir jetzt also hier einsetzen für r. 26 cm. Und das geben wir wieder in den Taschenrechner ein. Fangen wir bei dem Quadrat an: 26^2*π*4 ist gleich 8 494,87 gerundet. Und nicht vergessen: cm^2. Denn hier hatten wir ja cm quadriert. Okay und jetzt steht da 100 cm^2 kosten 0,94 €. Schreiben wir das gerade mal hier hin. Jetzt ist natürlich die Frage, wie viel kosten den unsere 8 494,87 cm^2. Und das ist gar nicht so schwer. Wir gucken erstmal wie viel kostet denn 1 cm^2. Und dann überlegen wir, wie kommen wir denn von 100 auf 1. Natürlich in dem man durch 100 dividiert. Und das gleiche machen wir hier drüben. 0,94/100. Und das sind damit 0,94 €. Und jetzt durch 100 springt das Komma ein nach links und noch einen nach links. Das ist jetzt also der Preis für 1 cm^2. Und jetzt haben wir nicht nur 1 cm^2, sondern über 8 000. Und um von 1 auf die 8 494,87 zu kommen multiplizieren wir mit diesem Wert. Und das gleiche müssen wir auch hier drüben machen. Wir müssen auch mit 8 494,87 multiplizieren. Und raus kommt rund 79,85 € für eine Kugel. Der Preis ist jedoch für zwei Kugeln gefragt, das heißt wir müssen ihn verdoppeln. Dann haben wir zwei Kugeln mal 79,85 € ergibt 159,70 €. Und das ist die Lösung für die Aufgabe 5b.

Machen wir weiter mit Aufgabe 6. Diese Aufgabe ist etwas umfangreicher, weil es hier eine größere Tabelle gibt. Das ist eine Tabelle, eine Preisliste für gewisse Bootstypen. Und hier sieht man was kostet eine Stunde, was kosten vier Stunden. Was kostet ein ganzer Tag und was kostet das Wochenende. Die erste Aufgabe, Aufgabe 6a, lautet: Eine Klasse mit 30 Schülern leiht sich auf ihrem Wandertag für zwei Stunden Kajaks aus. Berechnen sie, ob es für die Klasse billiger ist 2er oder 3er Kajaks auszuleihen. Dann gucken wir, wo sind die 2er und 3er Kajaks. Offensichtlich hier unten. 2er und 3er. Und für uns gilt es jetzt herauszufinden, wie viele Boote wir benötigen. Hier ist die Angabe 30 Schüler und es sind zwei Stunden auszuleihen. Was kostet ein 2er Kajak? Ein 2er Kajak kostet, da gucken wir bei einer Stunde 7€. Und da wir ja zwei Stunden haben, rechnen wir es also mal zwei Stunden, dann kommen wir auf 14 €. Und in ein 2er Kajak passen zwei Menschen rein. Das heißt wir haben 30 Personen durch 2 Personen je Boot, damit erhalten wir 15 2er Kajaks, die wir benötigen damit alle Leute mitkommen können. Und 15 Boote mal die 14 € pro Boot pro zwei Stunden ergibt dann schließlich 210 €. Das sind die Kosten für die 2er Kajaks. Hätten wir jetzt ein 3er Kajak, müssten wir nicht 7 € die Stunde zahlen, sondern, hier drüben steht es, 3er Kajak 8 € die Stunde. Zwei Stunden bleibt unverändert und 8 € mal zwei Stunden sind 16 €. 30 Personen bleiben jetzt immer noch, aber jetzt passen nicht nur zwei Personen in ein Boot, sondern drei Personen. Und 30/3 sind 10. Wir brauchen also nur noch 10 Boote, da ja jetzt jeweils drei Personen in ein Boot passen. Und zwei Stunden kosten jetzt nicht 14 €, sondern 16 €. Und 10*16 € sind dann 160 €. Damit haben wir gezeigt, dass die 3er Kajaks preiswerter sind.
Schauen wir uns Aufgabe b an. Die heißt: Eine Gruppe von neun Personen plant für Mittwoch einen ganztägigen Ausflug mit Canadiern. Die Gruppe will für das Mieten der Boote höchstens 90 € ausgeben. Welche Bootstypen können für diesen Betrag gemietet werden, so dass die neun Personen Platz finden? Berechnen Sie alle Möglichkeiten. Hört sich nach viel Arbeit an, schauen wir mal. Wichtige Information: 9 Personen. Und zweite wichtige Information: Es ist Mittwoch, also während der Woche. Daher gelten nicht die Preise fürs Wochenende. Und ist ein ganztägiger Ausflug. Also ein ganzer Tag. Und es ist Ausflug mit Canadiern. Und noch wichtiger: Es sollen maximal 90 € ausgegeben werden. So prüfen wir die Tabelle und gucken was wir für Optionen haben. Wir haben gesagt es ist ein Tag in der Woche. Das heißt wir gucken in diesem Bereich hier oben. Und es ich nicht nur ein Tag, wir haben auch noch gesagt, es handelt sich nur um Canadier. Also nehmen wir die Preise für die ersten vier Zeilen. Kajaks interessieren uns jetzt nicht. Dann können wir jetzt die Varianten durchprobieren. Nehmen wir also die 2er und 3er Canadier, bräuchten wir für 9 Personen drei 3er Canadier. Denn 3*3, dann sind es 9 Personen. Und ein Canadier kostet 27 € pro Tag. Das heißt wir kommen hier auf Kosten von 3*27 € sind 81 €. Und 81 € sind noch unter 90 €. Wäre also die erste Möglichkeit. Gucken wir uns die 4er Canadier an. In ein 4er Canadier passen natürlich 4 Leute. Und 9 Personen minus 4 Personen, dann sind natürlich noch 5 Personen übrig. Das heißt wir brauchen hier noch einen 5er Canadier. Und der Preis für ein 4er Canadier, gucken wir hier, für einen Tag, beläuft sich auf 35 €. Und der Preis für ein 5er Canadier, da gucken wir in der nächsten Zeile, beläuft sich auf 41 €. Und 41 € + 35 € ergibt schließlich 76 €. Das heißt die Variante 4er Canadier und 5er Canadier kostet die Gruppe 76 €. Die Gruppe kann natürlich auch einen 10er Canadier nehmen, denn da wäre sogar noch ein Platz frei. Und ein 10er Canadier kostet 94 € am Tag, wie man hier gut ablesen kann. 94 € ist aber jedoch über dem Preis, den die Gruppe ausgeben möchte. Das heißt dieser 10er Canadier kommt nicht in Frage. Jedoch könnte die Gruppe anstatt einen 10er auch zwei 5er nehmen, denn damit würden alle 9 Leute auch reinpassen. Ein 5er Canadier kostet, wie wir oben sehen können 41 €. Und wir brauchen ja nicht nur ein Canadier, wir brauchen ja zwei Canadier. Und 2*41 € sind 82 €. Und das ist immer noch im Preislimit von diesen 90 €. Das heißt zweimal 5er Canadier kosten die Gruppe 82 €. Wir können jetzt auch ausprobieren 5 mal einen 2er Canadier zu nehmen, denn das sind ja auch 10 Sitzplätze, doch ein 2er Canadier kostet 27 €. Und 27 €*5 wären 135 €. Und das ist über dem Preislimit von 90 €. Wir könnten versuche dreimal 4er Canadier zu nehmen. Aber da wären wir auch bei weit über 100 €. Aber wir könnten noch eine Mischung versuchen. Dann hätten wir 4er Canadier, also 4 Personen passen rein plus 2er Canadier plus 3er Canadier. Heißt für uns, 4er Canadier kostet 35 €, 2er Canadier kostet 27 € Und noch ein 3er Canadier 27 €. Dann hätten wir einen Preis von 89 €. Und das wäre auch noch im Budget der Gruppe. Wie man also sieht, gibt es wirklich diverse Möglichkeiten. So haben wir 4 Möglichkeiten entdeckt, wie die Gruppe ihre Boote ausleihen kann.
Als nächstes Aufgabe 6c die da heißt: Der Bootsverleiher vermietet die Boote am liebsten für eine ganze Woche. Die Kunden sollen dafür einen Vorteil von 10 % erhalten. Berechnen Sie, welchen Preis der Bootsverleiher als Wochenmiete für einen 2er Canadier verlangen kann. Gucken wir uns den 2er Canadier an. Und gucken wir uns die Wesentlichen Teile aus der Aufgabe an. Hier steht eine ganze Woche, also 7 Tage. Und dafür sollen die Kunden einen Preisvorteil erhalten von 10 %. Und wir sollen jetzt die Wochenmiete ermitteln für diesen 2er Canadier. Also gesucht: Wochenmiete. Okay, für diese Aufgabe muss man wissen, dass die Woche, die 7 Tage aus 5 Wochentagen, also Montag bis Freitag bestehen und zwei Tagen am Wochenende. Und die Preise für 5 Wochentage sind 5 mal und das steht dann hier oben, 27 €. Also 5 mal 27 €. Plus das Wochenende. Und das gesamte Wochenende kostet 58 €. Das heißt wir erhalten eine Gesamtpreis von 5*27 € sind 135 €. Plus die 58 €. Und das ergibt zusammen 193 €. Das wäre die reguläre Wochenmiete. Jetzt hat der Bootsverleiher jedoch gesagt, er will 10 % Preisvorteil geben. Das heißt von den 193 € müssen wir 10 % abziehen. Tun wir das. 193 € sind 100 % und wir wollen jetzt den Wert für 10 % haben. Und von 100 auf 10 kommt man, indem man durch 10 dividiert. 100/10 sind wiederum 10. Und die Division durch 10 machen wir auch auf der linken Seite. 193 €/10 sind dann nämlich 19,3 €. Und das ist der Nachlass für den Kunden. Und jetzt ist ja der neue Preis gesucht, das heißt wir müssen 193 € - 19,3 € rechnen. Und das ergibt dann 173,70 €. Und das wäre dann der Preis, den der Kunde für eine ganze Woche zahlen müsste, inklusive des Preisvorteils von 10%.

So die Aufgabe 7 ist etwas entspannter. Da muss man nur ein bisschen was lesen und eine Aussage überprüfen. Es gibt einige Meldungen und die enthalten Fehler. Nennen Sie die Meldungen, in denen die mathematische Aussage nicht mit dem Text übereinstimmt und beschreiben Sie den Fehler. Meldung a ist: Drei Fünftel aller Schüler der Einstein-Schule beteiligen sich an der Mathematikolympiade. Letztes Jahr waren es mit 50 % noch weniger. Da muss man natürlich wissen: Drei Fünftel, 3/5 als Bruch, sind natürlich 60%. Also 3/5 sind ja 0,6 und das sind ja 60/100 und das sind wiederum 60 %. Und da steht also 60% aller Schüler beteiligten sich an der Mathematikolympiade. Letztes Jahr waren es mit 50% noch weniger. Ist also eine richtige Aussage. Gucken wir uns Aussage b an: Jeder vierte Schüler (4%) der Klassenstufe 10 ist aktives Mitglied eines Fußballvereins. Jeder vierte Schüler heißt ja, wir haben heißt ja, wir haben einen ersten Schüler, einen zweiten Schüler, einen dritten Schüler und einen vierten Schüler und jeder vierte ist Mitglied eines Fußballvereins. Das heißt die ersten drei sind nicht Mitglieder eines Fußballvereins, aber einer von den vieren ist Mitglied. Und einer von den vieren kann man als Bruch schreiben als ¼. Und ¼ wiederum kann man erweitern mit 25 und kommt dann auf 25/100. Und das ist, wie ihr gelernt habt, 25%. Und 25% sind nicht 4%. Aussage b ist also definitiv falsch. Aussage c: Ein Zwanzigstel aller Realschüler schaffte die Prüfungen zum Mittleren Schulabschluss nicht. Letztes Jahr waren es immerhin nur 4%. Ein Zwanzigstel, also 1/20, ist erweitert mit 5, 5/100. Und 5/100 sind ja 5%. Dann steht 5% der Realschüler schaffte den MSA nicht, letztes Jahr waren es nur 4%. Das heißt die Aussage ist richtig. Letztes Jahr waren es weniger. Die letzte Aussage 7d: Bei der Vorbereitung des Tages der offenen Tür beteiligte sich dieses Jahr nur jeder dritte Schüler. Letztes Jahr war es noch jeder Fünfte. Jeder dritte Schüler. Das heißt einer von dreien hat sich beteiligt. Wenn ihr in den Taschenrechner eingebt 1/3 kommt da so etwas Schönes wie 0,Periode3 und das sind rund 33,3%. Und hier steht: Letztes Jahr war es noch jeder Fünfte. Und 1/5, also einer von fünf, 1/5 sind 0,2, das sind ja auch 20/100, also 20%. Überprüfen wir die Aussage noch einmal: Bei der Vorbereitung des Tages der offenen Tür beteiligte sich dieses Jahr nur jeder dritte Schüler, also nur 33%. Letztes Jahr war es ja noch 20%. Und hier tut man so, als ob es letztes Jahr mehr waren, es waren jedoch weniger. Damit ist diese Aussage auch falsch. Von den vier Aussagen der Aufgabe 7 waren also zwei falsch. Damit haben wir also Aufgabe 7 erledigt.
Also nächstes folgt Aufgabe 8 und wir nähern uns dem Ende. Die Aufgabe lautet: Maria und Alex stellen ihre Hausaufgabe vor. Sie sollten die folgende Gleichung lösen. Und dann haben wir hier dieses schöne Konstrukt. Marias Lösung lautet so und Alex‘ Lösung lautet so. Wer von den beiden hat nun einen Fehler gemacht? Und das testen wir natürlich selbst. Wir nehmen uns die Formel von oben runter und rechnen selbstständig aus. Wir haben hier eine Multiplikation von zwei Klammern. Und da wissen wir, jedes Element in der Klammer muss mit dem anderen Element in der anderen Klammer multipliziert werden. Soll heißen die 2x muss multipliziert werden mit der 4x und die 2x muss multipliziert werden mit der -1. Wir verbinden übrigens alle Elemente immer mit einem Plus. Die Vorzeichen klären wir danach. Jetzt kommt die -5, die multiplizieren wir mit der 4x. Und jetzt kommt die -5 und die multiplizieren wir mit der -1. Und drüben bleibt stehen -17+8x^2. Kopieren wir das nochmal und lösen jetzt auf. 2x*4x, erinnert euch, hier zwischen steht natürlich immer ein Multiplikationszeichen. Und bei der Multiplikation dürfen wir natürlich die Elemente drehen. Das heißt ich schreibe die 4x mal nach vorne. Dann steht hier 2*4 sind 8 und x*x sind x^2. Jetzt haben wir hier 2*x*(-1). (-1) nach vorne genommen. 2*(-1) ist natürlich -2. Gehen wir weiter. (-5)*4 sind natürlich, 5*4 20, und das Minus davor stehen gelassen. Und hier: -5*(-1), Minus mal Minus ist Plus und 1*5 sind 5. Hier können wir die Klammer wegnehmen. Wenn wir hier die Klammer wegnehmen, bei der -20, dann müssen wir das Plus zum Minus machen. Und wenn wir hier bei der -2 die Klammer wegnehmen wollen, dann müssen wir aus Plus und Minus Minus machen. Okay, prüfen wir mit den beiden Lösungen von Maria und Alex. 8x^2 haben beide, -2x hat jetzt nur noch Alex, -20x Alex, richtig. 5, richtig. Ist gleich -17+8x^2. Alex‘ Lösung ist richtig. Maria hat offensichtlich hier ein Vorzeichenfehler gemacht. Denn die -20x hat sie hier stehen, das ist okay, aber hier +2x und die richtige Lösung war ja -2x.
Schauen wir uns als nächstes Aufgabe b an. Da steht: Lösen Sie die Gleichung: 4x^2-5x+30+8x gleich 4x^2-18. Legen wir los. Nehmen wir die nochmal runter und machen Äquivalenzumformungen. Das heißt auf beiden Seiten dürfen wir die gleichen Operationen durchführen. Fangen wir mit 4x^2 an, die befindet sich auf beiden Seiten, also subtrahieren wir die doch auf beiden Seiten: -4x^2. Dann fällt die hier links weg: -5x-30+8x ist gleich, 4x^2 fällt weg, -18 bleibt stehen. Als nächstes können wir di e 30 herüberziehen, bzw. auf beiden Seiten addieren. Dann haben wir hier -5x, die 30 fällt weg, durch das +30, und hier 8x. Ist gleich, und hier haben wir jetzt -18 und dann noch die +30 dazu. Fassen wir das zusammen. -5x+8x sind, richtig, 3x. Und -18+30 sind 12. Und als nächstes können wir noch, weil hier steht ja 3*x, wir wollen aber nur ein x da haben, auf beiden Seiten durch 3 dividieren. Dann steht hier 3x/3 sind x und rechts 12/3 noch gerechnet, sind natürlich 4. Das heißt die Lösung für die Gleichung ist 4. Und damit ist Aufgabe 8 beendet.

Betrachten wir die vorletzte Aufgabe, Aufgabe 9. Diese lautet. Ein Jäger und sein Hund kommen von der Jagd und nähern sich ihrem Haus. Sein Hund läuft dabei immer zwischen seinem Herrchen und dem Haus hin und her. Und jetzt gibt es dazu drei Diagramme, die die Achsen haben „Zeit“ und „Entfernung“. Und eingetragen sind folgende Verläufe. Ihr sollt jetzt entscheiden, welches der Diagramme, A, B oder C zu dieser Geschichte passt. Wir ihr sehen könnt, ist die y-Achse immer die Entfernung vom Haus. Das heißt sobald sie bei der Entfernung hier bei 0 sind, also hier beim Koordinatenursprung, sind sie direkt beim Haus angekommen. Lasst uns kurz die Zeitachse ausblenden, dann sieht man das besser. Heißt also, wenn Jäger und Hund hier unten sind, dann sind sie beim Haus. Und nicht nur hier, sondern auch hier und hier und hier. Wir merken uns also: Immer wenn wir uns auf dieser Achse befinden, befinden wir uns gleichzeitig auf der Höhe des Hauses. Sind Jäger und Hund jedoch hier oben, dann sind sie vom Haus entfernt. Zum Beispiel im Wald. Das heißt sie sind ja gerade hier in der Geschichte weit weg vom Haus. Ist die Entfernung vom Haus 0, sind sie also zu Hause. Das heißt sie müssen bei der Höhe 0 ankommen. Und das trifft zu für den ersten Fall. Das trifft nicht zu für den zweiten Fall, weil hier haben sie nach einer gewissen Zeit sogar noch einen Abstand vom Haus, sind also noch weiter entfernt. Und hier beim dritten sind sie auch bei 0 als Entfernung vom Haus, das heißt sie sind auch zu Hause angekommen. Und hier steht dann noch: Der Hund läuft immer zwischen seinem Herrchen und dem Haus hin und her. Sie fangen hier zu zweit an. das Herrchen ist offensichtlich die dicke Linie. Geht schnurstracks nach Hause und der Hund rennt immer zwischen dem Haus und dem Herrchen hin und her. Das trifft hier für a zu. Die Sache ist sowieso schon ausgeschieden. Und auch hier trifft es zu, denn der Hund rennt immer hin und her. Bis sie zusammen beim Haus ankommen. Das ist schon die Lösung. Jetzt ist hier als Aufgabe b gegeben, man soll zu dem Diagramm das nicht passt, also zu dem hier, eine Geschichte noch erfinden. Und da wir ja gesagt haben, das ist die Entfernung vom Haus, diese y-Achse, gehen sie hier offensichtlich vom Haus los und verlassen das und gehen wahrscheinlich in den Wald. Dabei rennt der Hund auch immer hin und her. Unsere Geschichte könnte also heißen: Der Jäger und sein Hund brechen morgens von ihrem Haus auf zur Jagd und kommen dann, wenn das hier vielleicht mittags ist, kommen dann mittags im Wald an. Und das Pendeln des Hundes können wir begründen, in dem wir dort im Wald vielleicht ein verwundetes Tier liegt zu dem der Hund den Jäger geführt hat. Das heißt wir ergänzen unseren Text wie folgt: Die beiden kommen im Wald bei einem verletzten Wildtier an. Während der Wanderung rannte der Hund zwischen Jäger und Tier hin und her. Aufgabe 9 erledigt. Stürzen wir uns auf die letzte Aufgabe Nummer 10. Die heißt: Pitt und Kalle haben zwei Graphen gezeichnet. Pitt hat den ansteigenden Graphen gezeichnet, Kalle den fallenden. Erste Frage, welchen der beiden Graphen hat Kalle gezeichnet? Und da müsst ihr einfach nur wissen, dass alle Graphen die nach oben gezeichnet werden steigen, und die nach unten gezeichnet werden fallen. Wie, als wenn ihr einen Berg hinaufsteigt oder herabfallt. Also hat Kalle den fallenden Graphen gezeichnet. Die Antwort wäre als: Graph g.
Aufgabe 10b lautet: Geben Sie für beide Graphen die Funktionsgleichung an. Und da müssen wir ein bisschen überlegen. Da schauen wir mal auf die Normalform: f(x) = m*x+n. Und suchen wir uns das n, denn das n ist ja am Schnittpunkt hinten an der y-Achse zu erkennen. Der Graph f schneidet die y-Achse bei 0. Das heißt das n hier hinten wird zur 0. Und jetzt ist die Frage, wie ergibt sich die Steigung? Und da erinnern wir uns, bei der Steigung brauchen wir ein Steigungsdreieck. Und das zeichnen wir mal hier bei zwei Punkten ein, die wir gut ablesen können. Da schlage ich vor (0|0) und (4|5). Setzen wir ein Steigungsdreieck an. Das heißt also der Abstand der Höhe ist 5 und der Abstand der Breite ist 4. Und wir hatten gelernt, wir müssen die beiden Abstände dividieren, also ins Verhältnis setzen. Das heißt Abstand Höhe hat man auch dieses Deltazeichen, Abstand, und Höhe ist ja y. Dividiert durch Abstand x, also Abstand der Breite. Und für unseren Fall hatten wir gerade gesagt ist das 5 und 4. Und das können wir auch schon für m eintragen. 5/4. Damit wäre die Funktionsgleichung 5/4*x und die 0 können wir wegnehmen. Gut, schauen wir uns die von g(x) an. Nehmen wir wieder die Normalform: g(x) = m*x+n. Wo trifft g die y-Achse? Offensichtlich bei 4. Das heißt n hinten wird zu 4. Und jetzt brauchen wir auch wieder ein Steigungsdreieck. Nehmen wir das alte mal weg und setzen jetzt für g ein Steigungsdreieck. Und da können wir den Punkt hier oben nehmen, den Schnittpunkt mit der y-Achse und den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setzen wir hier ein Steigungsdreieck ein. Dann haben wir für die Breite 4, doch für die Höhe geht es nach unten und zwar mit einem Abstand von -4. Gucken wir uns die Steigung wieder an. Die Differenz der Höhe durch Δx, der Abstand der Breite. Und das ergibt dann eingesetzt -4/4 und das ist -1. Der Wert für m ist also -1. Und dann haben wir jetzt die Funktionsgleichung für f(x) und die Funktionsgleichung für g(x). Und die -1*x kann man auch kürzen zu -x.
Die letzte Aufgabe ist 10c. Pitt möchte den Schnittpunkt von den zwei Graphen berechnen. Erkläre ihm, wie er vorgehen muss. Und da muss man eine Sache wissen. Der Schnittpunkt hier, schreiben wir mal S rein, hat einen x-Wert und einen y-Wert. Also können wir schreiben: S hat einen x-Wert und einen y-Wert. Und das interessante ist, ist dass dieser x- und y-Wert bei dem Graphen von g zu finden ist und bei dem Graphen von f. Weil dieser Punkt liegt auf beiden Graphen, das heißt beide Werte finden sich in den Graphen, so dass wir folgendes machen können: Wir können f und g gleichsetzen, indem wir schreiben f(x) = g(x). Das heißt, es soll folgendes passieren. Die Höhe von f(x) soll gleich sein der Höhe von g(x). Und die Höhe ist ja hier dieser y-Wert. Schreiben wir mal die Formel hin: f(x) ist 5/4*x ist gleich g(x) und das ist ja -x+4. Jetzt können wir diese Gleichung umformen und wir müssen jetzt dieses -x auf die andere Seite rüberholen. Und das machen wir mit +x. Dann steht hier 5/4*x+x ist gleich 4. Und 5/4*x+1x, dann wissen wir, dass 1x erweitert werden kann zu 4/4*x und dann können wir die beiden ganz bequem zusammenaddieren: 4/4*x+5/4*x sind natürlich 9/4*x. Und jetzt wollen wir natürlich die 9/4 noch weghaben vom x, da soll ja am Schluss nur noch stehen x ist gleich. Das heißt wir müssen hier auf beiden Seiten durch 9/4 rechnen. Dann fällt es links weg und es bleibt x übrig und rechts steht dann 4:9/4. Wenn man Division beim Bruch macht, muss man den umdrehen, reziproke, und multiplizieren, also mal, umdrehen ist dann, 4/9. Und dann können wir die 4 in Eintel umwanden und das sind dann 4/1 und können rechnen: Nenner mal Nenner, Zähler mal Zähler, also kommt raus 16/9. Also rund 1,77. Wenn x also 1,77 ist, wir uns also bei der x-Achse hier befinden und nach oben schauen, sehen wir, dass sich hier der Schnittpunkt befindet und beide Graphen zusammentreffen. Um jetzt noch die y-Werte herauszubekommen müssten wir noch die 16/9 bei f oder bei g eintragen. Machen wir das gerade für f. Sagen wir also x ist 16/9, dann steht hier nicht mehr x, sondern 16/9. Und wir können multiplizieren: Oben 5*16 unten 4*9. 5*16 ergibt 80 und 4*9 ergibt 36. Und 80/36 sind rund 2,222. Und tatsächlich, man kann es auch einigermaßen ablesen. x hat den Wert 1,77 und y hat den Wert 2,2. Das wären also die Koordinaten für unseren Schnittpunkt. Die Reihenfolge zur Lösung dieser Aufgabe lautet wie folgt: Beide Funktionsgleichungen gleichsetzen, die Formel eintragen für f und für g, dann die Äquivalenzumformung durchführen und nachher den x-Wert bei f(x) oder g(x) einsetzen. Der x- und y-Wert zusammen sind dann die Koordinaten für den Schnittpunkt.