Mathe G18: Potenzen und Potenzgesetze

Hallo liebe Zuschauer und willkommen zur Lektion Potenzen. Wir schauen uns an was Potenzen sind und wie man mit ihnen rechnet. Legen wir los. Potenzen sind eigentlich nichts weiter als eine Mehrfachmultiplikation. Wir haben hier also die 3 mehrfach mit sich selbst multipliziert. Und zwar genau 1, 2, 3, 4, 5-mal. Und anstatt jetzt das hier zu schreiben, können wir es kürzer notieren. Mit den Potenzen. Wir schreiben einfach die 3 selbst nochmal hin und jetzt schreiben wir die Anzahl hoch gestellt an die 3. Und man spricht „3 hoch 5“. Wenn ihr also eine 3^5 habt, heißt das: Multipliziere die 3 fünfmal mit sich selbst. Wir zählen also die Multiplikation der Zahl mit sich selbst: 1, 2, 3, 4, 5. Und schreiben dann nur die Zahl hoch 5. Dabei sagen wir unten übrigens „Basis“ dazu und oben „Exponent“. Und insgesamt nennen wir alles dann „Potenz“. Wer ein bisschen Probleme mit dem Verständnis hat kann unter echteinfach.tv eine kleine Software ausprobieren. Hier könnt ihr euch selbst die Basis einstellen und den Exponenten. Also wir können jetzt hier beispielsweise die 3 sechsmal miteinander multiplizieren. Siebenmal, achtmal und so weiter. Wir können aber auch eine andere Basis wählen. Die Basis 4, 5, 6 und so weiter. Wie ihr seht, kommen auch im Ergebnis sehr hohe Zahlen heraus! Wir haben hier nämlich nur die 9 und die 10, also zwei einfache Zahlen, die aber als 9^10 einen Wert von mehreren Millionen ergeben. Man kann also sagen, es ist ein mächtiges Werkzeug in der Mathematik. Und das Wort „Potenz“ kommt ja auch von dem lateinischen Wort „potentia“, was übersetzt „Macht“ heißt. Als nächstes betrachten wir uns die Rechengesetze für die Potenzen. Vorher jedoch noch zwei Hinweise. Wenn wir so etwas haben wie 5 mal 5, ist das 5². Und hier sagt man auch „5 Quadrat“ dazu. Und das Quadrat kennt ihr natürlich von so etwas wie Meter mal Meter, denn da hat man ja den Quadratmeter. Und zweiter Hinweis: Die Potenzgesetze gelten nur für die Multiplikation und die Division.
Los geht’s. Was passiert, wenn wir zum Beispiel die 3^5 mit einer anderen Potenz multiplizieren. Wie zum Beispiel mit 3^2. Was kommt dabei raus? Und an der Stelle wandeln wir die Potenz wieder in eine Multiplikation um. Die 3^5 schreiben wir also als 3 mal 3 mal 3 mal 3 mal 3 und die 3² wird zu 3 mal 3. Und ihr seht schon, da alles Multiplikation ist, dürfen wir diesen Term hier wieder umwandeln in eine Potenz, denn wir haben jetzt die 3 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7-mal. Also dürfen wir jetzt schreiben: Ist gleich 3^7, also die Anzahl. Nehmen wir das hier in der Mitte weg. Wir hatten ja 3^5 mal 3² gerechnet und wir kamen auf 3^7. Was ist passiert? Man sieht es schon. Wir haben die 5 und die 2 und sind auf 7 gekommen. Na klar: Wir haben 5 und 2 addiert. Wir haben also gerechnet: 5 plus 2 und sind dann auf die 3^7 gekommen. Und das ist auch schon die erste Regel, die wir heute lernen. Wenn wir zwei Potenzen mit gleicher Basis, also 3 und 3 sind gleich, multiplizieren, dann dürfen wir die Exponenten, die 5 und 2, einfach addieren. Also verallgemeinert mit Variablen würden wir jetzt schreiben: 3 wird zu x. Die 5 wird zur Variablen a und die 2 machen wie zum b. Die allgemeine Regel lautet: x^a mal x^b ist das gleiche wie x^(a+b). Wir dürfen also, wenn die Basis gleich ist, die Exponenten addieren.
Betrachten wir uns die zweite Regel. Was passiert, wenn wir zwei Potenzen miteinander dividieren? Zum Beispiel 3^5 durch 3^2. An der Stelle wäre es gut, wenn ihr euch an die Bruchrechnung erinnert, denn da hatten wir gelernt, wir dürfen jede Division als Bruch schreiben. Das heißt hier würde sich ergeben 3^5 durch 3^2. Wenn wir das jetzt nochmal als Multiplikation schreiben, erhalten wir hier oben im Zähler fünfmal die 3 mit sich selbst multipliziert und hier unten im Nenner zweimal die 3 mit sich selbst multipliziert. Und jetzt dürfen wir kürzen, wie wir es in der Bruchrechnung gelernt hatten. Hier oben ist eine 3. Hier unten ist eine 3. Das heißt die kürzen sich weg zu 1. Hier oben ist eine 3, hier unten ist eine 3. Auch die kürzen sich weg zu 1. Übrig bleiben diese drei 3en. Also so sieht der Bruch gekürzt aus, die 1en fallen hier weg und diese drei 3en bleiben übrig. Und natürlich können wir das wieder als Potenz schreiben. Wir haben 1, 2, 3-mal die 3. Wir schreiben also hin: Ist gleich 3³. Stellen wir das Ergebnis mit der ursprünglichen Aufgabe gegenüber und versuchen wir hier die Regel zu erkennen. Wir haben die Basis 3, die ist gleich geblieben. Und wir haben Exponent 5 und 2 und 3 ist herausgekommen. Was haben wir also gemacht? Wir haben die Exponenten miteinander subtrahiert. Denn 5 minus 2 ergab dann 3. Und das wieder verallgemeinert, als Regel. Die 3, die Basis, wird wieder zu x. Der erste Exponent, die 5, wird zu a. Und der zweite Exponent, die 2, wird zu b. Und schon haben wir unsere zweite Regel. x^a durch x^b ist das gleiche wie x^(a minus b). Gut. Jetzt fragt sich der ein oder andere vielleicht, was passiert, wenn wir eine Potenz selbst potenzieren? Also nehmen wir als Beispiel 3², schreiben jetzt da noch die Klammern drum herum und setzen diesen ganzen Term hoch 3. Was kommt da heraus? Und lasst euch jetzt nicht von der Klammer verwirren. Wenn wir ein x³ hätten, wir schreiben x mal x mal x und genauso setzen wir alles was in der Klammer hier steht für das x ein. Das heißt dieses x ist einmal die Klammer. Hier haben wir einmal die Klammer und hier haben wir einmal die Klammer. Als nächstes dürfen wir die Klammern mal entfernen. Und jetzt können wir die Potenz wieder als Multiplikation schreiben. Also, diese 3² wird zu 3 mal 3. Hier ebenfalls 3 mal 3 und hier ebenfalls 3 mal 3. So, jetzt haben wir die 3 wieder in Mehrfachmultiplikation. Zählen wir mal wie oft: 1, 2, 3, 4, 5, 6-mal. Also können wir hier schreiben ist gleich 3^6. Und schauen wir wie die Regel heißt, wenn wir 3² hoch 3 gerechnet hatten, kommt 3^6 heraus. Was ist passiert? Richtig, wir hatten die Exponenten 2 und 3 miteinander multipliziert und da kam dann eben die 3^6 heraus. Das heißt die Regel ganz allgemein. Wir haben hier das x. Haben hier den Exponenten a. Also die 2 wird zu a. Und hier der äußere Exponent, der wird zu b. (x^a)^b ist das gleiche wie x^(a mal b).
Bis hier hin haben wir also folgendes kennen gelernt. Wir wissen was eine Potenz ist. Also x^a gleich x mal x mal x und zwar so häufig wie es a vorgibt. Also wenn a eine 6 wäre, dann müssten wir sechs x hinschreiben. Dann hatten wir die Regel, dass x^a mal x^b das gleiche ist wie x^(a plus b). Dann hatten wir die Regel, dass bei der Division von zwei Potenzen mit gleicher Basis, die Exponenten subtrahiert werden dürfen. Und dann hatten wir als letztes die Regel, dass wenn eine Potenz potenziert wird, darf man die beiden Exponenten multiplizieren. Schauen wir uns als nächstes an, wenn die beiden Basen unterschiedlich sind, die Exponenten aber gleich.
Das heißt, nehmen wir mal 2³ mal, jetzt eine andere Basis, die 3. Und jetzt auch hoch 3. Der gleiche Exponent. Was kommt da heraus? Auch hier ist es wieder sinnvoll das als Multiplikation auszuschreiben. Wir hätten also die 2 dreimal mit sich selbst multipliziert und wir hätten die 3 dreimal mit sich selbst multipliziert. An der Stelle müsst ihr euch an das Kommutativgesetz erinnern. Da hatten wir gesagt, bei einer Multiplikation dürfen wir die einzelnen Faktoren miteinander vertauschen. Und wir sind jetzt clever und vertauschen so, dass sich Paare bilden. Also, wir nehmen jetzt mal diese 3 nach vorne zur 2. Und wir nehmen diese 3 auch nach vorne zu dieser 2. So dass wir jetzt Pärchen von 2 mal 3 haben. Und wie ihr seht, dürfen wir jetzt folgendes machen: Wir dürfen jetzt schreiben (2 mal 3) in Klammern. Und richtig. Wie oft haben wir die 2 mal 3 mit sich selbst multipliziert? 1, 2, 3-mal. Das heißt wir dürfen jetzt schreiben (2 mal 3)³. Und das ist auch schon die nächste Regel. Wir haben zwei unterschiedliche Basen, aber die Exponenten sind gleich, dann dürfen wir bei der Multiplikation beide Basen miteinander multiplizieren und den gleichen Exponenten auf beide anwenden. Allgemein mit x und y ausgedrückt: 2 wird zu x, die Basis 3 wird zu y. Und hier oben für diesen Exponenten schreiben wir ein a.
Im nächsten Teil dieser Lektion, schauen wir uns an, welche Regel gilt, wenn wir hier eine Division haben, warum jede Zahl hoch 0 immer 1 ergibt und weshalb ein negativer Exponent 1 durch x hoch positiver Exponent bedeutet.

Schauen wir uns als nächstes an, was passiert, wenn hier eine Division steht. Nehmen wir uns hier auch wieder ein Beispiel. Sagen wir 2³ dividiert durch 3³. Schreiben diese Division jetzt als Bruch und lösen es auf zu einer Multiplikation. Oben dreimal die 2 mit sich selbst multipliziert und unten im Nenner dreimal die 3 mit sich selbst multipliziert. Jetzt dürfen wir diesen Bruch teilen. Und zwar in mehrere Brüche. Wir können immer 2/3 bilden. Also einmal 2/3 hier geschrieben. Jetzt multipliziert mit wieder 2/3 und jetzt multipliziert mit wieder 2/3. Und jetzt können wir natürlich die 2/3 abzählen, wie oft multiplizieren wir sie? Einmal, zweimal, dreimal und schreiben das hier als Potenz hin. Also ist gleich 2/3, dann müsst ihr hier noch die Klammer setzen, und jetzt das ganze hoch 3. Schreiben wir das nebeneinander. Und jetzt können wir auch den Bruch als Division schreiben. Also hier drüben ist gleich (2 durch 3)³. Verallgemeinern wir noch: 2 wird jetzt zu x, Basis 3 zu y und oben der Exponent, der wird zu a. Und das ist jetzt die nächste Regel. x^a durch y^a ist das gleiche wie (x durch y)^a. Bitte achtet darauf. Oft findet ihr diese Regel auch als Bruchschreibweise. Also x^a durch y^a gleich (x/y)^a.
Betrachten wir uns noch einmal die Lernsoftware und verändern wir mal hier den Exponenten, so dass jetzt eine 0 herauskommt. Und ihr seht 3^0 ist 1. Wenn ihr jetzt die Basis hier verändert, bleibt es hier dabei. Jede Zahl hoch 0 ist 1! Auch die negativen Zahlen hoch 0 sind 1! Warum ist das so? Schauen wir mal. Um das zu klären, müssen wir eine Sache festlegen: Jede Zahl hoch 1 ist immer die Zahl selbst. Also 15^1 ist dann wieder 15. Allgemein sagt man da natürlich x^1 ist gleich x. Gut, jetzt nehmen wir mal als Beispiel 2 durch 2. Dann können wir ja schreiben: 2^1 durch 2^1 und nach unserer eben erst kennen gelernten Regel, müssten wir ja bei der Division beide Exponenten miteinander subtrahieren. Also steht dann da 1 minus 1. Und richtig, was kommt bei 1-1 heraus? Die 0. Und wie wir gerade festgelegt hatten, ist ja 2^1 nichts anderes als 2. Wir schreiben also: 2 durch 2, ganz klar, da kommt 1 heraus. Und wie man hier gut sieht: 2^0 ist 1. Wir könnten jetzt hier verallgemeinern, nicht 2^1, sondern x^1, dann haben wir hier x^(1 minus 1) und da kommt dann x^0 heraus. Und ganz klar, das ist das gleiche wie x durch x und das ist dann wiederum 1. Also in einer Zeile. So sieht man, dass x^0 das gleiche wie 1 ist. Also für jede beliebige Zahl hoch 0, gilt sie, hat den Wert 1. Ok jetzt könnte ja einer auf die Idee kommen und sich sagen: „Gut wir hatten ja vorhin nur positive Exponenten, nehmen wir doch einfach mal negative Exponenten“. Also zum Beispiel -1, oder -2 oder -3 etc. Dann fragen wir uns jetzt, warum steht hier 1 durch und dann 4 mal 4, also 4². Wir können ja sagen 3^1, zum Beispiel wieder, durch 3² ist 3^(1 minus 2), denn wir müssen ja jetzt aufgrund der Division beide Subtrahenden miteinander subtrahieren. Und klar, was kommt da raus? Natürlich 3^(minus 1). Doch was ist jetzt 3^(minus 1)? Dazu schreiben wir das mal als Bruch. Jetzt schreiben wir die Potenzen mal wieder als Multiplikation, also die 3^1 ist einfach nur 3 und die 3² ist 3 mal 3. Jetzt können wir wieder kürzen. Diese 3 und diese 3. Dann bleibt da folgendes stehen 1 durch 1 mal 3. Und natürlich 1 mal 3 hier unten ist wieder 3 und wir erhalten 1/3. Wenn wir jetzt diesen Exponenten mal erhöhen, also nicht die 2, sondern die 4 wählen, einen höheren Exponenten, müssen wir hier oben jetzt 1 minus 4 rechnen. Und 1 minus 4 ergibt natürlich minus 3. Und jetzt hier unten haben wir 3^4. Dann haben wir jetzt hier unten im Nenner viermal die 3 zu stehen. Und wenn wir jetzt kürzen, fällt die 3 und die 3 hier weg und unten bleiben drei 3en stehen. Also hier 3 mal 3 mal 3. Und wenn wir jetzt die 3 mal 3 mal 3 als Potenz schreiben, schreiben wir da hin: Ist gleich 1 durch 3³. Das heißt 3^(minus 3) ergibt 1 durch 3³. Und das ist auch schon die Regel, die wir uns merken müssen. Wir sagen also, ganz allgemein, haben wir ein Minus im Exponenten stehen, müssen wir 1 durch diese Potenz rechnen. Mit positivem Exponenten. Verallgemeinert setzen wir das x für die Basis ein hier x^(minus 3) ist das gleiche wie 1 durch x³. Ersetzen wir noch die 3 mit a und die allgemeine Regel lautet: x^(minus a) ist das gleiche wie 1 durch x^a. Das heißt also, sobald ihr einen negativen Exponenten habt, nehmen wir noch ein Beispiel: 2^(minus 8), dann müsst ihr rechnen: 1 durch 2^8. Achtet darauf, dass wenn der Exponent im Nenner steht, dann positiv ist. Nicht mehr wie hier negativ. Natürlich könnt ihr dann auch jeden Bruch, der so geschrieben ist 1 durch 2^8 wieder umwandeln in 2^(minus 8). Habt ihr also beispielsweise eine Aufgabe, die da lautet 2^8 mal 2^(minus 8), dann wisst ihr, wir müssen die beiden Exponenten addieren. Es ergibt sich also 2^(8 minus 8) und das ist natürlich 2^0 was wiederum 1 ist. Und das könnt ihr hier natürlich auch anders schreiben. Ihr könntet ja auch schreiben 2^8 mal, und das hier jetzt als Bruch, also 1 durch 2^8. Dann wissen wir aus der Bruchrechnung: 2^8 springt hoch zum Zähler. Und wir können schreiben: 2^8 mal 1 durch 2^8. 2^8 mal 1ist 2^8. Und 2^8 durch sich selbst dividiert ist natürlich 1 bzw. 2^0. Wir sind also mit beiden Varianten auf das gleiche Ergebnis gekommen.
Nochmal der Blick zurück zur Software. Ihr seht hier mit dem negativen Exponenten haben wir dann 1 durch 4^5 zu rechnen. Also das Minus sagt uns immer, wir müssen 1 durch 4^5, diese Potenz, rechnen. Solltet ihr jetzt mal auf die Idee kommen und 0 hoch einen negativen Exponenten rechnen wollen, dann ist er natürlich nicht definiert, weil die Division durch 0 nicht definiert ist.
Bei den Potenzen gibt es noch eine Sache, die ihr euch merken solltet. Ist die Basis positiv, so ist auch das Ergebnis stets positiv. Ist die Basis hingegen negativ, nehmen wir hier mal minus 5, entscheidet der Exponent ob das Ergebnis positiv oder negativ ist. Ist der Exponent gerade so ist das Ergebnis immer positiv, denn Minus und Minus ist immer Plus. Ist der Exponent hingegen ungerade, so erhalten wir ein negatives Ergebnis, denn Minus und Minus ist Plus. Und Minus ist Minus. Dies gilt übrigens auch für negative Exponenten, die auch gerade sein können. Dann ist es positiv oder ungerade sein können, dann ist das Ergebnis negativ.
Schauen wir uns abschließend noch eine Aufgabe an bei der wir unsere Regel anwenden können. Diese Aufgabe hier gilt es zu lösen. Wie fangen wir an? Wir nutzen unser Wissen, dass bei dieser Division der Exponent auf Zähler und Nenner gezogen werden darf. Also schreiben wir an die 1 hoch 2 und an die 2 hoch 2. Bei diesem 2^(minus 2) wissen wir, dass wir 1 durch 2² rechnen müssen. Die 4 wandeln wir am besten zur 2 um, weil wir hier die Basis 2 haben wäre es angenehm hier auch die Basis 2 zu haben. Und 4 ergibt sich aus 2 mal 2 und das ist natürlich 2². Und jetzt wenden wir hier die Regel an, dass die beiden Exponenten natürlich miteinander multipliziert werden dürfen und wir erhalten 2 mal 2 im Exponent und das ist 4. Und die 5^0 am Ende. Naja wir haben gesagt, hoch 0 ist immer 1. Gut jetzt lösen wir auf. Nehmen wir die nächste Zeile hierfür. 1² ist natürlich 1. Und wir sehen schon: Dieser Bruch kommt hier zweimal vor, das heißt wir können ihn hoch 2 schreiben. Und jetzt verteilen wir die 2 auf Zähler und Nenner, also erhalten wir 1² und hier unten (2²)^2, jetzt dürfen wir ja wieder die Exponenten wieder multiplizieren und 2 mal 2 ist 4. Und oben im Zähler: 1² ergibt 1. Jetzt können wir wieder das 1 durch 2^4 in eine Potenz umwandeln mit negativen Exponenten. Also 2^(minus 4). Jetzt kennen wir die Regel, dass wir bei einer Division die beiden Exponenten subtrahieren dürfen. Das heißt wir schreiben hier 2^(minus 4 minus diese 4). Minus 4 und minus 4 ergibt minus 8. Die mal 1 können wir ja an dieser Stelle wegnehmen. Jetzt steht hier (2^(minus 8))². Das heißt wir dürfen die beiden multiplizieren und erhalten 2^(minus 8 mal 2), was natürlich 2^(minus 16) ist. Und damit haben wir die Aufgabe gelöst. Dieser ganze Term ergibt schließlich 2^(minus 16).