VEK01: Einführung zu Vektoren

Hallo liebe Schüler und willkommen zum Thema "Vektoren". Wir wollen uns in den folgenden Lektionen anschauen, was Vektoren sind und was wir mit ihnen machen können, beziehungsweise wie wir mit ihnen rechnen. Zu Beginn klären wir erst einmal, was der Begriff "Vektor" überhaupt bedeutet. "Vektor" kommt aus dem Lateinischen und heißt übersetzt "Träger", im Sinne von "transportieren" beziehungsweise "übertragen" und geschichtlich gehen die Vektoren auf Hermann Graßmann zurück, der im Jahre 1840 eine mathematische Arbeit schrieb über die Theorie von Ebbe und Flut und er schaffte es, mit Hilfe von Vektoren, das Phänomen "Ebbe und Flut" zu erklären und er löste somit nicht nur das Rätsel um Ebbe und Flut, sondern begründete auch den mathematischen Bereich der Vektoren. Für die Einführung schauen wir uns als erstes ein einfaches Beispiel an, um Vektoren verstehen zu können. Bevor wir loslegen noch ein wichtiger Hinweis: Wir halten uns hier im Zweidimensionalen auf, das heißt wir haben eine Breite, es geht hier nach links und nach rechts entlang der x-Achse, und wir haben eine Höhe, es geht nach oben und nach unten, für unsere y-Achse und zur Erinnerung: Wenn wir einen Punkt hier setzen, dann tragen wir die Koordinaten von dem Punkt ein, indem wir hier als erstes die x-Koordinate einsetzen, dann einen Querstrich schreiben und danach hier den y-Wert einsetzen. Also, wenn wir den Punkt jetzt mal verschieben, tragen wir als erstes die "4" ein, das ist unser x-Wert und für die Höhe, unser y, die "1", das ist hier der zweite Wert. Das müsst ihr unbedingt beherrschen, denn das benutzen wir jetzt in allen folgenden Lektionen. Als Einführungsbeispiel für die Vektoren stellen wir uns vor, wir hätten hier ein Dreieck mit den Punkten "A", "B" und "C". Jetzt wollen wir dieses Dreieck verschieben und zwar in diese Richtung auf den Punkt "A2". Um das kenntlich zu machen, können wir von "A" zu "A2" einen Pfeil zeichnen, das heißt, wir verschieben den Punkt "A" hier entlang bis zu "A2". Wenn wir jetzt den Punkt "B" verschieben wollen, den wir ja in die gleiche Richtung mit der entsprechenden Weite, beziehungsweise Länge, verschieben wollen, würden wir geometrisch ein Geo-Dreieck nehmen und ein Lineal und dann diesen Pfeil hier nach rechts verschieben, sodass er sich auf Punkt "B" befindet. Das sieht dann in etwa so aus... Jetzt wissen wir, dass hier unser Punkt "B2" entsteht. Also hier ist der Punkt "A"...
hier ist der Punkt "B"...
wir nennen sie "A2" und "B2". Also eine kleine "2" heran, damit es kenntlich ist, dass es der verschobene Punkt ist und für "C" genauso: "C" muss sich ja irgendwo hier befinden... Wir verschieben unseren blauen Pfeil auf "C"... und wir erhalten hier Punkt "C2" und jetzt, richtig, können wir die drei verschobenen Punkte verbinden und erhalten unser verschobenes Dreieck. Gut, das ist die geometrische Variante. Doch, was machen wir, wenn wir das berechnen wollen, also nicht einfach nur verschieben hier, sondern wir wollen alle Punkte mit Koordinaten versehen und die Koordinaten der Zielpunkte exakt berechnen? Wie können wir da vorgehen? Und die erste Sache, die wir machen sollten, ist ein Koordinatengitter einzeichnen und nicht nur das, sondern auch die Achsen "x" und "y". Nehmen wir dieses Dreieck nochmal weg, blenden die Punkte und Vektoren aus und setzen nochmal unseren Punkt "A2" an diese Stelle... Jetzt ist also die Frage: Wenn wir "A" auf "A2" verschieben und die Koordinaten berechnen wollen, wie machen wir das? "A" können wir ablesen: "A" hat die Koordinate "1, 0". Die "0", richtig, weil die Höhe hier bei y null ist und x ist natürlich "1". Zeichnen wir nochmal unseren Pfeil ein, dann sehen wir: Er geht hier nach links oben, doch wir haben das Problem, dass wir nicht erkennen können, wie weit er geht. Seine Länge lässt sich nicht direkt ablesen. Auch wissen wir nicht, in welchem Winkel er hier rotiert wurde, beziehungsweise hier rotiert wurde..., um dann auf den Punkt "A2" zu kommen. Aber wir können es uns einfach machen: Anstatt den blauen Pfeil langzulaufen, können wir auch sehen, wie weit wir nach links laufen müssen und nach oben, beziehungsweise, wie weit der Punkt "A" in Richtung "x" verschoben wurde und in Richtung "y". Lasst uns die Verschiebung in Richtung x-Achse eintragen und da sehen wir, das sind eins, zwei, drei nach links, also "-3". Wenn wir eins minus drei rechnen, kommen wir auf "-2". und jetzt sind wir auf der Höhe "0". Wir müssen jetzt eins, zwei hochgehen und kommen auf "A2". So haben wir also für die Verschiebung in Richtung x und die Verschiebung in Richtung y zwei Werte, "-3" und "2", ermittelt und richtig, wir wollen ja das gesamte Objekt hier verschieben, das gesamte Dreieck, das heißt, wir müssen auch "B" und "C" in diesem Maße verschieben: Drei nach links, zwei nach oben. Machen wir das für "B". "B" hat die Koordinaten "4, 0", das heißt, wir gehen jetzt eins, zwei, drei nach links und dann eins, zwei nach oben. Setzten wir den Punkt und zeichnen auch unseren Vektor ein... und ihr seht, es ist genau der gleiche Pfeil, wir können jetzt auch schon "Vektor" sagen, wie hier. Und für "C" das gleiche: Drei nach links, zwei nach oben, Koordinaten von "C" sind "4, 2", also wird vier minus drei gerechnet, wir kommen auf "1" und die zwei plus zwei, wir kommen auf "4". Verschieben wir unseren Vektor hier hoch, beziehungsweise verbinden wir "C" mit "C2"... und so haben wir unser Dreieck verschoben. Was wir sehen, ist, dass jeder blaue Pfeil, den wir auch "Vektor" nennen können, jeweils eine Komponente, also einen Wert für x und für y hat. So haben wir also unser anfangs geometrisches Beispiel berechenbar gemacht mit Hilfe des Koordinatensystems und mit Hilfe der Vektoren, also dieser Pfeile hier, die in eine bestimmte Richtung zeigen und eine bestimmte Länge haben, und den Vektor können wir darstellen mit einem x-Wert und einem y-Wert und diesen x-y-Wert notiert man für den Vektor, indem man den x-Wert oben hinschreibt, also unsere "-3" und den y-Wert darunter, also die "2", und eine große Klammer herummacht und wir müssen diesem Vektor noch einen Namen geben: Wir nennen ihn einfach "v", wir könnten aber auch einen anderen kleinen Buchstaben wählen und ganz wichtig: Wir setzen einen kleinen Pfeil auf den kleinen Buchstaben, das als Zeichen, dass es sich um einen Vektor handelt. Wenn wir jetzt unseren Vektor mal verändern, zum Beispiel den y-Wert auf "1" vermindern, dann sehen wir hier: "x" ist immer noch "-3", aber "y" wurde jetzt "1" und wir sehen auch, dass sich alle Vektoren verändert haben. Deshalb sagt man: Alle drei Pfeile, die wir hier sehen, sind ein und derselbe Vektor "v", die drei Pfeile sind sozusagen "Repräsentanten", also Darstellungen von ihm, allgemein, also "-3" und "1" und diesen Vektor könnt ihr überall einzeichnen auf jede Stelle dieses Koordinatensystems, wenn ihr wollt und wenn wir ihn auch "A" zeichnen, haben wir diesen Vektor. Wenn wir ihn auf "B" zeichnen, haben wir diesen Vektor und auf "C" entsteht dieser Vektor... Aber ganz allgemein ist der Vektor "(-3, 1)" ohne Positionsangabe und das ist eine Besonderheit bei den Vektoren. Eine weitere Besonderheit ist, dass unsere Vektoren von der Lage des Koordinatensystems unabhängig sind. Also, wenn wir unser Koordinatensystem jetzt einmal verschieben, sehen wir, hat unser Vektor immer noch die "-3" und "1" als Komponenten, egal, wo wir unser Koordinatensystem positionieren. Dies ist ebenfalls eine Idee, die hinter den Vektoren steckt. Schauen wir nochmal auf unsere Verschiebungen. Dort können wir gut sehen, dass die Vektorverschiebung für jeden einzelnen Punkt gilt, für x mit "-3" und für y mit "+1" und das lässt sich auch verallgemeinern: Stellen wir uns den Fall vor, dass wir gar kein Koordinatensystem hätten, also keine eindeutigen Koordinaten für y und x, dann hieße es nämlich ganz allgemein für "A" mit der Koordinate "xA" und "yA", also der kleine Index "A" soll hier zeigen, dass es sich um die Koordinaten von Punkt "A" handelt, dass wir hier bei "xA" minus drei Richtung "x" gehen müssen, also von diesem x-Wert, den wir "xA" nennen, eins, zwei, drei nach links und "yA" plus eins erhöhen sollen, also hier "+1" und diese "-3" und "+1" wieder für jeden einzelnen Punkt und das ist die ganz allgemeine Schreibweise, also, wir haben irgendeine beliebige Position mit x und y und verändern diese für jeden Punkt, minus drei in x-Richtung und plus eins in y-Richtung. Wie gesagt: Mit Hilfe der Vektoren lassen sich geometrische Sachverhalte berechnen und selbst, wenn wir jetzt unsere geometrische Figur verändern, zum Beispiel so ein Dreieck daraus machen und wir auch einen anderen Vektor einstellen, seht ihr, dass alle Pfeile gleich bleiben, also auch, wenn wir jetzt den Punkt "C" verschieben, wird dieser blaue Pfeil immer gleich lang sein und in die gleiche Richtung zeigen wie alle anderen blauen Pfeile, da wir bei allen drei Punkten den gleichen Vektor anwenden. Wichtig ist, dass ihr euch merkt: Ein Vektor hat zwei sogenannte "Komponenten", also zwei Teile, aus denen er sich zusammensetzt, im Zweidimensionalen, also auf einer Ebene, eine x-Komponente und eine y-Komponente und wie wir noch sehen werden, gibt es verschiedene Namen für Vektoren, da wir hier einen Punkt verschieben, können wir diese Vektoren "Verschiebungsvektoren" nennen. Der eine oder andere von euch fragt sich jetzt vielleicht: "Hm, verschieben von Punkten, dazu sind Vektoren da, das kann doch nicht alles sein!" Und richtig, Vektoren helfen uns bei sehr vielen Sachverhalten, insbesondere in der Mathematik und der Physik. Schauen wir uns im nächsten Teil hierzu ein Beispiel an.

Bevor wir uns ein weiteres Anwendungsbeispiel für Vektoren anschauen, definieren wir, was ein Vektor ist. Im geometrischen Sinne handelt es sich bei einem Vektor um eine Strecke von einem Punkt zu einem anderen Punkt, die eine Richtung hat. Deshalb sagt man auch „gerichtete Strecke“. Hier geht sie von diesem Punkt zu diesem Punkt. Also in diese Richtung was durch die Pfeilspitze dargestellt wird. Wir nutzen also einen Pfeil um einen Vektor darzustellen. Wichtig ist außerdem, dass der Vektor eine bestimmte Länge hat. Sowie die Strecke. Und wir können seine Bestandteile benennen: Hier unten, das ist der Anfangspunkt und das ist der Endpunkt. Man sagt auch Fuß und Spitze. Rechnerisch können wir den Vektor wie folgt definieren. Ein Vektor ist nichts anderes als ein Zahlenpaar, bzw. anders gesagt: Ein Vektor besteht aus zwei Komponenten, also aus zwei Zahlen. Hier allgemein x und y. Schauen wir uns noch die verschiedenen Schreibweisen für Vektoren an. Wir haben ja gesagt, Vektoren können mit einem kleinen Buchstaben und einem Pfeil darüber notiert werden und dann schreiben wir ein Ist gleich, dann die großen Klammern und oben den x-Wert und unten den y-Wert. Also allgemein x y. Das sind die Bestandteile des Vektors. Ihr werdet aber auch eine andere Schreibweise in diversen Büchern oder Skripten finden, indem man x und y auf eine Zeile schreibt. Da man hier in einer Spalte, also untereinander schreibt sagt man hier auch Spaltenvektor dazu und da man hier in einer Zeile schreibt sagt man hier Zeilenvektor dazu. Es geht hier aber nur um die Schreibweise, die sich unterscheidet. x und y sind bei beiden die gleichen Komponenten. Also nur eine andere Schreibweise. Und der Vektor ist immer noch der Gleiche. Unter Umständen könnt ihr auch auf Vektoren treffen, die ohne diesen Pfeil geschrieben worden sind und stattdessen fett gedruckt. Meist ist dies der Fall, da man dieses Pfeilsymbol nicht einfach so mit der Tastatur schreiben kann. Daher nutzen manche den Fettdruck. Auch gibt es den Fall, dass Vektoren anstatt fett geschrieben unterstrichen werden. Lasst euch hiervon nicht verwirren. Es handelt sich immer jeweils um den gleichen Vektor nur anders notiert. Da Vektoren von einem Punkt zum anderen laufen, kann man sie auch so notieren. Im Beispiel der Vektor von A nach B. Erinnern wir uns hier an unser Beispiel mit dem verschobenen Dreieck. Da hatten wir den Vektor von A nach A_2, B nach B_2 und C nach C_2. Das können wir auch entsprechend notieren. Hier A nach A_2, B nach B_2 und C nach C_2. Und wenn wir jetzt nochmal die Werte für x und y einsetzen und zwar -3 für x und 2 für y. Und wie wir sehen haben alle drei Vektoren die gleichen Komponenten. Und richtig, es handelt sich bei allen dreien um den Vektor, den wir v genannt hatten. Und daher dürfen wir, das jetzt als Nebenbemerkung, auch alle Vektoren gleichsetzen, da sie ja die gleichen Komponenten haben. Also Vektor von A nach A_2 ist gleich Vektor von B nach B_2 ist gleich Vektor von C nach C_2, ist gleich unser Vektor v. Das heißt wir schreiben das in eine Zeile und das ist natürlich wieder unser konkreter Wert (-3;2). Gut, betrachten wir uns im Folgenden ein weiteres Anwendungsbeispiel von Vektoren. Das Beispiel für eine Vektorrechnung soll sein die Geschwindigkeit, wobei uns der Vektorpfeil angibt in welche Richtung wir uns bewegen und die Länge des Pfeils angibt, wie schnell wir uns bewegen. Wollen wir uns als drei Kästchen nach rechts bewegen pro Sekunde, dann haben wir einen Pfeil, der drei Kästchen lang ist. Und wenn wir jetzt unser kleines Auto losfahren lassen, dann haben wir nach einer Sekunde diesen Punkt erreicht. Und jetzt können wir von diesem Punkt ausgehend unser Auto wieder drei Kästchen nach rechts fahren lassen. Genauso gut könnten wir es nach unten fahren lassen. Nehmen wir hier zwei Kästchen pro Sekunde. Das war die erste Sekunde, das war die zweite Sekunde. Und natürlich, wir können das Auto auch in die anderen Richtungen bewegen, also nicht nur gerade hoch und gerade runter, gerade links und gerade rechts, sondern auch schräg. Und hier zeigt uns unser Vektor an, wie weit wir in einer Sekunde nach links und nach oben gehen. Schauen wir hier: -2 in x-Richtung und 2 in y-Richtung. Also blenden wir mal die Teilstrecken ein. Hier, die Linie ist zwei Kästchen lang, das ist für x und hier diese Linie ist zwei Kästchen nach oben, das ist für y. Und schicken wir unser Auto jetzt los, haben wir gesehen es wurde zwei Kästchen nach links bewegt und zwei Kästchen nach oben und es ist diagonal gefahren. Wenn wir den Vektor mal so einstellen auf x gleich 1 und y gleich 4, wie ihr hier sehen könnt, dann heißt das dann wird sich der Wagen in einer Sekunde eins nach rechts bewegen und vier nach oben. Übrigens müssen wir unser Auto nicht immer für eine Sekunde fahren lassen. Wir können es auch kontinuierlich, also ohne Unterbrechung, fahren lassen. Wenn wir jetzt unseren Wagen abfahren lassen, fährt er unaufhörlich. Und zwar mit einer gleichbleibenden Geschwindigkeit, man spricht daher von einer „gleichförmigen Bewegung“. Und wie ihr euch denken könnt, werden bei Computerspielen sehr häufig Vektoren eingesetzt um zum Beispiel die Bewegungen von Objekten zu berechnen. Also ihre Richtung und ihre Geschwindigkeit. Für ein Computerspiel könnten wir zum Beispiel den Punkt B automatisch bewegen lassen, also per zufällig generierter Zahl. Und wenn wir jetzt den Wagen losschicken, sieht das so aus. Die Veränderung lässt sich jetzt nicht mathematisch berechnen, da die Zufallszahlen vom Computer erzeugt werden. Und diesen Vektorpfeil würdet ihr im Computerspiel nicht sehen, der wäre dann versteckt und das Auto würde dann mit zufälliger Geschwindigkeit und Richtung fahren. Wie wir sehen, kann man mit Hilfe von Vektoren die Bewegung von Objekten auch erzeugen. Beispielsweise könnten wir unser Auto auch im Kreis fahren lassen. Und wenn wir uns jetzt die x- und y-Komponenten anzeigen lassen sieht das so aus. Ihr seht also, dass in jedem Moment in dem das Auto fährt, sich die Position in Richtung x und y verändert. Wenn die x-Komponente positiv ist, fährt das Auto nach rechts, ist die x-Komponente negativ fährt das Auto nach links. Ist die y-Komponente positiv fährt das Auto nach oben, ist sie negativ fährt das Auto nach unten. Und anhand des Vektors können wir dann auch jeweils die Richtung erkennen. Hier nach unten, jetzt geht er nach links unten. Nach links, nach links oben. Nach oben, nach rechts oben und so weiter. Wir wollen jetzt noch nicht zeigen, wie sich diese Bewegung berechnet, wir geben hier aber schon den Hinweis, dass man hierbei den Winkel braucht zwischen dem Vektor des Autos und einem zusätzlichen Vektor, der nach rechts zeigt. Denn wir können einen Winkel mit Hilfe dieser beiden Vektoren ermitteln. Hier schwarz eingezeichnet. Und was wir hier machen um diese kreisförmige Bewegung zu erzeugen, also um das Auto im Kreis fahren zu lassen: Wir drehen den Vektor immer 1° Richtung Uhrzeigersinn weiter. Außerdem lassen wir die Geschwindigkeit, also die Vektorlänge konstant. Und so entsteht dann unsere kreisförmige Bewegung. Falls ihr das jetzt nicht versteht: Kein Problem, wir schauen uns das in einem anderen Video genauer an. Für jetzt merkt euch: Vektoren helfen uns Bewegungen von Objekten zu beschreiben. Dies ist eins von vielen Anwendungsgebieten. Ein weiteres Beispiel für unser Auto wäre eine Bewegung mit Verzögerung. Das heißt wir setzen unseren Punkt B und je näher unser Punkt A an den Punkt B kommt umso kleiner wird ja unser Vektorpfeil, also wird auch unsere Geschwindigkeit kleiner. Wenn wir jetzt hier mal den Punkt B setzen, sieht man am Anfang fährt unser Auto sehr schnell und wird immer langsamer, je näher es zu Punkt B kommt. Also nochmal, guckt auch hier unten auf die Vektorlänge: Bei 4 fangen wir an und dann wird das Auto immer langsamer bis es schließlich 0 erreicht, also bis die beiden Punkte aufeinander liegen. Hier aber aufpassen, bei dieser Bewegung haben wir sehr viele verschiedene Vektoren, da wir mit jeder Bewegung einen neuen Vektor, und zwar einen kürzeren Vektor, erzeugen. Für zwei Beispielsituation: Zuerst hatten wir einen Vektor (-1,4;-4,6) mit der Länge 4,8 und einen Moment später haben wir den Vektor (-1;-3,2) mit der Länge 3,4. Und so weiter. So können wir auch Vektoren benutzen um Bewegung mit Verzögerung zu erschaffen. Jetzt habt ihr eine Vorstellung wozu man Vektoren benutzen kann. In der nächsten Lektion schauen wir uns an, wie wir einen Vektor aus zwei gegebenen Punkten bestimmen können und wir lernen die Begriffe „Ortsvektor“ und „Richtungsvektor“ kennen. Bevor wir die Einführung abschließen, machen wir noch eine kleine Übung zur Gleichheit von Vektoren.
Schauen wir also, ob ihr erkennt wann zwei Vektoren gleich sind. Hier haben wir Vektor a und Vektor b eingezeichnet und wie wir sehen, haben beide die gleiche Richtung und die gleiche Länge. Wir können also die beiden Vektoren ineinander überführen. Und wie wir sehen, sind beide parallel zueinander. Das ergibt sich aus der gleichen Richtung. Wir sehen also Vektor a ist gleich Vektor b. Gut, schauen wir uns das zweite Beispiel an. Wir vergleichen Vektor a mit Vektor c. Wir sehen sie sind beide parallel zueinander, haben die gleiche Länge jedoch zeigt Vektor c in die andere Richtung. Daher sind Vektor a und Vektor c ungleich. Das dritte Beispiel: Hier haben wir Vektor a mit Vektor d und Vektor d hat die gleiche Länge wie Vektor a, zeigt aber in eine andere Richtung. Ist also ungleich. Vektor a und Vektor d sind ungleich. Beispiel Nummer 4: Wir vergleichen Vektor a mit Vektor e. Wir sehen Vektor e ist parallel zu Vektor a. Beide haben die gleiche Orientierung, die gleiche Richtung, jedoch ist Vektor e kürzer als Vektor a, daher sind Vektor a und Vektor e ungleich. Und als letztes vergleichen wir Vektor e mit Vektor f. Vektor e hat die gleiche Richtung wie Vektor f und beide haben auch die gleiche Länge. Das heißt wir können sagen: Vektor e ist gleich Vektor f. Gut, dies ist der Abschluss der Einführung, wie gesagt, weiter geht’s in der nächsten Lektion mit der Bestimmung von Vektoren aus zwei Punkten.