VEK02: Vektoren bestimmen

Willkommen zur nächsten Lektion. In dieser Lektion schauen wir uns an, wie wir Vektoren bestimmen können. Im vorigen Video hatten wir ja einen Punkt mit Hilfe eines Vektors verschoben. Also wir hatten A auf A_2 verschoben. Und den Vektor hatten wir daher „Verschiebungsvektor“ genannt. Den Vektor haben wir also genutzt um die Koordinaten von A zu verändern zu A_2. Als nächstes wollen wir den Vektor selbst bestimmen aus den Koordinaten von A und aus den Koordinaten von A_2, also einem weiteren Punkt. Nehmen wir ein anderes Programm und zwar haben wir hier den Punkt A und hier den Punkt B und wir wollen herausbekommen, welche Komponenten dieser blaue Vektor hat. Also welche y-Komponente und welche x-Komponente. Und das berechnet sich relativ einfach: Wir haben die Koordinaten von x und y jeweils und können diese entsprechend subtrahieren. Und zwar nehmen wir uns um x herauszubekommen die x-Koordinate von B. Das ist 3. Und die x-Koordinate von A; das ist 1. Und wir wissen, dass 3-1 2 ist. Und das ist dieser Strecke hier zwischen. Bzw. die x-Komponente unseres Vektors. Und das sehen wir auch hier: Wir nehmen von B die x-Koordinate, wir nehmen von A die x-Koordinate, 3-1 und wir erhalten 2 für unseren Vektor. Der Vektor heißt dann übrigens AB. Mit der Subtraktion erhalten wir also den Abstand der beiden Punkte entlang der x-Achse. Und für y haben wir B mit 4 und y bei A ist 1. Das heißt 4-1 ist 3. Diese Höhe hier. Dies ist also der Abstand der beiden Punkte entlang der y-Achse. Und auch hier unten y_B-y_A - 4-1 - und wir erhalten 3. Das heißt unser Vektor hat die Komponenten 2 und 3. Wir haben unseren Vektor also aus den Koordinaten der beiden Punkte bestimmen können. Dabei müssen wir übrigens beachten, dass wir die x-, y-Koordinaten des Anfangspunktes A vom Endpunkt B abziehen. Und nicht andersrum, da wir sonst negative Ergebnisse bekommen würden. Da dieser Vektor Punkt A mit Punkt B verbindet nennen wir ihn auch „Verbindungsvektor“. Im vorigen Video hatten wir den Punkt A nach A_2 verschoben, das war der „Verschiebungsvektor“, jetzt verbinden wir zwei gegebene Punkte A und B mit diesem Vektor und der Vektor ist der „Verbindungsvektor“. Es handelt sich in allen Fällen immer um einen Vektor wir können ihm jedoch verschiedene Namen geben je nachdem welche Funktion er für uns erfüllt. Und diesen Verbindungsvektor können wir natürlich für jeden beliebigen Punkt A nach B bestimmen. Interessant wird es, wenn wir den Anfangspunkt des Vektors direkt in den Koordinatenursprung legen. Also in (0|0), denn dann entsprechen die Komponenten des Vektors 3 und 4 genau den Koordinaten des Punktes B mit 3 und 4. Also x-Komponente des Vektors, die 3, ist x-Koordinate des Punktes B, des Endpunktes unseres Vektors. Und y-Komponente unseres Vektors, die 4, also hier, ist y-Komponente des Punktes B. Da dieser Vektor den Ort eines Punktes beschreibt, nennen wir ihn auch „Ortsvektor“. Und diesen werden wir noch häufiger antreffen. Der Ortsvektor geht vom Ursprung aus zu einem Punkt. Und da die Koordinaten des Punktes den Komponenten des Vektors entsprechen, können wir auch jeden Punkt als Ortsvektor darstellen. Also den Punkt B mit 3 und 4 können wir auch beschreiben als Vektor b zum Beispiel (3;4). Und ihr werdet häufig sehen, dass man dann hier den Punkt im Zentrum nicht als A, sondern als O bezeichnet. Und zwar kommt das von „origo“, also aus dem Lateinischen, was für „Ursprung“ steht. Also anstatt AB können wir jetzt OB schreiben. Und das meint den Ortsvektor, der auf den Punkt B zeigt. Das heißt blenden wir jetzt mal die Komponenten aus und bewegen unseren Punkt B an eine ganz andere Stelle. Zum Beispiel hier. Dann können wir jetzt den Punkt als Vektor angeben: Vektor OB ist (-1,5;-3). Oder hier: Das ist Vektor OB mit der x-Komponente 4 und der y-Komponente -1. Und so weiter. Also zusätzlicher Hinweis: In der Physik werden Ortsvektoren auch als Radiusvektoren bezeichnet. Ihr merkt euch aber, wenn der Vektor von dem Ursprung aus auf einen Punkt zeigt, auf den Ort eines Punktes, ist es der Ortsvektor. Gut, schauen wir uns als nächstes an, wie wir die Länge des Vektors bestimmen können.

Betrachten wir uns also im Folgenden, wie wir die Länge des Vektors bestimmen können. Am einfachsten ist es, wenn unser Vektor einfach auf der x-Achse liegt, denn dann können wir einfach seine x-Komponente nehmen und das entspricht der Länge. Also x ist hier 3, das heißt der Vektor hat eine Länge von 3 Einheiten. Der Vektor OB. Oder genauso, wenn wir ihn auf die y-Achse legen. So können wir uns die y-Komponente nehmen. Hier ist sie 3, das heißt unser Vektor hat eine Länge von 3 Einheiten. Wenn wir den Vektor jedoch hier hin setzen, so können wir nicht mehr die Länge an x oder y ablesen, sondern müssen etwas anderes machen und ja, hier hilft uns der Satz des Pythagoras weiter, denn wenn wir hier die y-Komponente einzeichnen als Strecke, sehen wir, dass sich mit der x-Achse ein rechtwinkliges Dreieck ergibt. Und wir wissen bei einem rechtwinkligen Dreieck können wir den Satz des Pythagoras anwenden mit a^2+b^2 gleich c^2. Bzw. da wir ja x- und y-Koordinate haben x^2+y^2 ist gleich c^2. Und so können wir die Länge des blauen Vektors bestimmen. Und zwar in dem wir die Wurzel ziehen. Bestimmen wir die Länge dieses Vektors mit den Komponenten 3 und 4. Lasst uns den Vektor OB übrigens Vektor c nennen. Das heißt wir wollen die Länge des Vektors c bestimmen und haben die beiden Komponenten 3 und 4 gegeben. Dann haben wir hier das Dreieck und können jetzt 3^2+4^2 gleich c^2 rechnen. Also erhalten wir c, indem wir die Wurzel 3^2+4^2 ermitteln. Und genau das haben wir hier hingeschrieben: 3^2+4^2, das sind 9+16, also 25. Und die Wurzel aus 25 ist 5. Das heißt der Vektor ist 5 Einheiten lang. Und wie können wir sichtbar machen, dass es sich um die Vektorlänge und nicht um den Vektor selbst handelt? Dazu benutzen Mathematiker die zwei Betragsstriche. Wir setzen also einen senkrechten Strich vor c und hinter c. Und dieses Zeichen steht dann für die Vektorlänge. Man sagt übrigens auch statt Vektorlänge auch „Vektorbetrag“. Und Vektorbetrag benutzt man insbesondere in der Physik, da die Vektorlänge zum Beispiel den Betrag der Geschwindigkeit angibt. Oder andere Größen. Und wie gesagt, diese beiden Striche nennt man auch Betragsstriche. In diesem Zusammenhang noch der Hinweis: Der Vektor wird immer eine positive Länge haben oder auch die Länge 0. Das Zeichen R+ steht übrigens für alle reellen Zahlen und die kleine 0 zeigt an, dass die 0 auch enthalten ist. Wenn wir jetzt mal die Länge 0 einstellen, sehen wir 0^2+0^2 ist 0. Wurzel(0) ist 0. Wir haben also keine Länge. Der Vektor zeigt also auf den Ursprung bzw. auf sich selbst. Anfangspunkt und Endpunkt liegen aufeinander, wir sprechen daher vom „Nullvektor“. Dies ist ein Sonderfall von Vektoren: Er hat weder eine Richtung noch hat er eine Länge. Daher kann er auch nicht als Pfeil dargestellt werden. Gut, berechnen wir noch für einen weiteren Vektor die Vektorlänge. Wir haben die x-Komponente 4, wir haben die y-Komponente 3,5, also müssen wir das und das ins Quadrat nehmen und zusammenaddieren und daraus die Wurzel ziehen. Das heißt 4^2 sind 16 plus die 3,5^2. 3,5^2, also die 16 noch darauf addiert, dann haben wir unter der Wurzel 28,25 und wir ziehen jetzt daraus die Wurzel. Wurzel(28,25) und wir erhalten rund 5,32 als Vektorlänge. Wir wissen also Vektor c hat die Vektorlänge, bzw. den Vektorbetrag 5,32 gerundet. Hier unten seht ihr übrigens nochmal die allgemeine Form der Berechnung. Also wir haben den Vektor c, wir haben seine x- und seine y-Komponente. Die x-Komponente quadrieren wir und addieren die quadrierte y-Komponente dazu, ziehen daraus die Wurzel und wir erhalten den Vektorbetrag. Sehr schön, so haben wir wieder neue Inhalte zu den Vektoren gelernt, die wir auch in den weiteren Lektionen benutzen werden.