VEK03: Vektoraddition

Hallo liebe Schüler und willkommen zur nächsten Lektion. Zur „Vektoraddition“. Wir wollen uns heute anschauen wie wir Vektoren miteinander addieren können. Und da knüpfen wir gleich an die Inhalte der letzten Lektion an, denn da hatten wir ja den Ortsvektor kennen gelernt. Und wir wollen in diesem ersten Teil einen Ortsvektor mit einem Verschiebungsvektor addieren. Das heißt wir hatten einen Punkt gesetzt, hier heißt er B, mit den Koordinaten (3|4) und hatten gesagt, wir können diesen Punkt auch mit einem Vektor beschreiben, der bei (0|0) startet. Also im Koordinatenursprung „origo“, deswegen hier ein O. Und wir hatten gesehen, dieser Vektor hat die Komponenten 3 und 4 und unser Punkt hat die Komponenten 3 und 4, deswegen können wir den Ort dieses Punktes auch mit einem Vektor, einem Ortsvektor beschreiben. Das heißt also, wir dürfen jeden Punkt in einem Koordinatensystem mit Hilfe eines Ortsvektors angeben. Und das ermöglicht uns jeden Punkt als Ortsvektor zu schreiben. Und mit dem Vektor Rechnungen anzustellen. Das heißt haben wir den Punkt P mit den Koordinaten x und y, so können wir daraus den Ortsvektor machen. Wir können ihn zum Beispiel p nennen und dann hat der die Komponenten x und y. So und jetzt erinnern wir uns an das Einführungsbeispiel, da hatten wir ja dieses Dreieck hier und haben jeden Punkt entsprechend dieses blauen Pfeils, also dieses Vektors, verschoben. Und zwar 3 nach links und 2 nach oben. Und da hatten wir den Vektor (-3;2) herausbekommen. Den sogenannten Verschiebungsvektor. Und hier sehen wir, wir hatten die Koordinaten von A mit 1 und 0, also unser Punkt A hier, hatten die x-Koordinate -3 gerechnet und die y-Koordinate +2 und sind auf die Koordinaten des neuen Punktes A_2 gestoßen mit -2 und +2. Also hier x -2 und y 2. Und diese Schreibweise können wir, weil wir ja unseren Punkt A und unseren Punkt A_2 jeweils mit Ortsvektoren darstellen können jetzt auch in Vektorschreibweise notieren. Also diese komplette Zeile. Tun wir das. Wir nehmen also Punkt A mit 1 und 0. Das heißt hier setzen wir die Koordinaten 1 und 0 ein. Und dann ergibt sich unser Vektor, nennen wir ihn a mit 1 und 0. Als nächstes nehmen wir unsere Verschiebung, den Verschiebungsvektor v, in unserem Beispiel ist der -3 und 2. Also hier -3 und 2. Und jetzt nehmen wir noch den Punkt A_2 und der hat ja die Koordinaten -2 und 2. Das notieren wir hier. Und richtig, der Ortsvektor daraus hat dann auch -2 und 2 als Komponenten. Und jetzt wollen wir das alles zu einer Addition zusammenfassen, denn wir haben ja unseren Punkt A mit dem Vektor v verschoben und sind auf A_2 gekommen. Also wir haben 1+(-3) gerechnet, da haben wir -2 erhalten für x und bei y 0+2 und wir haben 2 erhalten. Und wie ihr schon seht, es ist natürlich sinnvoll das auf eine Zeile zu schreiben der Übersichtlichkeit wegen und insbesondere wenn wir mehrere Vektoren und mehrere Punktehaben, würden wir, wenn wir alles untereinander schreiben, die Übersicht verlieren. Das heißt statt der Punkte können wir jetzt die Vektorschreibweise wählen und alles in einer Zeile festhalten. Und wir sagen, wir nehmen Ortsvektor a, der Position A wiedergibt, addieren auf ihn unseren Vektor v und erhalten, richtig, unseren Vektor a_2. Und ganz klar, jetzt müssen wir noch unsere konkreten Werte unserer Vektoren einsetzen, also a ist 1 und 0, dann das Plus. Unser v ist -3 und 2 und unser a_2 ist -2 und 2. Und fertig ist unsere Vektoraddition, die wir auch noch mit einem Zwischenschritt schreiben können. Und zwar können wir auch die Komponenten der beiden Vektoren zusammen in eine Klammer schreiben. Also hier Zwischenschritt: Für x 1+(-3) und für y 0+2. Und so erhalten wir unseren neuen Vektor bzw. Ortsvektor -2 und 2, der auf unseren Punkt A_2 zeigt. Also wenn wir das jetzt hier nochmal übertragen und unser anderes Programm zu Hilfe nehmen, dann sehen wir hier, dieser kleine rote Pfeil ist der Ortsvektor a, also er zeigt auf 1 und 0, auf den Punkt A. Der blaue ist unser Verschiebungsvektor mit -3 und 2. Und das hier ist unser Punkt A_2 mit den Koordinaten -2 und 2 bzw. wir haben hier einen Ortsvektor ermittelt, der auf diesen Punkt zeigt. Hier in orange dargestellt. Und dieser Ortsvektor hat ebenfalls x und y mit -2 und 2. Ein Hinweis an dieser Stelle: Im Folgenden werden wir den Punkt A_2 B nennen, sowie den kleinen Vektor a_2 Vektor b. Das heißt wir sehen, wenn wir zwei Vektoren addieren, also den roten hier und dann den blauen entsteht ein dritter Vektor hier orange dargestellt. Und wir sehen weiterhin, dass wir den Vektor, den wir herauf addieren auf den Endpunkt des ersten Vektors setzen. Also wenn wir unseren roten Vektor, unseren Vektor a, woanders hinverschieben und auch unseren blauen Vektor verschieben, seht ihr, dass wir immer als erstes zum Punkt A gehen, also den Ortsvektor zeichnen und von dem dann verschieben zum zweiten Punkt. Zu Punkt B. Und dieser kann wiederum mit einem Ortsvektor dargestellt werden. Also hier der orangene. Das neue für euch ist also, dass ihr euch von den Punkten löst und jetzt in Vektoren denkt. Ihr erhaltet einen Punkt, dann müsst ihr daran denken, es zeigt ein Ortsvektor auf diese Position, dann erhaltet ihr einen Verschiebungsvektor und daraus entsteht ein weiterer Vektor, ein weiterer Ortsvektor, der auf die neue Position zeigt. Und hier unten seht ihr eine allgemeine Schreibweise. Unser Vektor OA, der ja unser Vektor a ist, hier jedoch mit der Punktschreibweise, also mit Anfangs- und Endpunkt. Plus der Verschiebungsvektor v. Dann setzen wir die jeweiligen x- und y-Komponenten ein, also 2, 2, -3, 1. Verrechnen die miteinander: 2-3 ist -1. 2+1 ist 3 für dieses Beispiel. Und wir erhalten den neuen, den orangenen Vektor, in dem Fall OB. Beziehungsweise Vektor b. OA plus blauer Vektor; wir erhalten OB. Wir verändern also unseren ersten Ortsvektor durch die Verschiebung zu einem anderen Ortsvektor. Wenn ihr also einen Aufgabe bekommt wie zum Beispiel: Nimm Punkt A und setze ihn auf -3 und 1 und verschiebe diesen Punkt 5 nach rechts und 2 nach oben und ihr sollt das ganze über Vektoren notieren, dann notiert ihr also als erstes den Punkt A als Ortsvektor mit -3 und 1, dann addiert ihr die Verschiebung darauf, die in dem Beispiel 5 und 2 beträgt. Und jetzt brauchen wir das nicht mehr an dem Koordinatensystem abzählen, sondern wir können das direkt berechnen. x-Komponenten miteinander addiert, also -3+5 und y-Komponenten miteinander addiert, also 1+2 und wir erhalten als Ergebnis 2 und 3. Also unser b. Und schauen wir uns das jetzt im Koordinatensystem an. Unsere Lösung lautet 2 und 3, das ist richtig. Und das ist unser Vektor b. Und hier statt dem Punkt A können wir natürlich jetzt den Vektor einzeichnen. a zeigt hier hin, das ist unsere Verschiebung, unser Verschiebungsvektor v und das ist unser resultierender Vektor, der Ortsvektor b. Und wie gesagt, wundert euch nicht. Hier haben wir die Schreibweise OA gewählt für den Vektor, also in dem wir die beiden Punkte eingesetzt haben. Von Punkt O auf Punkt A, das ist der eine Vektor. Dann dieser Vektor heißt v und dann unser resultierender Vektor OB. Gut, wir haben also gesehen, wie man einen Ortsvektor und einen Verschiebungsvektor addiert und was dabei herauskommt. Gehen wir einen Schritt weiter und schauen uns im nächsten Teil an, wie wir zwei Ortsvektoren miteinander addieren können.

Schauen wir uns also im Folgenden an, wie wir zwei Ortsvektoren miteinander addieren können. Wir haben hier zwei Vektoren gegeben. Einmal OB und einmal OC. Und der Einfachheit halber nennen wir den grünen Vektor b und den blauen Vektor c. Und die Komponenten haben wir hier schon eingetragen. Vektor b hat die Komponenten 1 und 2, also 1 nach rechts 2 nach oben und Vektor c hat die Komponenten 3 und 1, 3 nach rechts 1 nach oben. Und wie können wir jetzt die beiden addieren und was bedeutet das? Und hier machen wir genau das, was wir auch gerade gesehen haben. Wir addieren die einzelnen Komponenten. Also zuerst die x-Werte, die x-Komponenten von B ist 1, die x-Komponenten von C ist 3 und 1+3 ist 4. Das heißt die x-Komponente des resultierenden Vektors wird 4 sein. Und schauen wir was wir für y erhalten. Die y-Komponenten von B ist 2, die y-Komponente von C ist 1und 2+1 sind 3. So haben wir also hier in rot dargestellt unseren resultierenden Vektor (4;3). Zeichnen wir diesen ein. An dieser Stelle könnt ihr euch ein Beispiel zu Hilfe nehmen um euch das vorzustellen. Zum Beispiel zieht hier ein Pferd in diese Richtung und hier zieht ein Pferd in diese Richtung und das Objekt das hier gezogen wird, wird in diesem Moment, wenn die Zugkräfte zupacken sozusagen, genau in diese Richtung gezogen, mit einer stärkeren Kraft, was ihr an der Länge des Pfeils erkennt. Also wir haben ja die y-Werte 2 nach oben, 1 nach oben. Die beiden Kräfte ziehen dann insgesamt summiert bzw. addiert 3 nach oben und für die x-Richtung haben wir 1 nach rechts und 3 nach rechts also wirkt die Kraft mit 4 nach rechts - in diesem Beispiel. In dem wir eben x und y zerlegt haben sind wir dann auf den resultierenden Vektor gestoßen. Und interessant wird es, wenn wir die Vektoren verschieben, denn wir hatten ja gesagt, ein Vektor kann beliebig verschoben werden, solange er seine Komponenten behält, also unser grüner dann 1 und 2, ist es ja immer noch der gleiche Vektor und um also auf diesen Punkte geometrisch, also graphisch, zu kommen, können wir uns den grünen Vektor nehmen und ihn nach rechts verschieben, so dass sein Anfangspunkt auf C liegt. Aber Vorsicht, er wird nach der Verschiebung nicht mehr Ortsvektor genannt. Verschieben wir ihn. Und erinnert euch an das was wir gerade davor gezeigt hatten, wir hatten ja einen Ortsvektor und dann einen Verschiebungsvektor, das heißt hier haben wir unseren anderen Ortsvektor einfach genommen und ihn verschoben auf unseren Punkt C, bzw. auf die Spitze von Vektor c. Und so kommen wir genau zu demselben Ergebnis. Also (4;3). Und dies entspricht genau unserer Addition. 3 nach rechts 1 nach oben für den ersten Vektor, dann befinden wir uns bei Punkt C. Und 1 nach rechts und 2 nach oben für den zweiten Vektor und wir sind am Ziel. Schieben wir den mal zurück. Und genauso hätten wir auch unseren blauen Vektor c auf B verschieben können. Also so. Und auch hier in diesem Fall wären wir auf den gleichen Endpunkt gestoßen. Und wenn wir uns das mal einzeichnen, b und c, auf den jeweilig anderen Positionen, erkennen wir, dass sich ein Parallelogramm ergibt. Also eine geometrische Figur, deren Seiten parallel zueinander sind. Und an dieser Figur erkennen wir eben sehr gut, dass es egal ist, ob wir Vektor c hier hoch verschieben oder Vektor b hier hoch verschieben. Mit anderen Worten: Wir können entweder Vektor b + Vektor c rechnen oder aber Vektor c + Vektor b. Die Reihenfolge spielt keine Rolle, das Ergebnis ist das gleiche. Und genau das ist das sogenannte Kommutativgesetz. Wir dürfen die beiden Elemente b und c miteinander vertauschen. Geometrisch müssen wir uns hierbei folgendes merken, dass wenn wir einen Vektor auf den anderen verschieben der Anfangspunkt des Vektors auf den Endpunkt des Vektors gesetzt wird, also Vektor b wird auf den Endpunkt von Vektor c gesetzt. Bzw. Vektor c wird auf den Endpunkt von Vektor b gesetzt. Nur so kommen wir zum richtigen Ergebnis vom resultierenden Vektor, den wir hier, wie ihr ja schon gesehen habt, also Ortsvektor dargestellt haben. Und hier unten nochmals einen Blick auf die Notation. Wir schreiben tatsächlich Vektor b + Vektor c und dürfen dann auch die Komponenten hier in Addition hineinschreiben. Also 1+3 auf eine Zeile, 2+1 in die nächste und dann 1+3 sind 4 und 2+1 sind 3. So haben wir dann unseren Vektor (4;3). Und was wir erkennen ist: Anstatt hier lang zu laufen und dann hier lang, anstatt den grünen und dann den blauen Vektor zu laufen, könnten wir genauso gut den roten Vektor laufen um am selben Ort anzukommen. Und das ist die kürzeste Verbindung zwischen diesen beiden Punkten. Die direkte Verbindung. Wir kürzen sozusagen ab (1;2) und (3;1) zu viel schneller (4;3). Wir haben sozusagen mit dem roten Vektor unseren Weg optimiert. Und wir hatten ja auch gesehen, wie man die Vektorlängen ausrechnet, indem wir jeweils den Pythagoras bilden. Die Vektorlänge für den grünen wäre 1^2+2^2 und daraus die Wurzel. Das sind also 1+4 sind 5, nehmen wir also die Wurzel aus 5 und das ist 2,24 gerundet für diese Strecke hier. Und der blaue Vektor hat folgende Länge: 3^2+1^2 und daraus die Wurzel. Also 9+1 sind 10. Und die Wurzel(10) ist rund 3,16. Und jetzt rechnen wir zusammen: 2,24+3,16 und das ergibt 5,4. Und wenn wir uns vom Punkt O aus direkt zum Zielpunkt bewegen, dann würden wir jetzt die Länge des roten Vektors berechnen, also 4^2+3^2 und daraus die Wurzel. Und das ist einfach: 4^2 sind 16, 3^2 sind 9. 9+16 sind 25. Wurzel(25) ist 5. Das heißt wir wissen, die Länge des roten Vektors beträgt 5. Wir sehen als, 0,4 Längeneinheiten sparen wir, wenn wir den direkten Weg gehen. Laufen wir Vektor b und Vektor c lang benötigen wir 5,4 Längeneinheiten. Laufen wir den resultierenden Vektor entlang benötigen wir nur 5 Längeneinheiten. Schauen wir uns als nächstes an was passiert, wenn wir mehrere Vektoren addieren.

Im vorigen Teil hatten wir gesehen wie wir zwei Vektoren miteinander addieren können und zwar in dem wir ihre einzelnen Komponenten miteinander addieren. Jetzt wollen wir schauen, wie wir weitere Vektoren hinzuaddieren können und das dann berechnet wird. Hier haben wir eins, zwei, drei Vektoren erstellt und wollen diese miteinander addieren. Und wie ihr seht haben wir diese Vektoren bereits angeordnet, so dass immer Endpunkt und Anfangspunkt eines Vektors zusammen aufeinander liegen. Das war ja die geometrische Regel für die Addition. Wenn Du Vektoren addierst lege den Anfangspunkt eines Vektors auf den Endpunkt des anderen Vektors. Und hier in rot dargestellt ist unser Ergebnis, der resultierende Vektor. Wie ihr seht haben wir hier Punkte A, B und C und lasst uns jetzt die Vektoren bestimmen aus den Punkten. Hier sind die Koordinaten jeweils. A ist im Ursprung also (0|0). B hat (-2|1). Da hätten wir jetzt also die Differenz bilden können -2-0 sind -2, 1-0 ist 1 und dann haben wir diesen Vektor v_1, also diesen hier. Für den nächsten Vektor nehmen wir uns die Punkte B und C und zwar 2-(-2), das ist also 2+2 ist 4, die stehen hier für x und 3-1 sind 2. Und das sehen wir auch hier. Dieser Vektor geht 4 nach rechts und 2 nach oben. Und gleiches Spiel von C nach D: 3-2 sind 1 und 0-3 sind -3. Also 1 nach rechts und 3 nach unten. Und unser resultierender Vektor v_1 + v_2 + v_3 hat die Komponenten 3 und 0. Also hier. Er zeigt von (0|0), von unserem Anfang aus, auf (3|0). Wenn wir nur die Vektoren gegeben hätten und nicht die Koordinaten der Punkte, würde das so aussehen. Wir hätten also irgendwo auf dieser Ebene diese drei Pfeile eingezeichnet. Und da sie ja x- und y-Komponenten haben, lasst uns die jetzt auch mal eintragen. Zum einen x, zum anderen y. Und hier sehen wir, dieser Vektor sagt nichts andere als 2 nach links 1 nach oben, also Vektor v_1. Vektor v_2 mit 4 nach rechts und 2 nach oben und Vektor v_3, der blaue hier, 1 nach rechts 3 nach unten. Und richtig, wir kommen genau auf diese Position, also auf Punkt D bzw. unseren resultierenden Vektor, indem wir alle x-Komponenten zusammenaddieren und alle y-Komponenten zusammenaddieren. Also -2+4+1, das sind 3 und 1+2-3, das sind 0. Und auch hier gilt wieder, wir müssen jetzt nicht diesen ganzen Weg laufen, wenn wir zu diesem Zielpunkt gelangen wollen, sondern wir können dann gleich direkt von A nach D laufen. Also diesen roten Vektor entlang. Wie ihr also seht, können wir auch mehrere Vektoren zusammenaddieren, müssen dann nur die weiteren Komponenten in der Addition berücksichtigen. Und richtig, wir können beliebig viele Vektoren miteinander addieren, also wir können hier noch weitere Vektoren heran setzen. Also schauen wir noch einmal zu unserem allgemeinen Schema. Das können wir jetzt erweitern, indem wir hier ein v_1 daraus machen, also unser erster Vektor und wir dann hier einfach einen weiteren Vektor hinzuaddieren, den wir jetzt v_2 nennen können. Und natürlich auch hier müssen wir dann die Komponenten von v_2 berücksichtigen. Also x-Komponenten von Vektor a, v_1, v_2 zusammengerechnet und y-Komponenten von Vektor a, v_1, v_2 zusammengerechnet. Und natürlich könnten wir jetzt hier noch weitere Vektoren hinzufügen. Wie ihr seht ist die Vektoraddition relativ leicht zu verstehen, die Addition mit den Zahlen sollte euch leicht fallen und bei der geometrischen Deutung merkt euch bitte, dass wir jeweils den Vektor, den wir herauf addieren an den Endpunkt des vorigen Vektors ansetzen. Also wir würden jetzt hier, wenn wir diese drei Vektoren bekommen erstmal Vektor v_1 einzeichnen. Das wäre dann dieser Vektor. Dann würden wir uns Vektor v_2 anschauen, da steht 4 nach rechts 2 nach oben, dann würden wir diesen Vektor einzeichnen. Und wie gesagt, wir würden ihn vom Endpunkt des ersten Vektors aus zeichnen und dann jetzt vom Endpunkt des zweiten Vektors würden wir den dritten Vektor zeichnen. 1 nach rechts, 3 nach unten und wir erhalten diesen Vektor. Und zum Schluss müssen wir also den Anfangspunkt unseres ersten Vektors mit dem Endpunkt des letzten Vektors verbinden. Probiert hierzu eigene Aufgaben. Zeichnet ein wenig, damit ihr das besser verinnerlichen könnt. Sehr schön. Im nächsten und letzten Teil wird es nochmal interessant. Wir schauen uns die Addition von Vektoren noch einmal graphisch an und zeigen weitere Besonderheiten, die für die Vektoren gelten. Also bis gleich.

Willkommen zum letzten Teil der Vektoraddition. Stellen wir uns vor wir erhalten drei Vektoren: Hier Vektor v_1 mit -2 und 1, Vektor v_2 mit 1 und 1 und Vektor v_3 3 und 1. Wir wissen, das sind alles Zahlen, die wir komponentenweise miteinander addieren können. Also das wird relativ einfach. Für x ist -2+1+3, das ergibt 2. Und für die y-Komponente 1+1+1, das sind 3, also wenn wir alle drei zusammenaddieren, erhalten wir das Zahlen paar 2 und 3. Wenn wir das rechnerische nun hier geometrisch darstellen wollen, müssen wir ein paar Regeln beachten. Zeichnen wir als erstes die einzelnen Vektoren irgendwo auf diese Ebene. Fangen wir an mit Vektor v_1. Er hat die Komponenten -2 und 1. Vektor v_2 1 und 1. Und Vektor v_3 3 und 1. Wenn wir jetzt auch noch unseren resultierenden Vektor 2 und 3 einzeichnen, sehen wir erst mal nicht direkt einen Zusammenhang zwischen den blauen und dem roten Vektor, aber wie wir wissen, dürfen wir ja alle Vektoren verschieben, denn Vektoren sind nicht an ihren Ort gebunden, erst in der Addition ist es wichtig, dass wir sie zusammensetzen. Das heißt wir können jetzt jeden Vektor verschieben und wir können so versuchen herauszufinden, ob sich dieser rote Vektor wirklich ergibt in der Summe aller drei Vektoren. Also nehmen wir als erstes Vektor v_1 setzen Vektor v_2 auf ihn und setzen Versuchsweise Vektor v_3 auf ihn. Offensichtlich haben wir jetzt hier keinen Zusammenhang geometrisch geschaffen, wir können aber, wenn wir mal unseren Lösungsvektor mit hier reinsetzen, die y-Werte ablesen. Hier ein hoch, hier ein hoch, hier ein hoch und das heißt wir gehen hier eins, zwei, drei nach oben. Also das wäre etwa ersichtlich. Dass wir hier zwei nach rechts gehen müssen, das ist hier nicht so gut zu erkennen. Und deshalb machen wir genau das, was wir schon gelernt haben. Wir packen Anfangs- und Endpunkt der jeweiligen Vektoren zusammen. Also v_2 setzen wir auf die Spitze von v_2, auf den Endpunkt. Und wir nehmen jetzt Vektor v_3 und setzen ihn auf Vektor v_2. Und wenn wir jetzt unseren resultierenden Vektor hier hinsetzen auf den Anfangspunkt des ersten Vektors, so erkennen wir, dass er genau auf diesen Punkt zeigt. Dass er also das Ergebnis unserer Vektoraddition ist. Und das schöne ist, es spielt keine Rolle in welcher Reihenfolge wir die einzelnen Vektoren anordnen. Wir können jetzt zum Beispiel auch mit Vektor v_2 anfangen jetzt Vektor v_1 auf ihn setzen und jetzt Vektor v_3 darauf setzen. Das heißt v_2 + v_1 + v_3 ergibt, richtig, unseren resultierenden Vektor, der immer noch die Komponenten 2 und 3 hat. Wir können jetzt auch anstatt v_1 + v_3, einfach v_3 + v_1 rechnen, das heißt wir nehmen v_3 setzen ihn hier rüber und nehmen jetzt v_1 und setzen v_1 hier rauf. Und wieder sind wir am gleichen Ziel bzw. wir sagen wir haben immer noch den gleichen Vektor. So erkennen wir also, dass wir beliebig entscheiden dürfen, welchen Vektor wir als erstes addieren mit welchem anderen. Und richtig, das kennt ihr aus der Addition, aus den Grundlagen, das nennt man das Kommutativgesetz. Das heißt v_1 + v_2 + v_3 ist das gleiche wie zum Beispiel v_2 + v_1 + v_3, das würde dann so aussehen und wir hätten wieder das gleiche Ergebnis. Gut, schauen wir uns als nächstes noch den Spezialfall der Addition mit einem Nullvektor an.
Wir können zum Beispiel unseren Vektor v_1 addieren mit Vektor v_2 und Vektor v_3 und lassen uns jetzt Vektor v_2 verändern und zwar lasst ihn uns auf 0 bringen. Also hier seht ihr 0 und 0, wir haben also einen Nullvektor, das heißt er hat keine Länge und keine Richtung. Wenn wir das gleiche jetzt mit unserem v_3 machen, den ebenfalls auf 0 und 0 bringen, sehen wir, dass sich wieder der gleiche Vektor ergibt. Unser resultierender Vektor entspricht also Vektor v_1. Das heißt wenn wir Vektor v_1 mit einem Nullvektor addieren, kommt wieder v_1 raus. Also der gleiche Vektor. Und das können wir auch so festhalten. Vektor v + Nullvektor 0 ist gleich Vektor v. Und da ja, wie wir gesehen haben, das Kommutativgesetz gilt dürfen wir die beiden auch vertauschen und dürfen schreiben: Nullvektor 0 + Vektor v ist Vektor v. Und das kann man dann natürlich in einer Zeile schreiben. Wir hatten ja gesehen bei der Addition, bei den Grundlagen, die 0 ist das neutrale Element der Addition und hier können wir jetzt sagen, der Nullvektor ist das neutrale Element der Vektoraddition. Man sagt auch: Der Nullvektor überführt jeden Vektor in sich selbst. Also der Vektor erfährt durch den Nullvektor keine Veränderung. Wichtig ist auch zu wissen, dass ein Nullvektor durch eine Addition von Vektoren hervorgehen kann. Zum Beispiel können wir die Vektoren jetzt so verändern, dass als resultierender Vektor ein Nullvektor entsteht. Und zwar nehmen wir unseren Vektor v_3 und sagen er soll jetzt x 1 nach rechts und y zwei nach unten gehen. Und wie ihr seht ist unser resultierender Vektor nur noch ein Nullvektor. Und wenn wir jetzt mal die Vektoren aneinander setzen, dann sehen wir, ist durch die Addition der drei Vektoren unser Zielpunkt, also Resultat, direkt der Anfangspunkt unseres ersten Vektors. Wir gehen also sozusagen wieder zurück zur ursprünglichen Position. Und das Ergebnis hieraus ist dann der Nullvektor. Man spricht übrigens auch bei diesem Fall von einer sogenannten „Vektorkette“. Und zwar eine geschlossene Vektorkette. Das Ergebnis dieser ist wie gesagt ein Nullvektor. Noch ein Hinweis zum Assoziativgesetz: Das Assoziativgesetz besagt, dass wir entscheiden dürfen, ob wir als erstes v_1 mit v_2 addieren, also wir können hier mal Klammern drum rum setzen, damit man es besser sieht, oder ob wir als erstes v_2 mit v_3 addieren und anschließend v_1. Und dass das geht, könnt ihr natürlich am einfachsten feststellen, indem ihr euch ein paar Werte nehmt und die durchrechnet. Also nehmt (1;1), (2;2) und (3;3) und ihr werdet sehen, die Reihenfolge, also ob ihr 2 und 3 als erstes rechnet und dann die +1 oder 1+2 und dann die 3 spielt keine Rolle, es kommt immer 6 heraus bei dem Beispiel. Also merkt euch für die Vektoraddition gelten Kommutativgesetz und Assoziativgesetz. Zum Abschluss noch ein kleiner Hinweis. Wir wissen ja, dass wir einen Vektor mit x- und y-Komponente im zweidimensionalen auf der Ebene darstellen können. Und, was wir noch nicht gesagt haben, durch die Vektoraddition ist uns natürlich jetzt die Komponenten auseinanderzunehmen. Also wir können diese Komponente, diese Strecke, die wir hier eingezeichnet haben, auch als Vektor verstehen. Und wir können die Linie nach oben, also diese Strecke ebenfalls als Vektor verstehen. So sehen wir also, haben wir die Möglichkeit auch die Komponenten eines Vektors zu zerlegen in zwei weitere Vektoren. In unseren Beispiel haben wir jetzt v_2 + v_3 addiert und sind auf v_1 gekommen. v_2 hat die Komponenten 3 und 0, also es geht ja nicht nach oben oder unten, das seht ihr hier: 3 und 0. Und v_3 hat die Komponenten 0 und 3, denn es geht ja nur 3 nach oben, aber nicht nach links und rechts. Das seht ihr hier. Und wenn wir jetzt 3+0 rechnen erhalten wir 3. Und wenn wir hier 0+3 rechnen erhalten wir hier 3. Das heißt unser Vektor v_1 hat dann die 3 und 3 als Komponenten. Ihr seht also, wir können einen Vektor in zwei weitere Vektoren zerlegen. Gut, das soll zur Vektoraddition reichen. Das neue Wissen könnt ihr gerne testen mit den Programmen, die wir in den Videos gezeigt haben auf echteinfach.tv. Was kommt nach der Addition? Richtig, die Umkehrung, die Subtraktion. Diese schauen wir uns als nächstes an.