VEK05: Skalarmultiplikation

Hallo liebe Schüler und willkommen zur nächsten Lektion. Heute wollen wir uns die sogenannte Skalarmultiplikation anschauen. Lasst euch von diesem Wort nicht abschrecken, es meint einfach nur die Multiplikation einer Zahl, also „skalar“ könnt ihr euch als „Zahl“ merken, also eine Zahl wird mit einem Vektor multipliziert. Schauen wir uns das genauer an. Stellen wir uns vor, wir haben hier einen Vektor und diesen Vektor addieren wir mit sich selbst. Das heißt wir nehmen ihn und setzen ihn hier nochmal ran. Seine Komponenten waren 3 und 0 und die Summe aus v+v ist dann 6 und 0. Wir haben also die 3, die x-Komponente, verdoppelt. Und genau diese Verdopplung müssen wir nicht über die Addition ausdrücken, wir können genauso gut die Multiplikation wählen. Indem wir also unseren Vektor v mit 2 multiplizieren. Nehmen wir uns hierzu einen Vektor r, der zweimal so lang werden soll wie Vektor v. Schauen wir hier, hier steht ein s, das ist eine Zahl, die wir, wie gesagt, auch Skalar nennen, diese multiplizieren wir mit dem Vektor und erhalten unseren resultierenden Vektor. Und dabei müssen wir aufpassen. Stellen wir mal unseren Skalar auf 2. Wir sehen, er wird doppelt so lang, das heißt das ist unser resultierender Vektor und hier rechnen wir 2 mal die x-Komponente, 2*3 sind 6. Und wir rechnen 2 mal y-Komponente, 2*0 sind 0. Und unser resultierender Vektor ist 6 und 0. Das heißt wollt ihr einen Vektor in seiner Länge verdoppeln rechnet ihr einfach den Skalar hinein, 2 mal die beiden Komponenten des Vektors. Und wenn wir den Vektor mit 1 multiplizieren, dann bleibt er erhalten. Also der resultierende Vektor entspricht dann dem Ursprungsvektor. Wenn ihr so wollt ist die 1 das neutrale Element der Skalarmultiplikation. Und mit Hilfe des Skalars haben wir also die Möglichkeit unseren Vektor beliebig zu verlängern. Oder aber auch ihn kleiner zu machen, indem wir eine Zahl zwischen 0 und 1 wählen wie zum Beispiel 0,5. 0,5*3 sind 1,5, wir haben also die 3 halbiert und 0,5*0 ist 0. Und hier unseren resultierenden Vektor eingezeichnet. Er ist halb so lang wie unser Ursprungsvektor. Und wir können ihn natürlich immer kleiner machen und wenn wir die 0 erreichen, sehen wir 0*3 ist 0, 0*0 ist 0, wir haben einen Nullvektor erschaffen. Merken wir uns also: Multiplizieren wir einen Vektor mit dem Skalar 0, so erhalten wir den Nullvektor. Und wenn wir jetzt einen Wert kleiner als 0 wählen, wie zum Beispiel -1, sehen wir, erschaffen wir den Gegenvektor. Wir haben also den Ursprungsvektor um 180° gedreht. Also aus 3 und 0 wurde durch die mal -1 -3 und 0. Das ist auch die Regel für den Gegenvektor, die wir schon kennen gelernt hatten. Wir vertauschen die Vorzeichen: 3 wird zu -3. 0, hier ist nichts zu vertauschen 0 bleibt 0. Das heißt das was wir über den Gegenvektor gesagt haben, dass wir die Vorzeichen umkehren bedeutet, dass wir die Komponenten mit -1 multiplizieren. Und wenn wir jetzt den Wert noch kleiner werden lassen, zum Beispiel -2, dann verdoppeln wir die Länge unseres Ursprungsvektors und machen aus ihm den Gegenvektor. Also wenn wir den verdoppelt haben, dann sehen wir, das ist 2*v und dann mal -1 gerechnet. Also als Gegenvektor. Und wie wir sehen, durch diesen Skalarwert, je nachdem wie groß oder klein er ist, können wir unseren Ursprungsvektor vergrößern oder verkleinern. Und dieses Vergrößern und Verkleinern nennt man auch „Skalieren“. Vielleicht habt ihr das schon einmal in einem Bildbearbeitungsprogramm gesehen. Ihr habt ein Bild vergrößert oder verkleinert und es damit skaliert. Und deshalb nennt man die Zahl die unseren Vektor vergrößert oder verkleinert „Skalar“. Denn damit möchte man aussagen, dass er unseren ursprünglichen Vektor in seiner Größe verändert. Statt von dem resultierenden Vektor spricht man übrigens auch vom skalierten Vektor. Gut, wiederholen wir nochmal ganz kurz die Aussagen zum Skalar. Ist der Skalar gleich 1, so bleibt die Länge des Vektors unverändert. Ist der Skalar größer als 1, so verlängert sich der Vektor. Man spricht auch von einer „Vektor-Streckung“. Ist der Skalar zwischen 0 und 1, so verkleinert sich der Vektor. Also die Länge nimmt ab. Man sagt auch “Vektor-Stauchung“ hierzu. Ist der Skalar 0, so erhalten wir unseren Nullvektor, der, wie wir wissen, keine Länge und keine Richtung hat. Haben wir einen negativen Wert zwischen 0 und -1, verkleinern wir unseren Vektor und machen aus ihm den Gegenvektor. Das heißt er zeigt in die andere Richtung. Wir sagen “gestauchter Gegenvektor“. Haben wir -1, so haben wir genau den Gegenvektor. Und haben wir einen Wert kleiner als -1, so verlängern wir unseren ursprünglichen Vektor, er zeigt dann jedoch in die andere Richtung. Für unsere Beispiele hier haben wir jetzt immer nur die x-Komponente betrachtet, aber noch nicht die y-Komponente. Deswegen wollen wir unseren Vektor jetzt einmal verändern. Zum Beispiel zum Vektor 3 und 2. Wenn wir diesen Vektor haben und ihn jetzt mit 2 multiplizieren, also mit dem Skalar 2, sehen wir, so wurde aus der x-Komponente 3 die x-Komponente 6 und aus der y-Komponente 2, 2*2 wurde die Komponente 4. Wie wir sehen, müssen wir, wie wir schon gesagt haben, die 2 multiplizieren auf die x-Komponente und auf die y-Komponente. Und hier gilt das gleiche: Bei einem Wert größer als 1 ist der Vektor länger, bei 1 entspricht der resultierende Vektor dem Ursprungsvektor. Zwischen 1 und 0 wird er kleiner. Bei 0 erhalten wir den Nullvektor und unter 0 erschaffen wir den Gegenvektor skaliert. Sehr schön. Wir merken uns auch weiterhin, wenn der Skalar größer als 0 ist, wird der resultierende Vektor immer in die gleiche Richtung zeigen, wie unser Ursprungsvektor. Und wenn der Skalar kleiner als 0 ist, wird der resultierende Vektor immer in die andere, die entgegengesetzte Richtung zeigen als der Ursprungsvektor. Sehr schön. Lasst uns im nächsten Teil anschauen ob das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz für die Skalarmultiplikation gilt.

Hallo zum nächsten Teil. Schauen wir uns drei wichtige Gesetze für die Vektoren an. Wir haben eine Zahl, unseren Skalar, multiplizieren diesen mit dem Vektor und erhalten unseren resultierenden Vektor, den wir auch skalierten Vektor nennen können. Wenn wir hier für unseren Vektor also die x- und y-Komponente haben, so müssen wir unseren Skalar also auf x und auf y multiplizieren und erhalten s*x und s*y, unseren skalierten Vektor. Weiterhin können wir festhalten, dass wenn der Skalar negativ ist, zeigen wir das mit einem Minus vor dem s an, also dieser Term soll jetzt immer eine negative Zahl darstellen, dass wir unser s hinein multiplizieren können auf x und y, hier jedoch noch ein Minus davor setzen müssen. Das heißt das hatten wir gemacht bei dem Beispiel -2(x;y), hatten wir x und y verdoppelt. Also bei diesem Beispiel hatten wir mal 2 gerechnet, dadurch hatten wir die Vektorlänge verdoppelt. Und da wir ein -2 haben, müssen wir noch den Gegenvektor bilden, also der Vektor zeigt jetzt nicht nach rechts oben, sondern nach links unten. Wir haben also aus der (6;4) eine (-6;-4) gemacht. Also hier noch die Werte eingetragen, 3 und 2 und dann erhalten wir hier als Endergebnis den Gegenvektor vom Vektor (6;4), bzw. den Gegenvektor (-6;-4). Sehr schön. Auch ist an dieser Stelle erwähnenswert, dass wir das Minus in die Komponenten wandern lassen können und außen den positiven Wert stehen lassen, also das sieht dann so aus. Skalar, jetzt positiv, mal (-x;-y). Und hier kommt ebenfalls das gleiche raus wie hier. Also ob wir -2*3 rechnen oder 2*(-3) bei beiden kommt das gleiche raus. Für den Fall, dass wir nicht nur einen Skalar, sondern mehrere Skalare auf den Vektor multiplizieren, nehmen wir noch einen Skalar, also eine Zahl hinzu, benutzen wir die Variable t, dann können wir s mit t multiplizieren und dann mit diesem neuen Skalar mit diesem Vektor skalieren, also auch multiplizieren. Hier heißt es nicht nur s, sondern s mal t bei unserem Vektor. Also x-Komponenten mit beiden multipliziert und y-Komponente mit beiden Skalaren multipliziert. Und hier spielt es jetzt übrigens keine Rolle ob wir jetzt s*t*x rechnen bzw. *y. Oder s*x*t bzw. s*y*t. Die Reihenfolge ist beliebig. Hier gilt das Kommutativgesetz. Das wir einmal so darstellen können, dass wir s und t vertauschen oder aber im Vektor direkt. Das s*t in die Komponenten hineinschreiben und dann die Faktoren jeweils vertauschen. Gut, schauen wir uns als nächstes das Assoziativgesetz an. Das Assoziativgesetz besagt, wir dürfen frei wählen, ob wir als erstes s*t multiplizieren und das Ergebnis hieraus in die x- und y-Komponente des Vektors. Oder ob wir erst t mit den Komponenten des Vektors multiplizieren und danach s mit diesem Ergebnis. Wäre unser Vektor v eine Variable, würde das so aussehen wir das Assoziativgesetz, das wir auch bei den Grundlagen kennen gelernt haben. Also das für reelle Zahlen gilt. Weiterhin hatten wir bei den Grundlagen das Distributivgesetz kennen gelernt. Schauen wir uns an wie das bei den Vektoren aussieht. Das Distributivgesetz besagt, wenn wir einen Skalar mit (Vektor a + Vektor b) multiplizieren, so dürfen wir unser s auch auf Vektor a multiplizieren und auf Vektor b multiplizieren und dann beide addieren, also so wie hier geschrieben: s*a + s*b. Bei beiden kommt das gleiche heraus. Und auch hier könnten wir sagen, wenn a und b einfache Variablen wären, so kennen wir dieses Distributivgesetz ebenfalls aus den Grundlagen. Der Unterschied ist jedoch: Unsere Vektoren haben zwei Komponenten. Und dieses Distributivgesetz kann man auch graphisch interpretieren, nehmen wir hierzu ein paar Beispielwerte für s, a und b. Unser Skalar sei 2, a ist (1;2), b ist (2;1). Das heißt wir dürfen jetzt Distributivgesetz anwenden: Die 2 auf diesen Vektor und die 2 auf diesen Vektor multiplizieren. Das sieht dann so aus. Und wir können das gerade ausrechnen. Wenn wir hier drin die beiden addieren, dann erhalten wir 3 und 3 und diese dann noch mit 2 multipliziert und wir erhalten (6;6). Und hier drüben: 2*1 und 2*2, wir erhalten (2;4), dann Plus und dann noch 2*2 sind 4, 2*1 sind 2, also (4;2). Und dann addieren wir jetzt die beiden zusammen: 2+4 sind 6 und 4+2 sind 6, also korrekt. Als nächstes wollen wir also, wie gesagt, das Distributivgesetz einmal graphisch zeigen. Was bedeutet das eigentlich bzw. wie kann man sich das vorstellen. Nehmen wir hierzu unsere Beispielvektoren (1;2) und (2;1). Und jetzt sollen wir die beiden addieren und dann mit einem Skalar multiplizieren. Also addieren heißt, wir packen sie beide zusammen auf diese Art und Weise, wir verbinden sie, und wir erhalten aus der Addition einen Vektor, der die Komponenten 3 und 3 hat. Und diesen wollen wir jetzt mit 2 multiplizieren, wir erhalten also die Komponenten 6 und 6. Genauso gut könnten wir jetzt Vektor v_1 mit 2 multiplizieren, damit verdoppelt sich seine Länge. Und Vektor v_2 mit 2 multiplizieren und wir erhalten dann den gleichen resultierenden Vektor. Also, nehmen wir Vektor v_2 nochmal etwas weg. Jetzt wollen wir Vektor v_1, die Komponenten 1 und 2 jeweils mit 2 multiplizieren. Wir verlängern also x von 1 auf 2 und die 2 für y auf 4. x 2, y 4. Und hier für unser v_2, wir müssen die x-Komponente ebenfalls verdoppeln, also wir landen bei 4. Und die y-Komponente verdoppelt: Wir landen bei 2. Jetzt setzen wir beide wieder aufeinander, die Addition, und wir erhalten den gleichen resultierenden Vektor mit (6;6). Wir sehen also auch geometrisch, dass 2*(v_1 + v_2) das gleiche ist wie 2*v_1 + 2*v_2. Hier noch einmal in direkter Gegenüberstellung. Damit es noch deutlicher wird können wir jetzt 2*v_1 als v_1+v_1 und 2*v_2 als v_2+v_2 schreiben und auf der rechten Seite v_1 und v_2 zusätzlich einzeichnen. Wie wir sehen, der resultierende Vektor ist bei beiden gleich. Es lässt sich also sagen, dass bei den Vektoren in Bezug auf die Skalarmultiplikation offensichtlich ähnliche Rechengesetze existieren wie bei den reellen Zahlen. Kommutativgesetz: Wir dürfen bei s*t*v t*s*v rechnen oder aber auch v*s*t und so weiter. Wir dürfen also die Elemente vertauschen. Auch gilt das Assoziativgesetz, also wir dürfen entscheiden ob wir als erstes s*t rechnen oder t*v, bei beiden Varianten kommt das gleiche raus. Und es gilt das Distributivgesetz: Das heißt wir dürfen das s bei einer Addition von Vektoren auf den jeweiligen Vektor herauf multiplizieren. Also s*a + s*b. Sehr schön! So viel zur Skalarmultiplikation. Das nächste interessante Thema, das wir uns in der folgenden Lektion anschauen, ist der Einheitsvektor.