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Mathe F13: Ganzrationale Funktionen

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In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:

Was ist eine ganzrationale Funktion (Polynomfunktion)?
Wie erkennt man sie (Bestandteile Koeffizient, Basis mit natürlichem Exponenten)?
Was ist der Unterschied zur gebrochenrationalen Funktion?
Welche Namen haben ganzrationale Funktionen entsprechend ihres Funktionsgrades?
Wie bestimmt man deren Nullstellen?
Welche Besonderheit gibt es zur Symmetrie?

Voraussetzung:

F02 Lineare Funktionen
F03 Lineare Funktionen in Normalform
F06 Quadratische Funktionen

Klassenstufe laut Lehrplan: 11. Klasse

Mathe-Videos

Diese Videos sind nur für Kunden zugänglich:

1. Video: Ganzrationale Funktionen Einführung

Was sind Ganzrationale Funktionen bzw. Polynomfunktionen. Was ist ein Polynom, was ist ein Koeffizient, was ist eine Polynomgleichung. Bekannte ganzrationale Funktionen: Lineare, Quadratische und Kubische Funktion. Hinweis gebrochenrationale Funktionen.

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2. Video: Monotonieintervalle und Abschnittsweise Funktionen

Häufig ist es Aufgabe, die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion zu bestimmen. Verschiedene Lösungsverfahren helfen uns dabei. Namen von ganzrationalen Funktionen. Potenzfunktion. Symmetrie bei geraden und ungeraden Exponenten.

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3. Video: Untersuchung

Wir untersuchen eine ganzrationale Funktion und bestimmen Funktionsgrad, Symmetrie, Punkte auf dem Graphen, wir zeichnen den Graphen und bestimmen Schnittpunkte und Berührungspunkte mit einer linearen Funktion sowie den Schnittwinkel mit der x-Achse.

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Wissen zur Lektion

Was sind Ganzrationale Funktionen?

Ganzrationale Funktionen werden auch Polynomfunktionen genannt, da ihre Gleichung aus einem Polynom besteht. Zum Beispiel: f(x) = 2·x³ + 5·x² - 2,5·x + 1. Ein Polynom ist ein Term in der Form a_n·xⁿ + ... + a₃·x³ + a₂·x² + a₁·x + a₀. Beim Funktionsplotter oben ist das größtmöglich n = 13. Wählt ihr es aus, beginnt die Gleichung mit a₁₃·x¹³ + ... Das n steht für die Anzahl der Koeffizienten bzw. die Anzahl der Potenzen und das jeweilige a für die Koeffizienten. n muss eine natürliche Zahl sein (0, 1, 2, 3, 4, ...) und die Koeffizienten a müssen reelle Zahlen sein. Die bekanntesten ganzrationalen Funktionen sind die lineare Funktion und die quadratische Funktion. Der Grad der Funktion ist gleichzeitig der Grad des Polynoms, er wird durch den höchsten Exponenten n angegeben. Dessen Koeffizienten nennt man Leitkoeffizient. Zum Beispiel hat g(x)=1,5·x³+2·x-4 den Grad 3 und den Leitkoeffizient 1,5.

Bezeichnungen von Ganzrationalen Funktionen

Ab dem 4. Funktionsgrad gehen die Bezeichnungen auf die lateinischen Ordnungszahlen zurück.

n = 0: Konstante Funktion
n = 1: Lineare Funktion
n = 2: Quadratische Funktion
n = 3: Kubische Funktion
n = 4: Quartische Funktion
n = 5: Quintische Funktion
n = 6: Sextische Funktion
n = 7: Septische Funktion
n = 8: Octische Funktion
n = 9: Nonische Funktion
n = 10: Decische Funktion
n = 11: Undecische Funktion
n = 12: Duodecische Funktion
n = 13: Tredecische Funktion
n = 14: Quattuordecische Funktion
n = 15: Quindecische Funktion
n = 16: Sedecische Funktion
n = 17: Septendecische Funktion
n = 18: Duodevicesische Funktion
n = 19: Undevicesische Funktion
n = 20: Vicesische Funktion

Mathe-Programme

Hier geht es zu einem Programm, das euch Funktionen zeichnet und die Nullstellen berechnet:
gfplot: Plotter für ganzrationale Funktionen von x bis x¹³

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Übungsaufgaben

Neue Aufgaben sind in Vorbereitung.

Häufige Fragen

Eine Auswahl an häufigen Fragen zur Monotonie bei Funktionen:

Zum Beispiel:
• Nullstellenberechnung: f(x)=-2x⁷+5x⁴-2x
• Funktionsgleichung für eine zum Koordinatenursprung symmetrische Funktion 5. Grades
• Ist f(x) = -2x² (x-5) + 5 eine ganzrationale Funktion?
• Linearfaktorzerlegung von 0,5x³ -4x-4
• ganzrationale funktionen im zusammenhang zwischen oberfläche und volumen von körpern
• Nullstellen der Funktion f(x) = -2x⁴ + 6x² - 3 bestimmen.

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Untertitel

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Video Teil 1

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Tags: Potenzfunktionen

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