Mathe F11: Monotonie bei Funktionen

Hallo liebe Zuschauer! Heute wollen wir uns die Monotonie bei den Funktionen anschauen. Lasst uns zuerst klären, was das Wort „Monotonie“ bedeutet. Monotonie kommt aus dem Altgriechischen von „monotonia“, und das bedeutet „eintönig“, „ohne Veränderung“. Also „mono“ heißt „alleine“ beziehungsweise „eins“; und „tonia“, da steckt der „Ton“ dahinter. Deswegen „eintönig“.
Und bei den Funktionen beziehungsweise deren Funktionswerten beziehungsweise deren Graphen haben wir ein gewisses eintöniges Verhalten. Und zwar gilt, wir sollen mal von links nach rechts gucken, also die x-Werte sollen steigen, und dann schauen wir, wie sich der Graph verhält. Hier: Die y-Werte sinken beziehungsweise fallen. Und ab hier steigen sie wieder. Und da hier das Fallen eintönig ist, also monoton, sagen wir hierzu „fallende Monotonie“; und ab hier geht’s wieder aufwärts, die Werte steigen, das heißt, wir sagen hier „steigende Monotonie“. Der Graph ist monoton fallend und monoton steigend.
Und bei der Monotonie müssen wir unterscheiden. Also wir können jetzt mal ein paar Werte wählen, nehmen wir die 1, dann die 2, dann die 3, dann die 4, die 5, die 6; also wenn der Wert immer steigt, sprechen wir von „streng monoton steigend“. Wenn die Werte jedoch auch mal gleich bleiben wie zum Beispiel 1, 2, 3, jetzt wieder die 3, wieder die 3, jetzt 4, 5, 6, also wenn sich hier Werte wiederholen, wenn ein Wert hintereinander mehrfach auftritt, dann sprechen wir von „monoton steigend“. Bei streng monoton steigend nehmen unsere Werte also immer zu; dabei muss es nicht immer +1 nach oben gehen, es kann auch mal zum Beispiel nur 0,5 nach oben gehen oder mal ein größerer Sprung, zum Beispiel auf die 10. Also wie sehr es steigt, spielt nicht die Rolle, Hauptsache, jedes Folgeglied ist größer als das vorhergehende. Und bei der einfachen Monotonie gilt: Jedes Folgeglied ist größer gleich dem vorigen.
Gut, soviel zu monoton steigend. Wie Ihr Euch denken könnt, ist es bei monoton fallend genauso, also das Prinzip, nur dass die Werte abnehmen. Hier als Beispiel 7, 5, 4, 3, 1, -3, -10, -15. Die Werte fallen, jeder Folgewert ist kleiner als der vorhergehende, also 1 ist kleiner als 3, -3 ist kleiner als 1,
-10 ist kleiner als -3. Das ist dann streng monoton fallend. Und monoton fallend: 5, 4, 3, 3, 2, 2, 0. Wir sehen, die 3 kommt zweimal vor, das heißt, dieser Wert ist nicht kleiner als dieser Wert, sondern gleich. Und damit haben wir hier zwei gleiche Werte und damit nur Monotonie, keine strenge Monotonie. Es gilt also, jedes Folgeglied ist kleiner gleich dem vorigen.
Gut, soviel zum ersten Verständnis. Stellt Euch bitte vor, alle Werte, die hier stehen, seien jetzt
y-Werte, also unsere Höhen bei dem Graphen. Dann können wir weitermachen. Schauen wir uns das an den Funktionen an. Und schauen wir uns insbesondere die strenge Monotonie an, denn auf diese werdet Ihr am häufigsten treffen.
Nehmen wir uns eine Beispielfunktion, wählen wir f(x) = 0,5 * x. Wenn wir uns diesen Graphen anschauen, sehen wir, dass er mit steigenden x-Werten auch steigende y-Werte hat, also umso weiter wir nach rechts gehen, desto höher gehen wir, also desto größer werden die y-Werte. Zum Beispiel schauen wir bei -2: Da haben wir die Höhe -1. Schauen wir bei 0, da haben wir die Höhe 0; bei
x = 2 haben wir die Höhe 1; bei x = 4 haben wir die Höhe 2; und bei x = 6 haben wir die Höhe 3. Also alle y-Werte steigen. Und wie wir sehen: Jedes Mal, wenn wir einen Schritt nach rechts gehen, wird auch unser y-Wert erhöht; das heißt, jedes Folgeglied, jeder Folgewert ist höher als der vorhergehende; und damit haben wir, richtig, eine strenge Monotonie, und zwar streng monoton steigend! Wir sehen also, wenn unsere x-Werte zunehmen, dann nehmen auch alle y-Werte zu, ohne Ausnahme; wir haben also keinen konstanten Wert dabei, auch keine fallenden Werte, deswegen strenge Monotonie.
Gut, und wie können wir das jetzt korrekt notieren? Nehmen wir uns zwei Punkte. Hier nehmen wir x = 4, da haben wir den y-Wert 2; und hier haben wir x = 8, da haben wir den y-Wert 4. Wir sehen also, dass der folgende y-Wert 4 ist und der davorgehende 2. Und 4 ist größer als 2. Hier sehen wir, unser x-Wert ist 4, und hier ist unser x-Wert 8, und wir können sagen: 8 ist größer als 4. Und das stellen wir genauso auf. Für x schreiben wir 4 < 8, und der y-Wert von der 4 war die 2, und der
y-Wert für die 8 war die 4. Gut, und das können wir jetzt allgemein festhalten, indem wir statt 4 und 8 die Variable x benutzen mit x1 und x2. Vorher sagen wir jedoch noch, dass aus 4 < 8 => 2 < 4 folgen soll! Und dann können wir das verallgemeinern: x1 < x2, ersetzen wir 4 und 8 auch unten in der Graphik, daraus folgt, dass y1 < y2 ist. Ersetzen wir das ebenfalls in der Graphik. Und das ist genau das, was hier steht. Und statt y1, y2 schreiben wir dann f(x1) und f(x2), damit man den Zusammenhang besser erkennt. Also f(x1) < f(x2). Und das beschreibt die streng monoton steigende Funktion. Wenn wir jetzt eine andere Funktion hätten, bei der jetzt zum Beispiel die Werte von 4 bis 6 konstant sind, also den gleichen y-Wert haben, dann würde zwar x1 < x2 gelten, doch hier müssen wir etwas verändern, denn einige aufeinander folgende y-Werte haben ja den gleichen Wert. Wir ändern dies also zu y1 ≤ y2, ist auch gleich, kann genauso groß sein wie der Folgewert. Und dann ist das, wie wir auch schon gesagt haben, die einfache Monotonie, also nicht die strenge Monotonie.
Schauen wir uns die fallende Monotonie an. Ändern wir hierzu unseren Funktionsgraphen zu
-0,5 * x. Diese neue Funktion hat also in Bezug auf die Monotonie die Eigenschaft, dass wir mit den steigenden x-Werten fallende y-Werte haben. Und hier könnten wir das jetzt genauso aufstellen, wir könnten gucken: 4 und -2 ist ein Wert, 8 und -4 ist der nächste Wert. Wir sehen, die x-Werte steigen, und die y-Werte sinken, werden also kleiner. Und genau das können wir auch wieder allgemein aufschreiben mit diesen beiden Beispielwerten 4 und 8; 4 < 8. Und dann hatten wir jetzt -2 > -4.
Wir sehen also, bei der fallenden Monotonie müssen wir diesen Vergleichsoperator umdrehen. Dann machen wir das wieder allgemein: Wenn x1 < x2 ist, folgt daraus, dass y1 > y2 ist, also der Folgewert ist immer kleiner. Und dann schreiben wir wieder das f(x) für beide und erhalten f(x1) > f(x2). Und das ist die Aussage für die strenge fallende Monotonie. Und wenn es bei unserer Funktion auch wieder zu gleichen Werten kommt, also für den Fall, dass hier mehrer Werte hintereinander gleich sind, zum Beispiel ab x = 4, also das ist eine neue Funktion; dann müssen wir das berücksichtigen, indem wir ein = hinzufügen, also ein ≥ Zeichen hier einsetzen, denn jetzt sind auch gleiche Werte erlaubt, die aufeinander folgen, und wir sprechen von fallender Monotonie.
Sehr schön! Hier nochmal ein Schaubild für die strenge Monotonie, streng monoton steigend und streng monoton fallend. Und wenn es sich um nicht strenge Monotonie handelt, dann sieht das so aus.
Weiterhin solltet Ihr wissen, dass wir auch nur Abschnitte eines Graphen auf Monotonie prüfen können. Also wir müssen nicht den gesamten Graphen betrachten, sondern wir können auch nur Abschnitte wählen! Wie das funktioniert, schauen wir uns im nächsten Teil an.

Willkommen zum nächsten Teil! Untersuchen wir zuerst zwei Funktionen auf ihr Monotonieverhalten und schauen wir uns danach an, wie wir Funktionen abschnittsweise definieren und vor allen Dingen ihre Monotonie bestimmen können.
Nehmen wir als erstes Beispiel den Graphen von -x³. Wie Ihr seht, die y-Werte fallen, fallen, fallen, fallen bis zu 0, und dann fallen sie wieder. Also hier ist kein Teil, der steigt, alle y-Werte, umso weiter wir nach rechts gehen, werden kleiner. Und hier bei 0 könnte man denken, es liegt ein konstanter Abschnitt vor, ist es jedoch nicht: Die 0 wird hier nur einmal durchlaufen. Also der y-Wert vor 0 ist größer, und der y-Wert nach 0 ist kleiner als sie. Daher handelt es sich hier tatsächlich um strenge Monotonie. Diese kleine Besonderheit bitte unbedingt merken!
Schreiben wir als nächstes das Monotonieverhalten auf. Wie ist die richtige Notation? Wir sehen, dass unsere Funktion für alle x-Werte streng monoton fallend ist. Wir schreiben also auf: Für unsere Funktion f(x) = -x³ liegt folgendes Monotonieverhalten vor: Der Graph ist streng monoton fallend für den Bereich minus Unendlich, dann das Semikolon setzen, bis plus Unendlich, und wieder die eckige Klammer ]-∞;∞[
Die eckige Klammer sagt hier übrigens, dass hier alle positiven Werte enthalten sind, nur das Unendlich selbst ist ja kein Zahlenwert, deswegen müssen wir diesen ausschließen. Das gleiche gilt für minus Unendlich.
Eine alternative Schreibweise wäre die Mengenschreibweise. Hier benutzen wir diese Mengenklammer {} und wir sagen: Der Graph ist streng monoton fallend für alle x aus der Menge der reellen Zahlen {x ∈ R}, also alle reellen Zahlen. Und wir dürfen die geschweiften Klammern wegnehmen, weil es wirklich alle Zahlen meint ohne Einschränkung x ∈ R.
Ob Ihr diese Variante nehmt oder diese Variante, die Aussage ist die gleiche.
Schauen wir uns den zweiten Graphen an, und zwar diesen hier: (x-1)^4 – x^2 – 2. Wie wir sehen, der Graph fällt, fällt, fällt und fällt, und bei x = 2 hat er sein Minimum erreicht, also den niedrigsten Wert, und dann geht er wieder nach oben. Wir müssen also beide Abschnitte berücksichtigen: Von minus Unendlich bis 2 ist er immer fallend, und von 2 bis plus Unendlich ist er immer steigend. Wir schreiben also hier die Funktionsgleichung hin und darunter bestimmen wir das Monotonieverhalten. Wir schreiben: Der Graph ist streng monoton fallend für minus Unendlich bis, und jetzt hatten wir gesagt, die Monotonie wechselt bei x = 2. Und jetzt setzen wir die einschließende Klammer. Das heißt, die Funktion ist streng monoton fallend für den Bereich minus Unendlich bis 2. Und ab der 2 aufwärts, also alle Werte von x = 2 bis ins Unendliche, dort haben wir für y steigende Werte. Wir halten also fest: Streng monoton steigend für, und jetzt, die 2 soll mit drin sein, also es geht ab der 2 los, eckige Klammer auf, die 2, dann das Semikolon, und dann sagen wir, es geht bis ins plus Unendliche. Und hier müssen wir jetzt wieder die exkludierende, die ausschließende Klammer setzen: [2;∞[
Ergänzen wir noch die Mengenschreibweise für diesen Fall, die wäre wie folgt: Wir setzen wieder die Klammern für die Menge {}, dann sagen wir, wir haben streng monoton fallende Werte für alle x aus dem Zahlenbereich R unter der Bedingung, das ist dieser Querstrich nach unten |, der heißt, unter der Bedingung, dass das x kleiner gleich 2 sein soll. Also es darf alle negativen Werte annehmen und die positiven Werte bis 2. Wir schreiben also x ≤ 2. Und das ist die Mengenschreibweise {x ∈ R | x ≤ 2}
Und für den zweiten Fall sieht das genauso aus, nur dass wir dann den Vergleichsoperator umdrehen, denn es gilt für alle Werte, die 2 und größer als 2 sind.
Fertig! Schon haben wir das Monotonieverhalten für den hieraus entstehenden Graphen bestimmt.
Betrachten wir uns als nächstes die abschnittsweise definierten Funktionen. Hier ein Beispielgraph, er besteht aus drei Teilen, hier mit römisch I, II und III beschriftet. Jetzt können wir die Funktion abschnittsweise auf Monotonie untersuchen. Wir sehen, dass hier die Werte steigen bis zu -2, und die y-Werte danach nehmen erstmal nicht zu. Das heißt, für das Intervall minus Unendlich bis -2 haben wir steigende Monotonie, weil hier die Werte nach oben gehen, die y-Werte werden größer. Von -2 bis +2 haben wir eine konstante Funktion, und das ist ja ein Spezialfall der Monotonie, den wir uns gleich anschauen werden. Und ab 2 bis ins Unendliche steigen die Werte wieder, also hier ist die Funktion auch monoton steigend. Wir haben also hier streng monoton steigend und hier ebenfalls streng monoton steigend. Wenn wir uns jetzt jedoch den gesamten Graphen anschauen, also nicht die Abschnitte, sondern wirklich den kompletten Graphen, ist dieser nur monoton steigend, weil wir diesen Abschnitt hier den konstanten Wert haben! Denn bei streng monoton steigend ist jeder Folgewert größer als der vorhergehende, was hier nicht mehr gegeben ist, denn hier haben wir nur noch die gleichen Werte. Und erst ab x = 2 ist wieder jeder Folgewert größer als der vorhergehende. Deshalb lautet die Formel für monoton steigend f(x1) ≤ f(x2). Damit sind auch gleiche Werte hintereinander erlaubt.
Definieren wir als nächstes die abschnittsweise Funktion. Einmal dieser Abschnitt mit -x², dann dieser Abschnitt mit ist gleich -4, und dieser Abschnitt mit x² – 8. Wir schreiben unser f(x) =
eine große geschwungene Klammer {, und dann die drei Teile der Funktionen -x², -4 und x² – 8. Und jetzt legen wir fest, von wo bis wo die Funktion geht. -x² gilt für alle negativen x bis zu -², also x soll kleiner sein als -2, das ist also dieser Teil des Graphen. Ab -2 bis 2 soll er -4 sein, also eine konstante Funktion, wir schreiben hier also -2, und jetzt nicht nur, dass x größer sein soll, sondern dieser x-Wert hier soll auch die -2 annehmen, das heißt wir schreiben ≤ und er soll bis zur 2 gehen, also x soll ≤ 2 sein. Und damit haben wir diese rote Linie. Und ab 2, alle x-Werte, die größer als 2 sind, bis ins Unendliche, für die gilt x² – 8. Also können wir hier schreiben: Für alle x > 2. Und hiermit haben wir dann unsere Funktion abschnittsweise definiert, also das gilt dann tatsächlich als eine Funktion! Und jetzt wollen wir das Monotonieverhalten für den gesamten Graphen bestimmen. Und wie wir sehen, hier steigt er, hier ist er konstant, und hier steigt er wieder. Das heißt, wir haben durch diesen konstanten Teil eine nicht streng monoton steigende, sondern eine monoton steigende Funktion. Wir können also schreiben: Monoton steigend für alle x-Werte, also von minus Unendlich, dann das Semikolon, bis plus Unendlich; und wieder diese exkludierenden Klammern setzen ]-∞;∞[ Fertig.
Wir könnten uns genauso gut das Monotonieverhalten der einzelnen Abschnitte anschauen, also für diesen, diesen und diesen Abschnitt das Monotonieverhalten bestimmen. Und genau das machen wir jetzt. Wir nehmen uns den ersten Abschnitt, schreiben hier römisch I, um den zu unterscheiden, und wir sagen: Er ist streng monoton steigend für, und jetzt sehen wir ja, für alle Werte unter -2, das heißt, wir schreiben hier die ausschließende Klammer, dann minus Unendlich, dann das Semikolon, und dann bis zur -2, jedoch soll diese nicht mit im Intervall enthalten sein, also hier auch die ausschließende Klammer ]-∞;-2[
Hier bitte aufpassen: Wäre hier ein kleiner gleich Zeichen ≤ dürften wir hier die schließende Klammer setzen.
Gut. Zweiter Abschnitt. Und jetzt haben wir hier den Spezialfall. Was ist mit der -4? Da hier ein konstanter Wert ist, ist natürlich die Frage nach der Monotonie. Wir könnten jetzt sagen keine Monotonie, aber das ist nicht korrekt. Wir erinnern uns an die Definition der Monotonie: Wir haben gesagt x1 < x2 und daraus folgt, dass f(x1) was ist? Für die steigende Monotonie kleiner gleich
≤ f(x2). Und jetzt schauen wir mal: Hier haben wir den Wert -4 für y, und den haben wir mehrfach hintereinander. Das heißt -4, -4, -4, -4.
-4 = -4.
Das heißt, die Definition der steigenden Monotonie trifft darauf zu! Also können wir schreiben monoton steigend für; jetzt erinnern wir uns, wie sah denn die Definition für die fallende Monotonie aus? Da hatten wir auch x1 < x2 und daraus folgt f(x1) ist, richtig größer gleich ≥ f(x2). Also jeder Folgewert ist kleiner als der vorhergehende oder gleich. Und wenn wir -4, -4, -4 haben, sind diese gleich, die -4en. Das heißt, der Abschnitt mit -4 ist laut Definition auch monoton fallend! Und das schreiben wir hier rein: Monoton steigend und fallend für, und jetzt kommt das Intervall. Also diese Besonderheit bitte merken! Aufgrund der Definition sprechen wir von monoton steigend und fallend, und nicht von keine Monotonie, also eine wichtige Besonderheit!
Gut, bestimmen wir jetzt das Intervall. Wir haben -2 inklusive bis +2. Und das können wir auch genauso hinschreiben: Öffnende Klammer, -2, Semikolon, bis zur 2 und schließende Klammer, also die eckigen Klammern [-2;2]; von -2 bis +2.
Und der dritte Abschnitt: Wir haben streng monoton steigend für alle Werte größer als 2. Hier hätten wir übrigens auch schreiben können alternativ 2 < x. Dann kann man das jetzt besser abtragen für unser Intervall. Also ab der 2 alle positiven Werte. Und die 2 selbst ist nicht enthalten, weil die
x-Werte sollen ja größer als 2 sein. Wir schreiben also: Ausschließende Klammer, dann die 2, dann das Semikolon, und jetzt bis plus Unendlich; und da das kein Zahlenwert ist, schließen wir diesen wieder aus ]2;∞[
Und jetzt haben wir damit das Monotonieverhalten der einzelnen Abschnitte bestimmt. Also einmal für den Graphen und jetzt für die Abschnitte.
So weit, so gut: Jetzt habt Ihr das wesentliche Wissen zur Monotonie erlangt.
Jetzt fragt sich der Eine oder der Andere: Wie kann man denn das Monotonieverhalten nicht nur ablesen am Graphen, sondern auch rechnerisch bestimmen? Zum Beispiel hier bei dieser verschobenen Normalparabel, der Graph fällt bis zum x-Wert -2, und ab diesem steigt er wieder. Und das lernen wir nachher bei der Differenzialrechnung kennen, dazu müssen wir diese Funktion ableiten. Und mit der Ableitung können wir dann hier diesen sogenannten Tiefpunkt berechnen. Und wir wissen dann: Sobald wir einen Tiefpunkt haben, ist alles, was vor diesem Tiefpunkt ist, dieser Tiefpunkt wäre dann bei -2, alle Werte links davon sind auf jeden Fall monoton fallend. Und alle Werte rechts von einem Tiefpunkt sind dann monoton steigend. Das schauen wir uns dann ganz konkret bei den Ableitungen und bei der Kurvendiskussion an. Soweit die Grundlagen zur Monotonie.