Mathe F04: Schnittpunkt von zwei linearen Graphen

Hallo liebe Schüler und willkommen zur Lektion „Schnittpunkt von zwei Graphen“! Was braucht Ihr, um die Lektion zu verstehen? Ihr müsst zum Einen die Lektion gesehen haben „Einführung zur linearen Funktion“, dann wisst Ihr auch, was f(x) bedeutet; und Ihr müsst die Lektion „Lineare Funktion in Normalform“ gesehen haben, dann wisst Ihr, was eine Normalform ist, nämlich:
f(x) = Steigung * x + n. Dann können wir auch mit dieser Lektion loslegen.
Stellen wir uns als Erstes vor, wir zeichnen einen Graphen, und wir zeichnen einen zweiten Graphen, so dass sich beide in einem Punkt schneiden. Benennen wir unsere Graphen noch mit f und g. Okay, f und g schneiden sich also in einem Punkt, den wir S nennen können: Schnittpunkt. Fragt sich nun: Wie kriegen wir diesen Schnittpunkt raus beziehungsweise dessen Koordinaten?
Allgemein wäre das ja S mit x und y: S(x|y). Jetzt können wir die Werte aus der Graphik ablesen, und Ihr seht, dass S hier an der Stelle den x-Wert 2 hat und dass S die Höhe 1 hat. Tragen wir das mal hier ein, x ist 2, und y ist 1. Das heißt für f(x): Wenn f den x-Wert 2 bekommt, also wir haben hier diese f-Linie, wenn wir hier bei 2 nachgucken, haben wir die Höhe von 1. Das heißt f(2) ergibt die Höhe von 1. Und wenn wir bei g, also g(x) die 2 als Breite einsetzen, also wir gehen g entlang und gucken, wo ist denn hier die 2? Dann haben wir auch die Höhe von 1.
So, mit dieser Überlegung können wir schon einen großen Schritt weitergehen. Als nächstes überlegen wir uns noch eine Sache: Wir haben zum Beispiel zur Veranschaulichung jetzt so eine schöne Gleichung wie 2 + 2 + 2, und die ist ja 6. Aber 6 kann man ja zum Beispiel auch schreiben als 2 + 4. Und da auf der linken Seite jetzt 6 rauskommt, hier 6 herauskommt und hier 6 herauskommt, darf man jetzt den rechten Term hier und den linken Term direkt gegenüber stellen. Wir nehmen das also hier weg. Und das gleiche Spiel machen wir hier oben. Wir sagen f(2) ist 1, g(2) ist 1, und wenn g(2) 1 ist und f(2) 1 ist, dann sind doch offensichtlich f(2) und g(2) auch gleich, also gleich 1. Ihr könnt Euch das hier auch andersrum geschrieben vorstellen, also nicht g(2) = 1, sondern 1 = g(2), und dann könnt Ihr Euch vorstellen, dass sich diese beiden Einsen hier verschmelzen, und dann kann man das natürlich auch wieder so schreiben. Also f(2) und g(2) haben beide den Wert 1. Mit anderen Worten nochmal: f bei der Breite 2 und g bei der Breite 2 haben beide die Höhe 1, wie wir hier unten bei der Graphik gesehen hatten. Und das Schöne ist: Wir erhalten auch den x-Wert des Schnittpunktes, also die 2, wenn wir eine Formel mit Unbekannten haben.
Nachweis für das Beispiel: Stellen wir uns vor, die 2 wäre jetzt mal ausgeblendet, also mit einem x, einer Unbekannten, und dass die 6 rauskommt, das wissen wir grad nicht. Nun steht hier x + x + x, und das sind ja 3 * x. Und da drüben x + 4 können wir stehenlassen. Und jetzt erinnert Euch an die Äquivalenzumformung. Da können wir jetzt auf beiden Seiten -x rechnen. Links 3x – x sind ja nur noch 2x, und rechts x + 4 – x, bleibt nur noch die 4 stehen. An dieser Stelle können wir auf beiden Seiten durch 2 dividieren, dann bleibt links stehen x und rechts 4 durch 2 sind 2. Ergebnis wäre 2, und wie wir vorher gesehen hatten, wenn wir hier oben für x die 2 einsetzen, steht auf beiden Seiten 6 = 6. Das heißt also, mit dem Gleichsetzen beider Formeln erhalten wir den x-Wert des Schnittpunktes. Für unsere beiden Gleichungen heißt das:
Wir können die Funktionsgleichungen für f und g gleichsetzen, so dass wir einen x-Wert herausbekommen, der die x-Koordinate des Schnittpunktes ist. Und den y-Wert erhält man, indem man x bei f oder g einsetzt! Für unsere Aufgabe ermitteln wir als nächstes erstmal die Funktionsgleichungen:
Gucken wir uns erst das f(x) an. f(x) = m * x + n, immer die Normalform aufschreiben! Dann wissen wir, dass wir den Wert für n hinten ja ablesen können, und zwar bei der Höhe des Schnittpunktes mit der y-Achse. Und das ist in dem Fall 0. Wunderbar, tragen wir hier die 0 ein. Und jetzt gilt es noch, das m, die Steigung zu ermitteln. Und da hatten wir das Steigungsdreieck kennen gelernt, das wir hier beliebig an f anlegen können. Tun wir das gerade. Das wären 2 nach rechts und einer nach oben. Und da hatten wir gesagt, wir rechnen hier für m Differenz der Höhe dividiert durch Differenz der Breite. Und das ist in unserem speziellen Fall Höhendifferenz 1, Breitendifferenz 2, ½ beziehungsweise 0,5. Und die können wir hier oben auch eintragen.
Also 0,5 * x, und die +0 fällt ja weg. Also die fertige Funktionsgleichung f(x) = 0,5x.
Ermitteln wir nun die Funktionsgleichung für g(x). Da schauen wir auch wieder: Wo trifft g die y-Achse? Das ist offensichtlich bei 3 hier oben, das heißt, n wird zu 3. Und wie ist die Steigung für g?
Und da können wir dieses Steigungsdreieck bei g anlegen. Und dann wären das für die Höhe -1 runter, und für die Breite einen nach rechts, also die Differenzen. Tragen wir das hier ein, bei m, und das ergibt -1 durch 1. So, und -1 durch 1 ist natürlich -1, das heißt, unsere Steigung für m ist -1x. Das erkennt man auch gut: Man geht hier einen Schritt nach rechts, einen nach unten, einen nach rechts, einen nach unten, einen nach rechts, einen nach unten und so weiter und so fort. So haben wir also die Funktionsgleichung von g(x) und die Funktionsgleichung für f(x). Und an Hand dieser beiden Formeln wollen wir zeigen, dass man den Schnittpunkt auch rechnerisch bestimmen kann!
Wir hatten gesagt, man muss die Formeln für f und g gleichsetzen. Das heißt, f(x) ist 0,5 * x, und g(x) ist -1 * x + 3. Formen wir um. + 1x auf beiden Seiten, dann ist links 1,5 * x und rechts fällt die -1x weg, 3 bleibt übrig. Als nächstes können wir die 1,5 links vom x wegnehmen, indem wir durch 1,5 dividieren. Links bleibt stehen x, und rechts 3 durch 1,5, und das ist natürlich 2. Wunderbar. Jetzt haben wir die allgemeinen Gleichungen für f(x) und g(x) gleich gesetzt und einen x-Wert erhalten. Dieser x-Wert ist x-Koordinate des Schnittpunktes. Wenn wir x jetzt in f oder g einsetzen, erhalten wir die y-Koordinate. Das heißt, für die Breite 2, also x = 2, erhalten wir eine Höhe, die für beide, hier für g und für f identisch ist. Denn wir könnten jetzt für die Variable x die 2 einsetzen und würden dann Folgendes herausbekommen: Links 0,5 * 2 sind 1, und rechts – 1 * 2 sind -2 + 3, und das ist natürlich 1. Das heißt: g(x), wenn ich 2 einsetze für x, ergibt die Höhe 1, und f(x), wenn ich die 2 einsetze, ergibt die Höhe von 1. Das heißt, für beide erhalten wir den gleichen Punkt, der da heißt, S mit x 2 und Höhe y 1: S(2|1). Und das ist genau das, was wir gesucht haben: Gleiche Höhe und gleiche Breite eines Punktes, der sich auf beiden Funktionen befindet.
Schauen wir uns hierzu noch eine Aufgabe an.

Willkommen zurück zum zweiten Teil. Bevor wir uns jetzt auf die Beispielaufgabe stürzen, noch kurz ein Hinweis: Ihr findet im Blog eine Applikation zu den Schnittpunkten von Graphen. Ihr könnt einen Punkt setzen, eine lineare Funktion erschaffen, erhaltet hier unten die Funktionsgleichung angezeigt, und dann könnt Ihr einen zweiten Graphen aufspannen und erhaltet auch links unten die Funktionsgleichung angezeigt und zusätzlich den sich ergebenden Schnittpunkt. Und dessen Koordinaten ergeben sich, indem man die Gleichungen von g(x) und f(x) gleich setzt. Die Rechnung müsst Ihr hier im Kopf machen, das Ergebnis steht aber schon hier. Und wie wir grad gesehen hatten, können wir also dies Ergebnis 1 hier einsetzen oder hier einsetzen, und es kommt 1,1 heraus als y-Wert. Und das sind die Koordinaten unseres Schnittpunktes: 1 und 1,1.
1 und in der Höhe 1,1.
Eine wichtige Sache, die man auch wissen muss: Es kann vorkommen, dass wir auch mal keine Lösung haben. Und zwar ist das der Fall, wenn wir zwei Parallelen haben. Spannen wir mal zwei Parallelen auf. Das ist der Graph f mit der Steigung 1x, und spannen wir einen zweiten Graphen auf, der auch die Steigung 1x haben soll. Jetzt seht Ihr: Hier steht „Kein Schnittpunkt“. Warum ist das so? Graphisch sieht man das: Sie schneiden sich nie. Und rechnerisch guckt man hier auf die Gleichung: Wenn ich hier jetzt auf beiden Seiten -1x rechne, fällt links das x weg und rechts das x weg, und übrig bleibt: 1 = -1. Und 1 ist nicht gleich -1, also ungleich! Das heißt, diese Gleichung ist nicht lösbar; es gibt keinen x-Wert, der zu einer Lösung führt. Merkt Euch also: Sobald das x wegfällt beim Rechnen und beide Seiten ungleich sind, haben wir keinen Schnittpunkt!
Es kann aber auch sein, gucken wir uns eine zweite Funktion an, dass Ihr zwei Funktionen aufeinander zu liegen habt. Was passiert dann? Dann haben wir unendlich viele Schnittpunkte. Warum? Gleiches Spiel: Beide Gleichungen haben hier in unserem Fall 1x als Steigung. Wenn wir auf beiden Seiten -1x rechnen, bleibt da übrig: 0 = 0. Und 0 ist immer 0. Also diese Lösung gilt immer! Egal welchen Wert wir für x einsetzen, die Gleichung geht immer auf. Ganz einfach aus dem Grund, weil beide Gleichungen identisch sind. Also die beiden Seiten sind immer gleich, egal welchen Wert wir von der x-Achse aus einsetzen. Es gibt unendlich viele Schnittpunkte.

Schauen wir uns als nächstes die Beispielaufgabe an:
Sagen wir, ein Auto hat 100 Kilometer Vorsprung und fährt mit einer Geschwindigkeit von 50 Kilometer pro Stunde. Ein Motorrad hat keinen Vorsprung und fährt mit einer Geschwindigkeit von 100 Kilometern je Stunde. Okay, übertragen wir das in unser Koordinatensystem mit den Achsen Zeit in Stunden, und von dieser Zeit in Stunden hängt natürlich der zurückgelegte Weg ab, Weg in Kilometern. Und tragen wir unser Auto einmal als erstes ein. Das Auto hat 100 Kilometer Vorsprung. Das heißt, wenn noch gar keine Zeit vergangen ist, also sind wir bei 0 hier vorne, dann hat es schon 100 Kilometer zurückgelegt. Setzen wir hier einen Punkt. Außerdem steht hier: Geschwindigkeit von 50 Kilometern je Stunde. Das heißt, in einer Stunde schafft es weitere 50 Kilometer. Wenn wir also eine Stunde vergehen lassen, sozusagen einen Schritt nach rechts gehen, dann sind wir nicht mehr bei 100 Kilometern, sondern bei 150 Kilometern. Tragen wir da einen Punkt ein. Jetzt können wir beide Punkte miteinander verbinden und erhalten einen Funktionsgraphen, den wir mal mit „a“ wie „Auto“ beschriften.
Jetzt gucken wir uns das Motorrad an. Da steht, es hat keinen Vorsprung, und Ihr wisst „keinen“ ist in der Mathematik gleichzusetzen mit 0. Hat keinen Vorsprung, setzen wir also hier unten bei 0 ein Kreuz. Und dann steht da: Das Motorrad fährt mit 100 Kilometern je Stunde. Das heißt, fahren wir eine Stunde, sind wir schon 100 Kilometer weiter. Hier oben setzen wir also das nächste Kreuz. Verbinden wir diese beiden Punkte und erhalten den Graphen für das Motorrad. Beschriften wir diesen Graphen mit „m“ wie „Motorrad“. Wie wir jetzt erkennen können, schneiden sich der Graph von m und der Graph von a in einem Punkt, beziehungsweise mit anderen Worten: Das Motorrad und das Auto treffen sich an einem gewissen Punkt beziehungsweise zu einer gewissen Zeit.
Versuchen wir, das mal abzulesen: Da wären wir bei x, also bei der Zeit, etwa bei 2 Stunden, und für den Weg etwa bei 200 Kilometern.
Prüfen wir, ob das auch rechnerisch stimmt – versuchen wir also die Koordinaten für diesen Schnittpunkt S zu ermitteln:
Zu allererst benötigen wir natürlich die Funktionsgleichungen.
Fangen wir bei dem Auto an:
a(x) ist gleich – und dann schreibt Ihr immer die Normalform hin: m * x + n. Gut, von dieser Normalform ausgehend schauen wir mal, wo wir n erhalten. Hier ist der Funktionsgraph a, und der schneidet die y-Achse bei der Höhe von 100, und wir hatten gelernt bei der Lektion „Normalform“: Das n ist dann 100. Um die Steigung m zu ermitteln, benötigen wir als nächstes ein Steigungsdreieck. Zeichnen wir hier ein Steigungsdreieck ein, und nehmen wir dazu zwei Punkte, die wir schon haben. Dann sehen wir, dass die Breite 1 ist und die Höhe 50. Tragen wir das in die Gleichung von m ein, m = Δy/Δx, also Höhe durch Breite, und das ist bei uns 50 Kilometer / 1 Stunde. Und richtig, einige wissen das, das ist natürlich 50 Kilometer zu einer Stunde, also 50km/h. Das heißt, in der Steigung findet sich unsere Geschwindigkeit wieder. 50 * x + 100.
Als nächstes ermitteln wir die Funktionsgleichung für das Motorrad. Also m(x) = Steigung {m} * x + n. Hier jedoch aufgepasst: Dieses „m“ ist ein anderes als dieses „m“, die beiden haben nichts mit einander zu tun! Okay, gucken wir wieder, was n ist; n für das Motorrad wäre abzulesen an der y-Achse, und das ist offensichtlich 0. Und zur Ermittlung der Steigung brauchen wir wieder ein Steigungsdreieck. Zeichnen wir eins ein. Und wir erkennen, dass wir eine Höhe haben von 100 Kilometern für dieses Dreieck und eine Breite von einer Stunde. Tragen wir die hier wieder ein:
100 Kilometer / 1 Stunde. Und richtig, das ist natürlich auch die Geschwindigkeitsangabe 100km/h für das Motorrad. Tragen wir das m, diese Steigung hier ein: 100 * x.
An dieser Stelle haben wir beide Funktionsgleichungen ermittelt:
a(x) = 50x + 100, und m(x) = 100x + 0, („+ 0“ können wir wegnehmen).
Jetzt wenden wir das an, was wir im ersten Teil gelernt hatten: Wir müssen beide Gleichungen gleich setzen, um die gleiche Höhe zu erzeugen.
Also a(x), das ergibt eine Höhe, soll die gleiche Höhe sein wie m(x), das ergibt ja auch eine Höhe. Dann tragen wir die Funktionsgleichungen ein: a(x) ist ja 50x + 100, und m(x) ist ja 100x, tragen wir das hier ein. Jetzt machen wir Äquivalenzumformung. Die 50x wollen wir rüber haben, rechnen wir also auf beiden Seiten -50x. Dann bleibt links stehen 100, und rechts 100x – 50x ergibt 50x. Als nächsten Schritt dividieren wir beide Seiten durch 50, dann steht auf der linken Seite 100 durch 50 sind 2, und auf der rechten Seite bleibt das x übrig. Und x = 2 ist unser Ergebnis. Das heißt, in der 2. Stunde treffen sich Auto und Motorrad; und wenn man jetzt noch wissen möchte, bei wie viel Kilometern sie sich treffen, setzt man die 2 Stunden bei a oder m ein, denn bei beiden müsste ja das gleiche Ergebnis rauskommen. Machen wir das hier oben: a(x), also a von 2, und hier m von x, m von 2. a(2) = 50 * x (wird zu 2); 50 mal 2 sind 100, und 100 plus 100 sind 200. Alles klar? Und hier, m von 2 ist 100 * 2.
2 mal 100 sind 200. Und tatsächlich: Beide treffen sich im Punkt S, x ist 2, y ist 200, beziehungsweise für die Aufgabe 2 Stunden und 200 Kilometern. Und dann haben wir schon die Aufgabe gelöst.