TRI10: Trigonometrische Gleichungen

Hallo liebe Zuschauer. Als nächstes wollen wir uns die trigonometrischen Gleichungen anschauen. Dazu wiederholen wir, was Gleichung überhaupt meint. Und vor allen Dingen was es für Lösungsmöglichkeiten gibt. Fangen wir einfach an. Ihr kennt diese Art der Gleichung: Ihr habt einen Term wie zum Beispiel 2*x, dann ist gleich, und dann 4. Bei dieser Gleichung hat x den Wert 2, das heißt wir haben nur eine Lösung x ist gleich 2. Eine Lösung, eine eindeutige Lösung. Es gibt jedoch auch den Fall, dass wir gar keine Lösung haben, zum Beispiel bei 2/x ist gleich 0. Um jetzt x herauszubekommen formen wir diese Gleichung um, wir multiplizieren x auf die rechte Seite und wir wissen, dass jede Zahl mit 0 multipliziert wieder 0 ergibt. Das heißt es kann hier nicht 2 herauskommen, weil hier eine mal 0 steht. Jede beliebige Zahl mit 0 multipliziert ist 0 und nicht 2. Das heißt diese Gleichung hier oben ist nicht lösbar. Wir haben keine Lösung. Schauen wir uns einen weiteren Fall an. Und zwar x^2 gleich 4. Was hat x jetzt für eine Lösung? Die meisten sehen das sofort, okay, das ist die 2. Das ist richtig, aber wir haben hier noch eine zweite Lösung, denn wir wissen, wenn wir eine -2 mit sich selbst multiplizieren, also -2*(-2) kommt eine 4 heraus. Minus mal Minus ist positiv. Also wir haben hier ein zweites Ergebnis mit -2. Und da das ja nicht das gleiche x ist, setzen wir eine kleine 1 und eine kleine 2 heran als Index. Ihr seht als, es gibt auch Gleichungen, bei denen wir mehrere Werte für x herausbekommen; mehrere Lösungen. Und hier könnt ihr euch eine Sache merken, diese Potenz, dieses hoch 2, also dieser Exponent, der gibt uns immer die maximal mögliche Anzahl an Lösungen. Also bei einer Aufgabe wie x^4-x^3-2 = 14, da sehen wir die höchste Potenz ist die 4, das heißt wir können annehmen, es gibt bis zu vier Lösungen für x. Wie sieht es jetzt aus bei unseren trigonometrischen Funktionen bzw. trigonometrischen Gleichungen. Da hatten wir ja so etwas Einfaches wie sin(x) gleich 1. Und wir hatten gesehen als wir den Einheitskreis vor uns hatten, wann ist Sinus 1? Richtig, bei 90°. Und das hatten wir mit dem Arkussinus gelöst. Machen wir das gerade. Arkussinus auf beiden Seiten und wir erhalten: Der gesuchte Wert x ergibt sich aus sin^(-1)(1). Dann den Taschenrechner. Wir geben ein sin^(-1)(1) und erhalten 90°. Wie es scheint eine eindeutige Lösung. Aber wir hatten auch gelernt, dass wir im Einheitskreis jeweils noch 360° vorwärts gehen oder rückwärts gehen können und damit den gleichen Sinuswert erhalten. Also schauen wir nochmal. Hier haben wir den Einheitskreis. Sinus- und Cosinuswerte und jetzt stellen wir einen Winkel von 90° ein und wir sehen der Sinuswert ist 1. Und jetzt können wir natürlich noch eine weitere Runde herumgehen und sind wieder an dieser Position und damit hätten wir 90°+360° also richtig 450°. Auch bei 450° haben wir den Sinuswert 1. Das heißt also unser x gleich 90° ist nicht das einzige Ergebnis. Es wäre das einzige Ergebnis, wenn wir sagen würden, wir betrachten nur Winkel zwischen 0° und 360°. Und das nennt man dann Intervall. Dieser Begriff kommt aus dem lateinischen „Intervallum“ und meint so viel wie Zwischenraum. Also ein bestimmter begrenzter Bereich. Wir haben also einen begrenzten Bereich mit zwei Grenzen links und rechts. Für unseren Einheitskreis 0° bis 360° würden wir dann das Intervall hier festlegen mit eckiger Klammer 0°, dann, jetzt kommt die Rechtsgrenze 360° eckige Klammer zu. Das heißt das Intervall wird mit diesen beiden eckigen Klammern hier dargestellt und dann sagen wir, den Bereich, den wir uns anschauen, der geht von 0° bis 360°. Und für diesen Fall, für dieses Intervall, wäre x gleich 90° die einzige Lösung. Wenn wir jetzt jedoch dieses Intervall auf 720° erweitern, also zwei Kreisumrundungen, bzw. zwei Perioden, dann hätten wir hier noch ein zweites Ergebnis mit 90° plus eine Kreisumdrehung 360°, also 450°. Das was wir uns eben auch graphisch angeschaut hatten. Das heißt mit der Festlegung des Intervalls erhalten wir die entsprechenden Lösungsmöglichkeiten für x. Wenn wir übrigens kein Intervall festlegen möchten, dann schreibt man das wie folgt. Das Intervall geht von -unendlich bis unendlich. Und Achtung hier werden diese Klammern umgedreht. Und zwar meint die umgedrehte Klammer, dass das Element nicht mit drin ist im Intervall und da wir Unendlich ja nicht erreichen können, kann Unendlich im Intervall nicht enthalten sein. Also mit dieser Schreibweise meinen wir alle reellen Zahlen. Und wenn wir dieses Intervall festlegen, dann heißt es, wir haben nicht nur zwei Lösungen, sondern unendlich viele Lösungen. Denn wir könnten jetzt hier nicht nur einmal um den Kreis herumgehen, sondern auch zweimal oder dreimal oder viermal und so weiter. Also mit dem Kreis: Wir haben 90°, 450°, 810°, 1170° und so weiter. Und wir könnten auch genauso gut negative Werte erzeugen. 90°-360° ist -270°. Weitere minus 360° sind -630° und so weiter. Das heißt hier könnten wir auch eine negative Zahl eintragen wie zum Beispiel -2. Und da wir hier beliebige ganze Zahlen eintragen können, schreiben wir allgemein eine Variable dahin. Und lasst uns vereinbaren, dass wir hierzu das k benutzen. Dann können wir hier die Indizes wegnehmen. Und hier auch das x_1. Denn das ist jetzt unsere Lösung. Wir haben x gleich 90° plus die jeweiligen Umdrehungen. Und diese Gleichung ist unsere Lösungsgleichung, denn sie beschreibt uns, je nach dem welchen Wert wir für k einsetzen, unser Ergebnis. Und für k können wir jede beliebige ganze Zahl einsetzen, daher haben wir unendlich viele Ergebnisse für x. An der Stelle sei noch erwähnt, dass wir natürlich 90° und 360° im Bogenmaß ausdrücken könnten. Das müsste dann so geschrieben werden. Die 90° wissen wir sind ein halbes π. Also 180° sind π, also sind 90° ein halbes π. Und 360° wissen wir, ist ein ganzer Kreis und damit 2*π. Das wäre also unsere Lösung im Bogenmaß. Und noch ein Hinweis. Statt dieser Schreibweise für das Intervall dürft ihr hier auch runde Klammern setzen, denn die bedeuten für das Intervall das gleiche. Und die runden Klammern zeigen dann wieder nach innen. Und das diese Lösung für x = 1 richtig ist, das können wir uns nicht nur am Einheitskreis anschauen, sondern auch am Funktionsgraphen von sin(x). Da haben wir hier die Sinuskurve und jetzt fragt sich, wann ist y, unser Sinuswert, gleich 1. Und da legen wir hier auf 1 eine Gerade und sehen, dass das der Fall bei 90° ist. Dann sehen wir hier weiter rechts, da sich ja die Schwingung periodisch wiederholt, dass wir hier bei 90°+360°, als 450° ebenfalls y gleich 1 haben. Und wie gesagt, die Schwingung geht weiter. Wir könnten dann weitere Winkel finden, die den Sinuswert 1 haben. Gut, wie lösen wir jetzt kompliziertere Gleichungen, denn sin(x) gleich 1 scheint ja relativ einfach zu sein. Schauen wir uns das als nächstes an.

Versuchen wir also als nächstes die Lösung von sin(x) gleich 0,5 zu finden. Wie müssen wir da vorgehen? Dazu nehmen wir erstmal den Einheitskreis zu Hilfe und schauen uns nochmal an, wann Sinus 0,5 ist. Hier haben wir wieder unseren Einheitskreis und wir stellen jetzt einen Sinuswert von 0,5 ein. Ihr seht, der wäre bei 30°. Und jetzt wissen wir 0,5 können wir hier auf der y-Achse ablesen und dieser Wert gilt auch für diesen Wert hier links. Also wenn wir jetzt hier herübergehen, dass auch ein Sinuswert von 0,5 bei 150° zustande kommt. Und das hatten wir auch schon bei den Identitäten gesehen, wenn wir von 0°+30° rechnen, hätten wir genauso gut 180°-30° rechnen können. Und so auf den entsprechenden zweiten Winkel kommen. Wer sich nicht erinnern kann, der nimmt sich nochmals das Programm „Identitäten für Sinus und Cosinus“ zu Hilfe und dann könnt ihr hier einstellen 30°, da haben wir 0,5, bzw. 150° ist auch 0,5. Und die Identität hieß sin(α) gleich sin(180°-α). Also hier 0°+α, wir gehen 30° vorwärts und hier 180°-α, wir gehen 30° zurück. Das heißt was machen wir jetzt mit unserer Aufgabe, wie kriegen wir das x heraus? Wir nehmen uns den Taschenrechner. Ziehen den Arcussinus, also „Shift“ + Sinus + 0,5 und wir erhalten 30° als Wert. Das ist unser x_1. Jetzt nehmen wir uns die Identität zur Hilfe: sin(x) = sin(180°-x). Und sin(x) soll ja 0,5 sein. Und wenn wir jetzt diese Gleichung hier umstellen bzw. wenn wir den Arcussinus ziehen, dann steht dort sin^(-1)(0,5) ist gleich die 180°-x. Und wir hatten hier ja schon ausgerechnet sin^(-1)(0,5) ist ja 30°. Das heißt wir können hier 30° einsetzen. Und richtig: 180° minus was ist 30°. Das heißt ist x ist 150°. Und das ist ja die zweite Lösung, wir können also x_2 hinschreiben. Wenn wir also die Lösung haben wollen für die Gleichung sin(x) = 0,5, dann erhalten wir im Intervall 0° bis 360°, die Lösung x_1 gleich 30° und x_2 gleich 150°. Haben wir jedoch ein unbeschränktes Intervall, dann müssen wir unsere Lösungen wie folgt verändern. Denn jetzt gilt es wieder, wenn wir eine Runde um den Kreis herumgehen, also +360° rechnen, haben wir wieder den gleichen Sinuswert und das gleiche gilt für 150°, wenn wir dort einmal um den Kreis herumgehen haben wir auch wieder den gleichen Sinuswert. Also 30°+360°, dann wären wir bei 390°. Und genauso 150°+360°, wir wären bei 510°. Und natürlich können wir wieder beliebig oft um den Kreis herumgehen und wir würden immer wieder den Sinuswert an dieser Stelle erhalten. Das heißt wir schreiben hier nicht nur 1 mal hin, sondern, richtig, k mal. Und zwar bei beiden Lösungen. Und schon haben wir unsere Gleichung für x gelöst. Wir haben die Lösungen x_1 gleich 30°+k*360° und x_2 gleich 150°+k*360°. Und an dieser Stelle sei erwähnt, dass der Faktor hier hinten, dieses k*360° auch einen bestimmten Namen hat. Man nennt ihn „Periodizitätssummand“. Warum Summand? Richtig, wir addieren ihn hierauf und er entsteht aus der Periode des Kreises bzw. aus der Periode der Sinusschwingung. Wenn wir uns jetzt also die Sinusschwingung angucken von 0° bis 360° bzw. von 0 bis 2π, dann sehen wir, dass sie sich ab 360° hier wiederholt. Also wir können es nochmal so darstellen: Ihr seht die Schwingung ist periodisch. Und bei sin(x) gleich 0,5, fragt sich, für welchen Winkel haben wir den Sinuswert 0,5. Also hier die Höhe 0,5. Da seht ihr, wenn wir hier eine Gerade durchlegen, haben wir das bei 30°, bei 150°. Und wenn wir hier weiterschauen. Bei 360°+30°, also 390°, hier haben wir ebenfalls 0,5. Und dann bei 150°+360° 510° hier hinten und so weiter. Und daher brauchen wir eben das +k*360° um alle Winkel mit diesem Sinuswert zu erreichen. Und das könnten wir jetzt auch wieder mit Bogenmaß schreiben. Das heißt 360° sind 2π. Und 30°, wenn wir das zu π umrechnen wollen, wissen wir, wir müssen durch 180° dividieren und mal π rechnen. Schreiben wir das einfach so als Bruch 30°/180°, damit haben wir den Anteil vom Halbkreis mal π. Und dann können wir hier kürzen 30°/180°, durch 10, dann fallen die beiden Nullen hier weg, dann haben wir 3°/18° stehen. Das Gradzeichen können wir hier auch entfernen und jetzt noch, wenn wir Zähler und Nenner durch 3 kürzen, erhalten wir 1/6. Das heißt unsere Lösung hier heißt für x_1 1/6* π + k*2π im Bogenmaß. Und das gleiche hier unten für x_2. 360° sind 2π und 150°/180° und das ganze mal π. Und dann kürzen wir hier auch wieder die 0 und das Gradzeichen weg und können auch 15 und 18 mit 3 kürzen, das heißt wir erhalten 5/6. Und das ist schon die zweite Lösung x_2 ist gleich 5/6*π + k*2π. Und graphisch hieße das, wir haben hier unseren Sinusgraphen sin(x) und jetzt sagen wir, wir suchen die 0,5 als Sinuswert. Wir zeichnen hier also eine Gerade bei 0,5 die parallel zur x-Achse ist. Und wir sehen die Schnittpunkte hier bei 1/6*π, also rund 0,17*π. Und dann hier drüben bei 5/6*π, also rund 0,833*π. Oder wenn wir es als Grad nochmals anschauen für die meisten ja einfacher bei 30° und bei 150°. Und wie gesagt, wir hätten nur die beiden Lösungen, wenn wir uns nur das Intervall von 0° bis 360° anschauen würden, aber wenn es ein unbeschränktes Intervall ist, dann geht es hier rechts weiter und wir hätten hier dann zum Beispiel auch die 0,5 für den Sinuswert bei 360°+30° also 390°. Und auch hier nach links würde es weitergehen und würden auch hier weiter links den Sinuswert 0,5 wieder erreichen. Gut, schauen wir uns als nächstes eine Aufgabe an mit Kosinus.

Schauen wir uns also als nächstes eine Gleichung an, bei der der Cosinus vorkommt. Die Gleichung heißt cos(x) gleich -0,5. Wir wollen jetzt also den Winkel finden der dazu führt, dass der Cosinuswert nachher -0,5 ist. Nehmen wir uns wieder den Einheitskreis zu Hilfe. Auf der x-Achse, beim Einheitskreis, können wir die Cosinuswerte ablesen. Wir wissen bereits auf der rechten Seite sind alle Cosinuswerte positiv und auf der linken Seite negativ. Und -0,5 ist hier, das heißt wir stellen unseren Winkel so ein, dass -0,5 erscheint. Und wir sehen der Winkel ist 120°. Und den 120°-Winkel. Der Wert für x, den kriegen wir mit dem Taschenrechner raus. Dazu müssen wir den Arccosinus ziehen. Geben also ein „Shift“ + „Cosinus“. Damit haben wir den Arccosinus im Taschenrechner aktiviert. Und jetzt die 0,5 mit einem negativen Vorzeichen. Ist gleich 120°. Jetzt gilt es noch zu prüfen: Gibt es noch weitere Werte? Und natürlich die Frage steht noch, in welchem Intervall befinden wir uns. Und für diesen ersten Teil der Aufgabe sagen wir, wir sind im Intervall 0° bis 360°, also unser Kreis. Und ist wirklich x gleich 120° der einzige Wert? Gucken wir nochmals zum Einheitskreis und wir sehen die -0,5 für x, schauen wir nach oben, trifft die 120°. Und schauen wir nach unten, trifft einen weiteren Winkel. Und um diesen Winkel hier zu bestimmen brauchen wir wieder die Identitäten. Hier ist wieder unser Programm für die Identitäten für Sinus und Cosinus und wir wählen jetzt die Identität aus, die wir benötigen. Und das ist cos(α) gleich cos(-α). Wenn wir jetzt nämlich hier herübergehen, seht ihr, hier entsteht der zweite Winkel. In diesem Fall mit -120° angegeben. Wir können aber +360° weiter gehen und wir erhalten 240°. Lasst uns das rechnerisch festhalten. Wir notieren also die Identität: cos(x) ist gleich cos(-x). Und jetzt hatten wir gesehen, hier soll -0,5 rauskommen. Das heißt für cos(x) setzen wir jetzt die -0,5 ein. Und jetzt ziehen wir hier den Arccosinus und schreiben dann hin cos^(-1)(-0,5), dann das Ist-gleich und da soll dann -x rauskommen. Und um das Minus wegzubekommen, multiplizieren wir mit -1. Dann erhalten wir -cos^(-1)(-0,5) ist gleich x. Den cos^(-1)(-0,5) hatten wir hier schon ausgerechnet mit 120°, das heißt wir setzen die jetzt hier ein. Und das Minus das bleibt hier vorne stehen. Diese Berechnung können wir übrigens auch abkürzen, in dem wir ganz einfach nur die Identität aufstellen und dann unseren Winkel für das x einsetzen, also 120° wird für x eingesetzt. Und dann sehen wir cos(120°) gleich cos(-120°) und wir wissen, dass das hier unser x_2 sein muss. Wir hatten ja gesagt wir sind im Intervall 0° bis 360° und wir wissen, dass wir stets einen Kreis weitergehen können, also +360° rechnen dürfen. Das heißt wenn wir jetzt auf -120° 360° herauf rechnen, kommt 240° heraus. Hier haben wir natürlich die Identität cos(x) ist gleich cos(x+360°) genutzt. Und so sind wir auf 240° gekommen. Das heißt im Intervall von 0° bis 360° haben wir für cos(x) gleich -0,5 zwei Ergebnisse. Zum einen x_1 gleich 120° und zum anderen x_2 gleich 240°. Und wenn wir jetzt das Intervall nicht mehr beschränken, dann müssen wir hier noch den Periodizitätssummanden herauf addieren mit k*360°. Und hier unten genauso.
Wir hatten jetzt also einmal sin(x) berechnet und einmal cos(x) und sind auf die entsprechenden Lösungen x_1 und x_2 jeweils gekommen, wobei wir hier hinten immer den Periodizitätssummanden eintragen mussten um die Periode zu berücksichtigen. Und da hatten wir dann gesagt, wir setzen für keine ganze Zahl ein und so erhalten wir dann hier einen Winkel, der dann auch den Sinuswert 0,5 hat. Was passiert jedoch, wenn wir hier drin jetzt nicht nur ein x haben, sondern ein, zum Beispiel, 2*x. Was passiert dann mit unserer Lösung? Und das wollen wir kurz berechnen. Als erstes ziehen wir wieder den Arcussinus. So erhalten wir hier links 2*x und rechts sin^(-1)(0,5). Den berechnen wir wieder mit dem Taschenrechner. „Shift“ + „Sinus“ + „0,5“ ergibt 30°. Und jetzt müssen wir noch durch 2 dividieren, damit wir x links alleine stehen haben und wir erhalten x gleich 15°. Das heißt durch diese 2*x hat sich unsere Lösung verändert. Die vorige Lösung war bei sin(x) gleich 0,5 für x_1 gleich 30° und jetzt haben wir 15° erhalten. Also durch die 2 hat sich unser voriges Ergebnis halbiert. Und schauen wir wie das graphisch aussieht. Das ist unser sin(x). Und wir sehen bei 30° haben wir Sinuswert 0,5. Und stellen wir jetzt sin(2x) ein, dann schwingt unsere Sinuskurve doppelt so schnell und wir haben jetzt Sinuswert 0,5 nicht mehr bei 30°, sondern bei der Hälfte 15°. Und wir sehen außerdem, dass sich die Periode ändert. Die Periode war ja bei sin(x), also bei der türkisenen Funktion hier, ist 360°. Also die Schwingungsdauer von 0° bis 360°. Und jetzt haben wir sie durch sin(2x) halbiert, weil sie jetzt zweimal so schnell schwingt. Das heißt diese Periode hier geht nur bis 180°. Wollen wir jetzt also unsere Lösung hier verallgemeinern, nicht nur für 15°, sondern auch für alle anderen Werte, dürfen wir jetzt nicht +k*360° heranschreiben, sondern +k*, richtig, 180°. Und dann haben wir hier die allgemeingültige Lösung für x_1. Und wie berechnen wir also diesen Wert hier hinten? Bzw. den gesamten Periodizitätssummanden? Wir müssen ganz einfach diesen Wert hier vorne, vor dem x berücksichtigen bei den 360°. Denn wenn wir uns hier überlegen, sin(x) heißt ja eigentlich sin(1*x) und dann können wir hierhin schreiben, das ist 360°/1. Das heißt allgemein können wir hierhin schreiben b*x und ersetzen die 1 mit einem b und hier dann ebenfalls. So erhalten wir also immer unseren Periodizitätssummanden, indem wir 360° durch den Faktor vor unserem x dividieren. Also bei sin(2*x) wissen wir dann 360°/2 sind 180°. Die Periode beträgt also 180° und nicht mehr 360°. Und wir sehen, stellen wir hier mal den Wert von 3 ein, 360°/3 sind 120°, das heißt wir haben jetzt hier für unsere Schwingung eine Periode von 0° bis 120°. Stellen wir die 4 ein. 360°/4 sind 90°. Und wir sehen die erste Schwingung geht bis 90°. Und für Werte unter 1, wo unser Graph gestreckt ist. Nehmen wir 0,5. 360°/0,5 sind 720°. Und wir sehen von 0° bis 360° ist nur die halbe Schwingung und hier hinten geht es weiter bis 720° und damit ist dann unsere Schwingung einmal vollzogen. Also eine Periode. Gut, schauen wir uns im nächsten Teil an was wir noch beachten müssen.

Wir hatten ja in den trigonometrischen Funktionen gelernt, dass wir mit diesem Wert hier, der auf unseren Winkel herauf addiert wird, den Graphen nach links und rechts verschieben können. Also wenn wir hier jetzt +10° rechnen, verschieben wir den Graphen von 180° auf 170° an der Stelle. Oder hier von 0° auf -10°. Und wenn wir hier jetzt -20° beispielsweise rechnen, verschieben wir den Graphen von 0° auf 20° an dieser Stelle. Woran liegt das? Betrachten wir uns dazu um das zu klären, nur diese eine Stelle hier, wo der Winkel 0° ist. Und dann haben wir für sin(x) eine Nullstelle. Also sin(0°) ist 0. Wir merken uns also, wenn wir sin(x) haben und das soll 0 sein, dann ist ein richtiger Wert die 0°. Also sin(0°), wie es hier steht, ist 0. Wenn wir jetzt sin(2x) hätten und das soll 0 sein, dann wäre die Lösung für x immer noch 0°. Denn 2*0° sind 0° und dann haben wir wieder sin(0°) gleich 0. Wenn wir jetzt bei sin(x) hier etwas herauf addieren, sagen wir also sin(x+10°), die wir uns gerade graphisch angeschaut hatten, dann fragt sich, wann wird das hier drin 0. Und das ist ganz einfach, wenn x gleich -10° ist, dann haben wir -10°+10° ist 0°, also dann haben wir sin(0°) ist gleich 0. x muss also, richtig, -10° sein. Und hier erkennen wir den Zusammenhang, wenn wir +10° rechnen, verschieben wir den Graphen um -10° nach links. Also graphisch: Wir rechnen jetzt +10° und wir haben diese Nullstelle -10° nach links verschoben. Rechnen wir als nächstes -90° und wir haben den Graphen um +90° nach rechts verschoben. Hier wäre x-90° und x_1 wäre 90°. Und was passiert jetzt, wenn wir vor das x noch einen Faktor schreiben? Aus dem Beispiel 2. Was müssen wir jetzt hier für einen Wert einsetzen, damit in der Klammer 0° herauskommt. Und richtig, das ist 45°. Denn 2*45° sind 90°. Minus 90° und wir haben 0°. Und dann wäre es wieder sin(0°) gleich 0. Das heißt wie wir sehen, dieser Faktor hier vorne verändert unsere Nullstelle. Wir haben jetzt nicht mehr die 90° als Nullstelle, sondern die 45°. Schauen wir uns das graphisch an. Die -90° hatten wir bereits eingestellt und dann unseren Graphen von 0° auf 90° verschoben. Und jetzt haben wir diesen Faktor hier vor dem x und stellen diesen auf 2. Und ihr seht wir verlassen unsere 90°, unsere Nullstelle hier und verschieben diese auf 45°. Und das ist eine Ergänzung zur Lektion „Allgemeine Sinusfunktion“, denn da hatten wir nur behandelt, dass dieser Faktor hier vorne 1 war und wir hatten gesagt, mit jedem Grad den wir hier abziehen oder herauf addieren, verschieben wir den Graphen um 1° nach links oder nach rechts. Jetzt aber ganz wichtig, dieser Wert hier vorne vor dem x, beeinflusst wie weit wir den Graphen verschieben. Wenn wir jetzt also 2x haben, dann müssen wir, um den Graphen 1° auf der x-Achse nach rechts zu verschieben jetzt 2° gehen. Und wir sehen, die Nullstelle ist dann nicht bei 90°, sondern 90°/2 ist 45°, also hier bei 45°. Das bitte auch merken! Und allgemein können wir das hier festhalten, indem wir hier die Variablen einsetzen. Für die 2 das b und für die -90° das c. Löschen wir das hier oben. Und wenn wir jetzt die Nullstelle haben wollen, die erste, die ja ursprünglich bei 0° lag, dann müssen wir das hier drin also 0° setzen und stellen um: -c auf die rechte Seite und dann noch durch b und wir erhalten für x -c/b. Und dann erkennen wir, wo die erste Nullstelle ist. Haben wir also eine Gleichung wie sin(3x-90°), dann wissen wir, die Nullstelle liegt bei -c/b, also c sind unsere -90° und b sind unsere 3. Und jetzt Minus und Minus ergibt Plus. Und 90°/3 sind 30°. So wissen wir also bei sin(3*x-90°) haben wir unsere Nullstelle bei 30°. Schauen wir uns das graphisch an: Tragen wir als erstes die -90° ein, wir verschieben den Graphen um 90° nach rechts, weil hier eine 1*x steht, aber wenn wir jetzt hier die 3 einsetzen, sehen wir, stauchen wir den Graphen entlang der x-Achse und unsere Nullstelle ist von 90° auf 30° gelaufen. Schaut nochmal hier bei dieser Stelle bei 90°. Jetzt erhöhen wir den Wert und sie geht auf 30° bei 3*x. 90°/3 sind 30°, deswegen haben wir hier die 30°. Und die Periode ist jetzt, richtig, 360°/3 sind 120°, das heißt von 30° + 1*120°. Wir kommen auf 150°. Wir können jetzt hier also noch die Periode eintragen +k*120° und schon hätten wir die erste Lösung für diese Aufgabe. Um die zweite Lösung herauszubekommen, unser x_2 könnten wir uns jetzt eine Identität zu Hilfe nehmen, wir können aber auch folgendes machen. Da wir ja wissen, dass der Sinusgraph bei 0°, 180° und 360° seine Nullstellen hat, können wir auch festlegen, der Sinusgraph hat, solange er nicht verschoben wurde nach oben oder unten, bei der halben Periode wieder eine Nullstelle. Bei 0°, wir gehen die Schwingung hier entlang, und stoßen bei 360° wieder auf die 0° sozusagen. Auf die Nullstelle. Und wir wissen, wenn wir den halben Weg gehen, also die halbe Periode, dann haben wir hier ebenfalls eine Nullstelle. Wenn wir jetzt also die Periode verändern auf 120°, wissen wir, bei 60°, also bei der halben Periode ist ebenfalls eine Nullstelle. Genau dieses Wissen können wir jetzt anwenden. Und nicht vergessen, wir hatten ja unseren Graphen mit -90°, also um 30° nach rechts verschoben. Dadurch verschiebt sich natürlich jede Nullstelle um 30° nach rechts. Das heißt hier für unseren Graphen könnten wir die halbe Periode nehmen und dann x_2 bestimmen. Schreiben wir also mal hin x_2 gleich k*120°. Und jetzt wissen wir die Hälfte von 120° sind 60°. Und wir haben unseren Graphen um 30° nach rechts verschoben. Das heißt wir können das so darstellen: 60° + k*120° wäre die nächste Periode und die Verschiebung um 30° nach rechts addieren wir noch darauf und wir erhalten 90°. Und wie wir sehen, bei 30° fängt die Periode an. Die halbe Periode läuft bis 90° und anschließend gehen wir bis 150°, denn 150° ist ja 30°+120°. Und hier drüben 210°, die nächste Nullstelle ist ja 90°+120° und so weiter. Bei unserer Beispielaufgabe werdet ihr übrigens feststellen, dass wir die beiden Lösungen in einer Lösung zusammenfassen können. Dazu werfen wir nochmals einen Blick auf unseren Graphen und sehen, dass er ja alle 60° eine Nullstelle hat. 30°+60° sind 90°. 90°+60° sind 150°. +60° sind 210° und so weiter. Daher können wir auch festhalten, nicht x_1 und x_2, sondern tatsächlich nur x mit der Lösung 30°+k*60°. Denn durch diese k*60° laufen wir auch alle anderen Vielfachen von x_1 und x_2 ab. Ihr seht also, mit dieser Lösung sind die beiden hinfällig. Gut, das heißt jetzt wisst ihr wie man diesen Typ von Gleichung berechnen kann, insbesondere mit Periodizitätssummanden. Also ihr wisst jetzt, dass wir die Periode bestimmen, indem wir 360°/b, also dem Faktor vor dem x dividieren. Und übrigens Periode kürzen wir mit T ab. Und so können wir hieraus eine allgemeine Lösungsformel erstellen. Unsere Nullstelle, die erste 30°, erhalten wir allgemein mit der Formel -c/b. Das können wir jetzt hier einsetzen. Und hier hinten unsere Periode, die können wir ersetzen mit 360°/b, wobei wir, wie wir gerade gesehen haben, statt den 360° die halbe Periode mit 180° angeben dürfen. Wir können also festhalten, beim Gleichungstyp sin(b*x+c) gleich 0, haben wir die allgemeine Lösungsformel -c/b + Periodizitätssummand k*180°/b.
Wir merken uns also bei diesem Typ von Gleichung haben wir die erste Nullstelle bei -c/b und die Periodenlänge ergibt sich stets aus 360°/b. Jetzt stellt ihr euch vielleicht die Frage: Na, wir hatten ja die allgemeine Sinusfunktion, da gab es ja noch weitere Werte, noch weitere Variablen, die die Sinusfunktion beeinflusst haben. Zum einen der Faktor hier vor der Sinusfunktion, mit der wir den Graphen entlang der y-Achse strecken bzw. stauchen können. Und dann noch hier hinten das allgemein d genannt wird, mit dem wir den Graphen nach oben oder nach unten verschieben konnten. Beziehen wir die beiden jetzt noch ein und rechnen eine Aufgabe damit.

Betrachten wir uns also die Nullstellen noch etwas genauer. Als erstes halten wir fest, indem wir den Graphen strecken oder stauchen verändern wir nicht die Nullstellen, wie ihr hier gut sehen könnt. Sie bleiben immer noch bei 0°, 180° und 360°. Addieren wir jedoch hier einen Wert herauf, seht ihr, ist die Nullstelle nicht mehr bei 360°, sondern hier jetzt bei 0,5 bei 330°. Das also verändert jetzt unsere Nullstelle. Und das können wir jetzt auch hier gerne ergänzen. Wir haben hier noch unser d. Und dann müssen wir diese Gleichung hier noch ausrechnen. Wir ziehen das d auf die rechte Seite. Ziehen jetzt den Arcussinus auf beiden Seiten erhalten damit b*x+c gleich sin^(-1)(d). Jetzt subtrahieren wir noch das c auf die rechte Seite und dividieren noch durch b. Und schon haben wir eine allgemeine Formel mit deren Hilfe wir sofort aus dieser Gleichung die Nullstelle berechnen können, ohne diese einzelnen Schritte. Und zum Vergleich. Davor hatten wir ja das d nicht, da sah die Formel so aus. Da das d hinzugekommen ist, müssen wir es hier mit sin^(-1)(d) berücksichtigen. Berechnen wir noch ein Beispiel: sin(2*x+30°) und dann noch -0,5 ist gleich 0. Wir suchen also die Nullstelle dieser Funktion. Also als erstes schreiben wir unsere Gleichung noch einmal allgemein da hin: sin(b*x+c) und dann noch +d gleich 0. Und hier sehen wir schon. Hier ist ein Minus, hier ist ein Plus. Die -0,5 schreiben wir so. Natürlich könnten wir jetzt auch die -0,5 hier rüber addieren, dann den Arcussinus ziehen und das über diesen Weg berechnen, oder wir können, was wir jetzt auch machen, unsere neue Formel nehmen für die Nullstelle und können jetzt hier die Werte einsetzen für c, d und b. c ist 30°, das d sind -0,5. Und da ja ein -d steht, heißt es Minus und Minus ergibt Plus. Also können wir hier gleich eine 0,5 eintragen. Und das b, das ist die 2. Und das rechnen wir jetzt aus, sin^(-1)(0,5); „Shift“ „sin“ von 0,5 ist gleich. Jetzt -30° und wir erhalten 0°. Und 0°/2 ist 0°. Das heißt wir haben unsere Nullstelle bei 0°. Überprüfen wir diese Gleichung graphisch. Wir tragen also 2x, 3° und die -0,5 ein. Hier sind die 2x. Jetzt die +30° und jetzt noch die -0,5. Und wir sehen tatsächlich die Nullstelle ist bei 0°. Das heißt also mit dieser Formel sind wir recht schnell auf das Ergebnis gekommen, aber wie gesagt, wir hätten genauso gut auch diesen Term hier umstellen können in mehreren Rechenschritten und wären so auch auf 0° gekommen. Und gut natürlich, wenn wir das Ergebnis allgemein machen wollen auf ein unbeschränktes Intervall, dann müssten wir jetzt noch die Periode bestimmen. Plus k mal Periode. Und die Periode ergibt sich ja aus 360° durch diesen Faktor hier, durch b. Und 360°/2 sind 180°. Das wäre also die erste NST, also Nullstelle. Und schauen wir in der Graphik: Hier ist die erste Nullstelle. Jetzt mit der Periode +180° kommen wir hier zur zweiten Nullstelle bei 180° und +180°, dann sind wir hier bei 360°. Jetzt fragt sich noch, wie kriegen wir hier die zweite Nullstelle raus, die ja offensichtlich bei 60° ist. Und die Nullstelle wollen wir rechnerisch bestimmen, nicht nur graphisch. Wie machen wir das also? Die erste Nullstelle hatten wir ja soeben berechnet mit 0° und jetzt können wir eine der Identitäten nehmen um die zweite Nullstelle zu ermitteln. Und eine Identität für den Sinus wäre sin(α) gleich sin(α-180°). Graphisch heißt das, am Funktionsgraphen, wenn wir jetzt hier von 0° α, also zum Beispiel 30°, nach rechts gehen. Dann haben wir hier 0,5. Und genauso gut können wir von 180° -α, also -30° nach links gehen und dann haben wir hier 0,5, denn dieser Teil des Graphen ist symmetrisch. Das heißt wir hatten jetzt unsere Nullstelle mit 0°. Nehmen wir das hinten gerade weg und wir wollen jetzt diese Identität nutzen. Wir haben jedoch ein kleines Problem, denn hier ist ein Winkel angegeben. Und dieser Winkel ergibt sich jetzt aus diesem Term hier. Das heißt wir setzen jetzt nicht α ein, sondern 2x+30°. Und dann müssen wir auch hier für dieses α 2x+30° eintragen. Und aufpassen, hier die Klammern setzen, weil hier steht ein Minus vor der Klammer, das heißt wenn wir jetzt die Klammer auflösen, dreht sich hier das Vorzeichen. Das heißt wir erhalten -2x-30°. Und jetzt können wir das hier drin ausrechnen: 180°-30° sind 150°. Und wir hatten ja jetzt unsere Nullstelle mit x_1 gleich 0° ausgerechnet und dieses x_1 setzen wir jetzt hier ein. Hier 0° und hier ebenfalls 0°. Dann rechnen wir die beiden Terme aus. Das sind hier 30° und das ergibt 150°. Das heißt sin(30°) hat den gleichen Wert wie sin(150°). Doch dieses Verhältnis gilt für sin(x), also für die unveränderte Sinusfunktion: sin(30°) hat den Wert 0,5 und hier sin(150°) hat ebenfalls den Wert von 0,5. Unsere Funktion wurde jedoch verändert mit 2*x+30°. Und das müssen wir jetzt berücksichtigen, denn wir kommen wir jetzt auf 150°, was müssen wir bei unserer Formel 2*x+30° einsetzen?! Schreiben wir uns die hier runter. Und dann wissen wir: 150°-30° sind 120°. Durch 2 sind 60°. Also wenn wir hier 60° einsetzen, dann erhalten wir 2*60° sind 120°. Plus 30° sind 150° wie ihr seht. Also unsere zweite Nullstelle. Wie wir hier im Graphen sehen können. 0° war die erste, 60° ist die zweite. Und so konnten wir also über die Identität sin(α) gleich sin(180°-α) und dem Einsetzen der Formel, die den Winkel ja schließlich ergibt uns den korrespondierenden Winkel für den gleichen Sinuswert ausrechnen und mussten dann noch herausfinden, welches x eingesetzt werden muss, damit dieser Winkel entsteht. Und so sind wir dann auf die Nullstelle 2 mit 60° gestoßen. Und natürlich, jetzt können wir wieder den Periodizitätssummanden hinschreiben. Hier und hier. Und schon haben wir beide Lösungen. Wem das übrigens zu kompliziert war mit dem Einsetzen der Formel für den Winkel, der kann auch hier etwas verkürzen. Lässt die Identität stehen und jetzt nehmen wir uns den Sinusterm hier runter, setzen unsere Nullstelle ein, also 0° für x und wir erhalten sin(30°) und das ist unser α. Also hier brauchen wir nicht mehr den Term 2x+30° eintragen, sondern wir können direkt 30° eintragen. Und dann genauso hier drüben. Dann hier die 150° berechnen. Und an der Stelle genau das gleiche, jetzt müssen wir wieder sehen, wie kommt 150° bei der Formel 2x+30°. Und das hatten wir gesehen, nur wenn x 60° ist, dann erhalten wir hier drin 150°. Also ist die Nullstelle 60°. Wie gesagt, das ist das gleiche wie vorher, nur hier haben wir etwas verkürzt, indem wir nicht die Gleichung durchgerechnet haben, sondern gleich den Winkel in die Gleichung eingesetzt haben und dann mit dem fertigen Winkelwert hier die Identität gebildet haben. Und dann hier über den Term, der den Winkel bestimmt die 60° errechnen konnten.
Wenn ihr dann eure eigenen Aufgaben berechnet, könnt ihr eure Ergebnisse überprüfen mit einem Programm auf echteinfach.tv. Das zeigt euch die Nullstellen der Sinusfunktion an. Hier stellt ihr also euren Graphen ein mit den entsprechenden Werten und hier rechts seht ihr dann die jeweiligen Nullstellen angegeben und den Periodizitätssummanden. Und hier sind auch die ersten beiden Nullstellen eingezeichnet. Also wie gesagt, nutzt dieses Programm um eure Aufgaben auf Richtigkeit zu überprüfen. Und achtet bitte darauf, falls ihr mal kein Ergebnis bekommt, dann kann es sein, dass ihr auch keine Nullstelle habt, dann sind die Nullstellen nicht definiert. Wenn der Graph also die x-Achse nicht berührt.
Gut, jetzt fragt sich der ein oder andere noch: Wir haben ja jetzt kennen gelernt, wie man die Nullstellen berechnet bei dieser Art der Funktion bzw. diese Art der Gleichung, was passiert jetzt, wenn wir hier hinten keine 0 stehen haben, sondern zum Beispiel eine 3. Wie können wir dann diese Gleichung berechnen? Und hier formen wir einfach um, indem wir die 3 hier rüber subtrahieren, denn dann steht dort unser Sinusterm +d-3 ist gleich 0. Das heißt d und -3 verschmelzen zu einem konstanten Wert und dann können wir von dieser Form wieder die Nullstelle berechnen. Und wenn unser a hier nicht 1 ist, sondern einen anderen Wert hat, dann können wir das a auflösen, indem wir die gesamte Gleichung durch a dividieren. Dann fällt es hier also weg. d/a steht dann hier und 0/a ergibt wieder 0. d/a ergibt wieder eine Zahl und dann können wir auch von dieser Sinusfunktion die Nullstelle berechnen. Ihr seid also nunmehr in der Lage, alle Gleichungen dieses Typs zu berechnen. Schauen wir uns im nächsten und letzten Teil an, ob wir Gleichungen mit Cosinus und Tangens genauso lösen können.

Wir haben uns jetzt also angeschaut wie wir diese Gleichung für den Sinus lösen. Als nächstes wollen wir den Kosinus und den Tangens untersuchen. Legen wir mit dem Kosinus los. Das ist die Kosinusschwingung unverändert, also cos(x) und jetzt schauen wir, wir hatten ja bereits in der Lektion zu den allgemeinen Kosinusfunktionen gesehen, dass wir hier auch die einzelnen Variablen verändern können. Der Stauchungsfaktor nach oben und unten. Stauchung und Streckung links und rechts entlang der x-Achse. Verschiebung nach links und rechts und Verschiebung nach oben und unten. Und wie ihr seht, wenn wir jetzt die Sachen kombinieren, zum Beispiel die Periode halbieren 2*x, dann hier 90° einstellen, wodurch wir den gesamten Graphen um 45° nach rechts verschieben, nach oben verschieben um 0,5. Also ihr seht, im Prinzip ist es genau das gleiche wie die Sinusfunktion. Nur was wir gesagt hatten: Kosinus ist ja die Sinusfunktion um 90° verschoben. Das heißt wir können hier aber auch wie beim Sinus vorgehen um die Sache zu berechnen. Nehmen wir uns gleiche diese Beispielaufgabe hier und berechnen die beiden Nullstellen, die hier schon angegeben sind mit 105° und 165°. Also hier 105° und hier 165°. Wir nehmen also diese Gleichung und setzen sie 0. Und hier steht sie: 1*cos(2*x-90°) + 0,5. Und jetzt formen wir um, wie wir es schon beim Sinus gemacht haben. 0,5 geht auf die rechte Seite. Die 1 können wir hier vorne wegnehmen. Und jetzt ziehen wir den ArcusKosinus und erhalten 2x-90° gleich cos^(-1)(-0,5). cos^(-1)(0,5) beträgt 120° und jetzt formen wir noch um: +90°, dann haben wir hier 210° und jetzt noch durch 2 und wir haben als Nullstelle x gleich 105°. Und diese Nullstelle befindet sich hier x gleich 105°. Und die Periode ist durch die 2 hier vorne, 360°/2, also 180°. Also +k*180°, unser Periodizitätssummand. Und wie kommen wir jetzt auf die 165° als zweite Nullstelle? Das ist die erste Nullstelle und um die zweite zu berechnen bedienen wir uns wieder einer Identität. Und schauen wir was wir für Identitäten schon kennen gelernt hatten und wählen dort aus und zwar cos(α) gleich cos(-α). Und genau diese Identität benutzen wir jetzt um x_2 zu bestimmen. Und wie wir es schon beim Sinus gemacht hatten α können wir jetzt nicht einfach als x schreiben, sondern da steckt dieser Term dahinter. Also aus diesem Term ergibt sich unser Winkel. Das heißt wir müssen hier reinschreiben 2*x-90°. Das ist unser Winkel. Und hier drüben ist auch α, so schreiben wir also auch 2x-90° hier rein. Und jetzt haben wir ein Minus vor der Klammer, das heißt lösen wir die Klammer auf, dann ändern sich die Vorzeichen der Elemente. 2x wird zu -2x. Und hier -90° wird zu 90°. Und schon haben wir unsere Identität ausgedrückt mit dieser Gleichung. Und der eine Winkel ist 105°, den setzen wir jetzt hier ein. Hier für dieses x und hier drüben für dieses x. Dann erhalten wir links 2*105° sind 210°. Minus 90° sind 120°. Und hier rechts -2*105° sind -210°. Plus 90° sind -120°. Also genau unsere Identität cos(α) gleich cos(-α). Und jetzt fragt sich, wie kommen wir auf -120° bei 2x-90°, dann soll hier drinnen -120° herauskommen. Wir schreiben also hin 2*x-90° soll -120° sein. Wir addieren 90° herüber, erhalten -30°. Und jetzt noch durch 2 und wir erhalten x gleich -15°. Und das ist eine weitere Nullstelle. Schauen wir nochmals auf unsere Graphik und hier ist die Nullstelle bei -15°. Für diese Aufgabe wollen wir die zweite Nullstelle jedoch positiv angeben, also an der Stelle hier und wir wissen ja, die Periode ist k*180°, das heißt wir rechnen auf -15° die 180° herauf, also -15°+180° und kommen auf 165°. Also hier +180° und dann erhalten wir eine positive 165°. Und das ist unsere zweite Nullstelle, die wir hier angeben wollten. Und natürlich könnten wir jetzt hier den Periodizitätssummanden hinzufügen: +k*180°. Und genauso hier drüben: +k*180°. Und das ist die Lösung unserer Aufgabe. Ihr seht die Berechnung für Kosinus verläuft genauso wie die Berechnung beim Sinus, nur dass wir hier eine andere Identität wählen.
Beim Tangens haben wir auch die allgemeine Tangensfunktion mit a*tan(b*x-c)+d. Und diese wollen wir Null setzen. Wir suchen also auch hier die Nullstellen. Und jetzt nehmen wir ein Beispiel und das soll lauten: 0,3*tan(1,5x-90°)+0,3. Gucken wir uns diese Funktion graphisch an. Als erstes 0,3*tan. Dann unsere 1,5. Jetzt die -90°. Und dann noch die +0,3. Und wir erhalten die Nullstellen angezeigt mit 30° und 150°. Ihr könnt jetzt beispielsweise gleich mal die Probe machen, ob das wirklich stimmt. 30° einsetzen für x. 1,5*30° sind 45°. Minus 90° sind -45°. tan(-45°) das ist -1. -1*0,3 sind -0,3. Plus 0,3 sind 0. Also tatsächlich: 30° eingesetzt in diese Gleichung und wir erhalten 0. Wie berechnen wir jetzt jedoch die 30°? Und wie auch schon bei Sinus und Kosinus formen wir unsere Gleichung um und erhalten so das Ergebnis. Im ersten Schritt 0,3 auf die rechte Seite. Im nächsten Schritt durch 0,3, den Faktor hier vorne. Da fällt der Faktor hier weg und hier erhalten wir eine -1. Und jetzt ziehen wir den Arcustangens und erhalten 1,5*x-90° ist gleich tan^(-1)(-1). Das in den Taschenrechner eingegeben: „Shift“, „Tangens“, „-1“ und das ist -45°. Jetzt noch +90° rechts rüber, dann erhalten wir hier 45° und jetzt noch durch 1,5 und wir haben das x alleine mit 30°. Und schon haben wir die die Nullstelle berechnet: x gleich 30°. Und wie kommen wir jetzt auf die 150°? Da schauen wir uns nochmals die Tangensfunktion unverändert an. Da sehen wir, dass die Periode von 0° bis 180° geht und nicht bis 360°, wie bei Sinus und Kosinus. Das heißt tan(0°) ist gleich tan(180°). Und wenn wir den Faktor hier verändern von dem x. Zum Beispiel hier 2, dann halbieren wir also die Periode von 180° auf 90°. Bei unserem Graph steht hier eine 1,5. Das heißt wir müssen die ganze Periode durch 1,5 dividieren. Und 180°/1,5 ist, richtig, 120°. Das heißt 30°+120° und wir kommen auf 150°. Wir können also festhalten. x_2 ergibt sich aus 30°+120° gleich 150°. Und dann jetzt noch den Periodizitätssummanden. Und da sehen wir, wir haben hier k*240° stehen. Die 240° sind entstanden, indem wir 360°/1,5 gerechnet haben. Jedoch wissen wir, die Periode des Tangens beträgt ja nur 180°, das heißt wir müssen 180°/1,5 rechnen und kommen auf eine Periode von 120°. Und damit können wir die beiden Ergebnisse hier unten zusammenfassen zu einem Ergebnis. Denn die zweite Nullstelle ergibt sich, wenn wir bei 30°+k*120° k gleich 1 einsetzen. 1*120°+30° ist 150°. So laufen wir also alle Nullstellen mit der +120° ab, beginnend bei 30°. 30°+120° ist 150°. Plus 120° ist 270°. Plus 120° ist 390° und so weiter. Das heißt unsere Lösung x_1, x_2 fassen wir zusammen zu x gleich 30°+k*120°. Und das ist die Lösung dieser Gleichung.
Ihr seid nun also in der Lage diese Art von Gleichung zu lösen. Auch wenn hier hinten keine 0 steht, sondern ein anderer Wert. Sobald ihr also eine Gleichung in diese Form bringen könnt, könnt ihr sie auch lösen. Es gibt aber auch Gleichungen, die weitaus schwieriger sind. Wie zum Beispiel 2*sin(x)*cos(x)+cos(x) gleich 0. Oder so etwas wie sin(x)*cos(20°)+cos(x)*sin(20°) gleich 1. Um so etwas zu lösen brauchen wir die sogenannten Additionstheoreme. Was das ist und wie wir damit umgehen schauen wir uns in der nächsten Lektion an.