TRI07: Einheitskreis

Hallo liebe Schüler und willkommen zur nächsten Lektion! Wie wir bald sehen werden, lassen sich Sinus, Kosinus und Tangens nicht nur zur Dreiecksberechnung einsetzen, sondern spielen auch eine wichtige Rolle in der Physik, aber auch in der höheren Mathematik. Um also diesen Schritt weiter zu gehen, benötigen wir ein neues Hilfsmittel, und dieses Hilfsmittel nennt sich „Einheitskreis“. Mit Hilfe des Einheitskreises ist es uns möglich, Sinus, Kosinus und Tangens für beliebige Winkel zu bestimmen! Also die Winkel können einen beliebigen Wert haben, und wir können Werte für Sinus, Kosinus und Tangens bestimmen. Wie das geht, das erfahrt Ihr jetzt.
Erinnern wir uns an die vorigen Lektionen: Wir hatten bereits die Winkel von 0 bis 90 Grad angeschaut und für diese Winkel die Sinus- und Kosinuswerte bestimmt. Dafür hatten wir die Hypotenuse auf 1 gesetzt, und damit konnten wir hier den Sinuswert ablesen und hier an der Seite den Kosinuswert. Und für Winkel über 90 Grad, die hatten wir ja auch schon kennen gelernt, und wir hatten gesehen, wir benutzen ein Referenzdreieck, einen Referenzwinkel auf dieser Seite, um dann auch Sinus und Kosinus zu bestimmen. Hier war bloß darauf zu achten, dass der Wert des Kosinus negativ wird, da er von der rechten Seite, die positiv ist von 0 bis 1, auf die linke Seite wechselt von 0 bis -1. Wie Ihr seht, haben wir von 0 bis 90 Grad einen Teil des Kreises, von 0 bis 180 Grad einen Halbkreis, und jetzt können wir tatsächlich über 180 Grad gehen und einfach den Kreis weiter zeichnen. Das sieht dann so aus.
Und wie wir bei der Lektion „Kreise“ gesehen hatten, können wir in einem Kreis alle möglichen Winkel abtragen, also von 0 Grad, über 90 Grad, über 180 Grad, über 270 Grad bis 360 Grad, und nach 360 Grad können wir hier auch mit 361 Grad weiter machen; addieren wir also 360 Grad hier rauf, und wir sehen, auch für diese Winkel gibt es Sinus- und Kosinuswerte. Und hier zum Beispiel, 450 Grad zeigt in die gleiche Richtung wie 90 Grad. Und wenn wir wieder 360 Grad herum gehen, haben wir 810 Grad, und so weiter. Und, wie Ihr seht, der Sinuswert, trotzdem wir immer eine Runde herumgehen, bleibt konstant bei 1. Also Sinus von 90 Grad ist 1, und der Sinus von 90 plus 360, also Sinus von 450 Grad ist ebenfalls 1. Genauso verhält es sich auch mit den Kosinuswerten, der Kosinus von zum Beispiel 180 Grad ist -1, wenn wir jetzt 180 plus 360 rechnen, also nochmal eine Runde herumgehen, kommen wir auf 540 Grad. Und der Kosinus von 540 Grad ist wieder -1. Oder 900 Grad oder 1260 Grad.
Wir können also festhalten: Der Sinus von α ist das Gleiche wie Sinus von α plus 360 Grad, und das ist das Gleiche wie der Sinus von α minus 360 Grad. Und genauso für den Kosinus: Kosinus α ist das Gleiche wie Kosinus α plus 360 Grad, und ist das Gleiche wie Kosinus von α minus 360 Grad.
Nachher schauen wir uns das noch genauer an unter dem Stichwort „periodische Funktion“, aber auch bei den so genannten „Identitäten“.
Gut, zurück zu den Sinus- und Kosinuswerten über 180 Grad: Also schauen wir uns jetzt die Werte zwischen 180 und 360 Grad an. Als Erstes nehmen wir dafür die Sinuswerte:
Wir hatten ja gesagt: 0 bis 90 Grad positiver Sinuswert, 90 bis 180 Grad positiver Sinuswert, und an der Stelle nochmal zur Erinnerung: Diesen Wert, die 0,766 in dem Beispiel, bitte immer auf der y-Achse ablesen - nicht auf der x-Achse, an der können wir den Sinus nicht direkt ablesen! Immer zur y-Achse schauen und hier den Wert ablesen, der hier 0,766 ist. Erinnert Euch einfach daran, dass wir sagten: Sinus entspricht y, also der Höhe. Und wie wir sehen, wenn wir über 180 Grad gehen, sind wir auf der y-Achse in dem Bereich 0 bis -1. Konkret: -0,515. Das heißt, der Sinus von 211 Grad ist minus 0,515! Und wenn wir jetzt Richtung 270 Grad gehen, sehen wir, erreichen wir die -1. Und wenn wir jetzt weiter gehen von 270 Grad zu 360 Grad, seht Ihr: Der Sinuswert nimmt zu, also negativer Wert geht gegen 0, bis wir schließlich die 0 erreichen, bei 0 Grad beziehungsweise 360 Grad. Ihr merkt Euch also: Für Winkel von 0 bis 180 Grad haben wir einen positiven Sinuswert, und für Winkel zwischen 180 Grad und 360 Grad ist der Sinuswert negativ. Wie Ihr seht, ist der Einheitskreis ein sehr praktisches Hilfsmittel, um den Sinuswert für jeden beliebigen Winkel zu bestimmen.
An der Stelle noch der Hinweis: Warum heißt das eigentlich „Einheitskreis“? Und das sehen wir daran, einheitlich ist der Radius hier, die Hypotenuse des Dreiecks 1, also eine Einheit lang. Egal, wo wir uns befinden, der Radius des Kreises, die grüne Linie ist immer 1 lang. Deshalb „Einheitskreis“. Und, wie wir schon gesagt hatten, da die Hypotenuse 1 lang ist, können wir auch den Sinuswert immer hier an der Gegenkathete ablesen.
Und genauso können wir es auch mit dem Kosinuswert machen. Den Kosinuswert können wir, da hier die Hypotenuse 1 ist, immer an der Ankathete ablesen beziehungsweise auf der x-Achse. Kosinus 56 Grad 0,559 gerundet. Die 0,559 ist etwa hier. Gehen wir über 90 Grad, seht Ihr: Kosinuswert ist negativ. Und jetzt gehen wir über 180 Grad, seht Ihr: Der Kosinuswert ist immer noch negativ. Also erinnert Euch: Kosinuswert ablesen, von dem Punkt aus direkt auf die x-Achse schauen und dort den x-Wert ablesen. Für Sinus auf die y-Achse schauen: Was haben wir hier für einen Wert? Für Kosinus auf die x-Achse schauen: Was haben wir hier für einen Wert?
Kosinus 212 Grad ist minus 0,848! Gehen wir jetzt Richtung 270 Grad, seht Ihr: Bei 270 Grad schauen wir nach oben, und wir treffen die x-Achse bei 0. Und gehen wir jetzt über 270 Grad, wie zum Beispiel 315 Grad, treffen wir die x-Achse bei rund 0,707, hier positiv, denn wir sind ja zwischen 0 und 1! Und wenn wir jetzt auf 360 Grad gehen, haben wir einen Kosinuswert von 1.
Also auch hier ist der Einheitskreis ein sehr praktisches Hilfsmittel.
Wir merken uns: Kosinus für Winkel zwischen 0 und 90 Grad sind positiv, aber auch für Winkel zwischen 270 und 360 Grad; also alle auf dieser rechten Seite. Und der Kosinus ist negativ für alle Winkel über 90 Grad bis, richtig, 270 Grad. Bei 270 Grad haben wir 0.
Und Eure Aufgabe ist es, Euch diesen Kreis einzuprägen. Ihr müsst auf jeden Fall die markanten Punkte im Kopf haben, die da wären:
0 Grad, gehen wir über zum Sinus. Sinus von 0 Grad ist 0, denn, wenn wir nach links gucken, y-Achse haben wir 0.
Sinus von 90 Grad, hier oben, was wäre das? Richtig, 1. Denn wenn wir nach oben gehen, seht Ihr, die blaue Linie wird immer länger, bis sie die 1 erreicht. Sinus 90 Grad ist 1.
Und wenn wir jetzt zu 180 Grad gehen, was haben wir dann für einen Sinuswert? Ich hoffe, Ihr sagt jetzt nicht -1, denn es ist 0. Denn wir setzen unseren Punkt hierhin und schauen auf die y-Achse, und die hat hier die Höhe 0. Tun wir das. Ihr seht, der Sinuswert wird kleiner, und hier bei 180 Grad haben wir 0.
Nächster markanter Punkt ist hier unten, das ist bei 270 Grad. Was haben wir für einen y-Wert? Und der ist, richtig, hier auf der y-Achse -1. Wir gehen also auf die 270 Grad, Ihr seht hier schon: Der Sinuswert ist negativ, und hier unten unser Punkt liegt direkt auf der y-Achse bei -1.
Und der letzte wichtige Punkt 360 Grad, na klar, der entspricht dem Sinuswert von 0 Grad; und Sinus von 0 Grad beziehungsweise Sinus von 360 Grad – gucken wir nach links auf die y-Achse – ist 0. Wenn Ihr das beherrscht, seid Ihr schon einen großen Schritt weiter.
Und natürlich braucht Ihr das Gleiche auch für den Kosinus, das heißt, Ihr lest die Werte immer auf der x-Achse ab, denn die gibt uns die Kosinuswerte wieder:
Kosinus von 0 Grad ist 1, wir befinden uns direkt auf der x-Achse; Ihr seht, der Kosinuswert wird kleiner, also fällen wir ein so genanntes „Lot“ nach unten, und wir sehen: Hier ist der x-Wert, der Kosinuswert 0,629.
Und wenn wir jetzt auf 90 Grad gehen, treffen wir die x-Achse direkt bei 0. Das heißt, Kosinus 90 Grad – ein markanter Punkt – ist 0.
Der nächste markante Punkt ist 180 Grad. Was werden wir hier für einen x-Wert haben, beziehungsweise was werden wir hier für einen Kosinuswert haben? Und richtig, der ist -1. Setzen wir den Punkt auf 180 Grad, und Ihr seht: Der Kosinus von 180 Grad ist -1.
Wie wird der Kosinus von 270 Grad sein? Richtig, wenn wir jetzt den Punkt gleich hierhin setzen, müssen wir auf die x-Achse schauen, das heißt, wir schauen hier nach oben. Die x-Achse wird dann bei 0 getroffen. Kosinus von 270 Grad ist also 0.
Und der letzte wichtige Punkt 360 Grad, und der ist wieder 1.
Kosinus von 360 Grad hat den gleichen Wert wie Kosinus von 0 Grad, denn sie zeigen beide in die gleiche Richtung.
Gut, wenn Ihr das auch könnt, dann haben wir den nächsten großen Schritt genommen.
Ihr seid jetzt also in der Lage, Sinus und Kosinus mit Hilfe des Einheitskreises zu bestimmen.
Wenn Euch also das nächste Mal jemand fragt: Was ist der Sinus von 90 Grad? Dann stellt Ihr Euch den Einheitskreis gedanklich vor, zeichnet den Winkel ein, also 90 Grad wäre hier, und dann wisst Ihr: Es ist Sinus gesucht, und Sinus ist die y-Achse, also die Höhe. Wie hoch sind wir bei diesem Punkt? Richtig, 1.
Sinus von 90 Grad ist also 1.
Fragt man Euch „Was ist Sinus von 180 Grad?“, setzt Ihr den Punkt bei 180 Grad, jetzt ist der Sinus gefragt, der Wert auf der y-Achse, und der ist, schauen wir hier nach rechts, 0. Also ist der Sinus von 180 Grad 0.
Und für den Kosinus macht Ihr es genauso: Ihr zeichnet die 0 Grad ein, dann wisst Ihr, für Kosinus brauchen wir die x-Achse, und der x-Wert ist hier 1. Wir können also sagen: Kosinus 0 Grad ist 1.
Und fragt uns jemand nach Kosinus von 270 Grad, setzt Ihr den Winkel auf 270 Grad, und was haben wir hier für einen x-Wert? Richtig, wir schauen zur x-Achse, er ist 0. Kosinus von 270 Grad ist 0.
Das Programm, das wir hier für den Einheitskreis benutzen, findet Ihr übrigens auf echteinfach.tv, und Ihr könnt hiermit eigene Werte festlegen und Euer Wissen testen. Viel Erfolg wünscht Echt Einfach TV!

Wie wir also gerade gesehen haben, ist es uns mit Hilfe des Einheitskreises möglich, den Kosinuswert und den Sinuswert für beliebige Winkel zu bestimmen. Und wir merken uns außerdem:
Im 1. Quadranten ist Sinus positiv, Kosinus positiv,
im 2. Quadranten ist Sinus weiterhin positiv, Kosinus aber negativ,
im 3. Quadranten ist der Sinuswert negativ und der Kosinuswert negativ, also Sinus und Kosinus sind hier negativ,
und im 4. Quadranten, richtig: Kosinus ist positiv und Sinus ist negativ.
Und wie wir bereits erwähnt haben, wir haben ja hier unser rechtwinkliges Dreieck, also nehmen wir mal 45 Grad. Bei 45 Grad sehen wir: Der Kosinuswert und der Sinuswert sind gleich bei rund 0,707; gehen wir dann von 0 bis 45, können wir auch hier von 180 minus 45 auf 135 gehen, tun wir das, da haben wir auch hier 0,707 und hier -0,707; und hier haben wir auch unseren Referenzwinkel beziehungsweise das Referenzdreieck mit den 45 Grad. Und wenn wir jetzt von 180 Grad 45 weiter gehen auf 225 Grad, sehen wir, auch hier haben wir 0,707 und 0,707 – jedoch beide negativ. Aber wir sehen auch wieder unser Referenzdreieck hier mit 45 Grad. Und als nächstes gehen wir von 360 Grad 45 Grad zurück, und wir kommen auf 315 Grad. Und Ihr seht: 0,707 für Kosinus und -0,707 für Sinus. Und hier wieder unsere 45 Grad.
Wir haben also in allen vier Quadranten ein ähnliches Dreieck. Und wir wissen: Dreiecke, die zueinander ähnlich sind, enthalten die gleichen Winkel, damit auch die gleichen Seitenverhältnisse. Deshalb haben wir in jedem der vier Quadranten den gleichen Wert erzeugt für Sinus und Kosinus. Der einzige Unterschied ist: Wir haben die Orientierung geändert. Unser ursprüngliches Dreieck haben wir also als Referenzdreieck nach links gespiegelt, dadurch ist der Kosinuswert negativ geworden. Dann haben wir dieses Hilfsdreieck nach unten gespiegelt, dadurch ist der Sinus negativ geworden, und der Kosinus ist negativ geblieben. Und dann können wir sagen, haben wir dieses Hilfsdreieck nach rechts gespiegelt in den 4. Quadranten, und dann ist der Kosinus wieder positiv geworden und der Sinus negativ geblieben, denn er zeigt ja noch weiter nach unten.
Zusammengefasst können wir also sagen: Mit Hilfe dieses Referenzdreiecks ist es uns möglich, den Sinus- und den Kosinuswert für alle beliebigen Winkel zu bestimmen.
Am Einheitskreis können wir übrigens auch erkennen, welche Werte Sinus und Kosinus annehmen können. Der Sinuswert kann maximal 1 groß sein, und der kleinste Wert für den Sinuswert ist -1; und das Gleiche gilt für den Kosinus: Der größte Wert für den Kosinus ist 1, und der kleinste Wert für den Kosinus ist -1.
Dieses Lernprogramm hier findet Ihr übrigens auf echteinfach.tv. Versucht damit, Euer Wissen anschließend zu testen und schaut, ob Ihr die Zusammenhänge verstanden habt. Ihr habt übrigens hier noch die Möglichkeit, Euch nur Variablen anzeigen zu lassen, und Ihr seht: Hier, das ist immer der y-Wert, der Sinuswert, und hier, das ist immer der x-Wert, der Kosinuswert.
Und, das haben wir noch nicht gesagt, wir können ja diesen Punkt hier, den wir bisher nur mit dem Winkel beschriftet hatten, auch direkt als Punkt des Koordinatensystems beschriften, also mit x- und y-Koordinate. Das heißt, wir stellen um auf Punktkoordinaten, und wir erkennen: Dieser Punkt hat eine x-Koordinate, und zwar hier, und der Punkt hat eine y-Koordinate, und zwar hier beziehungsweise hier die Höhe. So können wir an diesem Punkt Kosinus- und Sinuswert ablesen. Also blenden wir die Dreieckseiten aus, und wir sehen an diesem Punkt x-Koordinate ist 0,588, das ist hier unten, und y-Koordinate ist 0,809, das ist hier links. Das heißt, wenn wir jetzt hier herumgehen, können wir auch hier an der Punktkoordinate bei 141 Grad sehen: Der Kosinuswert ist -0,777 gerundet, und der Sinuswert ist rund 0,629. Und auch wenn wir hier auf 180 Grad gehen:
x-Wert ist -1, also Kosinuswert ist -1 und y-Wert des Punktes ist 0, also Sinuswert ist 0. Und auch hier haben wir negativen Kosinus- und negativen Sinuswert im 3. Quadranten. Und hier haben wir bei den Punktkoordinaten positiven Kosinuswert, also der x-Wert ist hier positiv, und einen negativen y-Wert, der y-Wert ist hier negativ. Also das bitte ebenfalls merken!
Schauen wir uns als nächstes den Tangens an.

Den Tangens hatten wir bereits angeschaut für Winkel bis 180 Grad, hatten gesehen, dass der Tangens Werte über 1 annehmen kann, also von 0 bis gegen Unendlich, und dass der Tangenswert bei 90 Grad, da es hier zu einer Division durch 0 kommt, nicht definiert ist. Also zur Wiederholung:
Tangens ist Gegenkathete durch Ankathete beziehungsweise Sinus durch Kosinus. Der Kosinus bei 90 Grad ist 0; 1 durch 0 ist nicht definiert.
Und wir hatten gesehen: Bei Winkeln zwischen 90 und 180 Grad ist der Tangens negativ, und bei 180 Grad 0. Auch dieses Prinzip können wir nicht nur an diesem Halbkreis darstellen, sondern auch an dem gesamten Kreis. Hier ist unser gesamter Kreis, und hier haben wir unseren 1. Quadranten, in dem alle Tangenswerte positiv sind. Also der Tangens bei 0 Grad ist ja 0 groß, wir haben also keine Steigung – wir hatten ja gesagt, Tangens kann man auch als Steigung bezeichnen -, bei 45 Grad haben wir die Steigung 1, weil Gegenkathete und Ankathete bei 45 Grad den gleichen Wert haben; und umso mehr wir Richtung 90 Grad gehen, desto größer wird der Tangens, also hier im Beispiel: Tangens von 85 Grad ist rund 11,43.
Und wenn wir Werte über 90 Grad haben, dann, wie wir jetzt hier einzeichnen können, ist der Tangens negativ. Also wir hatten ja vorhin den Tangens hier eingezeichnet, durch den Kreis können wir jetzt den Tangens hier für die negativen Steigungswerte einzeichnen. Nehmen wir Tangens von 140 Grad, der ist bei -0,839. Und auch hier gilt: Wir haben ja hier unser Referenzdreieck, wir können von 180 Grad zu 140 Grad gehen, genauso können wir von 0 Grad 40 Grad nach oben gehen und wir erhalten den gleichen Wert, jedoch positiv. Also Ihr seht: Wenn wir hier von 0 bis 40 Grad gehen, erhalten wir eine Steigung von 0,839 beziehungsweise einen Tangenswert von 0,839, und gehen wir von hier von 180 Grad 40 zurück auf 140, erhalten wir hier -0,839.
Und wenn wir jetzt über 180 Grad gehen, wie zum Beispiel 220 Grad, dann sehen wir: Hier ist der Tangens wieder positiv! Warum ist dies der Fall? Wir haben hier einen negativen Kosinuswert von -0,766, und wir haben einen negativen Sinuswert von -0,643. Um den Tangens zu bestimmen, rechnen wir Gegenkathete durch Ankathete, und hier minus durch minus ist wiederum plus. Das heißt, für Winkel im 3. Quadranten erhalten wir einen positiven Tangenswert, eine positive Steigung.
Gehen wir jetzt weiter über 270 Grad, sehen wir: Der Tangens ist negativ! Der Kosinuswert ist positiv für Winkel im 4. Quadranten, und der Sinuswert ist negativ. Gegenkathete durch Ankathete, negativ durch positiv ist wieder negativ. Im 4. Quadranten haben wir also negative Tangenswerte.
Und jetzt schauen wir uns noch die markanten Punkte an:
Bei 0 Grad haben wir einen Sinuswert von 0 und einen Kosinuswert von 1, 0 durch 1 ergibt 0, der Tangenswert ist also 0 beziehungsweise Tangenswert bei 360 Grad ist ebenfalls 0.
Gehen wir auf die 90 Grad, das hatten wir gerade erklärt, haben wir ein „nicht definiert“, also gar keinen Wert für Tangens.
Gehen wir auf 180 Grad, seht Ihr schon: Der Tangenswert ist ebenfalls 0. Wir haben keine Steigung, weil der Sinuswert, unsere Höhe, wieder 0 ist. 0 durch die -1, den Kosinuswert, ist 0. Also: Tangens von 180 Grad ist 0, keine Steigung. Und gehen wir weiter, erhalten wir positive Steigung.
Und gehen wir auf 270 Grad, haben wir wieder den Fall, dass der Tangens nicht definiert ist; denn, richtig, Kosinus ist bei 270 Grad 0, und Sinus ist -1, also -1 durch 0 ist nicht definiert.
So können wir also mit Hilfe unseres Einheitskreises die Tangenswerte für alle beliebigen Winkel bestimmen, müssen jedoch aufpassen, dass Tangenswerte nicht definiert sind bei 90 Grad und bei 270 Grad; beziehungsweise, wir können ja nochmal eine Runde herumgehen, also plus 360 Grad rechnen, dann ist der Tangens nicht nur bei 90 Grad nicht definiert, sondern auch bei 90 plus 360, also 450 Grad. Oder auch bei 810 Grad. Genauso gut können wir auch negative Werte einsetzen, 90 Grad minus 360 Grad, wir gehen zurück, wir kommen auf -270, wir haben die gleiche Position wie bei 90 Grad, also auch der Tangens von -270 Grad ist nicht definiert. Oder gehen wir auf 270 Grad, wenn wir jetzt nochmal eine Runde herumgehen, plus 360 Grad, kommen wir auf 630 Grad. Tangens von 630 Grad ist also ebenfalls nicht definiert. Oder wir können auch 270 minus 360 rechnen, und wir kommen auf -90 Grad; also Tangens von -90 Grad ist ebenfalls nicht definiert.
Und auch hier beim Tangens können wir natürlich hier anstatt des Gradwertes den Punkt eintragen. Dann haben wir auch hier den x-Wert, unseren Kosinuswert in der Punktkoordinate, und den y-Wert, unseren Sinuswert in der Punktkoordinate. Und auch hier können wir dann rechnen Gegenkathete durch Ankathete beziehungsweise y durch x: 0,946 durch 0,326 ist rund 2,904, unser Tangenswert. Und das gilt natürlich auch für die anderen Quadranten.
Und auch hier gilt: Probiert dieses Lernprogramm auf echteinfach.tv aus, um sicherer zu werden und um die Zusammenhänge besser zu verstehen.
Jetzt haben wir uns angeschaut, wie wir von dem Winkel auf den Sinus- beziehungsweise Kosinuswert kommen; jetzt stellt sich die Frage, wie können wir vom Kosinus- oder Sinuswert auf den Winkel schließen? Das schauen wir uns im nächsten Teil an.

Um also den Winkel ermitteln zu können aus Sinus- und Kosinuswert, müssen wir auf einige Dinge achten. Wir hatten ja gesehen, dass je nach Quadrant der Sinus- und Kosinuswert andere Vorzeichen haben, und das ist eindeutig! Also im ersten Quadranten sind beide positiv, im dritten Quadranten sind beide negativ, im zweiten Quadranten ist Sinus positiv und Kosinus negativ, und im vierten Quadranten ist Kosinus positiv und Sinus negativ. Wie gesagt, das ist eindeutig, und das können wir benutzen, um den Wert des Winkels zu ermitteln von 0 bis 360 Grad.
Rechnen wir hierzu eine kleine Aufgabe:
Aufgabe ist es also, den Winkel α zu bestimmen, wobei α Werte von 0 bis 360 Grad annehmen kann. Und wir wissen über den Winkel α: Der Sinus von α ist rund -0,866; und der Kosinus von α ist 0,5. Hätten wir zum Beispiel nur den Kosinuswert, würden wir, wie wir es gelernt haben, den Arcuskosinus daraus ziehen. Also cos-1(0,5) ist der Winkel α. Und geben wir das jetzt in den Taschenrechner ein, den Arcuskosinus, tippen wir also ein: SHIFT cos und jetzt die 0,5. Und wir erhalten 60 Grad. Hätten wir also nur den Kosinuswert, würden wir jetzt schlussfolgern, α muss 60 Grad groß sein. Jedoch haben wir die zweite Angabe: Sinus von α ist rund -0,866. Wenn wir jetzt also den Sinus von α, von 60 Grad eingeben, erhalten wir plus 0,866! Das heißt, da der Sinuswert hier negativ ist, kann es sich nicht um 60 Grad handeln. Wir sind also nicht im ersten Quadranten des Einheitskreises, denn dort wäre Kosinus 0,5 und Sinus plus 0,866. Jetzt wissen wir jedoch, dass der Wert -0,866 ist, also nach unten zeigt. Und da Kosinus 0,5 ist, befinden wir uns also auf der rechten Seite, also im ersten oder vierten Quadranten. Wir haben gesehen: 60 Grad kann es nicht sein, denn der Sinuswert ist positiv, dieser Wert muss für unsere Aufgabe jedoch negativ sein. Das heißt, statt von 0 zu 60 Grad zu gehen, gehen wir von 0 auf -60 Grad beziehungsweise von 360 – 60 Grad und kommen zu, richtig, 300 Grad beziehungsweise -60 Grad. Und hier haben wir immer noch unseren positiven Kosinuswert und jetzt den negativen Sinuswert. Das heißt, α ist nicht 60 Grad, wie wir bei 0,5 hätten denken können, sondern wir nehmen uns jetzt den Sinuswert und tippen diesen in den Taschenrechner ein. Und zwar bilden wir jetzt den Arcussinus von diesem Wert. Und schauen wir, was da rauskommt. Also SHIFT sin(0,866), negativ, ist rund -60 Grad. Und jetzt machen wir die Gegenprobe: Ist denn auch der Kosinus von -60 0,5? Tippen wir also ein:
cos(-60°) ist, richtig, 0,5, so wie es hier steht. Das heißt, wir können schlussfolgern, dass -60 Grad unser Wert für α ist. Und jetzt hatten wir gesagt, wir befinden uns ja in dem Kreis und wollen Winkel zwischen 0 und 360 Grad, also 0 bis 360 Grad; wären wir jetzt von 0 Grad -60 zurückgegangen, dann könnten wir das jetzt auch so darstellen: Ihr seht, der Punkt ist immer noch auf der gleichen Position, und jetzt wollen wir jedoch einen Wert zwischen 0 und 360 Grad, das heißt, wir müssen +360 Grad heraufschlagen, und -60 + 360 Grad ergibt 300 Grad. Das heißt, wir machen aus unserer -60 Grad eine 300 Grad. Und das ist die Lösung unserer Aufgabe! Machen wir noch schnell die Probe: Also tragen wir 300 Grad ein und berechnen Sinus von 300 Grad, sin(300) ist -0,866 gerundet, dieser Teil der Probe ist also richtig. Und Kosinus von 300 Grad, cos(300) ist 0,5. So haben wir also unseren Winkel α mit 300 Grad richtig ermittelt!
Wie wir soeben gesehen hatten, haben wir den Kreis benutzt, um von dem Winkel -60 Grad auf den Winkel 300 Grad zu kommen. Und damit Ihr Euch nicht jedes Mal den Kreis vorstellen müsst und dann abschätzt, wie Ihr von einem Winkel zum anderen Winkel kommt, gibt es Formeln hierzu, die man auch „Identitäten“ nennt. Für diesen Fall, den wir uns gerade angeschaut hatten, hatten wir als Winkel -60 Grad ermittelt, hatten dann gesagt, dass der Sinuswert hieraus dem Sinuswert von -60 Grad und dann einmal um den Kreis herum, also +360 Grad entspricht. Und dann 360 minus 60, sind wir auf 300 Grad gekommen. Diese Formel können wir auch verallgemeinern, indem wir für -60 Grad α einsetzen. Und so erhalten wir: sin(α) = sin(α + 360) – eine Identität.
Und wir hatten gesehen: Das gilt nicht nur für den Sinus, dass, wenn wir einmal um den Kreis herumgehen, der gleiche Wert existiert, das gilt auch für den Kosinus: cos(α) = cos(α + 360) – eine weitere so genannte Identität.
Unter echteinfach.tv findet Ihr übrigens ein Programm, mit dem Ihr einige Identitäten für Sinus und Kosinus ausprobieren könnt. Es gibt sehr viele Identitäten, hier ist eine Auswahl:
Hier ist die eine Identität sin(α) = sin(α + 360), die hatten wir gerade angeschaut beziehungsweise sin(α – 360), also dies Zeichen hier ist plus/minus, das heißt gilt für beide Varianten, denn wir können ja auch von 444 Grad minus 360 Grad zurückgehen und kommen dann zu 84 Grad, hier in diesem Beispiel.
Schauen wir uns als nächstes diese Identität an: Sie heißt cos(α) = cos(-α), soll also heißen, der Kosinus von 53 Grad ist genauso groß wie der Kosinus von -53 Grad. Habt Ihr also eine Aufgabe, wo steht: cos(α) = 0,342, dann zieht Ihr daraus den Arcuskosinus: SHIFT cos(0,342). Wir erhalten 70 Grad für α – dann wisst Ihr anhand der Identität cos(α) = cos(-α), dass α nicht nur 70 Grad sein kann, sondern auch, richtig, -70 Grad. Also Kosinus von -70 Grad ist ebenfalls 0,342.
Eine weitere Identität ist: sin(α) = sin(180 – α), das ist symmetrisch, wie Ihr seht, und nehmen wir uns ein Beispiel: 35 Grad. Sinus von 35 Grad ist 0,574, und der Sinus von 145 Grad, also 180 minus die 35, ist ebenfalls 0,574. Das heißt, auch hier könnt Ihr aus einem Sinuswert zwei Winkel bestimmen!
Interessant werden dann die Identitäten, die den Sinus in den Kosinus überführen, diese zum Beispiel, die heißt: sin(α) = cos(90 – α). Wie Ihr hier seht, der Sinuswert, der blaue Strich 0,454 hat den gleichen Wert wie unser Kosinuswert 0,454 von diesem Winkel. Und das Interessante: Beide Winkel zusammen ergeben immer 90 Grad. Also 20 Grad und 70 Grad sind 90 Grad. 15 Grad und 75 Grad sind 90 Grad. Beide haben jeweils den gleichen Wert, hier für Sinus, hier für Kosinus. Mit dieser Formel können wir also aus einem Sinuswert einen Kosinuswert machen! Wenn wir also den Sinuswert kennen für 15 Grad mit 0,259, können wir uns die Identität zu Hilfe nehmen sin(α) = cos(90 – α), können die 15 Grad hier einsetzen, wissen, 90 Grad minus 15 Grad sind 75 Grad, und dann wissen wir, da die beiden ja gleich sind und Sinus von 15 Grad 0,259 ist, dass der Kosinuswert von 75 Grad ebenfalls 0,259 ist. Wir haben also die Möglichkeit, aus einem gegebenen Sinuswert uns den Winkel herzuleiten für den entsprechenden Kosinuswert über diese Identität. Und dann, gehen wir noch einen Schritt weiter, nehmen wir diese Identität sin(α) = cos(α – 90), sehen wir hier, dass dieser Winkel hier immer 90 Grad hinter diesem Winkel ist. Und auch hier erkennt man, dass der Kosinuswert nichts weiter ist als der Sinuswert um 90 Grad zurück rotiert. Wie Ihr seht, ist dieser Punkt immer 90 Grad hinter unserem Winkel, und der Kosinuswert dieses Winkels entspricht dem Sinuswert dieses Winkels, egal für welche Position.
Soviel zu den Identitäten, schauen wir uns im Folgenden an, warum Kosinus überhaupt „Ko-“ „Sinus“ heißt:
Nehmen wir also ein rechtwinkliges Dreieck zur Hand und klären, was hier „Kosinus“ bedeutet:
Hierzu betrachten wir uns den Winkel α als erstes und klären, was bei α der Sinus ist. Wenn wir also den Sinus von α berechnen wollen, schauen wir: Gegenkathete durch Hypotenuse, also Seite a durch Seite c. Und wenn wir uns jetzt den Winkel β anschauen, und wir wollen ebenfalls die Seite a bestimmen, dann machen wir das wie? Richtig, über den Kosinus, denn a ist die Ankathete von β, und wir können dann aufschreiben: cos(β) = a/c, also Ankathete durch Hypotenuse. Jetzt halten wir fest das, was wir bereits wissen, dass α und β zusammen 90 Grad ergeben. Und wir hatten gesagt: Sie heißen damit „Komplementärwinkel“, α ist der Komplementärwinkel zu β, und auch β ist der Komplementärwinkel zu α. Und als nächstes, um es einfacher zu machen, sagen wir noch, die Seite c hat eine Länge von 1. Das heißt, hier steht jetzt nicht mehr c, sondern 1. Und damit sehen wir: a durch 1 bei beiden Gleichungen, da bleibt a übrig. Das heißt, der Sinus von α gibt uns den Wert für Seite a, also sin(α) gibt uns die Seite a, und Kosinus von β, Kosinus von diesem Winkel, gibt uns ebenfalls die Seite a. Und wir erkennen, dass der Kosinus von β nichts weiter ist als der Sinus des Komplementärwinkels α, denn Sinus von α ist a, und der Kosinus von β ebenfalls a. Das heißt, wir können den Kosinus von β ausdrücken als Sinus von α! Der Kosinus von β ist nichts weiter als der Sinus von dem Komplementärwinkel α, und das ist dann unsere Seite a. Deshalb sagt man „Ko“ „Sinus“. Sinus vom „Ko“, also Komplementärwinkel. Soviel dazu. Schauen wir uns als nächstes den trigonometrischen Pythagoras an.

Schauen wir uns zum Abschluss den so genannten „trigonometrischen Pythagoras“ an. Hierbei handelt es sich um den Satz des Pythagoras mit a2 + b2 = c2 in Bezug auf die Trigonometrie, speziell Sinus und Kosinus. Wir hatten ja gesehen, sobald wir die Seite c mit einer Länge von 1 haben, können wir den Sinus von β an b ablesen und den Kosinus von β an a ablesen. Also schreiben wir:
sin(β) = b und der cos(β) ist die Seite a. Jetzt können wir den Satz des Pythagoras für dieses Dreieck aufstellen, und jetzt können wir einsetzen; Seite c hat bei uns die Länge 1, b, Seite b ist Sinus β, und die Seite a ist Kosinus β. Und an der Stelle lernen wir eine neue Schreibweise kennen, und zwar: Sobald wir einen Sinus oder Kosinus quadrieren, schreiben wir diese kleine 2 hier dazwischen. Also nehmen wir mal cos(β) hier raus, dann schreiben wir also cos(β) mal cos(β) entweder so oder wir sparen uns diese beiden Klammern und schreiben es so: Also cos2(β) {ins Quadrat}, wobei in der Mathematik dieses 2 nicht direkt hinter das β geschrieben wird, weil man sonst denken könnte, der Winkel würde quadriert; aber nein, der Kosinuswert aus diesem Winkel soll quadriert werden, deshalb schreiben wir die 2 direkt an das Kosinus – dies bitte merken! Das heißt, wir können diese Formel hier oben auch wie folgt schreiben:
cos2(β) + sin2(β) = 12. Und das ist der trigonometrische Pythagoras, den wir uns gleich noch am Einheitskreis anschauen werden.
Vorab sei jedoch noch gesagt, wofür wir ihn zum Beispiel benutzen können. Die erste Sache, die uns auffällt, ist: 12, also 1 mal 1, können wir natürlich schreiben als 1, das Quadrat fällt weg. Diese Formel findet Ihr übrigens in den meisten Lehrbüchern. Und jetzt sehen wir das Folgende: Sobald wie einen Kosinuswert haben, nehmen wir Kosinus von 60 Grad ist gleich 0,5, dann können wir unsere Formel nutzen, β mit 60 Grad festlegen; wir sehen, Kosinus von 60 Grad ist 0,5, also können wir hier für Kosinus 60 Grad 0,5 einsetzen und müssen die 0,5 auch noch quadrieren, können das also so festhalten. Und jetzt können wir die 0,5 ins Quadrat hier rüber subtrahieren, wissen, dass 0,5 ins Quadrat 0,25 ist, und 1 minus 0,25 ist 0,75. Und um jetzt das Quadrat weg zu bekommen, ziehen wir auf beiden Seiten natürlich die Wurzel, und wir erhalten: Sinus von 60 Grad ist Wurzel aus 0,75. Und berechnen wir die noch: Wurzel aus 0,75 ergibt rund 0,866. Das heißt, wir erhalten: Sinus aus 60 Grad ist gerundet 0,866.
Was haben wir also gemacht? Wir konnten mit Hilfe des trigonometrischen Pythagoras aus einem gegebenen Kosinuswert für den Winkel 60 Grad den Sinuswert für den Winkel von 60 Grad berechnen. Das heißt, habt Ihr einen Kosinuswert, könnt Ihr jederzeit den entsprechenden Sinuswert berechnen und, genau andersrum: Habt Ihr einen Sinuswert gegeben, könnt Ihr den entsprechenden Kosinuswert für diesen Winkel berechnen.
Gucken wir uns diesen Pythagoras am Einheitskreis an. Was hat nun der Pythagoras hier mit dem Einheitskreis zu tun? Wir hatten ja gesagt, dieses Dreieck können wir für alle Quadranten als Referenzdreieck benutzen. Und zusätzlich, der Radius hier ist immer eine Einheit lang, also immer 1. Das heißt, bei diesem rechtwinkligen Dreieck haben wir hier die zwei kurzen Seiten und hier die lange Seite mit der Länge 1. Das heißt, hier gilt ebenfalls der Pythagoras a2 + b2 = c2 beziehungsweise cos2 + sin2 = 12. Und das können wir auch mit x für Kosinus und y für Sinus ausdrücken, dann hätten wir:
x2 + y2 = 12. Und diese Formel nennen wir „Koordinatengleichung des Einheitskreises“, hinter der, wie wir gerade gesehen haben, auch der trigonometrische Pythagoras steckt.
Mit Hilfe dieser Gleichung können wir zum Beispiel nachweisen, dass die Hypotenuse beziehungsweise der Radius unseres Kreises, also die grüne Linie, immer 1 ist. Wenn wir zum Beispiel hier herübergehen, haben wir ja einen negativen Wert für Kosinus. Jetzt können wir unseren trigonometrischen Pythagoras nehmen und rechnen: -0,7192 + 0,6952, und das müsste 12 ergeben. Und zwar positiv, denn die Länge ist ja immer 1. Also tippen wir ein: 0,719 mit negativem Vorzeichen ins Quadrat + 0,6952 ist gleich rund 1 beziehungsweise 12. Ihr seht, trotz des negativen Vorzeichens, das durch das Quadrat ja positiv wird, haben wir dann hier unsere Seitenlänge 1. Gleiches gilt für die anderen Quadranten, hier im dritten Quadranten dieser negative Kosinuswert und dieser negative Sinuswert werden dann positiv und ergeben die Seite 1. Gleiches gilt hier: Negativer Wert wird dann positiv. Ihr könnt Euch also aufstellen: cos2(α) + sin2(α) = 12 beziehungsweise ist gleich 1, und damit auch die so genannte „Koordinatengleichung des Einheitskreises“ mit x2 + y2 = 1. Und dann könnt Ihr diese oder auch diese Formel umformen und Ihr erhaltet, zum Beispiel wenn wir x2 hier rübersubtrahieren: y2 = 1 – x2 und dann, um nur y zu bekommen, die Wurzel hieraus ziehen.
Und das gleiche Spiel für x2. Schreiben wir die Formel hier nochmal herunter, subtrahieren jetzt y2 hier rüber und ziehen die Wurzel. Und schon können wir den y-Wert beziehungsweise den Sinuswert aus einem gegebenen Kosinuswert ermitteln beziehungsweise den Kosinuswert aus einem gegebenen Sinuswert ermitteln. Und Ihr seht außerdem, dass cos2 und sin2 in der Addition immer 1 ergeben müssen, bei dem jeweiligen Winkel! So könnt Ihr also auch in bestimmten Situationen den trigonometrischen Pythagoras zur Probe benutzen. Oder, wie schon gezeigt, Ihr benutzt diese Formeln, um den entsprechenden Sinus- oder Kosinuswert auszurechnen, wobei Ihr jedoch aufpassen müsst, dass Ihr mit Hilfe dieser Berechnung immer positive Werte bekommt für Kosinus oder Sinus! Das heißt, wenn Ihr zum Beispiel bei 53 Grad einen Sinuswert von 0,799 habt, und Ihr wollt wissen, wie ist hier die x-Koordinate, wie ist hier der Kosinuswert? Dann könnt Ihr die Formel aufstellen, x = Wurzel aus (1 – y2) und in den Taschenrechner eintippen (1 minus und dann die 0,799) ins Quadrat ist gleich 0,361, und daraus noch die Wurzel, und wir erhalten 0,601 gerundet für den Kosinuswert. Und wenn wir jetzt mal mit Hilfe des Taschenrechners den Kosinus berechnen: cos(53) = 0,602 gerundet.
Wenn Ihr jedoch einen stumpfen Winkel nehmt oder generell Winkel über 90 Grad nehmt und jetzt aus diesem Sinuswert den Kosinuswert hier berechnen wollt, würdet Ihr vielleicht wieder die Formel nehmen x = Wurzel aus (1 – y2) und dann eingeben in den Taschenrechner (1 minus die 0,743) ins Quadrat ist gleich, und jetzt aus diesem Wert noch die Wurzel, und wir erhalten 0,669 als Kosinuswert, jedoch da wir hier im zweiten Quadranten sind, muss er negativ sein! Also an dieser Stelle unbedingt aufpassen und sich den Einheitskreis, je nach Aufgabe, vor Augen führen!
Falls Euch übrigens der Lehrer mal nach einer anderen Herleitung des trigonometrischen Pythagoras fragt, könnt Ihr ihm folgendes zeigen: Ihr könnt Euch den Satz des Pythagoras nehmen und durch c2 dividieren. Damit entsteht folgende Gleichung, schreiben wir das jetzt noch in Brüchen, und wir erkennen, c2/c2 ergibt hier 1, und wie wir bei den Brüchen beziehungsweise bei den Potenzen gelernt hatten: Wenn Zähler und Nenner quadriert werden, dürfen wir sie auch in Klammern schreiben zum Quadrat. Also (a/c)2 + (b/c)2. Und jetzt sehen wir a/c; a/c, das ist ja unser Kosinus für β. Das heißt, wir können das hier ersetzen mit cos(β), und b/c, gucken wir von β aus, b/c, das ist der Sinus von β. Und wir erkennen, wenn wir noch das Quadrat hierhin schreiben und dieses Quadrat hierhin schreiben, das ist ebenfalls unsere Formel für den trigonometrischen Pythagoras, jedoch über einen anderen Weg hergeleitet. Gut, soviel zum Thema Einheitskreis. Als nächstes geht es weiter mit den trigonometrischen Funktionen. Wir werden uns anschauen, wie wir vom Einheitskreis auf so genannte Sinus- und Kosinuskurven stoßen. Es wird spannend!