TRI08: Trigonometrische Funktionen

Hallo, liebe Schüler! In dieser Lektion schauen wir uns die trigonometrischen Funktionen an. Man sagt auch „Winkelfunktionen“ dazu. Um dieses Thema verstehen zu können, müsst ihr auf jeden Fall die Videos zum Einheitskreis gesehen haben. Beim Einheitskreis hatten wir gezeigt, wie man Sinus und Cosinus am Einheitskreis für alle beliebigen Winkel definieren kann. Und genau diesen Einheitskreis benötigen wir, um die trigonometrischen Funktionen darstellen zu können. Zu den trigonometrischen Funktionen gehören die Sinusfunktion, die Cosinusfunktion und die Tangensfunktion. Man sagt dazu „elementare trigonometrische Funktionen“, denn es gibt noch weitere, u.a. die Kehrwertfunktionen von diesen dreien. Wir schauen uns jetzt aber erst einmal die Sinusfunktion an und klären, was das überhaupt bedeutet.
Nochmal zu Erinnerung: Was meint „Funktion“ überhaupt? Und da hatten wir bei den linearen und quadratischen Funktionen schon so etwas kennengelernt wie f(x)=2*x oder g(x)=x² usw. Wir hatten also hier mit dem f oder dem g der Funktion jeweils einen Namen gegeben, dann hatten wir hier ein x definiert, also eine Variable, für die ein Wert eingesetzt wird, und dann hier ist die Berechnung dieser Funktion. Und nachher kommt hier der y-Wert raus. Und daraus haben wir dann einen Punkt bekommen mit x- und y-Koordinate, den wir dann im Koordinatensystem eintragen konnten. Wir haben also eine Zuordnung zwischen einem x-Wert und einem y-Wert. Jeder x-Wert erhält einen y-Wert zugeordnet. Und diese Zuordnung ist eine Funktion. Und bei der Sinusfunktion haben wir kein f(x), sondern ein sin(x). Und bei diesem sin(x) kommt dann unser Sinuswert raus. Und das x ist unser Winkel. Also wir könnten jetzt schreiben: Sinus von 0° (denken wir an den Einheitskreis) hat die Höhe 0. Oder: Sinus von 90° (denken wir wieder an den Einheitskreis) hat die Höhe 1. D.h. jede Gradzahl erhält einen Sinuswert zugeordnet. Und daraus entstehen Wertepaare, bzw. x- und y-Koordinate, die wir dann in einem Koordinatensystem eintragen können. Und das gilt natürlich nicht nur für Sinus, sondern auch für Cosinus und für den Tangens.
Schauen wir uns also die Sinusfunktion konkreter an. Und an der Stelle noch der Hinweis: Wir setzen für x immer Werte für Winkel ein; darauf bitte achten. Was wir hiermit meinen, zeigen wir euch am Einheitskreis. Denn im Einheitskreis haben wir einmal die x-Achse und einmal die y-Achse. Und wir ordnen jetzt zu: einem Winkel, also einem Wert, den wir an der Kreislinie ablesen können, ordnen wir den Sinuswert, also die Höhe zu. Unseren Cosinuswert hier unten, den wir bei der x-Achse eintragen, ignorieren wir in diesem Fall. D.h. wir fangen bei 0° an, und haben bei 0° eine Höhe, also einen Sinuswert von 0. Und wenn wir jetzt z.B. auf 60° gehen, haben wir sin(60°)=0,866. Also hier auf der y-Achse diese Wertzuordnung. Und so können wir also diese Winkel mit den dazugehörigen Sinuswerten in ein anderes, zweites Koordinatensystem eintragen.
Hier ist also unser Einheitskreis, wo wir dann für y unsere Sinuswerte einsetzen; und hier auf der Kreislinie haben wir die Winkel von 0° bis 360°. Und hier ist unser zweites Koordinatensystem, dessen x-Achse unsere Winkel sind. Wir haben hier 0°, hier 90°, hier 180°, hier 270° und 360°. Ihr könnt euch also vorstellen, dass wir diese Kreislinie hier aufschneiden und dann hier abrollen. Und bitte aufpassen: Dieses x ist hier die Gradzahl, also unser Winkelwert, wobei das x an diesem Einheitskreis der Cosinuswert ist, den wir uns später anschauen; also nicht verwechseln. Und jetzt wollen wir für jeden einzelnen Winkel die entsprechende Höhe, also den Sinuswert, einsetzen. Also jeder Winkel bekommt eine Höhe zugeordnet, also seinen Sinuswert. Und wenn wir das für jeden einzelnen Winkel tun, sieht das in etwa so aus. Der Winkelwert erhöht sich und die Sinuswerte steigen von 0 Richtung 1. Und zwar bei 90° erreichen wir die 1. Und hier bei 0° hatten wir den Sinuswert 0, und jetzt bei 90°, an dieser Stelle, haben wir den Sinuswert 1. Und die 1 ist der maximale Wert, den Sinus annehmen kann. Für den zweiten Quadranten unseres Einheitskreises wissen wir: Der Sinuswert wird wieder abnehmen und dann sich Richtung 0 bewegen. Und zwar wird er 0 sein bei 180°. Lassen wir die Animation weiterlaufen. Und ihr seht: Der Wert nimmt ab, hier ist er 0,809. Er nimmt ab, bis er schließlich bei 180° die Höhe 0 bzw. den Sinuswert 0 erreicht. Und hier drüben: 180° hat die Höhe, also den Sinuswert 0. Und an diesem Verlauf erkennen wir schon, wie sich die Werte entwickeln. Schauen wir uns jetzt noch den dritten und vierten Quadranten an. Hier seht ihr: Die Werte werden negativ, weil wir uns ja unter 0 befinden. Und wenn wir jetzt auf 270° gehen, dann haben wir den Sinuswert -1. Schauen wir in unser zweites Koordinatensystem: Hier sind die 270° und wir haben unseren Wert hier bei -1. Und jetzt gehen wir noch zu 360° und die -1 wird zunehmen, bis sie 0 erreicht. Und genau das ist der Graph unserer Sinusfunktion von 0° bis 360°, bei der wir für jeden Winkel den entsprechenden Sinuswert ablesen können. Man nennt diesen Graphen übrigens auch „Sinuskurve“ oder „Sinusschwingung“. Oder aber auch „Sinuswelle“. Wir brauchen jetzt nicht mehr den Einheitskreis benutzen, um die Sinuswerte zu ermitteln, sondern wir können den Sinuswert direkt hier an diesem Graphen ablesen. Wenn uns also jemand nach sin(90°) fragt, und wir haben den Graphen vor uns, dann gucken wir bei 90°, schauen hier nach oben und sehen: Der Sinuswert ist 1. sin(180°) ist der Sinuswert an der Stelle, auf dieser Höhe. Schauen wir nach links: Das ist 0. Bei sin(270°) schauen wir nach unten: Der Sinuswert bei 270° beträgt -1. Und bei 360° haben wir den Sinuswert 0.
So wisst ihr also nun, wie der Einheitskreis mit diesem Graphen der Sinusfunktion zusammenhängt. Ihr könnt übrigens, statt den Sinuswert hier mit dieser Linie anzuzeigen, diese Sinuslinie auch direkt auf der y-Achse eintragen. Ihr könnt also hier auch den Verlauf der Sinuswerte ablesen. An dieser Stelle können wir uns ein Beispiel vorstellen, das auch den Verlauf dieses Graphen erklärt. Denn er ist ja nicht, wie unser Kreis, so schön rund, sondern er ist geschwungen. Stellen wir uns also vor, wir stehen hier im Zentrum unseres Koordinatensystems und haben einen Ball, den wir nach oben werfen. Dabei ist der Ball, damit unser Beispiel physikalisch korrekt ist, an einer Feder befestigt, die ihn, wenn er ganz oben ist, wieder zurücktreibt. Die Gravitationskraft lassen wir außer Acht. Auf der x-Achse stellen wir uns statt der Winkel einen zeitlichen Verlauf vor, z.B. in Millisekunden. Der Ball wird eine gewisse Höhe erreichen und dann zurückkommen durch die Kraft der Feder. Und das könnte in etwa so aussehen: Hier ist er sehr schnell, dann wird er langsamer, und ganz oben verharrt er bei 1. Also er hat sozusagen 100% seiner Wurfhöhe erreicht. Und danach kehrt er wieder zurück. Und er wird, je näher er der 0 kommt, schneller werden. Also: Am Anfang ist er sehr schnell, wird dann langsamer, hat dann die Geschwindigkeit 0 bei 90°, und seine Höhe nimmt dann wieder ab, bis sie schließlich 0 erreicht und wir den Ball wieder fangen. Hierzu nachher noch ein anderes Beispiel mit einem Pendel. Auf jeden Fall soll euch dieses Beispiel zeigen, warum dieser Graph so geschwungen ist. Und dieser Graph der Sinusfunktion verrät uns, um wie viel der Sinuswert, also die Höhe, zunehmen wird von einem Winkel zu einem anderen Winkel. Denn wenn wir die Hälfte von 90° gehen, zu 45°, heißt das nicht, dass wir die Hälfte nach oben gegangen sind. Wie wir sehen, unterscheiden sich die beiden Höhen. Als Beispiel gehen wir von 0° zu 20°. sin(0°)=0 und sin(20°)=0,342. Wir können das hier also als 34,2% sehen und wissen: Wenn das hier 100% unserer Strecke nach oben sind, haben wir 34,2% der Strecke zurückgelegt. Von 0° bis 20°: 34% der Strecke. Gucken wir jetzt, wie das ist von 70° zu 90°: sin(70°)=0,940, wir haben also bei 70° 94% der Strecke hinter uns. Jetzt gehen wir von hier aus 20° weiter und wir kommen zu 90°, also 100%. D.h. wir haben von 94% zu 100% 6% der Strecke zurückgelegt. Hier hatten wir +20° gerechnet und hatten 34%; und hier rechnen wir +20° und haben nur eine Höhe von 6% zurückgelegt. Also: Wir gehen von 0° bis 20°, erreichen 34% der Strecke, also einen Sinuswert von 0,342; und dann gehen wir ebenfalls hier oben von 70° ebenfalls +20° auf die 90° und legen von 94% bis 100% 6% des Weges bzw. der Höhe zurück. Und genau dieses Verhalten beschreibt uns dieser Funktionsgraph, diese Schwingung. Wenn wir hier von 0° bis 20° laufen, können wir hier den Sinuswert ablesen: 0,342. Und wenn wir jetzt hier bei 70° sind, ist dieser Graph nicht mehr so steil wie hier unten; er geht nicht mehr so steil nach oben, sondern er glättet sich etwas, bis er bei 90° gar nicht mehr nach oben geht, sondern dann im weiteren Verlauf wieder nach unten. Und hier, wie ihr seht, ist unsere Zunahme des Sinuswertes sehr gering, mit nur 0,06.
Übrigens könnt ihr dieses Stück des Graphen erzeugen, indem ihr diesen Teil einfach hier rüber spiegelt. Also diesen Teil nach rechts gespiegelt, und ihr habt den gleichen Verlauf, nur nach unten. Auch 180° bis 270° lässt sich aus dem ersten Graphenstück erzeugen mithilfe einer Spiegelung. Und auch 270° bis 360° können mit einer Spiegelung aus dem ersten Graphen hervorgehen. Wir haben also in jedem Quadranten einen ähnlichen Verlauf. Das hat natürlich damit zu tun, dass wir den Sinus mit ähnlichen Dreiecken in jedem der vier Quadranten erzeugen, so, wie wir es bereits gelernt hatten. Was ihr euch bitte merkt: Wenn ihr diese Schwingung seht, stellt die x-Achse unsere Kreislinie dar mit den jeweiligen Gradabschnitten; und unser Funktionsgraph der Sinusfunktion entspricht den jeweiligen Sinuswerten für den jeweiligen Winkel. Und ganz wichtig: Die Zunahme von einem Grad zum anderen Grad ist unterschiedlich. Wie wir gesehen hatten: Wenn wir von 0° bis 20° nach rechts gehen, haben wir eine viel höhere Zunahme des Sinuswertes, als wenn wir von 70° 20° nach rechts gehen. Und dann hatten wir das Beispiel mit dem Ball; d.h. wenn wir uns vorstellen, dass hier ein Ball hochgeworfen wird, fliegt er hoch, seine Geschwindigkeit nimmt ab, er erreicht eine maximale Höhe, und dann fällt er wieder zu Boden.
Betrachten wir als nächstes die Cosinusfunktion, und zwar, wie wir für diese einen Funktionsgraphen erzeugen können.

Gehen wir also zum Cosinus und lassen die Animation laufen. Wie wir sehen: Wenn wir die Höhe abtragen, erhalten wir wieder eine Sinusschwingung, also den Graph der Sinusfunktion. Unsere Werte bei Cosinus befinden sich hier auf dieser x-Achse und nicht auf der y-Achse. Wir müssen also die x-Werte dieses Koordinatensystems hier auf das zweite Koordinatensystem auf die y-Achse übertragen. Nicht mehr die Höhe, die Sinus-Werte auf der y-Achse, sondern die Cosinus-Werte auf der x-Achse. Denn sonst erhalten wir hier den Graphen von Sinus. Und um das am einfachsten zu machen, können wir unseren Einheitskreis 90° nach links drehen, entgegen des Uhrzeigersinns. Setzen wir unseren Winkel auf 0° und drehen jetzt den Kreis 90° gegen den Uhrzeigersinn. Dann haben wir hier die x-Achse und können jetzt die Cosinus-Werte direkt auf die y-Achse im zweiten Koordinatensystem einzeichnen. Hier ist die y-Achse des zweiten Koordinatensystems, diese entspricht in diesem Fall den Cosinus-Werten. Und hier diese x-Achse entspricht unseren Winkeln von 0° bis 360°. Gehen wir jetzt eine Runde um den Kreis von 0° bis 360° und tragen die Cosinuswerte hier ab. Bei 90° erreichen wir den Wert 0, Cosinus von 90° ist 0. Der Cosinus von 180° ist -1, der Cosinus von 270° ist wiederum 0, und der Cosinus von 360°, da haben wir dann wieder 1.Und wie wir sehen, erhalten wir solch einen geschwungenen Graphen. Bei 0° haben wir Cosinus 1, bei 90° ist der Cosinuswert 0, der Cosinus von 180° ist -1, Cosinus von 270° ist 0, und Cosinus von 360° ist 1. So. wie wir es beim Einheitskreis bereits gesehen und gelernt hatten.
Dieser Graph sieht nun etwas anders aus als der Sinusgraph, doch wie wir nachher sehen werden, ist dies nichts weiter als der verschobene Sinusgraph, und zwar um 90°. Und auch hier sehen wir das Verhalten, dass die Zunahme des Cosinuswertes in diesem Bereich gering ist, aber z.B. hier die Zunahme bzw. in dem Fall die Abnahme größer. Also wenn wir jetzt von 0° bis 20° gehen, haben wir unseren Cosinuswert um 0,06 reduziert, also wir sind nur 6% des Weges gegangen; und wenn wir jetzt hier zu 70° gehen, und von 70° auf 90° gehen, sehen wir, dass wir von 0,342 auf 0 gehen. Also wir in den letzten 20° 34% des Weges gegangen sind. Und genau das hatten wir auch bei der Sinusfunktion kennengelernt. Und wenn ihr euch erinnert: Dieses Stück hier ist sozusagen der Bereich von 90° bis 180° bei der Sinusfunktion. Denn die Sinusfunktion ist so verlaufen. Wir hatten ja unseren Kreis um 90° gedreht, um die Cosinuswerte direkt auf die y-Achse einzeichnen zu können. Lasst uns jetzt den Kreis wieder zurückdrehen und schauen wir uns nochmal den Verlauf des Cosinusgraphen an. Wie gesagt: Jeder Winkel hier auf der x-Achse erhält jetzt den entsprechenden Cosinuswert. Der Cosinus von 0° ist 1, deshalb zeichnen wir ihn bei 0° hier oben bei der 1 ein. Wie ihr seht: Cosinus von 90° ist 0, deswegen haben wir hier bei 90° die 0 eingezeichnet. Und so ergibt sich aus den Cosinuswerten dieser geschwungene Graph. Gut; was wir noch nicht gesagt haben: dass unser Sinus und Cosinus periodische Funktionen sind, d.h. sie wiederholen sich. Also wir hatten ja beim Einheitskreis gesehen, dass wir um 360° um den Kreis gehen können, und dann nach 360°, anstatt wieder mit 0° weiterzumachen, wir +360° heraufrechnen können und jetzt hier mit höheren Winkeln weitermachen, die dann eben auch die gleichen Sinuswerte haben wie die entsprechenden Winkel zwischen 0° und 360°. Das hatten wir auch bei den Identitäten gesehen. Also: 420° hat den gleichen Sinuswert wie 60°. Oder wie 420°+360°=780°. Und das gilt auch für negative Werte. 60°-360°, dann kommen wir auf -300° usw. Und das gleiche Prinzip gilt auch für den Cosinus. Die Sinuswerte wiederholen sich immer mit jeder Kreisumrundung, also +360°, obwohl sich die Winkel ja erhöhen. Und auch das können wir in unserem Programm hier darstellen. Gucken wir uns nochmal den Sinus an. Den Einheitskreis haben wir jetzt zurückgedreht. Und jetzt lassen wir unsere Funktion nochmal laufen und zeichnen sie ausnahmsweise rückwärts, also im Uhrzeigersinn. Hier lässt sich gut erkennen, dass sich die Werte wiederholen. Das ist die erste Umrundung und jetzt folgt die nächste Umrundung. Und ihr seht: Die Schwingung wiederholt sich; sie ist periodisch. Und gleiches lässt sich für den Cosinus einstellen. Drehen wir den Kreis wieder und lassen sie laufen. Und auch hier sehen wir, dass die Cosinusfunktion periodisch ist; sie wiederholt sich immer in ihren Werten. Der erste Durchlauf; und jetzt kommen wir zum zweiten Durchlauf. Übrigens bitte aufpassen: Diese Gradzahlen treffen jetzt nicht mehr auf diesen Graphen zu, diese Gradzahlen treffen auf den idealen Verlauf zu.
Gut, schauen wir uns nun ein weiteres Programm an, bei dem man das noch besser erkennen kann. Bei diesem Programm haben wir die Sinusschwingung, den Graph der Sinusfunktion, in diesen Kreis gelegt. Also, was heißt das? Der Sinus von 0° ist 0, befindet sich also hier, und wenn das unser Graph ist, ebenfalls hier. Wenn wir jetzt zu 90° gehen, seht ihr, dass wir den Graphen hier oben bei 1 erreichen. Also Sinus von 90° ist 1. Und gehen wir jetzt zu 180°, nimmt unser Sinuswert ab, und wir erreichen die 0. Gehen wir weiter, kommen wir bei 270° zum Sinuswert -1 und bei 360° wieder zur 0. Und hier können wir jetzt eben auch 360° hinzuaddieren und haben jetzt auch für die höheren Winkel den gleichen Verlauf. Oder wir könnten hier 360° abziehen und hätten jetzt hier auch den gleichen Verlauf. Um das besser darzustellen, können wir diese Periode so einzeichnen und erhalten diesen Graphen. Und wie ihr seht, haben wir hier eine periodische Schwingung. Also der Sinusgraph ist eindeutig periodisch, denn all seine Werte wiederholen sich alle 360°. Wenn wir das jetzt mit dem Cosinusgraph machen möchten, müssen wir ausnahmsweise den Cosinus von oben nach unten zeichnen. Der Cosinuswert von 0° ist also 1, der Cosinuswert von 90° ist 0. Also sind wir von 1 auf 0 gegangen. Und jetzt, wenn wir hier nach links gehen, zu 180°, sind wir beim Graphen bei -1. Und wenn wir jetzt wieder den Graphen hier hochgehen, kommen wir zu 0 bei 270°. Und dann bei 360° kommen wir wieder zur 1. Und auch das gilt für höhere Winkel, also über 360°, und auch für Winkel, die negativ sind. Und auch hier, genau wie beim Sinus, können wir eine Periode einzeichnen. Und dann sieht das Ganze so aus. Wie ihr seht: Die Cosinusfunktion ist periodisch, ihre Werte wiederholen sich stets. Diese Cosinusschwingung können wir übrigens auch mit einem Pendel erzeugen. Schauen wir uns das als nächstes an.
Hier haben wir ein Pendel, das wir gerade hier festhalten. Und wenn wir das Pendel loslassen, sehen wir, wie es von links nach rechts schwingt, und dass es hier den maximalen Ausschlag hat und hier den maximalen Ausschlag hat. Und dass die Geschwindigkeit hier 0 ist, hier in der Mitte am schnellsten, und hier ebenfalls 0. Wir können uns zum Vergleich mal die lineare Bewegung anschauen. In diesem Fall bewegt sich das Pendel mit 0,011 nach links oder rechts; konstant, also der gleiche Wert wird stets darauf addiert oder subtrahiert. Dieses Delta ist also die Differenz von einem Wert zum nächsten Wert. Wenn wir jetzt eine Cosinusschwingung daraus machen, sehen wir, dass sich dieser Wert verändert. Am äußeren Bereich ist er 0, in der Mitte ist er am größten, und hier ist er wieder 0. Also der Betrag hier ist am größten und an den Seiten 0. Und dieses Delta heißt: Wenn wir jetzt in diesem Beispiel 24° haben für Cosinus mit 0,914, und wir gehen jetzt zu 25°, also +1°, wie wird dann der neue Wert sein? Da müssen wir dieses Delta, also die Differenz 0,914-0,008 rechnen. D.h. hier müsste jetzt als nächstes 0,906 herauskommen. Gehen wir also 1° weiter, und wir sehen, wir kommen bei 0,906 an. Und genau aus diesen unterschiedlichen Werten entsteht unser Graph für die Cosinusfunktion. Zeichnen wir also den Verlauf des Pendels ein, und wir erkennen, wie der Funktionsgraph sich ergibt. Er ist also nicht linear, denn das würde so aussehen; er ist stattdessen geschwungen. Wir haben hier also eine sogenannte „harmonische Schwingung“.
Die Graphen von Sinus und Cosinus lassen sich verändern, indem man z.B. die Geschwindigkeit erhöht. Hierzu aber später mehr. Schauen wir uns noch den Tangens an.

Beim Tangens hatten wir gesehen. Er ist der Wert, der sich ergibt aus Sinus/Cosinus. Ein schönes Beispiel: 45°. Sinus ist 0,707, Cosinus ist 0,707, und Sinus/Cosinus ist 1. Und wir hatten gesehen: Tangenswerte können negativ sein und positiv und vor allen Dingen auch über 1. Also sie gehen bis ins Unendliche. Also ins positiv Unendliche, aber auch ins negativ Unendliche. Und jetzt gilt es auch, diese Werte des Tangens dem entsprechenden Winkel zuzuordnen. Also wie gerade gesehen: Tangens von 45° ist 1. Und genau das können wir auch wieder einzeichnen und zwar direkt hier in diesen Kreis. Wir wissen also: Tangens von 0° ist 0, und wenn wir jetzt hier hochgehen auf 45°, dann haben wir: Tangens von 45° ist 1. Also: Wenn wir auf die y-Achse gucken, haben wir den Tangenswert 1. Und wenn wir über 45° gehen, haben wir sehr hohe Werte. Und wenn wir über 90° gehen (bei 90° war der Tangens nicht definiert), haben wir hier negative Werte. Haben wir z.B. 135°, dann haben wir -1, und gehen wir jetzt zu 180°, erreichen wir den Tangens 0. Und jetzt wird er wieder positiv im dritten Quadranten. Bei 270° war er nicht definiert, und bei über 270° sind wir wieder im negativen Bereich, also Tangens ist negativ. Und wie ihr schön erkennt, erhalten wir immer diese geschwungenen Linien, die uns die Tangenswerte wiedergeben. Und auch hier können wir immer 360° weitergehen, oder 360° zurückgehen, und die Tangenswerte werden sich immer wiederholen. Also auch hier haben wir eine periodische Funktion, eine sich immer wiederholende Funktion, wie ihr gut erkennen könnt.
Und den Graph der Tangensfunktion können wir natürlich auch hier in unser zweites Koordinatensystem eintragen. Und wir erkennen: Der Verlauf des Graphen ist anders als bei Sinus und Cosinus. Wir haben hier nicht diese Welle, sondern wir haben einen leicht geschwungenen nach oben gehenden Graphen, dessen Wert 0 ist bei 0°, bei 180° und bei 360°. Und die Periode, die Wiederholung, war beim Sinus alle 360°. Und wie wir hier erkennen, liegt die Periode zwischen 90° und 270°. Wenn wir gucken: Hier unten nach 90° kommt er aus dem Negativen und hier nach 270° kommt der Graph auch aus dem Negativen. Also die Periode ist im Vergleich zu Sinus und Cosinus kürzer. Sie beträgt 180°, und bei Sinus und Cosinus 360°. Ihr seht hier übrigens auch die sogenannten Definitionslücken. Wir hatten ja beim Einheitskreis gesehen, dass wir für tan(90°) keinen Wert haben (der war nicht definiert), und dass wir bei tan(270°) ebenfalls keinen Wert hatten (der war ebenfalls nicht definiert). Und wenn wir „nicht definiert“ haben, haben wir auch im Graph keinen Wert, den wir einzeichnen können, und wir sagen Definitionslücke dazu. Also bei 90° haben wir keinen Wert, den wir eintragen können, das ist eine Definitionslücke; und bei 270° das Gleiche, die zweite Definitionslücke. Alle Programme, die wir euch übrigens in dieser Lektion zeigen, findet ihr wie gewohnt unter echteinfach.tv. Probiert sie aus und zeichnet eure eigenen Funktionsgraphen für Sinus, Cosinus oder Tangens.
Wir hatten jetzt Periode erwähnt: Was heißt Periode eigentlich? Periode kommt vom griechischen „periodos“ und heißt „umrunden“, „Weg herum“ und meint natürlich die Wiederholung. Und diese Periode können wir bei Sinus, Cosinus und Tangens wie folgt angeben: Wir haben hier in dem Beispiel sin(α), das ist unser Sinuswert, und der ist ja genau so groß wie sin(α+360°). Und nicht nur das: Wir könnten jetzt auch 2*360° herumgehen, und hätten immer noch den gleichen Sinuswert. Oder 3-mal, oder 4-mal. Oder auch -1-mal, also 1-mal zurückgehen um 360°. Da wir hier beliebige ganze Zahlen eintragen können, nehmen wir eine Variable, z.B. k. D.h. sin(α) ist das Gleiche, bzw. hat den gleichen Wert, wie der Sinus von „α + beliebig oft um den Kreis gegangen“. Entweder +360°, +2*360°, +3*360°; oder halt zurückgegangen um -360° oder weitere Vielfache der 360°. Dann können wir auch hier das y entfernen, und wir halten fest: sin(α)=sin(α+k*360°). Gleiches gilt für die Cosinusfunktion. Auch hier haben wir eine Periode von 360°. Nur bei der Tangensfunktion haben wir eine Periode, die bereits alle 180° wiederholt, was wir soeben gesehen hatten. Gut, wir merken uns also: Die trigonometrischen Funktionen sind periodische Funktionen. Betrachten wir uns als nächstes, wie wir Sinus, Cosinus und Tangens in ihrem Verlauf verändern können und welche Eigenschaften sie haben. Auf geht’s!

Willkommen zurück zum nächsten Teil. Schauen wir uns an wie wir die trigonometrischen Funktionen verändern können. Wir hatten ja vorhin beim Pendel gesehen, dass wir dessen Verlauf, also zeichnen wir hier den Verlauf ein. Das wir den Verlauf also verändern können, indem wir zum Beispiel das Tempo erhöhen und dann die Schwingung hier viel enger ist. Bzw. man kann sagen die Periode ist viel kürzer. Und hierfür gibt es ebenfalls Beschreibungsvorschriften bzw. eine Funktionsgleichung für Sinus und Cosinus, die wir uns jetzt anschauen wollen.
Fangen wir also mit der Sinusfunktion an und schauen wie wir diese verändern können. Wir schreiben also hiervor f(x) ist gleich. Und hier ist ja der Winkel und dann nennen wir den nicht mehr α, sondern ebenfalls x. Das heißt wir haben f(x) gleich sin(x). Wir setzen einen Winkel ein, rechnen den Sinuswert aus und dann kommt hier ist gleich y heraus. Wie können wir jetzt unsere Sinusfunktion hier verändern? Zum einen können wir den Wert der hier rauskommt multiplizieren, also wir können hier eine 1* davor schreiben. 1* ist das neutrale Element der Multiplikation. Das heißt der Wert verändert sich nicht. Aber wir könnten natürlich auch 2* davor schreiben und schon würde sich hier der Sinuswert durch diese Gleichung verdoppeln. Was könnten wir noch machen? Wir könnten hier das x selbst verändern. Schreiben wir eine 1* davor. Hierdurch verändert sich unser sin(x) nicht. Jedoch könnten wir hier eine 2* davor schreiben, damit würde jeder eingesetzte Winkel hier verdoppelt und wir würden anderen Sinuswerte beim jeweiligen Winkel erhalten. Weiterhin könnten wir hier noch einen Winkel herauf addieren. Wenn wir hier 0° herauf addieren verändert sich nichts. Wir könnten jedoch auch 90° herauf addieren, dann würde auf jeden hier eingesetzten Winkel 90° herauf addiert. Und wir würden auch wieder einen anderen Sinuswert erhalten. Und hier hinten können wir natürlich noch einen Wert herauf schlagen. Wenn wir 0 herauf addieren verändern wir die Funktion nicht, jedoch könnten wir hier auch +1 rechnen, dann würde jeder Wert der hier rauskommt um 1 vergrößert. Wir haben also vier Parameter. Diesen, diesen, diesen und diesen. Mit denen wir unseren Funktionswert, also das Ergebnis, verändern können. Und damit unseren Graphen in seinem Verlauf verändern. Mit dem Begriff Parameter meinen wir übrigens hier die Variablen, die wir hier vorschreiben. Also wir könnten jetzt genauso gut die vier Zahlen hier mit Variablen ersetzen und erhalten dann eine allgemein Form mit a*sin(b*x+c)+d. Und was jede Variable für eine Auswirkung hat, das schauen wir uns jetzt an. Fangen wir also mit der Sinusfunktion an und man nennt sie „allgemeine Sinusfunktion“. Und warum? Jetzt haben wir nicht mehr nur sin(x), sondern wir haben weitere Elemente in unserer Funktionsgleichung. In dieser Form ist die Sinusschwingung so wie wir sie kennen gelernt haben. Wir können sie hier auflösen. 1* fällt weg. Dann Sinus von 1* ein Winkelwert. 1*x ist x. Plus 0 ist wieder x. Und hinten die 0 fällt ebenfalls weg. Das heißt das hier ist nichts weiter als sin(x). Und jetzt haben wir die Möglichkeit die Werte hier zu verändern. Fangen wir hier vorne mit dem ersten Parameter an. Dieser ist 1*. Das heißt wir bekommen einen Sinuswert von diesem Winkel hier den wir bei x einsetzen. Wenn wir jetzt mal hier 0 einsetzen, dann heißt es sin(0°), der ist bei 0. Mal 1 ist wieder 0. Nehmen wir jetzt 90°, dann wären das sin(90°). Das ist, wie wir sehen können, 1 und hier vorne mal 1 ist wieder 1. Jetzt lasst uns mal den Wert hier vorne erhöhen auf 1,5. Wir hatten bei 0° sin(0) gleich 0. Der ist gleich geblieben. Und bei 90° hatten wir die 1, doch dieser Wert wird jetzt mit 1,5 multipliziert. Das heißt die 1 wird zu 1,5. Und das passiert nicht nur hier für diesen Wert, sondern für alle Werte. Jeder einzelne Wert wird mit 1,5 multipliziert und dann entsprechend höher eingezeichnet und hier unten entsprechend tiefer eingezeichnet. Das heißt machen wir hier jetzt mal 2 mal unsere Sinusfunktion, sin(x), dann heißt das jeder Wert wird verdoppelt. Jeder y-Wert. Zum Beispiel hier die -1 bei 270° ist dann -2. Genauso gut können wir die 1 kleiner machen, also zum Beispiel zu 0,5. Dann halbiert sich jeder Wert. Also sin(90°) ist 1. Mal die 0,5, wir halbieren, dann sind wir 0,5. Und das passiert auch mit jedem einzelnen Wert. Jeder Wert hier wird jeweils halbiert und landet dann auf diesem dunkelblauen Graphen. Hier bei 270° -1*0,5 ist -0,5. Das heißt mit diesem Wert hier vorne können wir steuern wir groß der Ausschlag unserer Sinusfunktion sein wird bzw. wie klein er sein wird. Und wir können ihn auch ebenfalls negativ gestalten zum Beispiel -1 und dann sehen wir unsere Sinusfunktion wird damit gespiegelt an der x-Achse. Und wenn wir weiter heruntergehen, zum Beispiel zu -2, haben wir die 2*sin(x) gespiegelt an der x-Achse. Gut. Diese Zahl hiervor bzw. die Variable hier a, bestimmt also, wie sehr unser Graph gestreckt ist bzw. gestaucht. Oder aber auch gespiegelt. Diese bitte merken. Schauen wir uns als nächstes die Zahl hier vorne an, die vor unserem x steht unserem einzusetzenden Winkel. Wenn wir jetzt f(90°) berechnen wären das sin(1*90°), also sin(90°) sind 1. Jetzt verändern wir diesen Wert jedoch und erhöhen ihn auf 2. Und wie ihr schon erkennen könnt, wird unsere Schwingung schneller. Warum? Die 90° die wir eingesetzt haben, wird jetzt durch die 2*90° zu 180°. Das heißt sin(180°) müssen wir bei 90° einzeichnen, denn die haben wir ja hier eingesetzt und damit der Wert auf der x-Achse bestimmt. Und wir müssen jetzt bei 90° den sin(180°) einzeichnen, der ja vorher hier war. Und wenn wir jetzt nicht 1*, sondern 2* machen, bewegt sich die Nullstelle hier auf die 90°. Alle Werte zwischen 0° und 360° wurden jetzt angepasst auf Werte zwischen 0° und 180°. Deshalb haben wir jetzt hier diese Periode unsere Schwingung von 0° bis 180°. Wenn wir jetzt hier zum Beispiel bei dieser Funktion 45° einsetzen würden, also etwa hier, dann wären das f(45°) ist sin(2*45°), also 90°. sin(90°) ist 1. Also wie gesagt, die Schwingung wird schneller. Und das können wir natürlich auch verdreifachen, vervierfachen und so weiter. Wenn wir den Wert unter 1 bringen, auf zum Beispiel 0,5, dann seht ihr, dass die Schwingung gestreckt ist Richtung x-Achse. Vorher hatten wir sie gestaucht, jetzt ist sie gestreckt. Warum setzen wir wieder 90° ein? f(90°), dann sind wir hier ist sin(0,5*90°), also 45°. Und sin(45°) ist 0,707. Das heißt bei 90° haben wir jetzt hier einen y-Wert, einen Sinuswert, von 0,707 und nicht mehr 1. Und den Sinuswert von 90° mit 1 bei der unveränderten Sinusschwingung, der wird jetzt auf 180° gebracht. Da haben wir hier die 1. Denn wenn wir jetzt hier 180° einsetzen: f(180°) ist sin(0,5*180°) ist sin(90°). sin(90°) ist 1. Deshalb zeichnen wir den hier ein. Und das machen wir mit jedem einzelnen Winkel und wir bekommen so eine große Schwingung die hier nach rechts auch weitergeht. Und zwar bis 720°. Die Periode ist also alle 720°. Und wenn wir jetzt diesen Wert negativ machen, seht ihr, spiegeln wir den Funktionsgraphen den wir vorher hatten. Und auch hier können wir mit einer -1, mit -1* den Winkel, unseren Graphen der Sinusfunktion spiegeln. Genau wie wir es auch mit dem ersten Parameter -1 gemacht hatten. Aus diesem Grund findet ihr übrigens auch in den Formelsammlungen: -sin(x) ist das gleiche wie sin(-x). Beide Gleichungen spiegeln den Graphen. Und wählen wir einen Wert unter -1, können wir auch den gespiegelten Graphen stauchen entlang der x-Achse. Was haben wir also bis jetzt gelernt? Wir haben gelernt, wenn wir diesen Wert hier vorne erhöhen, also größer als 1 machen, strecken wir unseren Graphen nach oben bzw. nach unten. Er ist gestreckt. Sind wir bei 1 haben wir den Idealverlauf. Sind wir zwischen 0 und 1 haben wir eine Stauchung des Graphen. Und haben wir einen negativen Wert zwischen 0 und -1 haben wir den gestauchten Graphen gespiegelt. Und haben wir einen negativen Wert unter 1, dann haben wir unseren Graphen gestreckt und gespiegelt. Und wie gesagt, das ist immer in Richtung y-Achse nach oben oder nach unten. Dieser Wert hier vorne sorgt dafür, dass unser normaler Verlauf entweder in Richtung der x-Achse gestaucht ist. Und wenn der Wert zwischen 1 und 0 ist, ist der Graph gestreckt. Und dann hier auch negative Werte zwischen 0 und -1 ist der Graph gestreckt und gespiegelt. Und bei Werten unter -1 haben wir einen gestauchten und gespiegelten Graphen. Gut, jetzt haben wir hinten noch zwei Parameter, die wir als nächstes klären wollen.

Schauen wir uns also den dritten und vierten Parameter unserer Gleichung an. Wie ihr hier gut erkennen könnt, addieren wir hier eine Gradzahl herauf. Auf die Gradzahl die wir in unsere Funktion legen. Also wenn wir f(90°) hier reinsetzen, haben wir 1*90°, also sin(90° + 0°). Wenn wir jetzt hier 90° herauf addieren, dann haben wir bei 90°, die wir eingesetzt hatten 90°+90°, also 180°. Und sin(180°) ist 0. Wir haben also unseren idealen Verlauf der Sinusfunktion 90° nach links verschoben. Wir haben ja +90° gerechnet und damit 90° nach links verschoben. Setzen wir das hier zurück und wir sehen, jetzt hätten wir wieder 90° eingesetzt, sin(90°) wäre wieder die 1. Wenn wir jetzt 90° abziehen, bewegt sich der Graph nach rechts. Und wenn wir jetzt einsetzen f(90°) ist 90°-90°, also 0° wären hier drin. Und sin(0°) ist 0. Deshalb setzen wir hier bei 90° jetzt die 0 ein und nicht die 1. Ihr seht also mit diesem Wert hier, können wir unseren gesamten Graphen verschieben nach links oder nach rechts. Und jetzt hatten wir gesagt, der Cosinus ist nichts weiter als der Sinus um 90° verschoben. Erinnern wir uns: cos(0°) war 1. cos(90°) war 0. Das heißt wie können wir aus der Sinusfunktion den Kosinusgraphen erzeugen? Und richtig, wir müssen einfach nur 90° herauf addieren und wir haben unseren Kosinusgraphen. cos(0°) ist 1. cos(90°) ist 0, cos(180°) ist, richtig, -1 und cos(270°) ist 0. Und na klar, cos(360°), dann sind wir wieder bei 1. Und ihr seht hier unseren Kosinusgraphen. Als nächstes schauen wir uns den Wert hier hinten an und der müsste euch noch von den linearen Funktionen bekannt sein, wo wir ihn mit n bezeichnet hatten. Und wenn ihr euch erinnern könnt, dann wisst ihr, dass dieser Wert immer auf das Ergebnis hier heraufgeschlagen wird. Also wir erhalten hier diesen Wert von diesem Teil der Gleichung und addieren jetzt beispielsweise 0,5 herauf. Das heißt jeder Wert wird damit um 0,5 nach oben verschoben. Und diesen Wert können wir dann beliebig festlegen. Genauso können wir auch den Wert negativ machen und damit unseren Graphen nach unten verschieben. Hier um -0,5. Also jeder Wert wird um 0,5 herunter gesetzt. Oder wir können auch weiter runtergehen. Gut, jetzt haben wir alle verschiedenen Werte, die wir in der Sinusfunktion verändern können, durchgenommen. Ihr wisst also, dieser Wert hier vorne, allgemein als a bezeichnet, sorgt dafür, dass unser Graph nach oben entlang der y-Achse gestaucht oder gestreckt wird. Dieser Wert hier, auch mit b bezeichnet, sorgt dafür, dass unser Graph entlang der x-Achse gestaucht oder gestreckt wird. Dieser Wert hier mit allgemein c bezeichnet, ist der Winkel den wir herauf addieren und damit unseren Graph nach links verschieben oder wenn wir einen negativen Winkel hier haben, also -90° zum Beispiel, unseren Graphen 90° nach rechts schieben. Also wenn wir hier ein Plus haben nach links schieben. Ist hier ein Minus bitte nach rechts verschieben. Und hier hatten wir unsere letzte Variable allgemein d, die sorgt dafür, dass der Graph einfach verschoben wird - nach oben oder nach unten. Seine Form ändert sich hierbei jedoch nicht. Gleiches gilt natürlich auch für die Kosinusfunktion, die lässt sich analog verändern, denn sie ist ja nichts weiter als die um 90° verschobene Sinusfunktion. Auch hier haben wir die vier Parameter a, b, c und d und der Graph verändert sich entsprechend. Auch bei der Kosinusfunktion können wir den Graph nach oben strecken, nach unten stauchen. Wir können ihn nach links stauchen oder nach rechts strecken. Wir können ihn nach links verschieben, indem wir hier einen Winkel herauf addieren oder wir können ihn nach rechts verschieben, indem wir hier einen Winkel abziehen. Und natürlich können wir ihn auch nach oben oder nach unten verschieben. Also wie gesagt, die Veränderungen sind genauso wie bei der Sinusfunktion. Schauen wir uns noch die allgemeine Tangensfunktion an. Hier haben wir zwar nicht diese Sinuswelle, können aber den Graphen in etwa genauso verändern. Hier mit dem a, wenn wir das erhöhen, erhöhen sich alle Werte entsprechend, also bei 2* Tangeswerte, wird jeder einzelne Wert verdoppelt. Wir können auch zum Beispiel die Werte halbieren, indem wir *0,5 rechnen. Damit wird jeder Wert halbiert. Und wenn wir den Wert negativ gestalten spiegeln wir den Graphen von Tangens. Also auch das gleiche Prinzip wie bei Sinus und Cosinus. Hier 1 mal unser Winkel. Berechnen wir 2 mal unseren Winkel, seht ihr, auch hier wird die Tangesfunktion gestaucht entlang der x-Achse, also nach links gestaucht. Und wenn wir hier einen Wert unter 1 einstellen strecken wir die Tangesfunktion. Und bei negativen Werten haben wir die Tangesfunktion gespiegelt. Die +0°, unser c, da können wir jetzt, wenn wir einen positiven Wert herauf addieren, den gesamten Graphen nach links verschieben. Und richtig, wenn wir hier Minus haben, dann verschieben wir den Graphen nach rechts. Und das gleiche Spiel wie bei Sinus/Kosinus. Hier hinten, addieren wir einen Wert verschiebt sich der Graph nach oben. Subtrahieren wir einen Wert verschiebt sich der Graph nach unten. So kennt ihr also jetzt alle Möglichkeiten um die Graphen von Sinus, Kosinus und Tangens zu verändern.
Nennen wir zum Schluss noch die Fachbegriffe zu a, b, c und d, die man auch in der Physik wiederfindet. Unser a hier vorne nennt man „Amplitude“. Wobei Amplitude vom lateinischen „amplitudo“ kommt das so viel heißt wie „Größe“. Hiermit ist die Ausdehnung gemeint. Der maximale Bereich. Und die Amplitude ist die halbe Strecke zwischen größten und kleinsten Ausschlag. Also größer Ausschlag ist 1, kleinster Ausschlag ist -1. Die Strecke hierzwischen beträgt 2. Das heißt die Amplitude ist 1. 2/2 ist 1. Da übrigens die Amplitude eine Strecke ist, wird sie immer positiv angegeben und nie negativ. Wenn wir den Graph verschieben. Nach oben zum Beispiel, verändert sich die Amplitude nicht. Sie ist immer noch 1, da sich der Abstand zwischen dem minimalen und maximalen Wert nicht verändert hat. Die Amplitude verändert sich jedoch, wenn wir den Wert erhöhen, zum Beispiel auf 1,4, dann ist die Amplitude 1,4. Gut, der nächste Wert, der Wert vor dem x wird „Frequenz“ genannt. Frequenz, lateinisch von „frequentia“ heißt „Häufigkeit“. Also wie häufig wir eine Schwingung in einem Intervall haben. Hier bei uns von 0° bis 360°. Wir haben also einmal eine Sinusschwingung in diesem Bereich. Wenn wir jetzt 2 mal unseren Winkel berechnen. 2*x. Haben wir eins, zweimal eine Sinusschwingung im Bereich 0° bis 360°. Erhöhen wir den Wert auf 4 und wir haben 4 Schwingungen im Intervall 0° bis 360°. Wir merken uns, der Wert vor dem x gibt uns die Frequenz an. Und rechnen wir 360° durch die Frequenz kommen wir auf die Periode. Also 360°/4 ergibt 90°. Das heißt von 0° bis 90° haben wir unsere Sinusschwingung, die sich dann eben viermal wiederholt. 360°/2, dann haben wir 180°, also von 0° bis 180°, das ist die Periode unserer Sinusschwingung. Deshalb sagt man zur Periode auch Schwingungsdauer: Wie lange dauert es bis die Schwingung vollzogen ist. Gut, diesen Wert hier nennt man „Phasenverschiebung“, denn wir verschieben unseren Graphen nach links bzw. nach rechts. Wir verschieben seine Phase. Phase kommt übrigens aus dem griechischen „phasis“ und heißt „Erscheinung“. Das heißt Phasenverschiebung heißt nichts anderes als den Graphen, also die Darstellung des Graphen, zu verschieben. Gut, kommen wir zum letzten Wert mit dem wir unseren Graphen ja hoch und runter verschieben können. Für diesen gibt es keinen besonderen Fachbegriff, jedoch erkennen wir, dass um diesen Wert herum unsere Sinusfunktion schwingt. Also wenn wir den Wert auf 0,5 setzen, können wir die Gerade bei 0,5 einzeichnen und dort herum schwingt unser Graph. Gut, jetzt haben wir alle wesentlichen Informationen zu den trigonometrischen Funktionen kennen gelernt und können diese verstehen und anwenden. Schauen wir uns als nächstes an, warum ihr in den meisten Büchern hier keine Gradzahlen findet, sondern sogenannte Bogenmaß. Also Werte, die in der Einheit „Radiant“ angegeben werden und mit der Kreiszahl π zusammenhängen. Stürzen wir uns also auf die nächste Lektion „Das Bogenmaß“.