TRI01: Einführung zur Trigonometrie

Hallo und herzlich willkommen zum Themenbereich Trigonometrie. Wir werden uns in den folgenden Lektionen das Thema detailliert anschauen, so dass Ihr alle möglichen Aufgaben der Trigonometrie damit lösen könnt, und natürlich, dass Ihr die Trigonometrie ausreichend versteht.
Legen wir los mit dem Wort „Trigonometrie“ - was bedeutet das überhaupt? Wenn wir uns das Wort anschauen Trigono-metrie, stellen wir fest, dass da schon mal zwei Wörter drin stecken: „Trigono“ und „metrie“. Und „Tri“, das kennt Ihr auch, das ist eine griechische Vorsilbe, und die bedeutet „Drei“. Die Vorsilbe findet Ihr im Deutschen immer noch, zum Beispiel bei Trimester, das sind drei Monate, oder bei Triangel, dem Musikinstrument, oder aber auch bei der Trikolore, das ist die französische Flagge, die dreifarbig ist. Gut, was heißt jetzt „gon“ oder „gono“? Dieses „gon“ findet Ihr zum Beispiel bei dem Wort Polygon, also Vieleck, und spezielle Polygone, da wäre zum Beispiel das Hexagon, oder Hexagon (letzte Silbe kurz ausgesprochen) zu nennen, oder das Pentagon, also zu Deutsch das Sechseck oder das Fünfeck, also „Gon“ heißt nichts weiter als „Eck“ - merken wir uns das! Und tatsächlich: Im Griechischen steht „Trigon“ für Dreieck. Ist also noch zu klären, was „Metrie“ heißt, und „Metrie“, das findet Ihr wieder in unserem deutschen Wort „Meter“, und das bedeutet eigentlich nichts weiter als das Maß, und da kennt Ihr natürlich auch so etwas wie die Geometrie als Beispiel, „Geo“ für Erde und „Metrie“ Maß, also die Erdvermessung. Und genau so haben wir bei „Trigon“ / „Trigonometrie“ die – richtig! - Dreiecksvermessung. Das ist also das, was Trigonometrie bedeutet: Dreiecksmessung bzw. Dreiecksvermessung. Und da es hier um Dreiecke geht, ist die Trigonometrie ein Teilgebiet der Geometrie. Wir wollen also Wege finden, wie wir unkompliziert Dreiecke schnell berechnen können, also fehlende Seiten, fehlende Winkel von Dreiecken. Und gleich vorab gesagt: Die Trigonometrie benutzt dazu Verhältnisse, also Werte von Verhältnissen.
Blicken wir einmal auf die Geschichte der Trigonometrie und schauen uns das ein bisschen genauer an: Vor mehr als 2000 Jahren lebte im alten Griechenland zur Zeit der Antike ein Mann namens Hipparchos. Er war Mathematiker und Astronom und gilt als Begründer der Trigonometrie. Er hat folgenden Zusammenhang entdeckt: Nehmen wir uns als erstes einen Kreis mit einem Mittelpunkt und setzen zwei Punkte auf diese Kreislinie, also hier einen und hier einen. Wenn wir jetzt die beiden Punkte hier verbinden, entsteht eine gerade Linie, und diese direkte Linie zwischen den beiden Punkten nennt man „Sehne“. Wenn wir jetzt noch den Punkt mit dem Mittelpunkt verbinden und diesen Punkt mit diesem Mittelpunkt verbinden, haben wir mit den zwei neuen Strecken, jeweils den Radius, also die Länge vom Mittelpunkt bis nach außen, das ist der Radius, und wir erhalten gleichzeitig ein Dreieck. Und dieses Dreieck hat hier einen Winkel. Hipparchos hat nun entdeckt, dass man ja die Länge der Sehne, die grüne Linie, dividiert durch den Radius, also die Länge des Radius, dass dort ein Wert herauskommt, ein Verhältniswert, der jeweils einzigartig ist für jeden Winkel; also jeder Winkel hat einen Wert, der für diese Division gilt. Schauen wir uns das mit einem Programm an, damit uns das Verstehen leichter fällt. Hier haben wir einen Radius, der sei jetzt mal 60, und wir haben, wenn wir den nach oben bewegen, zwei Punkte. Also wir können diesen Punkt und diesen Punkt bewegen, und wir erhalten die Sehne und hier zweimal den Radius eingezeichnet. Und hier ist unser Winkel, in dem Fall gerade 90 Grad. Und Hipparchos hat jetzt gemessen: 84,853 für die Sehne, dividiert durch den Radius 60, wie Ihr hier gut sehen könnt – Radius ist 60 -, und wenn wir jetzt mal kurz hier unten links gucken: Sehne durch Radius, also dieser Strich soll hier ein Bruchstrich sein, beziehungsweise Division, das heißt 84,853 durch 60 ist 1,414. Wenn wir jetzt den Radius verändern, sagen wir mal nicht 60 nehmen, sondern 150, sehen wir, dass wenn der Radius 150 lang ist, die Sehne einen Wert von 212,13 hat, also 212,13 Meter dividiert durch 150 Meter. Und wenn wir jetzt hier unten wieder schauen, kommt der Wert 1,414 raus, also genau der gleiche, den wir grad davor hatten bei einem Radius von 60. Und wir können hier beliebige beliebige Radien einstellen, zum Beispiel 22, und wir sehen: 31,113 durch 22 ist 1,414. Der Wert für 90 Grad ist also immer 1,414. Und dieses Prinzip gilt für jeden Winkel, das heißt: Jeder Winkel hat seinen eigenen Wert. Wenn wir jetzt hier bei 0 Grad mal anfangen wollen, sehen wir, dass die Sehne bei 0 Grad keine Länge hat, also eine Länge von 0. Null durch Radius 22 ist 0. Und da ist auch egal, welchen Radius ich hier eintrage, die Sehne bleibt immer 0. Um uns jetzt die Werte leichter vor Augen zu führen, stellen wir den Radius hier mal auf 1. Warum? Wenn der Radius 1 ist, schauen wir wieder unten bei der Berechnung und stellen vorher noch einen Winkel ein, ist die Sehne immer so lang wie unser Verhältniswert. Also bei 90 Grad hatten wir 1,414 herausbekommen, und hier, wie Ihr seht, die Sehne ist 1,414 lang. Also das ist das Schöne: Wenn der Radius 1 ist, dann können wir den Wert immer an der Sehne ablesen. Wenn wir jetzt also bei 0 starten, haben wir einen „chord“-Wert - also das haben wir haben wir noch nicht erwähnt - „chord“ kommt von Chorda, lateinisch für Sehne. Also das heißt einfach: Wir haben hier eine „Sehnenfunktion“. Und Funktion meint bloß: Wir legen einen Winkel fest, und zu dem Winkel gibt’s dann einen Wert. Das heißt bei 0 Grad haben wir 0 als Verhältniswert. Nehmen wir jetzt mal 20 Grad, dann haben wir 0,347 als chord-Wert. Nehmen wir mal 60 Grad, da haben wir 1 als chord-Wert. Bei 90 Grad, das hatten wir schon gesagt, haben wir 1,414; und wie Ihr seht, wenn wir den auf 180 Grad hochziehen, dann stoßen wir letztlich auf den Wert – richtig! - 2. Der Verhältniswert ist 2 in diesem Fall, weil die Sehne zweimal dem Radius entspricht.
Gut, wie hilft uns das jetzt bei der Vermessung von Dreiecken? Wir können uns folgendes vorstellen: Wenn wir bei dem chord-Wert 60 Grad gleich 1 herausbekommen, wissen wir, dass die Sehne einmal dem Radius entspricht. Also wenn der Radius 1 ist, wie hier in unserem Beispiel, muss die Sehne auch 1 lang sein. Ist der Radius 50, muss die Sehne auch 50 lang sein. Haben wir jetzt einen Winkel von 27 Grad beispielsweise, dann haben wir einen chord-Wert von 0,467. Das heißt also: Die Sehne ist 0,467 mal so lang wie der Radius. Wenn wir also einen Radius von 30 haben, müssen wir, wie's hier steht, 0,467 mal 30 rechnen und kommen dann auf 14,007. Radius 30, davon der Anteil 0,467, ergibt 14,007 für die Sehne, für die Länge der Sehne. Das heißt: Wir rechnen hier mit Verhältniswerten. Gucken wir uns mal die Übersicht dazu an. Das Verhältnis von Sehnenlänge zu Radius ist bei jedem Winkel ein eindeutiger Wert, unabhängig von der Kreisgröße.
Das sehen wir auch hier unten, denn Hipparchos hatte genau solche Tabellen angelegt. Er hatte gesagt: 0 Grad hat den chord-Wert 0; 10 Grad 0,174; 20 Grad 0,347 und so weiter bis 180 Grad mit dem Wert 2. Also der chord-Wert ist immer zwischen 0 und 2, was nichts weiter heißt, als das die Sehne 0 mal den Radius lang sein kann bis genau 2 mal den Radius lang sein kann. Also das sind die chord-Werte. Wie wir grad gesagt haben: Der Verhältniswert s/r gibt an, um wieviel die Sehne länger oder kürzer ist als der Radius, also ein Faktor, mit dem wir den Radius multiplizieren müssen. Und wir sehen außerdem: Aus dem Verhältniswert folgt der Winkel, also wenn wir einen Wert von 0,174 haben, ist der Winkel auf jeden Fall 10 Grad. Und genauso andersrum: Aus dem Winkel folgt der Verhältniswert. Haben wir 10 Grad, ist der chord-Wert immer 0,174. Gut. Vielleicht haben nicht alle diesen Zusammenhang verstanden, das ist aber auch kein Problem, denn wir schauen uns in den folgenden Videos die moderne Trigonometrie im Detail an. Das hier ist der Vorgänger unserer heutigen Trigonometrie, die ähnlich funktioniert. Aber sobald Ihr dieses Prinzip verstanden habt, seid Ihr schon einen großen Schritt weiter im Verständnis. Machen wir noch ein Anwendungsbeispiel, so dass Ihr den Sachverhalt noch besser vor Augen habt: Sagen wir, wir haben hier eine Insel. Also der grüne Bereich ist eine Insel, und drum herum ist Wasser. Jetzt haben wir, nehmen wir das hier kurz zur Seite, hier einen Hafen und hier einen Hafen. Und wir wollen berechnen, wie weit die beiden voneinander entfernt sind. Das ist natürlich nicht so einfach, wenn man das messen wollte, aber mit unserer Sehnenrechnung hier, unserer Sehnenfunktion, die wir grad kennengelernt haben, können wir diese Aufgabe lösen: Wir legen einen Kreis so über die Karte, dass die beiden Häfen auf der Kreislinie liegen. Dann haben wir hier den Kreismittelpunkt und wir können jetzt den einen Radius auf den einen Hafen legen, das heißt eigentlich nichts weiter, als dass wir vom Hafen hier direkt zu diesem Punkt laufen, und genauso von hier laufen wir jetzt direkt zu diesem Mittelpunkt. Wir stellen also diesen Punkt hier auch ein. Wir sehen jetzt, wir haben einen Winkel mit 94 Grad. Und wir sehen auch, dass bei 94 Grad der chord-Wert 1,463 ist. Also die Sehne ist 1,463 mal länger als der Radius. Gut, und wenn wir das jetzt hier ablaufen, für die Aufgabe sagen wir: Die Strecke, also der Radius hat eine Länge von 35 Kilometern. 35 Kilometer von hier aus, und 35 Kilometer nach hier oben. Das heißt, unseren Radius legen wir jetzt auf 35 Kilometer fest. Und schon sehen wir, dass die Sehne 51,195 Kilometer lang ist. Wir haben also den Verhältniswert 1,463, den chord-Wert, mal 35 gerechnet, und sind auf 51,2 Kilometer gekommen. Gut, mit diesem System hat also Hipparchos und viele, viele Wissenschaftler nach ihm gearbeitet. Mehr als 600 Jahre nach Hipparchos lebte ein indischer Gelehrter namens Aryabhata, und dieser Aryabhata hat die Trigonometrie weiter entwickelt. Er hat nicht die Sehne benutzt, wie wir's hier gemacht haben, sondern er hat die halbe Sehne benutzt. Wenn wir jetzt mal den Winkel fixieren, also festmachen, dass er sich gleichmäßig öffnet und schließt, sehen wir ja, dass sich hier zwei rechtwinklige Dreiecke verbergen, oben ein rechtwinkliges Dreieck und unten ein rechtwinkliges Dreieck. Das erklären wir auch noch später im Detail. Und Aryabhata hat den unteren Bereich sozusagen nicht benutzt. Er hat also nur die Halbe Sehne verwendet. Und aus dieser halben Sehne hat sich dann unser Sinus entwickelt, den wir Euch ebenfalls in den folgenden Videos erklären werden. Soviel zum Historischen; schauen wir uns noch ein paar Anwendungsgebiete der Trigonometrie an:
Wir hatten ja schon gezeigt, man kann die Trigonometrie zur Landvermessung benutzen; man kann sie ebenfalls für die Astronomie benutzen, bei der insbesondere die sphärische Trigonometrie Anwendung findet. „Sphärisch“ meint, dass die Dreiecke auf Kugeln liegen und damit gekrümmt sind. Für unsere Lektion schauen wir uns jedoch nur die ebene Trigonometrie an, das heißt, die Dreiecke, die nicht gekrümmt sind, sondern die auf einer geraden Ebene liegen.
Die Trigonometrie findet auch Anwendung in der Physik und damit natürlich im gesamten Ingenieurwesen. Das heißt, wenn Ihr zum Beispiel Euer Navigationssystem aktiviert, dann wird aus der Position der Satelliten mit Hilfe der Trigonometrie Eure Position bestimmt. Auch lassen sich Akustische Wellen mit Hilfe von trigonometrischen Funktionen darstellen. Ihr werdet auch noch weitere Anwendungsgebiete der Trigonometrie finden, aber das sei jetzt als Beispiel gegeben. In der Schule trefft Ihr oft auf Aufgaben der Landvermessung, aber auch der Höhenmessung. Hierzu wollen wir uns jetzt mal ein Beispiel anschauen, so wie wir es in der Schule antreffen werden:
Stellen wir uns vor, wir sind in Paris, stehen weit entfernt vom Eiffelturm und wollen wissen, wie weit entfernt wir vom Eiffelturm stehen. Und genau hierfür können wir die moderne Trigonometrie benutzen. Wir können als erstes den Winkel einstellen, direkt auf die Spitze des Eiffelturms, und haben jetzt hier einen sogenannten „Sinus“-Wert – bei 35 Grad ist der 0,574 -, und hier haben wir einen sogenannten „Kosinus“-Wert, bei 35 Grad ist der 0,819. Wie diese Werte zustande kommen und was sie bedeuten, das klären wir in Ruhe in den nächsten Teilen. Jetzt erstmal nur als Beispiel: Wir können diese Werte benutzen, um die Distanz, um die Entfernung heraus zu bekommen. Wir brauchen jetzt nämlich nichts weiter machen, als die Höhe des Eiffelturms einzutragen. Und die Gesamthöhe, das haben wir zum Beispiel im Reiseführer gesehen, beträgt inklusive Antenne 324 Meter. Und schon ergibt sich für uns hier unten die Distanz zum Eiffelturm, mit 462 Metern und 72 Zentimetern. Das heißt: Wir haben nur einen Winkel gehabt und die Höhe des Eiffelturms, und haben daraus ermitteln können, wie weit wir entfernt stehen. Und das ist Trigonometrie: Eine Vereinfachung der Messung von Dreiecken auf Grundlage von Verhältniswerten. Hier unten seht Ihr kurz, wie der Zusammenhang ist, aber wie gesagt, das erklären wir in den folgenden Lektionen.