TRI04: Sinus und Kosinus (einfach erklärt)

Hallo liebe Schüler! Wir hatten uns die Kreise, Winkel und rechtwinkligen Dreiecke angeschaut, jetzt geht es endlich los mit dem Sinus und Kosinus. Wozu brauchen wir das überhaupt? Beim Satz des Pythagoras hatten wir ja festgestellt: Sobald wir zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks haben, können wir jederzeit die dritte Seite berechnen. Doch was machen wir bei dem Fall, wenn wir nur eine Seite gegeben haben und die zwei anderen Seiten nicht bekannt sind? Gibt es dann eine Chance, diese Sache zu berechnen? Und die Frage kann mit „ja“ beantwortet werden, denn der Sinus hilft uns dabei. Sobald wir eine Seite haben und den Winkel, der gegenüber liegt, in dem Fall α, können wir das rechtwinklige Dreieck berechnen. Wir gucken uns das gleich genau an, vorher müssen wir noch ein paar Begriffe klären:
Hier sehen wir ein rechtwinkliges Dreieck, hier ist der rechte Winkel, hier α, hier β, und wir haben die drei Seiten. Und hier oben steht es schon: Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse. Das sind wichtige Begriffe, die wir auf jeden Fall beherrschen müssen. Das Wichtigste ist die „Hypotenuse“, und das ist auch das einfachste, denn das ist immer die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks. Und die längste Seite liegt immer dem rechten Winkel gegenüber. Also wenn Euch jemand nach der Hypotenuse fragt, schaut Ihr: Wo ist der rechte Winkel? Habt die Seite gegenüber, und das ist die Hypotenuse. Übersetzt heißt „Hypotenuse“ übrigens so viel wie „die Ausgestreckte“. Und wie gesagt, Ihr merkt Euch: Es ist immer die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks. Die anderen beiden Seiten heißen „Katheten“, die beiden kürzeren Seiten, und eine Kathete kann entweder sein „Gegenkathete“ oder „Ankathete“. Also je nachdem, welchen Winkel wir hier auswählen, verändern sich die Begriffe. Nehmen wir als erstes β. Aktivieren wir ihn, und Ihr seht: β blickt auf diese Kathete, diese Kathete liegt β gegenüber, und bei „gegenüber“ könnt Ihr Euch gleich merken, das ist dann die „Gegenkathete“. Also β schaut auf seine Gegenkathete. Und natürlich, β hat an seinem Fuße die „Ankathete“, die liegt am Fuße von β. Und selbst wenn wir jetzt das Dreieck rotieren, seht Ihr, verändert sich die Gegenkathete nicht, und die Ankathete bleibt ebenfalls hier an β. Also am einfachsten ist es, Ihr merkt Euch: β schaut immer gegen eine Wand gegenüber, das ist die Gegenkathete, β hat noch zwei Seiten, die an ihm anliegen, das heißt, eine von denen muss die Hypotenuse sein, die längste Seite im Dreieck, dann kann die andere Seite nur die Ankathete sein.
Und schauen wir, was für α gilt: α schaut auf seine Gegenkathete, und an α liegt die Ankathete. Und wenn wir hier jetzt auch mal das Dreieck drehen, seht Ihr ganz gut, wenn wir uns vorstellen, hier ist eine Wand, dann schaut α gegen die Wand, also zur Gegenkathete. Und an α dran liegen zwei Seiten, die Hypotenuse, die längste Seite, und die kürzere Seite, das ist dann die Ankathete von α.
Diese Begriffe spielen eine wesentliche Rolle, deshalb erklären wir sie hier ausführlich. Ihr müsst sie auf jeden Fall beherrschen.
Und wer sich jetzt fragt: Was ist mit γ? Für γ gibt’s weder Gegenkathete noch Ankathete, hier haben wir nur die längste Seite, die Hypotenuse.
Gut, im nächsten Schritt schauen wir uns rechtwinklige Dreiecke in verschiedenen Größen an: Also wir haben hier das rechtwinklige Dreieck, hier ist der rechte Winkel, und hier haben wir β eingetragen. Und β schaut auf seine Gegenkathete, also auf diese Seite des Dreiecks, GK abgekürzt für Gegenkathete, und an β liegt seine Ankathete, mit AK abgekürzt. Und Hypotenuse, hier die grüne Linie, die längste Seite im Dreieck mit 8 Zentimetern, abgekürzt mit HY. Der Winkel ist 30 Grad, wie wir hier sehen, und jetzt wollen wir folgendes feststellen:
Wir können ja das Dreieck in seiner Größe verändern, und wir Ihr seht: Gegenkathete, die Ankathete und die Hypotenuse, alle verändern ihren Wert. Es sieht auf den ersten Blick sehr willkürlich aus, also es scheint kein Zusammenhang zu bestehen. Doch wir können folgendes machen: Wir können die Hypotenuse und die Gegenkathete zum Beispiel in ein Verhältnis stellen. Verhältnis meint, wir dividieren die eine Seite durch die andere Seite. Und wenn wir jetzt mal die Gegenkathete mit 4 Zentimetern dividieren durch die Hypotenuse mit 8 Zentimetern - 4 durch 8 sind 0,5 -, haben wir also einen Verhältniswert. Und hier oben steht's auch: Gegenkathete Bruchstrich Hypotenuse, 4 Zentimeter zu 8 Zentimeter oder durch 8 Zentimeter ist 0,5. Wenn wir jetzt die Größe des Dreiecks verändern, dabei bleibt übrigens – ganz wichtig! - immer der Winkel gleich, also immer 30 Grad, wenn wir es also jetzt verkleinern zum Beispiel auf eine Gegenkathete von 3 Zentimetern, dann sehen wir, ist die Hypotenuse 6 Zentimeter lang. 3 durch 6 ist 0,5, also wieder der gleiche Wert 0,5, wie auch bei 4 durch 8 da stand. Verkleinern wir weiter auf zum Beispiel Gegenkathete von 2, sehen wir: 2 durch 4 sind 0,5. Das heißt, egal welche Größe wir für dieses Dreieck haben, bei einem Winkel von 30 Grad erhalten wir, wenn wir die Gegenkathete durch die Hypotenuse dividieren, immer 0,5. Oder mit anderen Worten ausgedrückt: Die Gegenkathete ist immer 0,5mal so lang wie die Hypotenuse, also halb so lang bei einem Winkel von 30 Grad. Hier: 11,42 Zentimeter für die Hypotenuse, wir wissen, die muss 0,5mal so lang sein wie die, das heißt 11,42, davon die Hälfte sind 5,71. Oder man kann es auch andersrum betrachten: Wenn wir jetzt hier 5 Zentimeter haben, dann wissen wir, die Hypotenuse muss doppelt so lang sein. Genauso können wir das auch für die Ankathete machen: Wir können die Ankathete in ein Verhältnis zur Hypotenuse setzen. Bei einem Winkel von 30 Grad sehen wir: Die Ankathete ist für diesen Fall 8,67 Zentimeter, die Hypotenuse 10 Zentimeter, und 8,67 durch 10 ist rund 0,87. Verkleinern wir unser Dreieck, 6 in Verhältnis zu 6,92, also 6 durch 6,92 ist 0,87. Und auch hier können wir beliebige Größen einstellen, und wir werden immer 0,87 für das Verhältnis Ankathete durch Hypotenuse herausbekommen. Wir können uns diese Verhältniswerte übrigens auch direkt am Dreieck anschauen, 0,5 und 0,87, und jetzt seht Ihr: Das Verhältnis verändert sich nie! Die Gegenkathete wird immer 0,5mal so groß sein wie die Hypotenuse, und die Ankathete wird immer 0,87mal so groß sein wie die Hypotenuse. Diese Verhältniswerte gelten also immer bei einem Winkel von 30 Grad. Und noch als Hinweis: 0,5, das hatten wir bei der Prozentrechnung gelernt, ist ja das Gleiche wie 50 durch 100, und das sind dann 50 Prozent. Und 0,87 kann auch geschrieben werden als 87 Prozent. Und dann kann man eben sagen: 50 Prozent von der Hypotenuse, das ist unsere Länge der Gegenkathete, und 87 Prozent der Hypotenuse, das ist unsere Länge der Ankathete. Wie ändern sich jetzt diese Werte für die Gegenkathete und für die Ankathete? Wenn wir unseren Winkel hier verändern, seht Ihr, verändern sie sich. Das heißt, die Seitenverhältnisse sind abhängig vom Winkel! Und gehen wir mal auf den Winkel 0, dann haben wir gar kein Dreieck mehr, denn dann liegt die Hypotenuse auf der Ankathete. Also Ihr seht, die grüne Linie legt sich auf die rote Linie. Und was passiert dann? Die Gegenkathete, die ja hier schon sehr klein ist, wird 0. Also wenn wir jetzt die Länge der Gegenkathete durch die Hypotenuse dividieren wollen, nehmen wir hier nochmal die Zentimeterangabe, 8,82 Zentimeter ist die Hypotenuse, jetzt ist sie 8,74, und 0 durch 8,74 ist 0, weil 0 durch jeden Wert ist 0. Anders ausgedrückt: Die Gegenkathete ist 0mal so lang wie die Hypotenuse. Und 8,74 mal 0, natürlich kommen wir auf 0. Und die Ankathete hat jetzt die gleiche Länge wie die Hypotenuse, und das sehen wir hier, 8,74 durch 8,74 ist 1. Also die Ankathete ist einmal so lang wie die Hypotenuse, beziehungsweise man kann auch sagen: Die Ankathete hat 100 Prozent der Länge von der Hypotenuse. Wenn wir jetzt unser Dreieck aufspannen und uns dabei wieder die Verhältniswerte nur angucken, sehen wir, dass die Ankathete abnimmt in ihrer Länge im Verhältnis zur Hypotenuse - machen wir unser Dreieck ein bisschen kleiner, dann sieht man das besser; und umso größer der Winkel jetzt wird, umso näher er der 90 Grad kommt, desto größer wird die Gegenkathete und desto kleiner wird die Ankathete im Verhältnis. Nehmen wir einen vernünftigen Wert wie zum Beispiel 60 Grad, dann seht Ihr: Bei 60 Grad ist die Gegenkathete 0,87mal so lang wie die Hypotenuse und die Ankathete 0,5mal so lang wie die Hypotenuse. Und wenn wir hier auf 90 Grad gehen, dann seht Ihr schon: Die Gegenkathete wird immer größer, bis sie den Wert 1 hat, also bis sie genauso lang ist wie die Hypotenuse. Und die Ankathete wird damit 0, also 0mal so groß wie die Hypotenuse. Ein wichtiger Hinweis noch: Da sich die Zentimeterwerte immer unterscheiden, je nachdem, wie groß oder klein unser Dreieck ist, können wir einen kleinen Trick anwenden, bei dem die Werte, also die Verhältniswerte immer direkt angezeigt werden. Und zwar machen wir unser Dreieck so klein, dass die Hypotenuse genau einen Zentimeter groß ist. Was erreichen wir damit? Wir Ihr hier oben sehen könnt: Wir haben jetzt 0,57 Zentimeter für die Gegenkathete, die Höhe, hier zu erkennen, und 0,57 durch ein Zentimeter, die Hypotenuse, ist 0,57. Das ist ja auch genau der Verhältniswert: 0,57. Und gleiches für die Ankathete: Die Ankathete ist 0,82 Zentimeter lang, durch einen Zentimeter ist wieder 0,82. Das heißt, indem wir die Hypotenuse auf ein Zentimeter gebracht haben, können wir die Verhältniswerte direkt an der Gegenkathete und an der Ankathete ablesen.
Gut, nehmen wir ein Programm zu Hilfe, bei dem man das besser erkennen kann.
Doch hierzu mehr im nächsten Teil, in dem wir uns dann auch die Begriffe für die Seitenverhältnisse anschauen, und zwar das Seitenverhältnis an der Gegenkathete, das man „Sinus“ nennt und das Seitenverhältnis an der Ankathete, das man „Kosinus“ nennt.

Bei diesem Programm haben wir hier unser rechtwinkliges Dreieck, die Hypotenuse, die längste Seite, die ist ein Zentimeter lang, dann haben wir hier die Gegenkathete dieses Winkels, und hier die Ankathete dieses Winkels. Und weil wir jetzt die Hypotenuse auf ein Zentimeter angepasst haben, ist die Länge dieser Gegenkathete immer entsprechend dem Verhältniswert. Also die Länge wäre 0,5 Zentimeter, die Länge der Hypotenuse wäre ein Zentimeter, und 0,5 Zentimeter durch ein Zentimeter ergibt den Wert 0,5, also der hier auch steht. Und genauso für die Ankathete: 0,866 Zentimeter durch ein Zentimeter ist 0,866, unser Verhältniswert. Hier unten seht Ihr auch die Berechnung. Und noch als Hinweis: Dieser Kreisbogen, den Ihr hier seht, und auf dem wir unseren Punkt des Dreiecks verschieben können, gewährleistet, dass die Hypotenuse immer 1 lang ist, sie ist also immer auf 1 begrenzt, und damit haben wir hier immer unsere Verhältniswerte an den Katheten. Achtet bitte auch darauf, dass wir den Wert des Winkels, den wir hier lila eingetragen haben, einmal unter dem Winkel ablesen können und einmal auf diesem Kreisbogen. Also den Wert, den haben wir ausnahmsweise auch hier oben an diesen Punkt geschrieben. Und jetzt nochmal das, was wir darstellen wollten beziehungsweise schon dargestellt haben: Wenn der Winkel 0 Grad ist, hat die Gegenkathete den Wert von 0 und die Ankathete den Wert von 1, also sie ist einmal so lang wie die Hypotenuse, und wenn wir ihn 90 Grad einstellen, seht Ihr: Die blaue Linie wird immer länger, bis sie dann schließlich so lang ist wie unsere Hypotenuse, also einmal die Hypotenuse lang. Und die Ankathete, gucken wir noch mal, wird immer kleiner, bis sie schließlich 0 erreicht bei 90 Grad, also 0mal die Hypotenuse lang ist, also gar keine Länge mehr hat.
Gut, kommen wir zu den Begriffen „Sinus“ und „Kosinus“. Wir haben uns ja jetzt die Verhältniswerte an der Gegenkathete und an der Ankathete angeschaut, und damit wir sie beide besser unterscheiden können, nennen wir den an der Gegenkathete einfach „Sinus“, und für den an der Ankathete benutzen wir den Begriff „Kosinus“. Sinus nennt man den Verhältniswert an der Gegenkathete und Kosinus den Verhältniswert an der Ankathete. Sinus wird abgekürzt mit „sin“, und dann schreiben wir sin(der Winkel) ist gleich der Verhältniswert. Also nehmen wir mal die 30 Grad, die wir hatten: sin(30°) = 0,5. Und das heißt: Bei 30 Grad ist die Gegenkathete 0,5mal so lang wie die Hypotenuse. Und Kosinus wird mit „cos“ abgekürzt, und Kosinus von 30 Grad hat den Verhältniswert 0,866. Das heißt wiederum: Bei 30 Grad ist die Ankathete 0,866mal so lang wie die Hypotenuse. Bitte übt diesen Zusammenhang mit diesem Programm, das Ihr auf echteinfach.tv findet!
Und wir hatten es kurz vorhin erwähnt, wir könnten die Verhältniswerte auch als Prozente schreiben, zum besseren Verständnis. Also wie Ihr seht, haben wir für die Gegenkathete Werte von 0 Prozent bis schließlich 100 Prozent. Und gleichfalls für die Ankathete: Bei 90 Grad 0 Prozent, und wenn wir sie auf 0 Grad bringen, 100 Prozent. Dann hat sie die Länge der Hypotenuse. Merkt Euch also für Sinus und Kosinus: Kosinus ist immer der Wert für die Ankathete, Sinus immer der Wert für die Gegenkathete. Und wenn wir uns jetzt mal diesen Punkt hier, den wir die ganze Zeit verschieben, mit den Koordinaten anschauen, sehen wir, dass die x-Koordinate dieses Punktes 0,695 ist, und das ist ja auch die Länge unserer Ankathete; also die ist 0,695 lang, von 0 bis 0,695, und das entspricht ja, wie wir gesagt haben, dem Kosinuswert, das heißt: Die x-Koordinate des Punktes ist der Kosinuswert. Und für die y-Koordinate haben wir 0,719, und das ist die Höhe der Gegenkathete, auch hier drüben abzulesen auf der y-Achse. Von 0 bis 0,719, das ist der Wert für die Gegenkathete beziehungsweise, wie wir festgestellt haben, ist das unser Sinuswert.
Das heißt also: An den Koordinaten des Punktes können wir die Werte für Sinus und Kosinus ablesen. Wenn die Hypotenuse 1 ist, zeigt uns die Gegenkathete den Sinuswert; oder wir können auch auf den Punkt schauen, und hier haben wir den y-Wert, der ebenfalls der Sinuswert ist. Für den Kosinus haben wir die Länge der Ankathete 0,695 oder aber auch hier 0,695 für die x-Koordinate unseres Punktes. Also ganz einfach ausgedrückt:
Der Sinuswert des Winkels ist immer die Höhe der Gegenkathete, und der Kosinus unseres Winkels ist immer die Breite der Ankathete. Am besten Ihr merkt Euch: Sinus ist gleich Höhe, und Kosinus ist gleich Breite; beziehungsweise Sinus ist gleich der y-Wert, und Kosinus ist gleich der x-Wert. Und mit „Wert“ meinen wir natürlich den Verhältniswert, beim Sinus Gegenkathete durch Hypotenuse, und beim Kosinus Ankathete durch Hypotenuse.
Und jetzt können wir natürlich auch noch die Sachen, die wir Euch gezeigt haben, intensiver darstellen; wir könnten jetzt die Hypotenuse direkt auf die Gegenkathete einzeichnen, und dann seht Ihr hier direkt den Anteil der Gegenkathete an der Hypotenuse. Also die ist immer 1 lang, und die Gegenkathete kann Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Genauso können wir uns die Hypotenuse als Hilfslinie auf die x-Achse setzen, also auf die Ankathete, und auch hier erkennen wir, dass die Ankathete Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann, je nachdem, welcher Winkel eingestellt ist.
Wir sehen also: Für Winkel zwischen 0 und 90 Grad können Sinus und Kosinus Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Wie gesagt, diesen Zusammenhang könnt Ihr gerne mit diesem Programm üben, Ihr könnt hier auch die Ankathete ausblenden und die Hypotenuse zum Beispiel und habt hier jetzt nur die Sinuswerte angezeigt. Genauso könnt Ihr Euch auch die Gegenkathete ausblenden lassen und nur die Ankathete anzeigen, und dann seht Ihr hier auch die Werte für den Kosinus.
Guckt Euch auch die Koordinaten dieses Punktes an, und versucht, an seinen Koordinaten die Werte für Kosinus und Sinus abzulesen.
Noch ein Hinweis, vielleicht sogar der wichtigste Hinweis, den wir noch nicht gegeben haben: Jeder Winkel, als Beispiel Sinus von 30 Grad, hat einen eindeutigen Verhältniswert, wir sagen Sinuswert!
Sinuswert bei 30 Grad ist also 0,5, was wiederum heißt: Wenn wir den Winkel 30 Grad haben, wissen wir, dass die Gegenkathete 0,5mal so lang sein muss wie die Hypotenuse. Und das können wir zum Berechnen benutzen. Und wenn Ihr dieses Programm benutzt, könnt Ihr feststellen: Jeder Winkel hat seinen eigenen Sinuswert. Der Sinus von 15 Grad beträgt 0,259, der Sinus von 61 Grad beträgt 0,875 und so weiter. Wie gesagt: Jeder Winkel hat seinen eigenen Sinuswert und auch seinen eigenen Kosinuswert. Die Zuordnung ist jeweils eindeutig, sofern wir uns nur Winkel von 0 bis 90 Grad anschauen. Das heißt, wir können für jeden Winkel einen Sinuswert bestimmen, und wir können auch für jeden Winkel einen Kosinuswert bestimmen. Das heißt, wenn wir uns die Sinuswerte anschauen: Bei 0 Grad 0, bei 1 Grad 0,017, 2 Grad mit 0,035 und so weiter, können wir eine Tabelle aufstellen, die dann in etwa so aussieht: In dieser Sinustabelle wird also jedem Winkel ein Sinuswert zugeordnet. 0 Grad 0, wie wir gesehen hatten, und dann hier erhöht sich der Sinuswert langsam mit steigendem Winkel. Hier seht Ihr kurz die weiteren Sinuswerte bis 40 Grad, bis 60 Grad, bis 80 Grad und dann bis 90 Grad, wo wir den Sinuswert 1 erreichen. Und auch hier lässt sich schön erkennen: Jeder Winkel hat seinen eigenen Sinuswert.
Das heißt, wenn wir den Sinuswert kennen, wissen wir sofort, um welchen Winkel es sich handelt, und wenn wir den Winkel kennen, können wir sofort auf den Sinuswert schließen.
In Eurem Taschenrechner sind übrigens genau die Werte hier tabellarisch eingespeichert. Wenn Ihr den Sinus berechnen wollt, nehmen wir mal Sinus von 81 Grad, dann klickt Ihr beim Taschenrechner auf das Sinuszeichen, und dann tippt Ihr die 81 ein, und Ihr erhaltet 0,9877 gerundet, dieser Wert hier drüben. Wenn Ihr von diesem Sinuswert jetzt den Winkel haben wollt, gebt Ihr folgendes ein: Löschen wir die Anzeige, Ihr nehmt diese SHIFT-Taste hier, klickt jetzt wieder auf Sinus, man nennt das übrigens „Arcussinus“, also das Zurückwandeln vom Sinuswert zum Winkel. Und jetzt tippen wir die 0,9877 ein, und wir erhalten rund 81 Grad.
Und genau das können wir jetzt benutzen, um Aufgaben mit Dreiecken zu berechnen. Lösen wir einige Aufgaben im nächsten Teil, indem wir den Sinus anwenden.

Hallo und willkommen zum nächsten Teil, in dem wir uns die Anwendung des Sinus anschauen.
Lösen wir als erstes folgende Aufgabe:
Wir haben ein rechtwinkliges Dreieck gegeben mit dem Winkel β 35 Grad und der Seite b mit 9 Zentimeter. Gesucht ist die lange Seite, die Seite c. Mit dem Satz des Pythagoras hätten wir jetzt keine Chance, das zu lösen, weil uns nur eine Seite gegeben ist, und wir bräuchten noch eine weitere Seite, also die Seite a. Erst dann könnten wir die Seite c ausrechnen. Mit Hilfe des Sinus reicht uns jedoch nur eine Seite und ein Winkel, dann lässt sich schon die Seite c berechnen. Lösen wir also diese Aufgabe. Wir legen als erstes fest: Für den Sinus von β, wie er sich ergibt, und er ergibt sich ja aus Gegenkathete durch Hypotenuse. Das heißt, für unseren Winkel β: Die Gegenkathete ist die Seite b, da können wir auch b eintragen, und die Hypotenuse, das ist die längste Seite, das ist unsere Seite c. Tragen wir c hier ein. Jetzt wissen wir, wenn wir 35 Grad hier einsetzen für β, muss b durch c den Sinuswert von 35 Grad haben. Also schauen wir in unseren Taschenrechner, was denn der Sinuswert von 35 Grad ist. Wir tippen ein: Sinus 35 ist gleich 0,573 und so weiter, sagen wir rund 0,574. Das heißt, wenn wir b durch c dividieren, muss 0,574 herauskommen, gerundet. Also, die Seite b muss 0,574mal so lang sein wie die Seite c. Betrachten wir uns als nächstes nur diesen Teil. Und wir wissen ja jetzt, dass b unsere 9 Zentimeter sind, das heißt, wir können b ersetzen mit 9 Zentimeter. Und jetzt wollen wir ja c ausrechnen, das heißt, wir wollen c alleine zu stehen haben. Dafür multiplizieren wir c auf die rechte Seite, dann steht dort: 9 Zentimeter gleich 0,574 mal c und jetzt noch durch 0,574, und dann steht da: 9 Zentimeter durch 0,574 ist gleich c. Und das tippen wir jetzt in den Taschenrechner ein: 9 dividiert durch 0,574 ergibt 15,679 gerundet. Und schon haben wir unseren Wert für Seite c ermittelt. c ist also 15,679 Zentimeter lang. Und nochmal: Was hatten wir gemacht? Wir hatten Sinus von dem Wert geschrieben, ist gleich Gegenkathete durch Hypotenuse, hatten dann den Sinuswert ausgerechnet mit 0,574, hatten dann b durch c gleich 0,574 übernommen, den Wert für b eingetragen, die Gleichung dann so umgeformt, dass c alleine stand, und dann einfach ausgerechnet und unseren Wert für c erhalten.
Sagen wir für die zweite Aufgabe: Wir haben ein rechtwinkliges Dreieck gegeben mit β 45 Grad und der Seite c 20 Meter. Und gesucht ist jetzt die Seite b. Das heißt, wir können uns wieder den Sinus zu Hilfe nehmen und schreiben auf: Der Sinus von unserem Winkel β ergibt sich aus Gegenkathete durch Hypotenuse. Das ist allgemein, und jetzt können wir das noch konkret machen: Kopieren wir das hier runter und setzen jetzt für β unsere 45 Grad ein, unsere Gegenkathete ist ja die Seite b, die gesuchte Seite, also schreiben wir hier b hin, und die Hypotenuse, die haben wir gegeben mit 20 Meter, die Seite c. Schreiben wir gleich die 20 Meter hier hin. Und jetzt könnten wir erstmal den Sinuswert ausrechnen, aber wir könnten auch erstmal umstellen, die 20 Meter auf die linke Seite rüberholen, also mal 20 Meter auf beiden Seiten, und wir erhalten: Sinus von 45 Grad mal 20 Meter ist Seite b. Drehen wir das noch um, und jetzt gilt es noch, den Wert von Sinus 45 Grad raus zu bekommen; nehmen wir den Taschenrechner, schauen dort nach, welcher Wert gespeichert ist für Sinus 45 Grad, und das ist 0,707. Das heißt, wir ersetzen jetzt Sinus 45 Grad mit 0,707 und müssen jetzt noch diesen Wert mit 20 multiplizieren, also nehmen wir hier den konkreten Wert mal 20 ergibt rund 14,14 Meter, unser Wert für Seite b. Wie Ihr seht, sind wir also durch den Sinus sehr schnell auf die unbekannte Seite gestoßen und konnten ihre Länge ermitteln.
Gucken wir uns noch einen dritten Fall an, den wir berechnen können, wenn nur die Seite a gegeben ist, Seite c und b jedoch fehlen. Aufgabe 3: Gegeben ist β mit 45 Grad, gegeben ist Seite a mit 10 Zentimetern, und gesucht ist Seite c. Für diesen Fall können wir den Sinus nicht anwenden, weil uns Seite b nicht gegeben ist. Und auch die Hypotenuse fehlt. Das heißt, uns ist nur die Ankathete des Winkels β gegeben und – richtig – bei Ankathete haben wir die Möglichkeit, über den Kosinus zu gehen. Nicht Sinus, sondern Kosinus. Stellen wir also den Kosinus für β auf: Wir schreiben cos(β) ist gleich – und jetzt, richtig – Ankathete durch Hypotenuse. Und jetzt schauen wir, Ankathete, das ist die anliegende Seite hier, die Seite a, und die lange Seite ist die Hypotenuse, und das ist unsere Seite c. Jetzt können wir diesen Zusammenhang verwenden und unsere konkreten Werte eintragen: β ist 45 Grad, Seite a ist 10 Zentimeter, und Seite c ist gesucht. Jetzt können wir diese Formel umstellen, so dass c alleine da steht: Wir multiplizieren c auf die linke Seite und jetzt dividieren wir noch Kosinus 45 Grad auf die rechte Seite und können so jetzt den Wert für c bestimmen. Wir nehmen unseren Taschenrechner und geben ein: 10 Zentimeter dividiert durch den Wert Kosinus 45 Grad, also cos 45, ist gleich 14,14 Zentimeter, gerundet – die Länge für Seite c. Und schauen wir uns grad nochmal den Kosinuswert für 45 Grad an, das geben wir separat ein, Kosinus 45 ist 0,707. Das heißt, die 10 Zentimeter haben einen Anteil von 0,707 an der Seite c. Und dadurch haben wir dann die 14 Zentimeter für Seite c ermittelt. Also wenn wir jetzt die 14,14 Zentimeter mit diesem Wert multiplizieren – tun wir das gerade -, 14,14 mal rund 0,707, also wir bilden jetzt den Anteil, erhalten wir die Seite a mit rund 10 Zentimetern.
Gut, jetzt haben wir den Sinus und den Kosinus angewendet, und können jetzt auch beliebige Aufgaben lösen, sobald uns ein Winkel gegeben ist, der nicht der rechte Winkel ist, und wir nur eine einzige Seite der drei Seiten kennen. Und auf diese Weise hatten wir die Aufgabe mit dem Eiffelturm im allerersten Video berechnet: Wir hatten einen Winkel eingestellt, und zwar 35 Grad, und wir sehen hier: Sinus von 35 Grad ist 0,574. Und wenn wir jetzt die blaue Linie, die Hypotenuse berechnen wollen, können wir jetzt hier für die Gegenkathete die Höhe des Eiffelturms eintragen mit 324 Metern, und schon haben wir die Hypotenuse und die Ankathete berechnet. Gehen wir nochmal einen Schritt zurück. Wir haben ja gesagt, Sinus von 35 Grad, dann ist die Gegenkathete 0,574mal so groß wie die Hypotenuse. Also Sinus, Gegenkathete durch Hypotenuse, ist 0,574, das heißt, wir können die Formel umstellen und erhalten: Die Hypotenuse ist die Gegenkathete durch 0,574. Dann haben wir für die Gegenkathete die 324 Meter des Eiffelturms eingetragen, und auf diese Weise konnten wir die Länge der Hypotenuse, in diesem Fall die blaue Linie, bestimmen mit 564,88 Meter. Hier unten auch nochmal die Formel:
Hypotenuse ist gleich Gegenkathete durch den Sinuswert, und wir kommen auf 564,88 Meter, hier oben, und Kosinus ist ja Ankathete durch Hypotenuse, die können wir dann auch umstellen zu: Ankathete gleich Hypotenuse mal Kosinus 35 Grad, der ist 0,819, und wir erhalten hier 462,72 Meter für die Ankathete.
Also die Ankathete, diese Strecke hier unten, ist etwa 0,819mal so lang wie die Hypotenuse.
Zurück zu unserer vorigen Aufgabe:
Und nehmen wir jetzt an, wir haben statt β den Winkel α gegeben. Dann ist die Seite a die Gegenkathete von α, und wir könnten mit Sinus α gleich a durch c die Seite c berechnen. Oder Ihr könntet auch als anderer Weg über den Innenwinkelsummensatz - 180 Grad ist α plus β plus γ -, dann könntet Ihr α und γ einsetzen und damit β berechnen. Und dann könntet Ihr zum Beispiel den Kosinus von dem Winkel β ist gleich a durch c aufstellen und dann, wie wir es vorher gemacht haben, ausrechnen.
Auch habt Ihr übrigens die Möglichkeit, sobald Ihr zwei Seiten berechnet habt, Seite c 14,14 Zentimeter, Seite a 10 Zentimeter, die dritte Seite über den Satz des Pythagoras zu berechnen.
Zwecks Übung berechnen wir jetzt jedoch die Seite b mittels des Sinus. Da müssten wir jetzt aufstellen: Sinus β ist gleich Gegenkathete durch Hypotenuse, also b durch c. Dann setzen wir unsere Werte ein, β ist 45 Grad, Seite c haben wir ermittelt mit 14,14 Zentimeter, und Seite b wollen wir jetzt noch schnell berechnen, das heißt, wir multiplizieren 14,14 hier rüber und können jetzt b ausrechnen. Nehmen wir den Taschenrechner: Sinus von 45 Grad, sin 45 ist 0,707, mal die 14,14, also mal Seite c, ergibt rund 10 Zentimeter. Schreiben wir ausnahmsweise: „Ist gleich“ 10 Zentimeter. Und wir sehen: a ist 10 Zentimeter, b ist 10 Zentimeter, und – richtig – bei 45 Grad, der Hälfte von 90 Grad, sind beide Seiten immer gleich lang, weil, wenn hier 45 Grad sind, und hier die 90 Grad, dann muss der dritte Winkel auch 45 Grad sein, damit wir 180 Grad als Winkelsumme erhalten. Das heißt, a ist 10 Zentimeter, b ist 10 Zentimeter, weil β und α jeweils 45 Grad groß sind. Erinnert Euch hier auch hier an das, was wir bereits zu den gleichschenkligen Dreiecken gesagt hatten. Solltet Ihr am Ende der Klassenarbeit oder des Tests noch Zeit haben, empfehlen wir Euch immer, die Probe über den Pythagoras zu machen. Ihr nehmt Euch alle drei Werte, schreiben wir b noch hier oben hin, nutzt den Pythagoras, der ja für jedes rechtwinklige Dreieck gelten muss, und setzt die Werte ein: 10, 10 und 14,14. Dann erhalten wir: 10 mal 10 sind 100 Quadratzentimeter plus 10 mal 10 sind ebenfalls 100 Quadratzentimeter; und 100 plus 100, da müssten jetzt hier 200 rauskommen; gucken wir, ob 14,14 ins Quadrat wirklich 200 ergibt. Nehmen wir den Taschenrechner: 14,14 ins Quadrat ist rund 200, was wiederum heißt: Die Gleichung ist richtig, es handelt sich um ein richtiges rechtwinkliges Dreieck. Damit sind alle unsere drei Werte richtig ermittelt und wir haben die Probe erfolgreich abgeschlossen.

Fassen wir also nochmal zusammen, wie wir welche Seite berechnen können: Mit Hilfe des Sinus, der uns das Verhältnis Gegenkathete zur Hypotenuse gibt, können wir also entweder die Hypotenuse oder die Gegenkathete berechnen. Für die Gegenkathete müssen wir die Hypotenuse rübermultiplizieren und erhalten die Formel: Gegenkathete ist gleich sin(β) mal Hypotenuse, also hier kriegen wir den Verhältniswert, den Anteil an der Hypotenuse, und das ist unsere Gegenkathete. Und wenn wir die Hypotenuse berechnen wollen, dann dividieren wir sin(β) hier rüber, und wir erhalten für die Hypotenuse die Formel: Hypotenuse ergibt sich aus Gegenkathete dividiert durch sin(β).
Wenn wir jedoch die Ankathete berechnen wollen, brauchen wir den Kosinus. Da hatten wir gesagt, ergibt sich aus Ankathete durch Hypotenuse. Und wenn wir jetzt die Ankathete berechnen wollen, müssen wir die Hypotenuse herüber multiplizieren und erhalten: Ankathete ist gleich cos(β) mal Hypotenuse, also der Verhältniswert beziehungsweise der Anteil an der Hypotenuse. Und wenn wir jetzt die Hypotenuse berechnen wollen, dividieren wir cos(β) hier rüber und erhalten: Hypotenuse ergibt sich aus Ankathete dividiert durch cos(β). So haben wir also die Möglichkeit, von einem Winkel ausgehend und nur einer Seite, Ankathete oder Gegenkathete oder Hypotenuse, die jeweilige fehlende Seite zu berechnen.
Über den Sinus mit diesen beiden Formeln hier, oder über den Kosinus mit diesen beiden Formeln hier. In allen Fällen brauchen wir jeweils nur einen Winkel und eine Seite.
Kommen wir als nächstes also zum „Arcussinus“. Wir hatten ja beim Sinus gelernt, dass wir das Verhältnis bilden von Gegenkathete durch Hypotenuse und damit einen Zahlenwert erhalten, der eben dieses Verhältnis darstellt. Und wir hatten gesagt: Dieser Verhältniswert ist immer eindeutig einem Winkel zuzuordnen bei Winkeln von 0 bis 90 Grad, das heißt, sobald wir diesen Zahlenwert kennen, können wir uns den Winkel ermitteln.
Nehmen wir hierzu ein Beispiel: Benutzen wir unser schönes Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5. Dann können wir jetzt die 3 für die Gegenkathete einsetzen und die 5 für die Hypotenuse. Und für diese Aufgabe suchen wir jetzt den Wert des Winkels β. Und wir können jetzt 3 durch 5 rechnen erhalten 0,6 und wissen, die blaue Linie ist 0,6mal so lang wie die grüne Linie. Und daraus können wir jetzt den Winkel ermitteln, denn der Winkel ist eindeutig zu diesem Wert. Das heißt, wir nehmen unseren Taschenrechner und tippen jetzt nicht Sinus von einem Winkel ein, sondern SHIFT und dann die Sinus-Taste, wobei durch die SHIFT-Taste jedoch die Funktion sin-1 betätigt wird. Klicken wir das und tippen ein 0,6 und wir erhalten rund 36,87 Grad, unseren Wert für den Winkel β. Und jetzt stellt sich noch die Frage: Wie schreibt man das, diese mathematische Operation? Und da habt Ihr 3 Möglichkeiten: Zum einen könnt Ihr Arcussinus als „arcsin“ schreiben, zum anderen könnte Ihr Arcussinus als „asin“ schreiben, oder Ihr schreibt die Variante, die auf dem Taschenrechner auch zu finden ist, das ist „sin-1“. Hier aber sehr drauf aufpassen, dass das nichts mit der Potenz zu tun hat, die „Hoch -1“ steht nur für die Umkehrung! Also -1 ist die Umkehrung vom Sinuswert zum Winkel. Wenn Ihr also den Sinuswert 0,6 habt, dann schreibt Ihr sin-1(0,6) ≈ 36,87°.
Und genauso wie wir den Arcussinus haben, können wir auch den „Arcuskosinus“ berechnen. Nehmen wir dazu auch dieses Dreieck und stellen auf: cos(β) = Ankathete durch Hypotenuse. Dann tragen wir wieder unsere Werte ein, Ankathete ist 4 lang, die Hypotenuse immer noch 5, und der Wert 4 durch 5 ist 0,8. Und jetzt können wir wieder unseren Taschenrechner benutzen und tippen ein: SHIFT und jetzt hier diese Kosinus-Taste, und durch das SHIFT haben wir wieder cos-1, also die Umkehrung. Und jetzt geben wir hier 0,8 ein, den Kosinuswert, und erhalten den Winkel mit 36,87 Grad, genau den gleichen Winkel, den wir auch vorher hatten – logischerweise, denn β hat sich ja nicht verändert. Ihr seht also: Arcussinus, Arcuskosinus – Ihr kommt über das Verhältnis auf den Winkel.
Und noch als Hinweis: Wie schreiben wir dann die Operation Arcuskosinus? Hier haben wir ebenfalls 3 Varianten: Einmal „arccos“, oder „acos“ oder cos-1. Das zeigt an, dass wir aus dem Verhältniswert den Winkel ermitteln wollen.
Schauen wir uns abschließend noch an, wo das Wort „Sinus“ eigentlich herkommt. Wir hatten uns ja ganz zu Beginn angeschaut, wie die sogenannte „Sehnenfunktion“ im Kreis funktioniert. Also wir hatten hier zwei Punkte gesetzt, die Sehne eingezeichnet und hatten gesagt, dass Hipparchos jedem Winkel einen sogenannten „chord-Wert“ zugeschrieben hat und damit eben damals Berechnungen machen konnte. Also jeder Winkel hat einen entsprechenden Wert bekommen. Beim Radius 1 können wir diese chord-Werte natürlich gleich hier ablesen. Und da es sich ja hier bei diesem Dreieck grundsätzlich ja nicht um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, sondern alle möglichen Dreiecksarten zustande kommen, hat, wie wir gesagt hatten, Aryabhata, ein indischer Gelehrter, dieses Dreieck fixiert, wodurch zwei rechtwinklige Dreiecke entstanden sind, das hier oben und das hier unten. Und damit braucht man nicht mehr beliebige Dreiecke nehmen, sondern kann immer das rechtwinklige Dreieck nutzen. Und wir hatten ja gesagt: Das hier ist die Sehne, die grüne Linie, und wenn wir dieses Dreieck dann so fixieren, wie wir es hier haben, seht Ihr, dass für das obere Dreieck nur die halbe Sehne benutzt wird. Also der untere Teil würde wegfallen, und wir nutzen hier oben nur die halbe Sehne, was genau unserem Sinus entspricht, unserer Gegenkathete. Und „halbe Sehne“ heißt auf Sanskrit, also Altindisch „jya-ardha“, was also „Sehne halbe“ heißt. Und daraus entwickelte sich das Wort „jiva“, und dieses Wort wurde später dann von den arabischen Gelehrten direkt übernommen, und aus „jiva“ wurde dann „jiba“ bzw. „jaib“ auf Arabisch, was jedoch eine ganz andere Bedeutung hatte und jetzt nicht mehr „halbe Sehne“ hieß, sondern „Busen“ oder „Bogen“. Und „Busen“/„Bogen“ auf Lateinisch heißt „Sinus“.
Also durch diese direkte Übertragung und der falschen Interpretation wurde aus der „halben Sehne“ das Wort „Sinus“, das wir heute noch benutzen.
Und was heißt jetzt „Kosinus“? Im Deutschen schreiben wir diesen Begriff mit „K“, in anderen Sprachen meist mit „C“, aber auch im Deutschen werdet Ihr öfter die Variante mit „C“ antreffen, insbesondere bei wissenschaftlichen Arbeiten. Im Wort „Kosinus“, da sehen wir, steckt ja das „Ko“ drin, und das heißt „komplementär“, also „Kosinus“ können wir auch schreiben als „Komplementärsinus“. Und das meint den Sinus des „Komplementärwinkels“. Und was war der Komplementärwinkel? Schauen wir, sobald wir einen Winkel haben, wie zum Beispiel 30 Grad, können wir einen anderen Winkel hinzuaddieren und dann kommt 90 Grad raus. Und diesen Winkel, den wir hinzuaddieren, das ist der Komplementärwinkel, in dem Fall 60 Grad. Also allgemein: α + β = 90°. Und dann ist β der Komplementärwinkel zu α, aber α ist auch der Komplementärwinkel zu β, weil beide zusammen ja 90 Grad ergeben.
Und was hat das jetzt mit dem Sinus zu tun? Wenn wir beispielsweise den Sinus von 30 Grad berechnen, da erhalten wir 0,5, und wenn wir jetzt den Kosinus ausrechnen, also cos, und 30 Grad plus was ergibt 90 Grad – richtig – da müssen wir hier 60 Grad hinschreiben, und Kosinus von 60 Grad, stellen wir fest, ist ebenfalls 0,5. Das heißt, wie wir sehen können, Sinus lässt sich in den Kosinus, und Kosinus in den Sinus überführen, entsprechend der Komplementärwinkel.
Hierzu aber mehr in einer der folgenden Lektionen.
In der nächsten Lektion schauen wir uns an, wie wir Sinus- und Kosinuswerte bei Winkeln über 90 Grad berechnen können, und dann werden wir in der Lage sein, den Sinus und Kosinus bei beliebigen Dreiecken anzuwenden, mit Hilfe des Sinus- und Kosinus-Satzes.
Also, auf geht’s in die nächste Runde!