Mathe G03: Distributivgesetz

Hallo liebe Zuschauer, in diesem Video schauen wir uns das Distributivgesetz an. Legen wir los. Wir haben zum Beispiel eine Aufgabe die da lautet 3*(4+1). Und wenn wir das jetzt lösen wollten, dann rechnen wir 3 mal und dann die 4+1 in der Klammer sind 5, also dann steht hier 3*5. Und 3*5 sind 15. Wir können das jedoch auch anders rechnen. Erinnern wir uns an die Grundrechenarten, da hatten wir gesagt eine Multiplikation kann ausgedrückt werden als Addition. Also 3*5 als 5+5+5. Das wären also auch 15. Allgemein kann man nun die 5 mit x austauschen. Das heißt 3*x gleich x+x+x gilt dann für jede beliebige Zahl. Und wenn wir uns jetzt vorstellen, dass dieses 4+1 ein Element ist, also in unserem Beispiel das x, können wir es für das x eintragen. Schreiben wir es hin. Und dann wissen wir, dass wir 3 mal die 4+1 rechnen sollen. Das heißt wir haben es einmal, wir haben es zweimal und wir haben es dreimal. Dann hatten wir in der letzten Lektion gesagt, dass wir mit dem Assoziativgesetz bei der Addition sämtliche Klammern wegnehmen darf. Also entfernen wir sie hier. Und dann hatten wir gesagt mit dem Kommutativgesetz dürfen wir so etwas wie 4+1 auch anders rum schreiben als 1+4. Und das machen wir jetzt nicht nur mit den beiden hier vorne, sondern mit allen Elementen dieser Addition. Und zwar schreiben wir sämtliche 4en nach vorne und sämtliche 1en nach hinten. Also sieht das dann so aus: 4+4+4+1+1+1. Und dass das immer noch das gleiche ist, könnt ihr hier zusammenrechnen. 4+1 sind 5. Plus 4 sind 9. Plus 1 sind 10. Plus 4 sind 14. Plus 1 sind 15. Und hier: 4+4 sind 8. 12. 13. 14. 15. Gut. Und jetzt kommt das Schöne. Jetzt fassen wir die Addition wieder zu einer Multiplikation zusammen und hier sehen wir dreimal die 4, also schreiben wir auch 3*4. Dann nehmen wir dieses Plus hier runter. Und jetzt haben wir dreimal die 1 stehen, also schreiben wir auch 3*1. Und kürzen wir an dieser Stelle ab. Schreiben das gleich direkt nebeneinander. Dann steht hier also 3*(4+1) ist das gleiche wie 3*4+3*1. Und wenn wir das jetzt mit Variablen, also mit Buchstaben, die für eine beliebig einzusetzende Zahl stehen, hinschreiben, können wir mal die 3 mit a ersetzen, die 4 mit einem b ersetzen und die 1 mit einem c ersetzen. Dann steht da: 3 ist a mal 4 ist b plus 3 ist a mal 1 ist c. Und das ist schon das fertige Distributivgesetz. a*(b+c) ist das gleiche wie a*b+a*c. Oder anders ausgedrückt, das a wird mit dem ersten b multipliziert zu a*b. Und das a wird mit dem zweiten c multipliziert zu a*c. Das a wird also auf b und c verteilt, deshalb Distributivgesetz.
Jetzt können wir das Distributivgesetz natürlich noch etwas erweitern, indem wir uns zum Beispiel ein +d hinzufügen. Dann hätten wir jetzt dieses a mit dem b, dann das a mit dem c und dann noch das a mit dem d, also hier hinten a*d. Wenn wir hier mal ein Minus setzen, passiert nichts weiter, als dass dieses Plus auch zum Minus wird. Und hätten wir hinten jetzt wieder das +d, wäre das hier wieder ein + a*d. Gut, und was ihr dann später oft haben werdet. Ihr werdet dann hier mit Variablen weiterrechnen. Zum Beispiel 4*(b+c). Dann habt ihr hier, wenn ihr es mit dem Distributivgesetz ausrechnet, 4*b+4*c. Ein erweitertes Beispiel sind übrigens die binomischen Formeln, denn da wir das Distributivgesetz in einer erweiterten Form angewendet. Dies schauen wir uns jedoch in einer anderen Lektion an. Und vielleicht für die ein oder anderen auch interessant, wir berechnen meist im Kopf die Multiplikation mit Hilfe des Distributivgesetzes. Wenn wir hier mal ein paar Werte einsetzen, wie zum Beispiel für c die 5. Dann ist hier drüben auch 5. Und für b die 10. Dann wird das b auch 10. Und ganz klar, wenn wir hier rechnen würden 4 mal, 10+5 sind ja 15, also 4*15, dann trennen wir das ja meistens in 4*10+4*5. Und dann rechnen wir 4*10 sind 40 und 4*5 sind 20. Also kommt da 60 heraus. Und wenn ihr auf euch achtet, wie ihr im Kopf rechnet, stellt ihr öfter fest, dass ihr das Distributivgesetz benutzt. Zum Beispiel dann auch für die Division, denn 60/4. Dann hätten wir einmal, wenn wir die 60 jetzt zerlegen würden in 40+20, das durch 4. Dann können wir hier auch unser Rechengesetz anwenden, indem wir 40/4 rechnen und 20/4. Und dann hat man hier die Teile 40/4 sind 10 und 20/4 sind 5. Und 10+5 sind 15. Und wir hatten ja gesagt 4*15 sind 60, also ist 60/4 gleich 15.
Als letztes sei noch erwähnt, dass ihr das Distributivgesetz auch andersherum anwenden könnt. Also ihr erhaltet solch eine Addition und macht daraus eine Klammer. Drehen wir die Seiten mal um und schreiben sie darunter. Wenn wir jetzt mal Zahlen einsetzen, nehmen wir für das a eine 3. Für b eine 2 und für c eine 5, dann sehen wir, dass wenn hier eine 3 steht und hier eine 3 steht, wir die 3 hier vor die Klammer setzen können. Jetzt können wir diese Klammer setzen mit b+c. Und das b, gucken wir hier, ist unsere 2. Und das c ist die 5. Das heißt 3*2+3*5 ist das gleiche wie 3*(2+5). Hier können wir auch die Werte vergleichen. Links steht jetzt 3*2 ist 6. Plus 3*5, das sind 15. Und 6+15 sind 21. Und rechts steht 3*(2+5). 2+5 sind 7 und 3*7 ergibt 21. Wie wir sehen sind die Werte gleich geblieben. Und da wir die 3 ausklammern, spricht man auch vom Ausklammern. Das ist sozusagen das Distributivgesetz rückwärts angewendet. Wir haben also die 3 in dem Beispiel aus beiden Summanden herausgezogen.