Mathe G07: Binomische Formeln

Hallo und herzlich willkommen zur Lektion Binomische Formeln. In diesem ersten Teil betrachten wir alle Voraussetzungen, die wir brauchen, um das Thema zu verstehen.
Als Erstes müssen wir uns an das Distributivgesetz erinnern. Dort hatten wir gelernt, dass wir a mal Klammer auf b plus c Klammer zu auch schreiben können als a mal b plus a mal c. A wurde also mit b multipliziert und a wurde mit c multipliziert. Es wurde auf beide verteilt. Nehmen wir nochmal ein Beispiel hierzu, schreiben wir drei mal neun und jetzt wissen wir, die Multiplikation ist eine Kurzschreibweise der Addition, das heißt wir können auch schreiben ist gleich neun plus neun plus neun. Also dreimal die neun. Und jetzt machen wir Folgendes, wir ersetzen die neun mit vier plus fünf, denn vier plus fünf ist ja neun. Dann können wir auch die Neunen auf der rechten Seite mit vier plus fünf ersetzen. Als Nächstes können wir die Klammern auflösen, dann erhalten wir vier plus fünf plus vier plus fünf plus vier plus fünf. Und jetzt können wir mithilfe des Kommutativgesetzes die Vieren alle nach vorne schreiben und die Fünfen alle nach hinten. Und als Nächstes können wir die Addition wieder zur Multiplikation machen, aus vier plus vier plus vier machen wir drei mal vier, denn wir haben die vier ja dreimal da. Und aus fünf plus fünf plus fünf machen wir drei mal fünf. Wir sehen also, dass die drei auf die vier gezogen wurde und dann die drei auf die fünf gezogen wurde zu drei mal fünf. Und allgemein sehen wir das da oben, dass a wird mit b und das a wird mit c multipliziert. Und das ist das Distributivgesetz. Als Nächstes erweitern wir unser Distributivgesetz, indem wir die drei mit zwei plus eins ersetzen, denn zwei plus eins ergibt ja drei. Dann können wir auch da unten die drei mit einer zwei plus eins ersetzen und dann die drei bei der fünf mit zwei plus eins ersetzen. An dieser Stelle erkennen wir, dass die vier multipliziert wurde mit der Klammer zwei plus eins und dass die fünf multipliziert wurde mit der Klammer zwei plus eins. Als Nächstes benutzen wir das Distributivgesetz, um weiter zu rechnen. Wir multiplizieren die vier mit der zwei und die vier mit der eins, das heißt wir schreiben ist gleich die Zwei mal der vier dann das plus und dann die Eins mal vier dann das Plus von oben runter, dann bei der fünf mal zwei plus eins das Gleiche, wir rechnen zwei mal die fünf, dann das Plus, und jetzt die Eins mal fünf. Hier erkennen wir sehr gut, dass die Zwei mit der Vier und der Fünf multipliziert wurde, zwei mal vier und zwei mal fünf und die Eins mit der Vier und der Fünf multipliziert wurde, einmal vier und einmal fünf. Das heißt jedes Element in der einen Klammer wurde mit jedem anderen Element in der zweiten Klammer multipliziert. Dies müsst ihr euch bitte merken für die weitere Lektion.
Da wir uns die binomischen Formeln auch graphisch anschauen werden in Form von Flächen, müsst ihr euch bitte auch Folgendes merken: Wenn wir die Fläche eines Rechteckes ermitteln wollen, müssen wir beide Seiten des Rechtecks miteinander multiplizieren. Also, hier beim Rechteck die linke Seite, nennen wir sie mal a, multipliziert mit der langen Seite hier b. Also a mal b ergibt diese gesamte Fläche. Und jetzt machen wir es mal konkret, dass man es besser sieht, nehmen wir für a die Zwei und nehmen wir für b die vier. Dann hätten wir, a mal b, also zwei mal vier. Und das ergibt acht. Unsere Fläche hätte also acht Flächeneinheiten. Und machen wir’s jetzt mit Zentimetern. Das hieße wir hätten hier vier Zentimeter zu stehen und da drüben zwei Zentimeter. Und zwei Zentimeter mal vier Zentimeter ergibt acht Quadratzentimeter. Und wer sich das mit den Flächen nicht so gut vorstellen kann, der unterteilt doch einfach mal die vier Zentimeter in jeweils ein Zentimeter Abstand und zeichnet die Linien ein und als Nächstes bei der linken Seite die zwei Zentimeter unterteilt ihr auch in ein Zentimeter und zeichnet ebenfalls eine Linie. Und so sehen wir, dass wir eins zwei drei vier fünf sechs sieben acht Quadratzentimeter haben. Unsere Gesamtfläche. Gut, dieses Quadratzentimeter, das vielleicht für die ein- oder anderen neu ist, schauen wir uns mal genauer an. Das ergab sich ja aus Zentimeter mal Zentimeter. Also, die eine Seite war mit Zentimeter angegeben und die andere Seite war mit Zentimeter angegeben und beide miteinander multipliziert ergab Quadratzentimeter. Und das machen wir jetzt mal nicht mit der Längeneinheit sondern das machen wir mit richtigen Werten, nehmen wir mal drei mal drei, dann könnten wir jetzt hier drei Quadrat schreiben. Und merkt euch jetzt an dieser Stelle, dieses drei Quadrat kann man auch „drei hoch zwei“ nennen, also eine kleine zwei hochgestellt gibt an, dass die Zahl darunter, in unserem Fall die drei, mit sich selbst multipliziert werden soll. Drei Quadrat ist also drei mal drei, das heißt seht ihr einmal so etwas wie drei hoch zwei, wisst ihr sofort, dass ihr schreiben müsst, ist gleich drei mal drei. Und das können wir auch allgemein ausdrücken. Wir ersetzen die drei mit a. Also ist a hoch zwei das Gleiche wie a mal a. Also diese drei wird zu a und die andere drei wird zu a. Das heißt ihr könnt für dieses a jede beliebige Zahl einsetzen, zum Beispiel die Sechs. Dann steht da sechs Quadrat ist gleich und dann natürlich nicht a mal a, sondern sechs mal sechs. Und auch diesen Zusammenhang könnt ihr euch wieder graphisch vorstellen, wir haben eine Seite a hier und eine Seite a hier und die ergeben zusammen eine Fläche a-Quadrat. Also zeichnen wir unten mal a und a hin und die beiden Seiten spannen dann zusammen das A-Quadrat auf. Und wie ihr richtig seht, es handelt sich hier um ein Quadrat. Alle Seiten sind gleich lang. Und wenn wir jetzt unsere sechs Zentimeter für Seite a eintragen, also schreiben wir erstmal hier sechs Zentimeter dazu und hier ebenfalls, das heißt a ist jetzt nicht nur sechs, sondern konkret sechs Zentimeter, dann wird die Seite und die Seite jeweils zu sechs Zentimeter. Und dann, an dieser Stelle müsst ihr aufpassen, hier dürft ihr jetzt nicht so einfach sechs Zentimeter hinschreiben, denn dann hätten wir sechs Quadratzentimeter, aber sechs mal sechs sind ja – richtig – sechsunddreißig und Zentimeter mal Zentimeter ergibt Quadratzentimeter. Das heißt beim Einsetzen hier oben bitte immer vor die Zahl und hinter die Längeneinheit die Klammer setzen. Denn dann heißt das sechs Zentimeter mal sechs Zentimeter, wie es hier auf der rechten Seite steht. Und hier können wir jetzt auch noch die Klammern setzen. Und wir würden sechsunddreißig Quadratzentimeter erhalten. Als Nächstes erinnert euch bitte daran, dass wir wenn wir zwei mal einen Wert haben, wie zum Beispiel zwei mal drei, diesen ja als drei plus drei schreiben können. Wenn wir jetzt mal die Drei mit einem A ersetzen würden, heißt das zwei mal a ist gleich a plus a und wenn wir das jetzt noch weiter treiben, und jetzt nicht nur a schreiben, sondern a mal b, also dieses a mal b hier zwei mal haben, setzen wir es in Klammern, dann haben wir a mal b plus a mal b, also zweimal a mal b. Diesen Sachverhalt brauchen wir auch, um die binomischen Formeln zu verstehen. Also nochmal anders herum geschrieben, wenn ihr so etwas habt wie a mal b plus a mal b, dann dürft ihr schreiben ist gleich zwei mal a mal b. Das bitte unbedingt merken. Und ihr müsst wissen, Mathematiker kürzen gerne ab, das heißt dieser Malpunkt zwischen a mal b wird einfach nicht mitgeschrieben. Man schreibt zwei mal a b. Und man kann diesen Malpunkt zwischen der Zwei und dem A auch wegnehmen, das heißt dann steht da zwei a b. Was nicht Weiteres ist als zwei mal a mal b. Auch dies bitte einprägen.
Jetzt kommt die letzte Sache, die wir wissen müssen, nehmen wir als Beispiel die Zahl drei und schreiben sie als Strecke auf. Und wenn wir diese Drei jetzt in zwei Teilstrecken unterteilen, also wir können hier oben jetzt schreiben drei ist gleich zwei plus eins, dann hieße das, wir können diese Strecke hier, die eine Länge von drei hat aufteilen in eine Länge von zwei plus eine Länge von eins. Zeichnen wir beide Teilstrecken ein, wir haben die Drei also unterteilt in zwei plus eins. Wir haben sie in zwei Teile zerlegt. Und das Wort „binomisch“, da steckt das lateinische Wort „binom“ drin, was aus zwei Worten besteht, zum Einen „bi“ und zum Anderen „nom“. „nom“, das kommt von „nomen“, übersetzt als Name oder Teil und „bi“ wird übersetzt als zwei. Und hier sehen wir auch, wir haben zwei Teile. Wir haben die Zahl Drei in zwei Teile zerlegt und zwar in zwei plus eins. Und wie wir gleich sehen werden, brauchen wir diese Zerlegung für die Binomischen Formeln. Denn da sagen wir allgemein nicht zwei sondern a und für eins b. Und was wir dann weiter machen, sehen wir im nächsten Teil. Jetzt haben wir all das Vorwissen erlangt, um uns die erste binomische Formel anzuschauen.

Legen wir also mit der ersten binomischen Formel los. Schreiben wir dazu hin, ganz einfach, drei mal drei und wie wir gerade gelernt haben, dürfen wir das schreiben als drei hoch zwei oder drei Quadrat. Als Nächstes ersetzen wir die Drei mal mit zwei plus eins, denn zwei plus eins ist ja drei. Das heißt diese Drei schreiben wir jetzt als zwei plus eins und diese Drei hier drüben ebenfalls und diese Drei hier dann natürlich auch. Wenn wir jetzt das hier jetzt Ausmultiplizieren wollen, wir erinnern uns, zwei mal beide Elemente hier und einmal beide Zahlen hier, dann müssen wir also schreiben zwei mal zwei plus eins, dann plus und jetzt einmal die zwei plus eins. Dann müssen wir als Nächstes das Ausmultiplizieren, also ist gleich und jetzt geht’s los mit zwei mal zwei, dann plus, jetzt zwei mal eins, dann dieses Plus, dann ein mal zwei, dann wieder plus und jetzt ein mal eins. Wie wir sehen, haben wir jedes Element in der linken Klammer, die zwei hier, mit der Zwei multipliziert, das ist hier und die Zwei mit der Eins multipliziert, das ist hier. Dann haben wir die Eins genommen, mit der Zwei multipliziert, das steht hier. Und die Eins mit dieser Eins multipliziert, das steht hier. Als Nächstes, kopieren wir das nochmal runter, schreiben wir zwei mal zwei als zwei Quadrat, und hier drüben ein mal eins, das schreiben wir als eins Quadrat. Kopieren wir das nochmal hier runter, und jetzt erinnert euch an das Kommutativgesetz, das heißt bei dieser Multiplikation ein mal zwei, dürfen wir auch zwei mal eins schreiben, also beide Faktoren vertauschen. Und jetzt sehen wir, wir haben hier einmal zwei mal eins und hier einmal zwei mal eins. Und das sind ja ein Element und ein zweites Element, wir dürfen also schreiben, dass wir die beiden zweimal haben. Wir schreiben also zwei mal, also die Anzahl, zwei mal eins, und das nehmen wir dann so weg. Das heißt also zwei mal eins plus zwei mal eins ist das Gleiche wie zwei mal diese zweimal eins.
Und jetzt schauen wir uns diese Sache hier nochmal graphisch an. Merken uns, dass wir hier oben ja zu stehen hatten, ursprünglich drei mal drei, und wir wissen ja, drei mal drei, wenn das eine Fläche sein soll, drei Meter mal drei Meter, wären – richtig – neun Quadratmeter. Schauen wir uns das graphisch an, dann wäre das hier drei Meter lang, diese Seite wäre drei Meter lang und drei mal drei ergibt neun. Und jetzt hatten wir gesagt, schauen wir nochmal, das ist das Gleiche wie zwei plus eins, die kamen aus der einen drei, mal zwei plus eins, die kamen aus der anderen drei. Und hier sehen wir, diese Drei ergibt sich ja aus zwei plus eins, und diese Drei ergibt sich auch aus zwei plus eins. Und jetzt hatten wir weiterhin gesagt, dass da so etwas herauskommt zwei Quadrat plus zwei mal eins plus zwei mal eins plus eins Quadrat. Springen wir nochmal zur Graphik, und jetzt lösen wir die große Fläche mal auf in kleine Flächen und zwar vier kleine Flächen, dann sehen wir, wir haben hier einmal die zwei Quadrat, dann haben wir hier die zwei mal eins, und dann haben wir hier die zwei mal eins, dann haben wir hier die eins Quadrat. Das heißt diese gesamte Fläche ist immer noch genauso groß. Das heißt drei mal drei ist genau groß wie zwei Quadrat plus zwei mal eins plus zwei mal ein plus eins Quadrat. Und das dann noch kürzer geschrieben, zwei Quadrat plus zwei mal zweimal eins plus eins Quadrat. Also diese Zweimal zeigt an, dass wir hier zwei Flächen haben. Jetzt nehmen wir uns die zwei plus eins Quadrat und schreiben sie hier vor und sehen zwei plus eins zum Quadrat, also diese zwei plus eins mal diese zwei plus eins, ergibt die große Fläche, ist das Gleiche wie zwei Quadrat, die steht hier, plus zwei mal die Fläche zwei mal eins, und da haben wir hier einmal die Fläche zwei mal eins und wir haben sie hier einmal, die Fläche zwei mal eins, also zweimal zwei mal eins und als Letztes die plus eins Quadrat. Und eins Quadrat haben wir hier. Das heißt diese vier Teilflächen sind genau so groß wie die Gesamtfläche, zwei plus eins mal zwei plus eins. Und das ist auch schon die erste binomische Formel. Die findet ihr natürlich nicht mit zwei plus eins ausgedrückt, sondern im Buch mit Variablen. Das heißt wir schreiben, kopieren wir sie nochmal runter, und ersetzen wir jetzt die zwei mit einem A, hier ein A, diese Zwei ist nicht das A, denn das war ja die Zwei, die anzeigt, zwei mal diese Fläche, die lassen wir so stehen, diese Zwei war das A, das war die eine Seite, und dann müssen wir noch die Eins ersetzen, die Eins wird zu b, hier wird die Eins zu b und hier wird die Eins zu b und da sehen wir auch schon die erste binomische Formel.
Klammer auf a plus b Klammer zu ins Quadrat ist das Gleiche wie a Quadrat plus zwei mal a mal b plus b Quadrat. Und hier kann man die Klammern auch wegnehmen. Und selbstverständlich könnt ihr auch dieses Quadrat wegnehmen, da müsst ihr bloß schreiben a plus b in Klammern mal a plus b in Klammern. Und gehen wir nochmal zurück zu der Software, da können wir jetzt mal umschalten auf nur a und b anzeigen und ihr seht hier habt ihr das a Quadrat, hier das a mal b, hier das a mal b und hier das b Quadrat. Also a Quadrat plus zwei mal a mal b plus b Quadrat ist das Gleiche wie a plus b ins Quadrat. a plus b mal a plus b.
Diese Software hier könnt ihr übrigens unter echteinfach.tv selbst ausprobieren und das Schöne ist, ihr könnt hier verschiedene Größen für a und b wählen oder auch eingeben. Nehmen wir für a mal vier, nehmen wir für b mal fünf, dann haben wir für die Fläche vier plus fünf mal vier plus fünf, also neun mal neun sind neun Quadrat und das sind 81 Quadratmeter und diese Fläche ist dann genau so groß wie sechzehn plus zweimal die Zwanzig, sind sechsundfünfzig, plus fünfundzwanzig sind einundachtzig. Im unteren Teil der Software findet ihr übrigens alle Angaben gerechnet, also die Werte in die Formel eingesetzt, mit Anzeige der Flächen, die sich ergeben. Probiert euch aus. Versucht eigene Werte und lernt die binomischen Formeln so besser kennen.
Im nächsten Teil schauen wir uns an, wie die zweite binomische Formel zustande kommt und die dritte binomische Formel.

Schauen wir uns als nächstes die zweite binomische Formel an. Betrachten wir hierzu noch einmal die erste binomische Formel. Da hatten wir gesagt, wir haben so etwas wie zum Beispiel (4+1)^2. Und hier können wir die erste binomische Formel anwenden, die da lautet (a+b)^2 ist gleich a^2+2ab+b^2. Also ordnen wir zu: Die 4 ist das a. Das heißt wir müssen hier 4^2 schreiben, plus 2 mal, jetzt a, also unsere 4. Und jetzt mal b. Und b ist die 1, also mal 1. Dann das Plus und jetzt b^2, also 1^2. Das hatten wir ja im letzten Teil gelernt. Was passiert jedoch, wenn wir anstatt einer 4+1 in dieser Klammer eine 4-1 haben? Wie verändert sich dann unsere allgemeine Formel hier? Um das herzuleiten benötigen wir hier an dieser Stelle das Rechnen mit Vorzeichen. Da hatten wir gelernt, dass so etwas wie, dass eine positive Zahl multipliziert mit einer positiven Zahl eine positive Zahl ergibt. Dann hatten wir: Wenn wir eine positive Zahl multiplizieren mit einer negativen Zahl, dass wir eine negative Zahl erhalten. Dann hatten wir, dass wir eine negative Zahl multiplizieren mit einer positiven Zahl, dass wir eine negative Zahl erhalten. Und zum Schluss: Wir hatten, dass eine negative Zahl multipliziert mit einer negativen Zahl wiederum eine positive Zahl ergibt. So mit diesem Wissen können wir uns jetzt an die Auflösung dieser Formel hier heranwagen. Und um es etwas einfacher zu gestalten schreiben wir vor diese 4 ein Plus. Denn es ist ja eine positive 4. Als nächstes schreiben wir dieses Quadrat aus als Multiplikation, also (4-1)*(4-1). Gut, jetzt haben wir gelernt wir müssen die 4 mit der 4. Die 4 mit der -1 multiplizieren und dann die -1 mit der 4 und die -1 mit der -1. Jedes Element in der einen Klammer mit jedem anderen Element in der zweiten Klammer. Schreiben wir das hier rechts auf. Wir bilden also die Pärchen. Fangen an mit +4*(+4). Dann nehmen wir die +4*(-1). Dann kommt diese -1 multipliziert mit der +4. Dann wieder -1*(-1). Wenn ihr mal so etwas schreibt, bitte immer daran denken die Klammer vor das Vorzeichen und hinter die Zahl setzen. Okay, jetzt machen wir folgendes: Wir wenden unser Wissen mit den Vorzeichen an und machen aus zwei Vorzeichen sozusagen ein Vorzeichen. Hier steht ja +4*(+4), also haben wir 4*4 und Plus mal Plus. Wir nehmen das Plus also gerade mal nach vorne. Und Plus mal Plus, wie es hier steht, ergibt Plus. Also ein Plus bleibt hier stehen. In der nächsten Zeile +4*(-1). Das Minus schreiben wir jetzt mal nach vorne. Und Plus mal Minus, wie es hier steht, Plus mal Minus, ergibt Minus. In der nächsten Zeile -1*(+4). Das Plus springt nach vorne. Und Minus mal Plus, wie es hier steht, ergibt Minus. Und in der letzten Zeile (-1)*(-1). Minus nach vorne. Und Minus mal Minus ergibt Plus. Also hier kommt ein Plus hin. Gut, jetzt haben wir alle Pärchen gebildet. Das können wir jetzt hier wegnehmen und schreiben wir diese Pärchen jetzt in einer Reihe. Hier kommt dann +4*4 als nächstes -4*1, dann die -1*4 und zu guter Letzt die +1*1. Wir haben jetzt also jede Zahl in der einen Klammer mit jeder Zahl in der anderen Klammer multipliziert und das ist hier herausgekommen. Jetzt arbeiten wir damit weiter. Schreiben wir das mal auf die nächste Zeile und kopieren es noch einmal und können jetzt die 4*4 als 4^2 schreiben. Und genauso hier hinten: Die 1*1 wird 1^2. Jetzt, wie vorhin auch schon gesehen dürfen wir die 1*4 umdrehen zu 4*1. Machen wir das in der nächsten Zeile. 1 und 4 tauschen ihren Platz. Und jetzt sehen wir, dass wir -4*1 und -4*1 zweimal haben. Das heißt wir müssen von der 4^2 zweimal die -4*1 abziehen. Und das schreiben wir dann so hin: Mit -2 mal diese 4*1. Also hier einmal diese -4*1 und hier einmal -4*1 werden dann zu -2*(4*1). Als nächstes können wir das Plus hier wegnehmen bei der 4^2. Und wir können die Klammern hier wegnehmen, die die 4*1 umschließen. Und an der Stelle schreiben wir noch die (4-1)^2 hiervor und schon haben wir unsere zweite binomische Formel. Machen wir es wieder allgemein. Dann heißt das, wir müssen wieder 4 und 1 mit Variablen, also Buchstaben, ersetzen. Das heißt die 4 machen wir mal zu a und die 1 machen wir zu b. Dann können wir jetzt hier hinschreiben. Ist gleich, nicht 4^2, sondern a^2 minus 2 mal, jetzt wieder das a, jetzt mal, und die 1, die ist ja unser b, also b. Und dann natürlich noch +1^2, also b^2. Und schon haben wir unsere zweite binomische Formel. (a-b)^2 ist gleich a^2-2*ab+b^2. Und diese Formel können wir uns auch wieder graphisch vorstellen. Hierzu müssen wir nur diese 2*ab aufteilen in -a*b und -a*b. Also diese zwei Teile. Und außerdem setzen wir dieses a*b ausnahmsweise hinter das b^2. Also wir schreiben a^2-a*b und jetzt das -a*b nach hinten und das b^2 davor. Schauen wir uns nun in der Software an, was das nun graphisch bedeutet. Hier haben wir unsere zweite binomische Formel. Wie gesagt, leicht umgestellt. Und hier steht: Wir müssen von a^2 -ab abziehen, dann b^2 draufschlagen, dann wieder -ab abziehen und dann erhalten wir die Fläche (a-b)^2. Ihr seht hier schon, a^2 ist die gesamte große Fläche. Und diese Fläche teilen wir jetzt in Teilflächen auf. Dann sehen wir, wenn wir hier mit der Maus herübergehen, dass das die Seite a ist. Und das kleine hier haben, diese rote Seite ist die Seite b. Und wenn wir von a ein kleines b hier abziehen, haben wir die grüne Seite a-b. Also die Differenz aus den beiden. Und dieses (a-b)^2 ist dann diese Fläche hier. (a-b) die eine Seite mit der anderen Seite multipliziert, also ins Quadrat. Dann haben wir dieses a^2, dann haben wir die Fläche a*b. Also a multipliziert mit diesem kleinen b hier. Dann haben wir das b^2 hier oben. b*b. Und dann haben wir nochmal a*b. Und das ist hier oben die lange Seite a und die kurze Seite b. Okay, legen wir los: Wir haben das a^2 und davon ziehen wir jetzt -a*b ab. Hier ist die lange Seite a, also ziehen wir dieses rote Rechteck ab. a*b ziehen wir jetzt ab. Wir sehen jetzt, hier oben steht: b^2 fehlt jetzt. Warum fehlt das? Na, wenn wir jetzt a*b abziehen wollen. Diese Fläche hier a*b, haben wir hier hinten keine Fläche mehr. Also wir könnten das gar nicht abziehen. Deshalb müssen wir noch ein b^2 heraufaddieren. Erst dann lässt sich die Fläche a*b abziehen. Also setzen wir jetzt ein b^2 dazu und jetzt dürfen wir die Fläche a*b abziehen. Und wir sehen übrig bleibt die Fläche (a-b)*(a-b), also (a-b)^2. Und das ist genau das, was unsere Formel aussagt. (a-b)^2, diese Fläche ergibt sich, wenn wir von a^2, einmal ab abziehen, dann ein b^2 dazuaddieren und dann oben noch einmal ab abziehen. So kommen wir auf (a-b)^2. Mit unserer Software könnt ihr übrigens auch eigene Werte berechnen. Ihr könnt die Werte entweder hier eingeben, zum Beispiel b mit 2. (a-b) mit 4. Dann habt ihr a gleich 6. Dann habt ihr hier die einzelnen Teile, wie sie sich ergeben, also 6*2 ist diese Fläche. 4*4 ist diese Fläche. 6*2 ist diese Fläche und so weiter. Wenn ihr dann auf Flächen anzeigen klickt habt ihr hier dann die Quadratmeter angegeben und ihr habt hier unten sämtliche Berechnungen vor den Augen. Also die Gesamtfläche 36 m^2 in dem Fall ergibt sich aus -12 m^2, das ist diese Fläche hier 12 m^2. Die ziehen wir jetzt ab. Dann müssen wir 4 m^2 draufschlagen. Das ist dieses b^2. Und dann dürfen wir 12 m^2 wieder abziehen. Und zum Schluss bleiben 16 m^2 übrig. Also auch die gleiche Fläche, die sich ergeben würde, wenn wir (6-2)^2 rechnen. Also 16 m^2.
Noch ein letzter wichtiger Hinweis: Wenn ihr die zweite binomische Formel anwenden sollt. Sagen wir der Lehrer gibt euch eine Aufgabe, die da heißt (3xy-5)^2, dann wissen einige Schüler nicht, was denn jetzt a und b ist. Schreiben wir unsere zweite binomische Formel jetzt darunter. Und wir sehen hier ist das Minus, hier ist das Minus. Das heißt die 5 wird auf jeden Fall das b sein. Das sieht man gut. Und einige fragen sich jetzt, was ist denn hiervon das a? Und hier müsst ihr wissen, dass dieser gesamte Term 3xy unser a ist. Also wir müssen alles was vor dem Minus sozusagen steht dann für a einsetzen. Das heißt wenn ihr diese Aufgabe bekommt, könnt ihr euch die zweite binomische Formel denken, also das hier nach oben. Und überall wo jetzt a steht 3xy eintragen. Aber bitte daran denken, immer in Klammern einsetzen! Also anstatt a schreiben wir jetzt (3xy). Dann hier ist ebenfalls a, also schreiben wir hier auch (3xy). Und jetzt wo das b steht, das ist ja nur die 5. Das heißt wir können die direkt eintragen. b ist also hier 5 und hier 5. So, an der Stelle können wir das weiter ausrechnen. Wir kopieren das nochmals runter und sagen, hier ist ja ein Quadrat, wir müssen das mit sich selbst multiplizieren. Also mal und dann wieder (3xy). Beim nächsten steht 2*(3xy) und das ist ja (3*x*y) und dann dürfen wir, weil es eine Multiplikation ist hier die Klammern wegnehmen. Und hier hinten steht 5^2, das ist ja 5*5 und das ist 25. Als nächstes schreiben wir das hier auch als Multiplikation. Dann dürfen wir hier auch die Klammern wegnehmen. Hier ebenfalls und dann lasst uns doch die x nebeneinander schreiben. Auch die 3 nebeneinander. Und die y stehen jetzt auch nebeneinander. Dann haben wir 3*3 sind 9. x*x sind x^2 und y*y sind y^2. Hier geht es weiter: 2*3 sind 6. Die 5 nach vorne: 6*5 sind 30. Mal x mal y. Sieht gut aus. Plus 25. Und jetzt sind wir auch schon fertig. Wir können noch die Malzeichen wegnehmen, also hier, hier, hier und hier und das wäre dann die fertig aufgelöste Formel. (3xy-5)^2 ist das gleiche wie 9x^2y^2-30xy+25. Gut, schauen wir uns im nächsten Teil die dritte binomische Formel an.

Schauen wir uns nochmal die erste binomische Formel an. Da hatten wir gesagt das ist (a+b)^2 ist gleich a^2+2*a*v*b+b^2. Und die zweite binomische Formel haben wir definiert mit (a-b)^2 ist gleich a^2-2*a*b+b^2. Wir ihr seht unterscheiden sich diese beiden Formeln nur in einem Vorzeichen und zwar wenn hier Plus zu Minus wird, muss das Plus vor der 2 zum Minus werden. Das als kleine Merkhilfe. Die dritte binomische Formel ist etwas anders als die beiden hier oben. Sie lautet (a+b)*(a-b). Und das verrate ich schon vorab, da kommt raus ist gleich a^2-b^2. Wir ihr seht, unterscheidet sie sich sehr von der ersten und der zweiten binomischen Formel. Schauen wir uns an, was es damit auf sich hat.
Wählen wir für a und b wieder ein paar schöne Werte. Nehmen wir für a die 7 und für b die 3. Da sollte also rauskommen 7^2 minus b^2, also 3^2. Prüfen wir das! Hier gilt auch wieder die Regel: Multipliziere jedes Element in der einen Klammer mit dem anderen Element in der zweiten Klammer. Also legen wir los: Schreiben wir noch vor die 7 ein Plus und vor diese 7 ebenfalls. Und wir rechnen aus: +7*(+7), dann können wir dieses Plus nach vorne schreiben und sehen Plus mal Plus ist, richtig, Plus. Als nächstes nehmen wir uns +7*(-3). Hier nehmen wir das Minus nach vorne und erkennen Plus und Minus ergibt Minus. Jetzt geht es weiter mit dieser 3. Schreiben wir +3 runter mal +7. Jetzt haben wir wieder Plus und Plus, das heißt insgesamt ist es Plus. Und als nächstes nehmen wir wieder die +3*(-3). Minus nach vorne und Plus und Minus ist Minus. Als nächstes tauschen wir die Position von der 3 und der 7. Das heißt die 7 springt nach vorne. Und jetzt sehen wir folgendes. Wir haben hier einmal -7*3 und hier +7*3. Also 7*3 sind 21. Dann wären das -21+21 und das ergibt 0. Das heißt wir dürfen die beiden Teile komplett wegnehmen. Dann steht dort +7*7, dann diese +0 sozusagen und die -3*3. Als nächstes können wir noch das und das als Quadrat schreiben. Das heißt hier ergibt sich 7^2 und hier ergibt sich 3^2. Dann können wir noch das Plus hier vorne wegnehmen und wir sind am Ende unserer Berechnung. Wir hatten ja vorher gesagt, hier kommt raus 7^2-3^2 und das haben wir hiermit erreicht. Schreiben wir das nebeneinander, nehmen diese Plus hier noch weg und ihr seht, das ist genau das, was wir am Anfang hingeschrieben hatten. Unsere dritte binomische Formel. Und das ist dann natürlich allgemeine Form mit unseren Variablen. Auch diese dritte binomische Formel mit (a+b)*(a-b) ist gleich a^2-b^2 können wir uns auch wieder graphisch vor Augen führen. Schauen wir einmal. Wie hier steht: Die eine Fläche die sich ergibt aus (a+b)*(a-b) ist genauso groß wie a^2 minus die Fläche b^2. Das heißt wir müssen von a^2 einmal b^2 abziehen um diese Fläche hier links zu erreichen. Also wir haben (a+b)*(a-b). (a+b) ist diese Seite hier unten. (a-b) ist diese grüne Seite hier rechts, bzw. hier links. Und wenn wir die beiden multiplizieren, ergibt sich diese große Rechtecksfläche. Diese Fläche soll entstehen. Jetzt müssen wir dafür von a^2 b^2 abziehen. Wie wir sehen links oben, das b^2 wird jetzt weggeschnitten, also abgezogen. Und jetzt haben wir nur noch diese drei Teilflächen. Und wenn wir jetzt mit der Maus hier herübergehen, über (a+b)*(a-b), seht ihr, dass sie genauso groß ist, wie die Fläche a^2-b^2. Die Flächen sind jetzt gleich groß, weil wir das b^2 abgezogen haben. Natürlich ist diese Teilfläche nicht an dieser Position hier drüben, aber das können wir jetzt gerade mal ändern, indem wir sie verschieben. Und wie ihr seht entspricht diese Fläche unserem (a+b)(a-b). Also wir haben a^2. Ziehen von a^2 b^2 ab und schon sind die beiden Flächen gleich groß. Ihr könnt das auch gerne mit eigenen Werten ausprobieren. Ihr könnt für a hier einen Wert eintragen. Nehmen wir für a 7 und für b die 3 und zeigen wir uns jetzt mal die Flächen an. Dann haben wir diese Teilflächen und die Fläche 40 m^2 soll entstehen, also 12+16+12, das sind 40 und dazu müssen wir von der a^2, also von 7*7 sind 49 m^2 diese 9 m^2 abziehen. Und 49 m^2 - 9m^2 ergibt natürlich (12+12+16) m^2, also 40 m^2. Wie gesagt, ihr könnt hier eigene Werte benutzen. Könnt die Werte auch nachträglich verstellen und eigene Aufgaben hiermit lösen.
Als letztes schauen wir uns noch etwas an das man „Faktorisieren“ nennt. Erinnert euch an die Grundrechenarten, da hatten wir bei einer Multiplikation gesagt, so etwas wie 3*3 ergibt 9, also Faktor mal Faktor ist gleich Produkt. Und bei der ersten binomischen Formel hatten wir aus der 3 eine 2+1 gemacht und aus der 3 ebenfalls eine 2+1. Faktorisieren bedeutet diese Form der binomischen Formel wiederherstellen. Also nehmen wir uns mal ein Beispiel. Sagen wir, wir haben so etwas bekommen wir x^2+6x+9 und wir sollen das faktorisieren. Wie man hier erkennt, handelt es sich um die erste binomische Formel, weil wir hier ein Plus haben und hier auch ein Plus. Also schreiben wir die erste binomische Formel nochmal hier runter und drehen jetzt die beiden Seiten um, dann erkennen wir, die Form stimmt überein. Hier haben wir das Quadrat. Hier haben wir noch kein Quadrat, das sehen wir aber gleich und hier haben wir 6x. Gehen wir von links nach rechts durch. Wenn das x^2 ist und hier steht a^2, dann muss dieses x ja unser a sein, das heißt, schreiben wir das mal nach oben. Das heißt unser x wird hier eingesetzt, denn x ist ja das a. Und hier haben wir ebenfalls das x. Unser a. Was ist nun b? Und b erkennen wir jetzt an der 9, denn wir fragen uns, welche Zahl ins Quadrat ergibt denn 9 und das ist 3. 3^2 ist 9. Schreiben wir die 9 als 3^2. Und genauso gut hätten wir es hier gesehen, denn hier steht ja 6*x. Und hier steht 2*a*b, das heißt hätten wir das mal nebeneinander gestellt. Und das x und das a entfernt, weil die beiden haben wir ja schon. Dann würde da stehen: 6 ergibt sich aus 2 mal welcher Zahl? Und natürlich, 2*3 ist 6. So hätten wir auch hier die 3 ermitteln können. Also machen wir aus der 6 jetzt unsere 2*3. Tauschen wir an dieser Stelle noch den Platz von x und 3. Ersetzen wir also auch hier hinten das b mit unsere 3. Und an der Stelle sind wir fertig. Wir haben aus unserer ursprünglichen Aufgabe x^2+6x+9 über Umformung unsere ursprüngliche der binomischen Formel und zwar der ersten binomischen Formel herausbekommen: (x+3)^2. Das können wir auch hier nebeneinander schreiben. Und das ist das Faktorisieren. Die ursprüngliche Form der binomischen Formel wieder herleiten. Achtet übrigens immer darauf, dass dieses Element hier vorne, in unserem Beispiel das x^2, immer als x^2 dasteht, also hier vorne darf keine Zahl stehen. Wenn dem so ist, also schreiben wir mal eine 4x^2 da hin. Und multiplizieren wir auch die 6x und die 9 mit 4. Also 4*6 sind 24. 4*9 sind 36. Das heißt wir haben jetzt eine komplett neue Aufgabe erschaffen. Und wenn ihr so eine Aufgabe bekommt, macht ihr nichts weiter als was ich gerade gezeigt habe rückgängig. Ihr nehmt die 4 aus jedem einzelnen Wert heraus. Ihr klammert sie aus, so wie wir sie beim Distributivgesetz gelernt haben. Also 4 kommt raus und wir schreiben: Klammer auf, die ganze Formel und dann die Klammer zu. Und wenn wir das so schreiben „4 mal“, dann müssen wir hier drin jeden Wert durch 4 dividieren. 4*x^2/4, 24x/4 und 36/4. Jetzt rechnen wir das aus. Wir schreiben als erstes die 4 hinter das x^2. Dann steht hier 4/4 ist 1. Einmal ein Wert ist der Wert selbst. Dann hier genauso. Wir schreiben die 4 hinter die 24. 24/4 sind 6. Und hier: 36/4 sind 9. Anhand dieser Formel könnt ihr jetzt faktorisieren und wir würden erhalten, wie schon berechnet, (x+3)^2. Das heißt dieses x^2+6x+9 wird ersetzt mit (x+3)^2. Das können wir jetzt hier eintragen. Und schon haben wir faktorisiert. Schreiben wir das hier oben hin und ihr seht, wir haben 4*(x+3)^2. Das heißt diesen Faktor 4 müsst ihr immer beachten, sofern er vor dem x^2 steht. Und natürlich noch der Tipp, wenn ihr am Ende einer Klassenarbeit zum Beispiel noch Zeit habt, dann macht die Probe und setzt für x einen Wert ein. Sagen wir x soll jetzt mal 1 sein. Dann wird überall wo x steht eine 1 eingesetzt. Also hier, hier und hier. Und dann können wir ganz schnell ausrechnen: 4*1^2, also 1^2 ist 1. Mal 4 ist 4. 24*1 ist natürlich 24. Plus 36, okay. Und hier drüben steht (1+3), die zuerst rechnen und dann kriegen wir die 4 heraus. 4^2 sind 16. Und jetzt müssen beide Seiten den gleichen Wert haben. 4+24 sind 28. Plus 36 sind 64. Und hier drüben: 4*16 sind ebenfalls 64. Die Aussage stimmt, also haben wir hier oben richtig umgeformt.
Die binomischen Formeln lassen sich auch noch gut zum Kopfrechnen benutzen. Gerade bei größeren Multiplikationen, wie zum Beispiel 202*198. Das scheint etwas schwierig, doch können wir die beiden Werte umwandeln und die binomische Formel anwenden. Die 202 machen wir einfach zu 200+2. Und die 198 ergibt sich ja aus 200-2. Und schon haben wir hier die dritte binomische Formel. Und bei der dritten binomischen Formel kommt hier raus a^2-b^2. Unser a ist die 200. Das heißt die setzen wir hier ein. Und unser b ist die 2. Die setzen wir hier ein. Und schon ist die Aufgabe relativ simple. 200*200-2*2. Hier kommt raus 40.000 und hier kommt raus 4. Und 40.000-4 sind 39.996. Echt Einfach TV wünscht viel Erfolg und viel Spaß mit den binomischen Formeln.