Mathe G23: Logarithmus und Logarithmengesetze

Hallo und willkommen zur Lektion Logarithmus! Betrachten wir uns als erstes das Wort Logarithmus. Da haben wir zum einen Logos, übersetzt als Verständnis, Vernunft (aus dem Griechischen). Und das Wort arithmus, übersetzt als Zahl. Das heißt, beim Logarithmus meint man eine Zahl, die aus der Logik heraus entsteht, aus dem Verständnis. Logarithmus und Potenz hängen miteinander zusammen, deswegen betrachten wir uns noch mal die Potenz. Potenz ergab sich aus Basis hoch Exponent ist gleich Potenzwert. Kurz geschrieben: a (die Basis) hoch n (der Exponent) ist gleich z (der Potenzwert). Und dann hatten wir solche schönen Aufgaben wie: 3 hoch 2 = 9 das war simpel, das war die 'erste' Stufe. Wenn wir jetzt also sagen würden: a hoch 2 = 9 wäre die Basis gesucht. Um das zu lösen, hatten wir auf beiden Seiten unserer Gleichung die Wurzel gezogen. Und dann stand dort: Wurzel aus a Quadrat = Wurzel aus 9. Wurzel aus a Quadrat, wissen wir, ist wiederum a, und Wurzel aus 9 ist natürlich 3. So sind wir dann auf a (die Basis) gestoßen. 3 Quadrat = 9. Beim Logarithmus geht es jedoch um den Exponenten hier oben. Um das n. Die Frage ist also: 3 hoch was ist 9? Und an der Stelle ist es noch relativ einfach, da n hier 2 wäre. Doch wie würde der Spaß aussehen, wenn da stehen würde: 3 hoch n ist gleich irgendeine Zahl. Dann hätten wir ein Problem, denn wir könnten jetzt nicht sagen, das müsste die und die Zahl sein... Hier müssen wir gewisse Regeln anwenden! Betrachten wir uns die Schreibweise des Logarithmus. Wir haben gesagt, wir haben eine Zahl, also eine Basis hoch einem Exponenten ergibt einen Potenzwert. Wenn wir jetzt den Exponenten oben suchen, ergibt sich der Exponent aus Logarithmus dann Basis a und der Potenzwert kommt hier hinten hin. Also anhand eines Beispiels: Sagen wir 2 hoch 4 = 16 Dann wäre das hier unten geschrieben. 4 = log2 16 Ihr schreibt also immer den Logarithmus, dann die Basis tiefgestellt und dann das Ergebnis (den Potenzwert) ist gleich Exponent. Es könnte durchaus sein, dass einige von euch jetzt das Gesicht verziehen und die Schreibweise auf Anhieb nicht verstehen. Deshalb betrachten wir uns eine kleine Animation, die euch das Verständnis erleichtern wird. Wir haben die Basis 2, die an das log herangeschrieben wird. Wir haben den Potenzwert 16, der dahinter geschrieben wird. Und der Exponent 4 als Ergebnis des Logarithmus. Also Basis hinter das log, Potenzwert gleich dahinter, ist gleich der Exponent. Noch kurz zu den Benennungen, die sind hier nämlich noch ein bisschen anders als bei der Potenz. Die Basis heißt hier auch Basis, doch das Ergebnis wird nicht Potenzwert genannt, sondern als Numerus bezeichnet. Und der Exponent, der herauskommt, den bezeichnet man tatsächlich als den Logarithmus. Und man liest das Ganze: Der Logarithmus von z zur Basis a. Mit unserem Beispiel wäre das: Logarithmus von 16 zur Basis 2 ist gleich 4. Übt ein wenig mit eigenen Beispielen, werdet sicherer und dann kucken wir uns als nächstes die Logarithmusgesetze an. Betrachten wir ein Beispiel mit der Basis 2. Sagen wir also, 2 hoch 4 mal 2 hoch 3 istgleich - und die Lektion zur Potenzrechnung habt ihr gesehen, dann wisst ihr also, da kommt 2 hoch 7 heraus. Warum war das so? Ganz einfach: Weil bei der gleichen Basis die Exponenten addiert werden. Das ist dann 2 hoch 4+3 und das ist 2 hoch 7. Rechnen wir das jetzt aus: 2 hoch 4 sind 16 2 hoch 3 sind 8 und 2 hoch 7 sind dann 16*8 und das sind wiederum 128. Wenn wir uns auf der rechten Seite einmal die Exponenten hinschreiben, wäre das ja: 4 + 3, und beide Exponenten ergeben 7. Also hier oben: 4 + 3, die finden wir hier wieder, und die 7, die findet sich hier wieder. Wenn wir jetzt also haben: 2 hoch 4 ist gleich 16, können wir das als Logarithmus wie folgt schreiben: log Basis:2 Numerus:16 ist gleich 4. Halten wir das fest. Wie sieht es aus mit 2 hoch 3 gleich 8? Dann hätten wir log Basis:2 Numerus:8 ist gleich 3. Wie sieht es aus mit 2 hoch 7 ist gleich 128? Dann hätten wir log Basis:2 Numerus:128 ist gleich 7. Gut, übertragen wir jetzt mal diesen Teil (log2 16 = 4). Die 4 haben wir hier oben, also dürfen wir darunter schreiben: log2 16 = 4 also log2 16 Wenn jetzt die (+ 3 = 7) kommt, machen wir das Gleiche: 3 steht hier und 3 ist ja (log2 8). Also ersetzen wir die 3 mit (log2 8). Jetzt noch die 7 auf der Seite, die haben wir hier, und das ist log2 128. Und jetzt kommt das Schöne: log2 128 ist ja auch das Gleiche wie log2 128 und 128 ist ja (16 * 8), das heißt die dürfen wir hier auch eintragen. 16 * 8 Und wenn wir jetzt ein bisschen aufräumen, dann sehen wir das besser, dann steht ja offensichtlich hier: log2 16 + log2 8 = log2 (16*8) Und das ist auch schon die erste Logarithmusregel, die wir kennenlernen. Verallgemeinern wir sie: Logarithmus, gegebene Basis a, zu einem Wert x. Logarithmus, gegebene Basis a, zu einem Wert y. Ist Logarithmus, Basis a, zu einem Wert x mal y. Das ist die erste Regel, die wir heute lernen. Springen wir noch mal zurück zu unserer vorigen Darstellung und kucken uns die Subtraktion von Exponenten an. Das heißt, wir haben jetzt hier oben eine 2 hoch 4 dividiert durch 2 hoch 3 ist gleich (erinnert euch an die Lektion Potenzrechnung) 2 hoch (4 minus 3) und das ist natürlich 2 hoch 1. Das hieße, wir müssten ja hier sagen: 4 minus 3 = 1 (bei den Exponenten) und hier drüben: 16 durch 8 ist natürlich 2. Und hier log2 2. 2 hoch welche Zahl ergibt 2, natürlich 1. Schauen wir uns das Ding hier rechts an. log2 16 minus log2 8. Das war die 4, dann das Minus, die 3 war log2 8. Herauskommt 1, und 1 haben wir definiert als log2 2. Tragen wir das hier ein. Und dann steht hier unten: log2 2 ist gleich (und jetzt nicht mehr 16*8), sondern (kuckt hier oben) 16 dividiert durch 8. Die Division. Merken wir uns: log2 16 - log2 8 = log2 (16:8) und springen wir zurück... Dann geht es zur allgemeinen Form, die da wäre: Logarithmus, zu einer Basis a, zu einem Wert x. Logarithmus, zu einer Basis a, zu einem Wert y. Ergibt Logarithmus, zu einer Basis a, zu einem Wert (x:y). Das ist die zweite Regel, die wir heute kennenlernen.

Fortführung von Teil 1: Was passiert nun, wenn wir so etwas schönes haben wie 2 hoch 3 hoch 4? Da hatten wir bei der Potenzlektion gesehen, das ist das gleiche wie 2 hoch (3*4). Und das wäre in dem Fall 2 hoch 12. Und 2 hoch 12 sind ausgerechnet 4096. Wenn wir jetzt 2 hoch 12 gleich 4096 als Logarithmus schreiben wollten, also wenn wir die hoch 12 suchen würden, würden wir schreiben log Basis:2 Numerus:4096 und das wäre ja 12. Aber für die Herleitung unserer neuen Regel betrachten wir uns das ein wenig anders. Wir sagen nämlich: log2 4096 ist log2 und (wie ergibt sich die 4096?), die ergibt sich offensichtlich aus 2 hoch 12 selbst. Tragen wir die hier ein. Und wir wissen, dass 2 hoch 12 nichts weiter ist als die 2 zwölf Mal mit sich selbst multipliziert. Schreiben wir das hin. Und wenn wir jetzt die Logarithmusregel anwenden, die wir in Teil 1 gelernt hatten, also: loga x + loga y =loga (x*y) - die Multiplikation kann als Addition ausgedrückt werden - dürfen wir also jedes Element (jede 2 hier in der Klammer) auch herausziehen und dann mit dem nächsten addieren, und zwar ingesamt 12 Mal. Das kann man abkürzen! Erinnert euch: Wenn wir so etwas haben wie x + x + x können wir schreiben 3*x. Jetzt haben wir hier (log2 2) + (log2 2) + ... und das ganze 12 Mal, also schreiben wir 12 * (log2 2). Und das ist auch schon unsere neue Regel. Tragen wir 2 hoch 12 noch für die 4096 ein. Und räumen ein bisschen auf... Allgemein hieße das nun: log Basis:a Numerus:(x hoch y) = y * log Basis:a Numerus:x Das ist die dritte Regel, die wir heute lernen. Und sollte der Numerus spaßeshalber mal eine Wurzel sein, wie zum Beispiel dritte Wurzel aus 8, dann tut bitte Folgendes und wendet die Wurzelgesetze an: Wandelt diese Wurzel in eine Potenz um, das wäre also 8 hoch (1/3) und dann können wir unsere neue Regel entsprechend anwenden. Das heißt, diese 1/3 sind in unserem Fall y und werden jetzt nach vorne multipliziert. Hier steht also: 1/3 * log2 8 So wäre das allgemein: log Basis:a Numerus:(n-te Wurzel aus z) ist gleich 1/n * log Basis:a Numerus:z Um mit Logarithmen rechnen zu können, benötigen wir noch eine allerletzte, sehr wichtige Regel. Kucken wir uns nochmals ein Beispiel an, nehmen wir den Logarithmus von 8 zur Basis 2. Der ergibt 3, denn erinnert euch: 2 hoch 3 ist 8. Und jetzt kommt wieder ein kleiner Trick: Da steht 2 hoch 3 (hier oben im Exponenten), und diese 3 ist ja log2 8. Das heißt, ich darf jetzt log2 8 hier oben für den Exponenten einsetzen, und das Ergebnis bleibt 8. Wenn wir das jetzt verallgemeinern wollen, steht da: log Basis:a Numerus:x = z (eine Zahl) Und dann haben wir hier rechts: a hoch die Zahl z (Exponent) ist gleich x und hier haben wir Basis a hoch (loga x). Und herauskommt dann x. Das ist die allgemeine Form. Erinnern wir uns als nächstes an die Äquivalenzumformung. Da hatten wir gelernt, eine Operation auf beiden Seiten verändert die Gleichung nicht. Doch was wir jetzt machen, ist einen Logarithmus auf beiden Seiten zu ziehen. Mit einer anderen Basis, und zwar Basis b. Für ein Beispiel nehmen wir die Gleichung 8 = 8 und ziehen zum Beispiel den log 2. Dann könnten wir schreiben: log2 8 = log2 8. Dann würde jetzt auf beiden Seiten stehen: (2 hoch 3 = 8, also): 3 = 3 auf beiden Seiten unverändert! Mit diesem Hintergrundwissen können wir jetzt sagen: Wir nehmen unsere gerade ermittelte Form und notieren sie noch einmal. Jetzt ziehen wir auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis b, dann würde da stehen: logb (a hoch loga x) ist gleich logb x Jetzt wenden wir das Logarithmusgesetz an, dass ein Exponent bei einem Numerus nach vorne geschrieben werden darf. Unser Exponent ist hier oben (loga x), den ziehen wir also nach vorne: (loga x) jetzt kommt das Mal, und jetzt kommt logb und dann haben wir noch das a da zu stehen. Und das ist immer noch logb x. Jetzt können wir auf beiden Seiten einmal dividieren, und zwar durch (logb a). Dann bleibt links stehen: loga x = logb x : logb a Schreiben wir das noch als Bruch. Und das ist die sehr wichtige Regel, die ihr euch merken müsst! Was heißt das, mit anderen Worten ausgedrückt: Ein Logarithmus zu einer Basis (in dem Fall a) kann ausgedrückt werden mithilfe eines komplett anderen Logarithmus b. Und noch mal zum Mitschreiben: Ein Logarithmus kann mithilfe von anderen Logarithmen (andere Basis) berechnet werden! Machen wir hierzu ein Beispiel: Wir nehmen eine einfache Potenz, und zwar 4 hoch 3. 4 hoch 3 = 4*4*4 = 64. Wenn wir jetzt also den Logarithmus bilden, sagen wir log Basis:4 Numerus:64 ist gleich (und jetzt nehmen wir uns eine andere Basis zur Hilfe) - für unser Beispiel nehmen wir die Basis 2. Ihr müsst dann x (in unserem Fall ist x = 64) eintragen und unten für das a die Basis 4 eintragen. Dann fragt sich, mit welchem Wert muss denn 2 hoch gerechnet werden, um auf 64 zu kommen. Und das ist 6, denn 2 hoch 6 = 64. Und mit welchem Wert muss die Basis 2 potenziert werden, um auf 4 zu kommen, das ist einfach, das ist 2, denn 2 hoch 2 = 4. Und 6 durch 2 sind natürlich 3. Und tatsächlich 3 ist auch der Exponent, den wir gesucht haben. Wenn ihr jetzt einmal einen Blick auf euren Taschenrechner werft, werdet ihr feststellen, dass ihr dort zwei Tasten habt: Einmal "log" und daneben "ln". Das heißt nichts weiter als: log steht für log Basis:10 und "ln" steht für log Basis:e wobei e die Eulersche Zahl ist, eine Naturkonstante, die wir uns später ankucken werden. Das heißt, mit einer dieser beiden Tasten könnt ihr unsere Aufgaben rechnen. Ihr bekommt also eine Logarithmusaufgabe und nutzt einen der beiden Logarithmen. Als Beispiel: log Basis:5 Numerus:752 Das im Kopf zu machen ist hochkompliziert. Jetzt kennen wir unsere Form: log Basis:a x = log Basis:b x dividiert log Basis:b a Das heißt, wir nehmen als Basis von unserem Taschenrechner log Basis:10 und wir rechnen nun damit weiter. x ist bei uns die 752 und a ist die 5. Verwenden wir unseren Taschenrechner: log von 752 dividiert durch log von 5 ist gleich 4,114937... Und diesen Wert könnt ihr gerne testen: Ihr gebt einfach in den Taschenrechner ein: 5 hoch 4,114937 und herauskommt rund 752.

Fortführung von Teil 2: Ihr merkt euch also, wenn ihr eine Aufgabe bekommt, dass ihr als erstes die Logarithmus-Taste drückt und dann den Numerus-Wert eingebt. Anschließend benutzt ihr die Divisions-Taste und dividiert durch den Logarithmus der Basis (hier log 4). Auf diese Weise erhaltet ihr den gesuchten Exponenten. Für unsere Aufgabe log4 97 heißt das: 4 hoch was ist 97 Nehmen wir uns den Taschenrechner zur Hand. Und geben wir ein: log und 97, jetzt Divsion durch log 4. Ist gleich 3,299... also rund 3,3. Wir können also festhalten: x ist rund 3,3. Probe: 4 hoch 3,3 müsste dann 97 ergeben. Testen wir das: 4 hoch 3,3 = (rund) 97 wunderbar ;) Nach unseren beiden theoretischen Lektionen betrachten wir uns jetzt zwei Anwendungen des Logarithmus. Die Aufgabe lautet: Der Mittlere Abstand zwischen Erde und Mond beträgt circa 384.400 km. Wie oft muss man die Strecke halbieren, damit sie kleiner als 1 Meter ist. Die 384.400 sollen also halbiert werden, halbiert werden, halbiert werden, ... und irgendwann soll der Wert unter 1 Meter sein. Hier muss man schon am Anfang aufpassen, denn hier haben wir Meter und hier oben Kilometer. Das heißt, wir müssen erst einmal eine gemeinsame Einheit finden. Da ist es natürlich sinnvoll, wenn wir 1 Meter umwandeln in Kilometer, also in 0,001 km. Und diese Divisionen schreiben wir am besten als Bruch. Und jetzt sollen wir ja nicht nur einmal durch 2 dividieren, sondern n mal. Also die Anzahl, wie oft wir durch 2 dividieren sollen, ist ja zu ermitteln. Und herauskommen soll 0,001 km bzw. ein Wert, der darunter liegt. Gut, verwenden wir die Termumformung und machen als erstes einen Kehrwert. Dann multiplizieren wir auf beiden Seiten mit 384.400 Dann bleibt auf der linken Seite 2 hoch n übrig und auf der rechten Seite erhalten wir 1 / 0,001 * 384.400 Dann wisst ihr natürlich aus der Lektion Bruchrechnung, dass wir das hier einfach zusammenfassen können zu diesem Bruch. Jetzt ziehen wir den Logarithmus auf beiden Seiten. Und erinnert euch: Die Taste log auf dem Taschenrechner war log Basis:10. Jetzt schreiben wir jedoch nur "log". log (2 hoch n) = log von unserem Bruch Rechnen wir den Bruch einmal aus, dann ergibt sich 384.400.000 Der Mathematiker schreibt soetwas natürlich kürzer, da benutzen wir die 10er Potenz und dann steht hier: 3,844 * 10 hoch 8 Jetzt wenden wir die Regel an, dass bei einer Potenz im Numerus der Exponent (also das n) nach vorne multipliziert werden darf. Jetzt dividieren wir auf beiden Seiten durch log 2. Dann fällt es auf der linken Seite weg, und wir haben nur noch n dazustehen, ist gleich der Term auf der rechten Seite dividiert durch log 2. Das berechnen wir jetzt im Taschenrechner, tippen also ein: log von (3,844 * 10^8) = jetzt natürlich noch dividiert : log 2 = Ergebnis 28,518 gerundet. Gut, das wäre also die Lösung unserer Aufgabe. Antwortsatz wäre demnach: Die Strecke muss mehr als 28 Mal (also 29 Mal) halbiert werden, damit sie kleiner als 1 Meter ist. Probe wäre: Wir haben die 384.400 und dividieren sie durch 2 hoch n, wobei n jetzt 28,518 ist. Machen wir das im Taschenrechner: 384.400 : (2^28,518) = 0,001 km, also 1 m. Eine weitere nette Aufgabe könnte sein: Wie lange muss man 2.000 Euro bei einem Zinssatz von 5 % anlegen, um 4.000 Euro auf seinem Sparkonto zu erreichen. Erinnert euch an die Lektion Zinseszins, da hatten wir die Zinseszins-Formel hergeleitet, die da lautete: Das Kapital ergibt sich aus dem Startkapital multipliziert mit 1 (bzw. 100%) plus dem Zinssatz hoch Anzahl der Jahre (n). Diese Formel benutzen wir jetzt für unsere Aufgabe. Wir haben ein Startkapital von 2.000 Euro, und der Zinssatz beträgt 5 %, und wir haben ein Endkapital von 4.000 Euro. Für 5 % schreiben wir übrigens gleich 0,05 Okay, benutzen wir unsere Formel: Kn = K0 * (1 + p) hoch n Kn haben wir hier oben mit 4.000 Euro, setzen wir die hier ein. K0 haben wir hier oben mit 2.000 Euro, setzen wir die hier ein. Der Zinssatz liegt bei 0,05 1+0,05 ergeben dann 1,05 und hoch n (die Anzahl der Jahre) - wissen wir noch nicht. Okay, formen wir ein bisschen um: Auf beiden Seiten dividieren wir durch 2.000 Euro. Dann steht links 4.000 : 2.000, also 2, und rechts steht 1,05 hoch n Jetzt dürfen wir auf beiden Seiten den Logarithmus ziehen. Erinnert euch: "log" im Taschenrechner meint die Basis 10, und erinnert euch außerdem an die letzte Lektion: Die Basis ist eigentlich "egal", solange die gleiche Basis benutzt wird. Linke Seite: log 2, rechte Seite: log 1,05 hoch n. Jetzt wenden wir die Regel an, dass der Exponent vorgezogen werden darf. Dann steht da n*log 1,05 Und jetzt dividieren wir ganz einfach auf beiden Seiten durch log 1,05 Dann steht auf der linken Seite log 2 : log 1,05 und auf der rechten Seite bleibt n übrig. Das geben wir jetzt in den Taschenrechner ein. log 2 : log 1,05 = 14,20669... Sagen wir also gerundet 14,207 Das wären also 14,207 Jahre, die wir unser Kapital anlegen müssten, um 4.000 Euro zu erreichen. Probe wäre also: Die Formel für den Zinseszins geschnappt und eingesetzt: K0 mit 2.000 Euro Zinssatz mit 0,05 Anzahl der Jahre (n) mit 14,207 Dann steht da 2.000 Euro * 1,05 hoch 14,207 Taschenrechner raus... 1,05 ^ 14,207 * 2000 = 4000,06 Euro (6 Cent mehr durch die Rundung) Aber das ist der Wert für das Endkapital, den wir brauchten. Aufgabe erledigt.