Mathe G32: Binärzahlen und Dezimalzahlen

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Informationen über Zahlensysteme

Das jedem bekannte, weltweit am meisten benutzte Zahlensystem ist das Dezimalsystem, es nutzt die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Also 10 Ziffern. Zehn auf Lateinisch heißt "decimus" (der zehnte), daher wird der Begriff "Dezimalsystem" statt "Zehnersystem" verwendet. Der Wert einer Ziffer hängt bei Zahlensystemen nicht nur von ihrem eigenen Wert ab, sondern auch von ihrer Position in einer Zahl. Zur Erinnerung: Eine Zahl wie 345 besteht aus den Ziffern 3, 4 und 5. Die 5 steht an erster Stelle (Einerstelle), ihr Wert ist 5·1=5. Die 4 steht an zweiter Stelle (Zehnerstelle), ihr Wert ist 4·10=40. Die 3 steht an dritter Stelle, ihr Wert ist 3·100=300. So ergibt sich für die Zahl "345" also: 345 = 3·100 + 4·10 + 5·1. Jede Stelle vermittelt also insgeheim eine Zehnerpotenz: 345 = 310² + 4·10¹ + 5·10⁰.

Andere Zahlensysteme nutzen andere Stellensysteme, jedoch sind die Stellen dann nicht mit Zehnerpotenzen zu multiplizieren, sondern mit den Potenzen, die für dieses Zahlensystem gelt. Zum Beispiel sind beim Binärsystem (Dualsystem) 2 Ziffern verfügbar, die Potenz ist demnach 2ⁿ. Beispiel: 1001 = 1·2³ + 0·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 9

Die bekanntesten Zahlensysteme sind 1. Dezimalsystem, 2. Binärsystem (berühmt durch die Anwendung bei Computern) und 3. Hexadezimalsystem (z. B. Farbwerte bei Bildbearbeitungsprogrammen, rot ist #FF0000, grün ist #00FF00 und blau ist #0000FF).

Anwendung von Binärzahlen beim Computer: Jede Speicherung von Daten erfolgt technisch als 011010100101... Das heißt, jeglicher Datensatz (Text, Bilder, Audio, Video) wird heruntergebrochen in eine meist lange Reihe von Einsen und Nullen, AN (1) und AUS (0). Deren Zusammensetzung und die Interpretation durch ein Programm entscheiden darüber, was der Strom von 011010100101... schließlich sein soll. Der Buchstabe "a" ist zum Beispiel die Binärfolge "01100001". Es sind 8 Zeichen, man sagt 8 Bits. Zusammengefasst nennt man 8 Bits einen Byte. 1 Byte ist also 1 Zeichen (im ASCII-Zeichensatz).

Schreibweise: Um kenntlich zu machen, welches Zahlensystem verwendet werden soll, schreibt man einen tiefgestellten Index an die Zahl. Beispiel: 100101₂. Die 2 zeigt an, dass es sich um das Binärsystem handelt. Ein weiteres Beispiel: 457₁₀. Die 10 zeigt an, dass es sich um das Dezimalsystem handelt.

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