Mathe G17: Zinsrechnung

Hallo liebe Zuschauer und willkommen zur nächsten Lektion, der Zinsrechnung. Für die Zinsrechnung benötigen wir einige Begriffe. Zum einen brauchen wir das „Kapital“. Kapital kommt aus dem Lateinischen von „caput“ und das bedeutet „Kopf“ bzw. das „Haupt“. Und die „summa capitalis“. Also bei „capitalis“ steckt das „caput“ drin, war dann die Hauptsumme. Ihr merkt euch also im Bezug auf Kapital, dass hier eine Summe, ein Wert gemeint ist. Also ganz allgemein ein Wertgegenstand. Und in Bezug auf das Thema Zinsrechnung handelt es sich hier um Geld. Und richtig, wo findet ihr Geld? Zum einen beim Sparen und zum anderen wenn ihr Schulden macht. Beim Sparen redet man dann von der Spareinlage. Und bei Schulden spricht man von Kredit. Und ein langfristiger Kredit, das nennt man dann Darlehen. Wenn ihr also einen Kredit bei einer Bank habt, dann müsst ihr darauf jährlich Zinsen bezahlen. Habt ihr eine Spareinlage bei einer Bank, erhaltet ihr Zinsen. Also Zinsen sind sozusagen ein Wertzuwachs. Sind das hier 1000 € und vergeht ein Jahr, dann kommt zu diesen 1000 €, nochmal ein Betrag dazu, und das sind dann die Zinsen. Sozusagen der Wertzuwachs. Und nebenbei erwähnt: Das nennt man dann auch Startkapital und das was dann rauskommt das Endkapital. Der Begriff „Zins“ kommt übrigens aus dem Lateinischen, also lateinisch ist es „Zensus“, und das heißt so viel wie „Abgabe“. Das waren also früher die Abgaben, die zu leisten waren. Wie zum Beispiel Steuern. Daraus hat sich dann der Begriff „Zins“ entwickelt. Und dieser Zins, da gibt es zwei Formen von: Einmal der Zins auf die Spareinlagen, die nennt man dann Habenzins. Und das was man auf die Schulden bezahlen muss, auf einen Kredit, das ist der Sollzins. Der letzte Begriff, der noch zu klären ist, ist der Zinssatz. Und der Zinssatz ist eigentlich das gleiche wie der Prozentsatz bei der Prozentrechnung. Wir hatten dort gelernt, dass wir von 100 Prozent ausgehen. Also wir legen eine Menge fest mit 100 Prozent und haben dann nicht Euro als Zuwachs, sondern einen Anteil in Prozent ausgedrückt.
Also nochmal in der Übersicht: Wir haben einmal das Kapital, dann haben wir die Zinsen und dann haben wir den Zinssatz. Beim Kapital handelt es sich um eine Gesamtmenge an Geld, also das, was nachher unsere Bezugsgröße, unsere 100 Prozent sein werden. Bei den Zinsen handelt es sich um den Anteil aus dem Kapital. Und bei dem Zinssatz handelt es sich um den Anteil relativ ausgedrückt, also als Prozentsatz. Nehmen wir mal ein paar Werte: Sagen wir ihr hättet 1000 € bei einer Bank angelegt. Ihr bekommt nach einem Jahr 100 € ausgeschüttet. Und das sage ich euch jetzt, das sind 10 Prozent. Wie man das berechnet sehen wir uns gleich an. Vorher halten wir noch fest, dass sich bei unseren Berechnungen um die einfache Verzinsung handelt. Warum einfach? Wir betrachten uns diese Berechnung immer nur pro Jahr und nicht auf einen anderen Zeitraum. Und bei diese „pro Jahr“ lernt ihr auch einen weiteren Begriff kennen und das ist „pro anno“. Wobei sich das „pro“ mit dem „pro“ deckt und Jahr auf lateinisch natürlich „anno“ übersetzt wird. Und „pro anno“ heißt also auf ein Jahr bezogen. Und man kürzt es ab als p.a. . Das heißt wenn ihr bei einem Zinssatz hinten ein p.a. seht, wisst ihr, dass sich diese 10 Prozent auf ein ganzes Jahr beziehen. Pro anno. Gut legen wir los.
Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung, die wir uns bereits angeschaut hatten. Und bei der Prozentrechnung hatten wir drei wichtige Formeln kennengelernt. Die da lauteten: Grundwert ist gleich Anteil durch Prozentsatz. Prozentwert, der Anteil, ist Grundwert mal Prozentsatz. Und der Prozentsatz ist Anteil durch Grundwert. Wer die Formeln nicht kennt, sollte sich auf jeden Fall die Lektion Prozentrechnung jetzt anschauen. Denn an dieser Stelle, stellen wir folgendes fest: Der Grundwert entspricht den 100 Prozent und das ist unser Kapital. Der Prozentwert, der Anteil, das ist in der Zinsrechnung der Zins. Und der Prozentsatz, das hatten wir vorhin gesagt, das ist der Zinssatz. Wir sehen also, dass hinter dieser Zinsrechnung nichts weiter als die Prozentrechnung steht. Denn jetzt verändern wir einfach diese Formeln mit den neuen Zeichen. Kapital schreibt man immer mit K. Das heißt das G hier wird zum K. Dieses G hier wird zum K. Und dieses G hier wird zum K. Der Zins, oder die Zinsen, kürzt man mit Z ab. Das heißt unser Prozentwert W wird zu Z. Hier, hier und hier. Und den Zinssatz lässt man als p stehen. Das heißt diese drei Formeln sind die wichtigsten Formeln für uns. Und auch hier können wir den Trick anwenden, den wir bei der Prozentrechnung kennen gelernt hatten: Wir merken uns einfach eine Formel, wie zum Beispiel Z gleich K mal p und können uns die anderen beiden Formeln herleiten. Das heißt ihr merkt euch Z gleich K mal p und könnt jetzt mit Hilfe des Umstellens von Gleichungen auf beiden Seiten durch p rechnen, dann steht links Z durch p und rechts K mal p durch p. Also die beiden fallen dadurch weg. Und ihr habt die Formel für K. K ist Z durch p. Und als Bruch geschrieben: Z/p. Und schauen wir hier oben: Z gleich K durch p. Das war unsere ursprüngliche Formel. Gleiches gilt für den Zinssatz, wenn ihr p haben wollt. Dann dividiert ihr auf beiden Seiten durch K. Erinnert euch an das Kommutativgesetz. Ihr dürft K mit p vertauschen. Jetzt Division mit K. Und ihr habt so stehen: Links Z durch K und rechts p mal K durch K. Mal K durch K heben sich auf. Und ihr habt jetzt so stehen p gleich Z durch K. Als Bruch Z/K. Und schauen wir hier oben. p gleich Z durch K. Die gleiche Formel. Das heißt alle drei Formeln erhaltet ihr aus Z gleich K mal p.
Gut, als nächstes berechnen wir ein paar Beispiele. Für die erste Aufgabe sagen wir: Für sein neues Auto nimmt Herr Müller einen Kredit in Höhe von 10.000 €. Und die Bank bei der er den Kredit nimmt, die berechnet 8 Prozent Zinsen. Das heißt wir schreiben: Er muss jährlich 8 Prozent Zinsen bezahlen. Gut. Was haben wir also gegeben? Wir haben einmal den Kredit in Höhe von 10.000 €. Das ist unsere Gesamtmenge an Geld. Das Kapital. Und dann schreiben wir: K gleich 10.000 €. Dann haben wir hier Prozent gegeben. Das heißt der Zinssatz. Das ist p, sind 8 Prozent. Was ist demnach gesucht? Ganz klar, die dritte Größe und das sind die Zinsen. Wie kommen wir jetzt also auf 8 Prozent? Da hatten wir die Formel gerade kennen gelernt: Kapital mal Zinssatz. Z gleich K mal p. Und jetzt setzen wir einfach ein: 10.000 € und jetzt bei p 8 Prozent. Die 8 Prozent wandeln wir um, wie wir es bei der Prozentrechnung gelernt hatten, in 8 durch 100. Das sind ja 0,08. Und 10.000 mal 0,08, das sind 800 €. Das heißt 800 € muss Herr Müller jedes Jahr bezahlen für seinen Kredit. Schauen wir uns eine zweite Aufgabe an. Die zweite Aufgabe lautet: Herr Schmidt hat 18.000 € gespart. Er möchte das Geld bei der Bank anlegen und hofft, jährlich 2.000 € Zinsen zu bekommen. Frage: Wie hoch muss der Zinssatz sein? Gut. Schauen wir was gegeben ist. Wir haben einmal 18.000 € Gespartes, also die Hauptsumme, das Kapital. Schreiben wir also hin: Kapital gleich 18.000 €. Und wir haben gegeben: 2.000 € Zinsen. Zinsen sind Z. Und Zinsen sind dann 2.000. Und was ist gesucht? Ganz klar, gesucht ist p. Nehmen wir die Standardformel Z gleich K mal p. Wir wollen p haben. Dividieren also auf beiden Seiten durch K. Dann bleibt links Z durch K stehen. Rechts bleibt p stehen. Also p ist Z durch K. Verdrehen wir noch die Seiten. Und löschen die Zeile darüber. Und jetzt können wir einsetzen. Z sind 2.000 € durch K. Und K sind 18.000 €. Und 2.000 durch 18.000. Da dürft ihr gerne den Taschenrechner nehmen und eingeben: 2.000 durch 18.000 und das sind 0,11 (Periode). Das sind rund 0,11. Und diese 0,11 müssen wir noch in Prozent umwandeln. Das heißt wie wir gelernt hatten bei der Prozentrechnung: 0,11 können geschrieben werden als 11 dividiert durch 100. Und die durch 100 sind natürlich Prozent. Das heißt wir haben hier 11 Prozent für den Zinssatz. Herr Schmidt benötigt also einen Zinssatz von mindestens 11 Prozent, damit er am Ende des Jahres 2.000 € Zinsen bekommt.

Schauen wir uns noch ein letztes Beispiel an. Die Aufgabe lautet: Frau Meyer erhält 450 € Zinsen von ihrer Bank. Der Zinssatz der Bank beträgt 8 Prozent. Und die Frage ist natürlich: Wie hoch ist ihre Anlage? Und wenn ihr den Begriff Anlage hört, meint man das angelegte Geld. Also in unserem Fall ist die Anlage das Kapital. Und das ist gesucht. Wir nehmen also unsere Standardformel wieder zur Lösung. Die da Z gleich K mal p lautet. Hier können wir jetzt schon mal eintragen. Hier sind die Zinsen; 450 €. Hier ist der Zinssatz mit 8 Prozent. Und das K ist gesucht. Das heißt hier stellen wir ganz einfach um. Wir dividieren durch 8 Prozent. Dann schreiben wir die durch 8 Prozent hier links hin. Und auf der rechten Seite taucht sie auch auf. Mal 8 Prozent durch 8 Prozent lösen sich auf. Und wir haben jetzt so stehen: K ist gleich 450 € durch 8 Prozent. Drehen wir das noch um. Und berechnen jetzt das K. Hierzu wandeln wir die 8 Prozent um in 0,08 und können jetzt ganz bequem in den Taschenrechner eingeben: 450 dividiert durch 0,08 und wir erhalten 5.625. Und das ist schon unser Kapital. Das heißt Frau Meyer hatte 5.625 € bei einem Zinssatz von 8 Prozent angelegt und hat 450 € ausgezahlt bekommen. Damit ihr ein wenig sicherer werdet. Empfehle ich euch unter echteinfach.tv einfach diese Software hier auszuprobieren. Ihr könnt hier festlegen, was ihr berechnen wollt. Wie zum Beispiel die Zinsen. Hier unten seht ihr klein angegeben das ist K mal p. Hier oben habt ihr das Kapital. Hier habt ihr den Zinssatz pro Jahr. Dann könnt ihr hier eigene Werte einstellen oder auch eingeben. Also für unser Beispiel da hatten wir gerade 5625 € und wir hatten einen Zinssatz von 8 Prozent und das ergibt 450 €. Schauen wir nochmals zurück und richtig, die 450 € finden sich hier wieder. Wir hatten bei Frau Meyer 5.625 € Kapital, 8 Prozent Zinssatz, 450 € Zinsen. Bei dieser Software könntet ihr jetzt noch andere Zinssätze festlegen, ihr könntet aber auch das Kapital aus gegebenen Zinsen berechnen. Das heißt an dieser Stelle wollt ihr zum Beispiel 250 € Zinsen haben, bei einem Zinssatz von 4 Prozent. Das heißt ihr müsstet für ein Jahr 6.250 € anlegen. Oder schauen wir nochmals zu dem Zinssatz rüber. Ihr wollt 500 € Zinsen haben. Ihr habt ein Kapital von 10.000 €. Das heißt ihr braucht einen Zinssatz von 4,95 Prozent p.a. . Pro anno, also pro Jahr. Und hier unten seht ihr auch wieder die Berechnung angegeben. Versucht es ein wenig. Überprüft eigene Aufgaben und werdet sicherer. Im nächsten Teil werde ich euch zeigen, wie sich die Zinsrechnung verändert, wenn man die Zeit berücksichtigt, also zum Beispiel nicht ein Jahr anlegt, sondern nur ein halbes Jahr, also 6 Monate. Oder wenn man sogar tagegenau sagt, mal legt 199 Tage an, was kommt dann schließlich für ein Zins raus, oder Kapital oder Zinssatz.

Willkommen zurück zur Zinsrechnung. Schauen wir in diesem Teil die zeitgenaue Zinsrechnung an. Im vorigen Teil hatten wir gesagt, dass wir, wenn wir einen Guthabenzins berechnen wollen, bei einem Kapital von 10.000 € und bei einem Zinssatz von beispielsweise 5 Prozent hier 500 € herausbekommen würden. Also 10.000 mal 0,05 sind 500 €. Das gilt jedoch nur für ein ganzes Jahr. Haben wir einen anderen Zeitraum funktioniert diese Formel Z gleich K mal p nicht mehr. Um es euch klarer zu machen, schreibe ich hinten mal 1 ran. Mal 1 steht in diesem Fall für unser Jahr. Für das eine Jahr. Und jetzt schauen wir uns mal an, was passiert, wenn wir statt diesem einem Jahr jetzt nur ein halbes Jahr nehmen. Und ein halbes Jahr können wir jetzt als 0,5 schreiben oder aber auch als ½ und anstatt jetzt ein Jahr und dann davon die Hälfte zu nehmen, können wir auch jetzt mal Monate schreiben. Und ein halbes Jahr sind 6 Monate von 12 Monaten. Also wir können statt ½ jetzt 6/12 schreiben. Und klar: 6 durch 12 sind immer noch 0,5. Das heißt die Formel Z gleich K mal p wird jetzt zu Z gleich K mal p mal Zeitanteil: 6/12; 0,5. Wenn wir die jetzt mal hier einsetzen, die Werte, haben wir 10.000 € für das Kapital mal 5 Prozent und jetzt noch mal 6/12, also mal 0,5. Und rechnen wir das jetzt zusammen, haben wir 10.000 mal 5 Prozent. Das sind 500 € und jetzt noch die mal 0,5 dazu. Und 500 mal 0,5 sind 250 €. Das heißt wir haben statt einem Jahr ein halbes Jahr angelegt, 0,5 Jahre. Und dann statt 500 € nur 250 € herausbekommen. Also die Hälfte. Die Zinsen haben sich halbiert, weil sich auch das Jahr halbiert hat. Natürlich können wir jetzt nicht nur für 6 Monate, sondern auch zum Beispiel für einen Monat berechnen. Tun wir das. Das heißt 1 von 12 Monaten. Und dann sind das hier nicht 0,5, sondern 1/12. Und jetzt können wir das ganze ausrechnen. Wir hätten also 10.000 mal 0,05, also die 5 Prozent sind das ja. Und jetzt noch mal 1, das brauchen wir nicht eingeben. Durch 12. Durch 12. Das sind gerundet 41,67. Das heißt unsere Zinsen sind jetzt viel niedriger als unsere Zinsen bei einem Jahr. Wir haben nur einen Monat angelegt. Und wenn wir es sogar tagegenau haben wollen. Dann müssen wir folgendes machen und wissen, in der Finanzwelt werden für ein Jahr 360 Tage angerechnet. Also man rechnet 12 Monate mal 30 Tage. Man hat das vereinheitlicht um die Zinsrechnung einfacher zu gestalten. Und man hat dann natürlich nicht 365, sondern 360 Tage pro Jahr. Und das berücksichtigen wir in unserer Formel mit 1/360. Also 360 Tage und hier haben wir ein Tag gewählt. Also einen von 360 Tagen, damit müssen wir unser Ergebnis mit 1/360 rechnen. 10 Tage wären dann 10/360 usw. . Gut. Um uns die Sache einfacher zu machen, schreiben wir jetzt für eine Verallgemeinerung diesen Zeitanteil als t. Wobei t hier für „time“ stehen soll, also Englisch „die Zeit“. Und jetzt können wir, je nach dem was gesucht ist, nach K, nach p oder sogar nach t umstellen. Nehmen wir mal ein Beispiel: Sagen wir, wir wollen das Kapital haben. Und das Kapital soll sich ergeben aus Zinsen von 400 €. Aus einem gegebenen Prozentsatz von 8,5 Prozent und wir wissen, dass wir insgesamt 4 Monate angelegt haben von 12 Monaten, also 4/12 Monate. Jetzt können wir unsere Formel hier nehmen. Z gleich K mal p mal t. Und da ja K gesucht ist nach K umstellen. Das heißt p und t müssen auf die linke Seite und das durch Division. Das heißt wir dividieren einfach durch Klammer auf p mal t Klammer zu. Dann steht da links: Z durch Klammer auf p mal t Klammer zu und rechts bleibt das K alleine stehen. Natürlich können wir hier auch Z durch Klammer auf p mal t Klammer zu auch als Bruch schreiben und dann auch die Klammer hier unten auflösen. Und jetzt können wir hier schon die Werte einsetzen. Z sind 400 €. So nehmen wir uns die und setzen hier ein. p sind 8,5 Prozent, setzen die hier ein. Und unser Anteil, 4/12 setzen wir ebenfalls hier ein bei t. Und schon haben wir die fertige Formel. Und jetzt können wir natürlich noch ausrechnen. Tauschen wir vorher noch die Seiten hier und nehmen uns den Taschenrechner zur Hand und geben ein: 400 €, also 400. Dividiert, und da ja jetzt mehrere Elemente kommen setzen wir die Klammer. Klammer auf und jetzt kommt der ganze Nenner: 8,5 Prozent, also können wir hier schon mal durch 100 rechnen. Mal, mal 4/12. Und 4/12 sind 4 durch 12. Klammer zu. Ist gleich. Wir erhalten rund 14.117,65 €. Und wir hätten damit die Aufgabe gelöst. Der Antwortsatz wäre demnach: Erhalten wir 400 € Zinsen bei einem Zinssatz von 8,5 Prozent und hatten wir das Geld nur 4 von 12 Monaten angelegt, dann hatten wir zu Beginn des Jahres 14.117,65 € als Kapital bei der Bank angelegt. Unter echteinfach.tv findet ihr die Software, mit der ihr diese Rechnung prüfen könnt. Wir hatten gerade das Kapital gesucht und wir hatten Zinsen in Höhe von 400 €. Das heißt wir tragen 400 € ein. 8,5 Prozent finden sich auch bei der Aufgabe und jetzt haben wir 4 von 12 Monaten. Also rechnen wir nicht auf ein Jahr, 12 von 12, sondern auf 4 von 12. Und wir sehen unser Kapital 14.117,65 €. Das entspricht genau unserem Ergebnis. Und hier unten seht ihr nochmal den Rechenweg. Gut, diese Formel Z gleich K mal p mal t lässt sich natürlich beliebig umstellen. Nach K hatten wir es gerade umgestellt. Für p würden wir erhalten Z durch K mal t und für t würden wir erhalten Z durch K mal p. Und auch hier wieder der Tipp merkt euch einfach diese Formel hier oben, damit könnt ihr alle anderen Formeln herleiten und so habt ihr weniger Lernaufwand. Berechnen wir eine Aufgabe noch für t und nehmen wir hierzu unsere Software zur Hand. Stellen jetzt ein paar Werte ein, bei den Zinsen. Nehmen wir mal 45.000 € und einen Zinssatz von 12,3 Prozent und jetzt haben wir nicht ein Jahr, sondern jetzt machen wir es sogar tagegenau. Und wir nehmen uns jetzt mal 316 Tage. Wir tun jetzt so, als ob wir diese nicht kennen würden und berechnen jetzt aus den folgenden Werten: Aus Kapital 45.000 €. Zinssatz 12,3 Prozent und Zinsen 4.858,50 €. Wenn ihr also eine Aufgabe bekommt mit diesen Werten und ihr sollt dann die Zeit ausrechnen, wie lange das angelegt war, könnt ihr diese Formel hier nehmen, die wir uns ja schon ermittelt hatten und jetzt die Werte einsetzen. 45.000 hier für das K, die 12,3 Prozent für das p und für das Z die 4.858,50 €. Die €-Zeichen kann man hier wegkürzen. Und wir können die Werte in den Taschenrechner eingeben. Wir haben dann 4858,50 dividiert durch Klammer auf 45.000 mal und jetzt die 12,3 Prozent sind 0,123. Jetzt die Klammer zu und ist gleich. Und wir erhalten 0,8777…, also rund 0,8777. Ja, und warum ist das jetzt eine so komisch Zahl? Ganz klar, das ist der Anteil von dem Jahr. Wenn wir diesen Wert jetzt wieder in Monate oder Tage haben wollen, müssen wir entsprechend umwandeln. Also wir wollen jetzt 0,8777 in Tage umwandeln. Und da können wir hier einen Dreisatz aufstellen. Wir sagen einfach ein Jahr hat 360 Tage, im Finanzwesen. Und diese … Tage ändern wir zu x Tage. Unsere unbekannte Größe. So und das jetzt als Brüche aufgestellt, dann erhalten wir x zu 0,8777 Jahren verhält sich genauso wie 360 Tage zu einem Jahr. Als nächstes stellen wir die Gleichung um. Wir multiplizieren auf beiden Seiten mit 0,8777, dann fällt die hier links unten weg und auf der rechten Seite kommt sie dazu. Und das kann man auch jetzt in den Taschenrechner eingeben. 360 durch 1 sind 360. Also hier 360. Und jetzt noch mal und den Term hier hinten. Mal 0,8777. Und wir erhalten 315,9 Tage. Und gerundet natürlich 316 Tage. Rund 316 Tage. Und genau das ist auch die Frist, die wir bei unserer Software festgelegt hatten.
Noch ein Hinweis zu den Zinstagen, wie schon gesagt, wir rechnen für einen Monat mit 30 Tagen. Und dann ist es auch noch wichtig zu wissen, dass man zum Beispiel, wenn man sagt, vom 1. Mai bis zum 15. Mai, dass dies als 14 Tage gerechnet wird anstatt 15 Tage. Warum 15 Tage? Ganz klar, wenn wir jetzt mal die 15 Zahlen nebeneinander schreiben: 1 bis 15, müssten wir eigentlich 15 Tage hier eintragen. Aber bei der Zinsrechnung verzichtet man entweder auf den ersten oder auf den letzten Tag. Außer es ist in der Aufgabe anders formuliert. Das heißt erhaltet ihr eine Aufgabe wie zum Beispiel: Lege 1.000 € an vom 15. Juni bis zum 25. Dezember, dann müsst ihr jetzt die Zeit ermitteln. Und 15. Juni bis 30. Juni, das ist der erste Zeitraum, dann haben wir Juli. Den August. September. Den Oktober, den November und dann Anteile des Dezembers. Und zwar 1. bis 25. Dezember. Und jetzt können wir schon mal für Juli 30 Tage eintragen, für August 30 Tage eintragen, für September, Oktober und November. Und hier 15. bis 30., da braucht ihr nur 30 minus 15 rechnen und ihr erhaltet 15 Tage. Und hier 1. bis 25., das sind dann 24 Tage. 25 minus 1. So, und jetzt einfach zusammenfassen und wir erhalten 189 Tage. Da könnten wir jetzt diese Zeit hier benutzen. Bräuchten noch einen Zinssatz. Zum Beispiel 10 Prozent. Und die Zinsen ausrechen. Wir würden das Kapital nehmen, die 1.000 €. Können wir hier in unsere Software einsetzen. Jetzt hatten wir gesagt: glatte 10 Prozent. Tragen also die hier ein. Und jetzt noch die Zeit und zwar 189 Tage. Das heißt wir haben hier 189 einzustellen und wir erhalten dann 52,50 € als Zinsen.
Gut, neben der einfachen Verzinsung, die wir heute kennen gelernt haben, gibt es natürlich noch weitere Verzinsungsarten. Ganz berühmt ist hierbei der sogenannte Zinseszins. Das ist eine Mehrfachverzinsung und zwar über mehrere Jahre. Diesen schauen wir uns in einer folgenden Lektion an.