Mathe G14: Proportionalität und Dreisatz

Hallo allerseits und willkommen zur Lektion „Proportionalität“. Was heißt denn „Proportion“ überhaupt? Da seht ihr mal wieder. Da stecken zwei Wörter drin. „Pro“ und „portion“. „Pro“ heißt so viel wie „je“ und die „portion“, wenn ihr eine Portion auf den Teller bekommt, bekommt ihr einen Anteil vom Essen. Und was das bedeutet im übertragenen Sinne, ist ein Verhältnis. Und proportional ist dann, wenn etwas im Verhältnis steht. Man kann auch sagen, dass zwei Dinge oder auch Werte voneinander abhängen. Gucken wir uns hierzu ein Beispiel an.
Nehmen wir uns einen tollen Schokoriegel und sagen dieser Schokoriegel soll einen Wert haben von 1,50 €. Jetzt fragt sich, wenn wir denn zwei Schokoriegel kaufen, wie viel müssen wir dann bezahlen? Und richtig, bei zwei Schokoriegel müssen wir natürlich noch einmal 1,50 € drauflegen. Wir haben dann 3,00 € zu bezahlen. Wir wollen einen dritten Schokoriegel und dann zahlen wir für eins, zwei, drei Schokoriegel insgesamt 4,50 €. Lasst uns das einmal als Gleichung hinschreiben. Dann wären ein Schokoriegel 1,50 €. Dann wären zwei Schokoriegel 3,00€. Dann wären drei Schokoriegel 4,50 €. Setzen wir nun Schokoriegel und Euro in ein Verhältnis – mit der Division. Erhalten wir bei 1 durch 1,5 0,66666. Hier erhalten wir 2 durch 3,00, das sind auch 0,66666. Und hier erhalten wir 3 durch 4,50 0,66666 (Periode 6). Diese 0,66666 nennt man Proportionalitätsfaktor. Man kann ihn als Probe verwenden, denn er muss wie bei unserem Beispiel immer konstant sein. Wir können ihn auch andersherum bilden, in dem wir 1,50 durch 1 dividieren. 3,00 durch 2 und 4,50 durch 3. Hier ergibt sich ein Proportionalitätsfaktor von 1,50 € je Stück. Betrachten wir noch einmal den Zusammenhang. Wir erkennen, dass wir bei einer Verdopplung der Schokoriegel auch eine Verdopplung des Preises feststellen. Wir stellen außerdem fest, dass bei einer Verdreifachung auch der Preis verdreifacht werden muss. Wenn also die linke Seite steigt, bei uns haben wir den Schokoriegel vermehrfacht, dann steigt im gleichen Maße auch der Preis. Wir könnten jetzt also anstatt 3 einmal 20 einsetzen und würden dann also 1 mal 20, 20 Schokoriegel herausbekommen. Und dann müssten wir auch auf der rechten Seite auch die mal 20 rechnen, das heißt 1,50 mal 20 sind 30,00 €. So lässt sich der Preis von einer beliebigen Anzahl von Schokoriegeln berechnen. Es gibt jedoch Aufgaben, bei denen nicht der Einzelpreis vorgegeben ist. Schauen wir uns so eine kurz an.
Für einen Klassenfahrt zahlen 20 Schüler einen Gesamtbetrag von 360 €. Dann wäre die Frage: Wie viel Euro müssten 25 Schüler zahlen? An der Stelle schreibt ihr also auf: 20 Schüler zahlen, also ist gleich/entspricht 360 €. Jetzt haben wir 25 Schüler und da wissen wir noch nicht wie viel Euro es sein sollen. Also x €, oder einfach nur x. Ihr lernt es in der Schule wie folgt: Ihr rechnet dann erst von 20 Schülern auf einen Schüler. Das macht man wie folgt: Um auf 1 zu kommen, dividiert ihr die 20 Schüler durch 20 und erhaltet natürlich 1. 20 durch 20 ist 1. Gleiches, da proportional, müssen wir auch für die 360 € tun. Für die rechte Seite. Und 360 durch 20 ist natürlich 18 €. Ist also eine sehr preiswerte Klassenfahrt. Das heißt wir wissen nun ein Schüler muss 18 € bezahlen. Wie viel müssen nun 25 Schüler bezahlen? Hierfür müssen wir irgendwie von der 1 auf die 25 kommen. Ihr wisst es sicherlich schon. Das macht man mit der Multiplikation. Und zwar mit mal 25. Jetzt das gleiche Spiel auch wieder auf der rechten Seite, denn da müssen wir auch mal 25 rechnen. Und 18 mal 25 sind 450 €. Und das ist auch die Lösung. 25 Schüler müssten 450 € bezahlen. Und das ganze Ding hier heißt „Dreisatz“. Warum? Weil wir angefangen haben ein Verhältnis aufzustellen, dann angepasst haben auf einen Schüler und dann den Schluss gezogen haben auf 25 Schüler. Betrachten wir unser Beispiel mit den Schokoriegeln noch einmal auf eine andere Art und Weise. Kürzen wir das wieder ab und schreiben hier einfach mal nebeneinander. Und ihr wisst, dass eine Division auch als Bruch geschrieben werden kann und das machen wir gerade. Das ist die Bruchschreibweise und jetzt benutzen wir unsere Kenntnisse in der Bruchrechnung. Denn wir können hier die 2 durch 3,00 auch anders schreiben. Und zwar als 2 mal 1 und 2 mal 1,50. Und diese 3 durch 4,50 können wir auch anders schreiben und zwar als 3 mal 1 und 3 mal 1,50. Was wir nun sehen ist, dass die 1 durch 1,50 in jedem der Brüche drinsteckt. Dieses Verhältnis bzw. diese Proportion oder auch Anteil genannt, steckt in jedem Bruch und zwar mehrfach! Um eine solche Proportion direkt mit diesem Bruch rechnen zu können in unserem Beispiel 1 Schokoriegel zu 1,50 € können wir auch sagen, dass der Bruch in Nenner und Zähler x mal multipliziert werden muss, um auf die gewünschten Schokoriegel zu kommen bzw. um auf den richtigen Preis zu kommen. Wollen wir also 50 Schokoriegel haben, dann wäre x gleich 50, müssten wir das auch entsprechend hinschreiben. Und natürlich noch berechnen. Dann wissen wir, dass 50 Schokoriegel 75 € kosten.
Man kann sich übrigens das Reduzieren auf 1 ersparen, in dem man die Aufgabe wie folgt löst. Wir hatten gesagt, 20 Schüler zahlen 360 €. Und jetzt wollen wir auf 25 Schüler kommen. Und gesucht war der Preis für 25 Schüler. Dann fragt sich jetzt, wie komme ich von 20 zu 25. Mit welchem Faktor wäre das möglich? Und da kann man als Nebenrechnung machen: 20 mal was/mal welche Zahl ist 25? Also das kann man dann im Kopf machen. Und da können wir an der Stelle auf beiden Seiten durch 20 dividieren. Und dann bleibt da stehen: z = 25 durch 20. Und 25 durch 20 ist 1,25. Das heißt wir können die 1,25 verwenden und hier oben einfügen. Das heißt also 20 mal 1,25 sind 25 Schüler. Und gleiches müssen wir auch für die 360 hier machen, also auch die 360 mal die 1,25 und das ergibt 450 €.
Wer die Lektion Gleichungen umstellen und die Lektion Bruchrechnung gesehen hat, kann die Aufgabe auch noch viel schneller lösen. In dem er nämlich so umformt, dass das x alleine auf einer Seite steht. Dafür können wir hier bei den Brüchen den Kehrwert machen und das machen wir auf beiden Seiten. Dann gehen die Schüler nach unten und die Euros nach oben. Und hier das x geht nach oben und die Schüler nach unten. Jetzt wissen wir, dass dieser Bruch eigentlich eine Division ist. Ausgeschrieben also x dividiert durch 25 Schüler. Die wollen wir jetzt weg haben, das heißt wir müssen hier multiplizieren mit 25 Schülern. Damit erhalten wir hier drüben auf der linken Seite, beim Linksterm, die mal 25 Schüler und rechts bleibt nur das x übrig. Und jetzt können wir ganz bequem zusammenrechnen. 360 durch 20 sind 18 € je Schüler. Und jetzt seht ihr schon, man kann die Einheiten kürzen. Schüler und Schüler kürzen sich weg. 18 durch 1 ist 18. Und 18 mal 25 mit ein wenig Kopfrechnen, wenn wir die 18 splitten zu 10 plus 8 und dann mit Hilfe des Distributivgesetzes können wir dann rechnen: 25 mal 10 plus 25 mal 8. Und das ist natürlich dann einfacher: 10 mal 25 250. 8 mal 25…8 mal 20 sind 160 plus 8 mal 5 40. Dann haben wir hier 200. Und dann haben wir hier 450 €. Das gleiche Ergebnis, das wir auch bei der anderen Herangehensweise vorher ermittelt hatten. Und hier kommt eigentlich auch der ursprüngliche Begriff Dreisatz her. Wir haben eins, zwei, drei Werte gegeben und müssen den vierten ermitteln.
Abschließend erwähnt verhalten sich zwei Werte proportional zueinander, dann verwendet man eine allgemeine Schreibweise und zwar a Tilde b, das heißt Wert a ist proportional zum Wert b.