Mathe G19: Zinseszins und Zinseszinsformel

Hallo liebe Zuschauer und willkommen zur Lektion Zinseszins. Um diese Lektion verstehen zu können, müsst ihr folgendes wissen. Ihr müsst die Lektion Prozentrechnung gesehen haben. Ihr müsst auf jeden Fall die Zinsrechnung gesehen haben. Das war ja ein Spezialfall der Prozentrechnung. Und ihr müsst die Potenzrechnung kennen. Wenn ihr diese drei Themen beherrscht können wir auch schon loslegen. Bei der Zinsrechnung hatten wir kennengelernt, dass wir ein Kapital, hier als Beispiel 1.000 €, anlegen können bei einer Bank und dann nach einem Jahr einen Zins dafür bekommen, also ein Guthabenszuwachs. Unser Kapital erhöht sich im Beispiel um 100 €. Das hier ist der Zins. Das das Kapital. Und wir hatten das ja mit Prozenten ausgedrückt. Also hier 100 Prozent. Dann ist dieser grüne Bereich auch 100 Prozent. Und die 100 € wären in diesem Fall 10 Prozent. Gut, das hatten wir bei der Zinsrechnung kennen gelernt. Jetzt gehen wir über zum Zinseszins. Zinseszins heißt ja: Nehmen wir den Zins des Zinses, bzw. Zins vom Zins. Und was wir hier unten gemacht haben. Wir haben Zins vom Kapital genommen, von den 100 Prozent. Das war jedoch nur auf ein Jahr bezogen. Eine Jahresverzinsung. Beim Zinseszins geht es um mehrere Jahre. Das heißt wir müssen dieses Kapital hier was wir nach dem ersten Jahr haben, jetzt für ein weiteres Jahr verzinsen. Und für diesen Fall wird das Kapital, das wir nach dem ersten Jahr haben als 100 Prozent angesehen und jetzt wieder verzinst. Das besondere dabei ist, dass die 10 Prozent viel mehr im Wert sind, als die 10 Prozent, die wir hier hatten. Also jetzt nochmal in absoluten Werten. Hier nehmen wir 1.000 €. 10 Prozent von 1.000 € sind 100 €. Jetzt haben wir hier insgesamt 1.100 € und müssen jetzt von denen hier 10 Prozent nehmen, das sind 110 €. Das heißt wir sehen, die Zinsen für das zweite Jahr betragen 110 €, die Zinsen für das erste Jahr betragen 100 €. Wir sehen also, dass die 100 € um 10 Prozent auf 110 € gestiegen sind. Und wir sehen, dass das Kapital selbst, die 1.000 € um 10 Prozent auf 1.100 € gestiegen sind. Das heißt der Zins hat sich mit verzinst. Und natürlich. Dieser Teil steckt hier mit drin. Wir können ja einfach das jetzt hier rüber laufen lassen. Und wir sehen, dass sich das Kapital nach dem zweiten Jahr aus dem Anfangskapital 1.000 € ergibt, plus Zinsen auf das Anfangskapital plus Zinsen, die sich ergeben aus 10 Prozent von den Zinsen aus dem ersten Jahr und 10 Prozent von dem Kapital aus dem ersten Jahr. Um dieses Kapital zu beschreiben nutzen wir kleine Ziffern. Also das Startkapital ist K_0, wobei 0 dafür steht, dass es das 0te Jahr ist, also keine Zeit vergangen ist. Hier haben wir das Kapital nach einem Jahr, also schreiben wir K_1 und hier haben wir das Kapital nach 2 Jahren. Wir schreiben K_2. Und natürlich haben wir dann auch die Zinsen hier. Die 100 € sind dann Z_1 und hier drüben haben wir dann die Zinsen auf dieses Kapital und das ist dann Z_2. Und hier natürlich: Das ist K_0, die 1.000. Hier drüben taucht die K_0 auch wieder auf. Und hier drüben das ist natürlich K_1. Dann können wir an dieser Stelle schon mal festhalten. Wir haben also K_1 und das ergibt sich aus K_0, hier unten, und plus Z_1. Also schreiben wir hin: K_0 plus und jetzt die Z_1. Und wir können festhalten, wenn wir K_2 suchen, das ergibt sich aus K_1 plus Z_2. K_2 ist gleich K_1 plus Z_2. Gut, befreien wir uns jetzt von diesen Graphiken und machen rechnerisch weiter. Bei der Zinsrechnung hatten wir eine wichtige Formel kennen gelernt, die da lautete: Z gleich K mal p. Also das Kapital multipliziert mit dem Zinssatz. Mit dieser Formel werden wir jetzt hier arbeiten. Wir haben hier den Zins nach einem Jahr und der ergibt sich, indem wir das Kapital aus dem 0ten Jahr mit einem Zinssatz multiplizieren. Also können wir hier schreiben: Z_1 ist gleich das K_0 multipliziert mit dem Zinssatz. Dadurch erhalten wir den Anteil, also die Zinsen. Dieses K_0 mal p können wir hier oben eintragen. Weil hier ist Z_1 und hier ist Z_1. Also setzen wir das hier ein. Als nächstes überlegen wir uns, wie ergeben sich die Zinsen für das zweite Jahr. Und ganz klar, da haben wir K_1 genommen und daraus den Anteil gebildet. Also hier würde jetzt stehen: Zinsen für das zweite Jahr ist gleich Kapital aus dem ersten Jahr multipliziert mit dem Zinssatz und genau das setzen wir für Z_2 ein. Wir könnten das jetzt immer so weiter führen. Wir könnten also für mehrere Jahre die Zinsen jeweils berechnen und die Kapitale. Das Problem hierbei: Es ist extrem zeitaufwendig. Wir müssen jetzt immer die einzelnen Werte ausrechnen und dann für jede Zeile entsprechend einsetzen. Um uns diese Zeit zu sparen, gibt es die sogenannte Zinseszinsformel. Die hilft uns so etwas hier abzukürzen. Und zwar brauchen wir dann nur noch das Startkapital, das K_0. Und wir brauchen dann nur noch den Zinssatz. Und natürlich noch die Anzahl der Jahre, hier als n dargestellt. Mit diesen drei Werten können wir dann beliebige Kapitale berechnen und müssen nicht mehr alles einzeln hier machen. Und die Zinseszinsformel die wir dafür benötigen, lautet: K_n, also das Kapital nach n Jahren ist gleich K_0 mal (1 plus p)^n. Wie sich diese Formel ergibt, das schauen wir uns im nächsten Teil an. Jetzt benutzen wir sie erstmal. Sagen wir, wir haben ein Startkapital von 1.000 €, wir haben einen Zinssatz von 10 Prozent und wir haben eine Laufzeit von 8 Jahren, also schreiben wir n gleich 8. Jetzt nehmen wir uns diese Formel hier runter und setzen die Werte ein. K_0 ist 1.000 €. Schreiben wir hier rein. Das p sind 10 Prozent. Schreiben wir hier rein. Und für n müssen wir die 8 Jahre einsetzen. Und das können wir jetzt in den Taschenrechner eingeben. Vorher natürlich noch diese Prozent hier umgewandelt. 10 Prozent entspricht einem Wert von 0,1 und 1 plus 0,1 sind 1,1. Und das geben wir jetzt in den Taschenrechner ein. Zuallererst die Potenz: 1,1^8 und dann mal 1.000 und wir erhalten 2.143,59 (gerundet). Und hier natürlich: Das n machen wir zur 8, denn es ist ja das Kapital nach dem achten Jahr. Und auf diese Art und Weise haben wir sehr schnell das Kapital aus diesen Werten hier berechnet. Schauen wir uns kurz an, wie aufwendig es wäre, die Kapitale für jedes einzelne Jahr zu berechnen. Hier seht ihr das Startkapital, das war was wir am Anfang anlegen 1.000 €. Hier ein Zinssatz von 10 Prozent und hier die Jahre. Und wie ihr hier seht müssen wir zuerst die 10 Prozent von 1.000 € berechnen und erhalten 1.100 €. Nehmen diese 1.100 € in das nächste Jahr, müssen wieder mit 10 Prozent verrechnen, erhalten diese 1.210 € und das machen wir für alle acht Jahre bis wir schließlich zum Wert 2143,59 € ankommen. Den, den wir auch mit der Zinseszinsformel berechnet hatten. Also viel, viel schneller. Als nächstes schauen wir uns an, wie sich die Zinseszinsformel ergibt. Schauen wir doch nochmals zurück, was wir bereits ermittelt hatten und von diesen Formeln brauchen wir nur K_1 und K_2. Und um jetzt zur Zinseszinsformel zu kommen, müssen wir ausklammern. Nehmen wir dazu die erste Formel. Ausklammern hieß ja, wir nehmen hier ein Element heraus. Und zwar machen wir das mit dem K_0. Das müsstet ihr gelernt haben. Wir können ja hier schreiben „mal 1“, denn K_0 mal 1 ist ja K_0. Dann können wir als nächstes das K_0 heraustrennen und schreiben K_0 mal Klammer auf, jetzt die 1 dann das plus und dann das p Klammer zu. Und schon haben wir ausgeklammert. K_0 mal 1 haben wir hier. Plus, plus. K_0 mal p haben wir hier. Das heißt K_1 ergibt sich aus K_0 mal(1 plus p). Und genauso für K_2 können wir das machen. Jetzt können wir das auch ausklammern und dann steht da K_2 ist gleich K_1 mal (1 plus p). Schreiben wir die beiden untereinander und wir erkennen, K_0 ergibt sich aus K_0 mal (1 plus p) und K_2 ergibt sich aus K_1 mal (1 plus p). Hier übrigens der Hinweis: Wir haben gelernt, dass man eine 1 auch als 100 Prozent schreiben kann. Und das p wäre als Beispiel 10 Prozent. Wenn ihr das jetzt also ausrechnet, steht da: K_0 mal, richtig, 110 Prozent. Und das entspricht ja auch der Möglichkeit ein Kapital schnell zu berechnen. Nehmen wir uns gerade den Taschenrechner. Habt ihr zum Beispiel 200 € und wollt da 10 Prozent draufschlagen, dann rechnet ihr einfach mal 1,1 und das sind ja 110 Prozent und erhaltet 220 €. Richtig. 200 € sind 100 Prozent, 20 € sind 10 Prozent und 220 € sind dann die 110 Prozent. Das heißt K_1, das was wir am Ende gesamt heraus haben, ergibt sich aus K_0 mal den 110 Prozent. Und mit diesem Wissen können wir die Formel für den Zinseszins herleiten. Wie das geht, sehen wir im nächsten Teil./div>

Zinseszins Video Teil 2/2: Herleitung der Zinseszinsformel