Mathe G05: Natürliche und Ganze Zahlen

Hallo liebe Zuschauer, heute betrachten wir uns die Zahlenmengen und zwar konkret Natürliche und Ganze Zahlen. Was gibt es überhaupt für Zahlenmengen? Da haben wir Natürliche Zahlen, Ganze Zahlen, Rationale Zahlen, Irrationale Zahlen und Reelle Zahlen. Das sind die wesentlichen Zahlenbereiche bzw. Zahlenmengen, die ihr bis zum Ende der Schule beherrschen solltet. Gut, betrachten wir uns als erstes den Begriff „Zahl“ einmal. Die Zahl ist ja eigentlich so etwas wie eine Abstraktion. Und Abstraktion heißt so viel wie Verallgemeinerung. Was meine ich damit? Ganz einfach: Wenn ihr klein seid, lernt ihr als erstes Symbole. Das heißt hierfür würdet ihr dann das Wort „Ei“ lernen. Und natürlich später dann, wie man „Ei“ schreibt. Das heißt dieses „Ei“ bekommt einen Laut und der Laut bekommt eine Schrift. Und außerdem lernt ihr, dass wir hier auch eine Anzahl benennen können. Das ist „ein Ei“. Und wenn wir noch ein Ei dazunehmen. Dann hätten wir noch ein Ei. Und wenn wir noch ein Ei dazunehmen, noch ein Ei. Und so weiter und so fort. Und dann kommen wir auch schon dem Begriff „Zahlenmenge“ näher. Warum? Wir haben hier 1, hier 1 und hier 1. Und wenn wir jetzt sagen wir wollen 2 benennen. Ich sag es ja schon 2. Das heißt diese Menge hier würde dann eine 2 bekommen. Ein anderes Zeichen. Und wenn wir jetzt die 3 machen wollen, dann hätten wir jetzt drei Eier. Und wie ihr seht eine Menge umschließt immer eine gewisse Anzahl an Elementen. Und nicht nur gewisse Anzahl, sondern auch eine gewisse Art an Elementen. In unserem Fall, in dem Beispiel, Eier. Gut, was hat das mit den natürlichen Zahlen zu tun? Ihr könnt Eier ja mit der Hand abzählen. Also wenn ihr eure Finger nehmt: 1, 2, 3 und so weiter. Und das ist aus der Natur gegeben. Das ist natürlich. Und alles was natürlich ist, nennen wir dann Natürliche Zahlen. Die fangen bei 1 an. 2, 3, 4 und so weiter. Ihr merkt euch also, natürliche Zahlen sind die Zahlen, mit denen man in der Grundschule rechnet. Und für die Natürlichen Zahlen verwendet man dieses Zeichen N. Ein N mit einem kleinen Strich hier zwischen. Und man schreibt für eine Menge: N ist gleich, dann eine geschwungene Klammer, und jetzt die Elemente. Und wie gesagt das ist hier die 1, 2, 3, 4, …, das geht dann immer so weiter. Klammer zu. Und was heißt dann hier, das geht immer so weiter? Und richtig, das geht bis ins Unendliche. Also es gibt gar kein Ende. Und dafür schreiben wir dann dieses Zeichen hier. Eine auf dem Kopf liegende 8. Das ist das Zeichen für Unendlich. Und das könnt ihr gerne ausprobieren. Ihr könnt eine ganz große Zahl nehmen. Wie zum Beispiel so etwas und könnt hinten immer noch +1 hinzurechnen. Das heißt also zu jeder beliebigen Natürlichen Zahl kann immer +1 gerechnet werden und ihr bekommt eine noch höhere Zahl und deswegen unendlich. Noch ein Hinweis: Manche Mathematiker nehmen bei den Natürlichen Zahlen auch gerne die 0 dazu. Und wenn die 0 mit rein soll, dann zeigt man das an, indem man hier bei dem N eine kleine 0 davor schreibt. Merken wir uns außerdem: Jede Natürliche Zahl, wie zum Beispiel die 0, hat einen Nachfolger, den man erhält, indem man +1 rechnet. Der Nachfolger der 0 wäre also die 1. 1+1, der Nachfolger der 1 ist die 2 und so weiter und so fort. Und so mit dem +1 können wir jede beliebige Natürliche Zahl abzählen. Was vielleicht auch noch interessant ist: Diese Zahlen haben auch Besonderheiten zum Beispiel kann man sie unterteilen in gerade Zahlen und ungerade Zahlen. Weil alle geraden Zahlen sind die Zahlen, die durch 2 zu teilen sind. Also 4/2 wäre möglich, also ist 4 eine gerade Zahl. 2/2 wäre möglich, also ist 2 eine gerade Zahl. ½ wäre nicht möglich, denn da kommt keine gerade Zahl mehr heraus. Und wenn es nicht mehr durch 2 teilbar ist, also bei der 1 wäre das ja der Fall, dann ist die 1 eine ungerade Zahl. Und die 2 war gerade. Dann 3/2 geht nicht. Also ist 3 eine ungerade. 4/2 geht. 5/2 geht nicht. 6/2 geht. Und so weiter. Und dann lernen wir noch in einer späteren Lektion die Primzahlen kennen. Und Primzahlen sind alle Zahlen, die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar sind. Also ich verrate mal eine. Das wäre die 7. 7 ist durch 1 teilbar und 7 ist durch 7 teilbar. Aber 7 ist nicht durch 2, 3, 4, 5 oder 6 teilbar. Also nur durch 1 und 7. Und erinnern wir uns an die Lektion „Grundrechenarten“. Da hatten wir Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division mit den natürlichen Zahlen durchgeführt. Das hier findet ihr übrigens auf echteinfach.tv. Die Frage, die ihr euch jetzt vielleicht stellt, ist, was ist denn nicht natürlich? Welche Zahlen gehören denn nicht zu den Natürlichen Zahlen? Und dazu betrachten wir uns mal einen Zahlenstrahl. Wenn wir jetzt einfach mal eine Zahl wählen, wie zum Beispiel die 5, dann wissen wir, dass wir bei der 5 hier nachgucken müssen auf dem Zahlenstrahl. Wir Zählen also 1, 2, 3, 4, 5 und tragen jetzt hier die 5 ab. Was passiert eigentlich mathematisch? Ganz einfach: Wir haben eigentlich nichts weiter gerechnet als 0+5. Also eine 5 ist das gleiche wie 0+5. Und wenn wir bei der 5 etwas abziehen würden, wie zum Beispiel 5-3, dann wäre das wie folgt. Wir würden bei der 5 starten und 1, 2, 3 nach links gehen. Und dann kommen wir hier bei der 2 an. Also 5-3 wäre 2. So und jetzt stellt sich die Frage, was passiert denn, wenn wir bei der 2 eine höhere Zahl abziehen, wie zum Beispiel die 4. 2-4. Dann hieße das ja, wir müssten von der 2 4 nach links gehen. 1, 2, 3, 4. Also hinter die 0 sogar. Und das sind keine Natürlichen Zahlen mehr. Das ist etwas Neues. Um nun ein Ergebnis zu finden, denken wir uns die -4 als -2 nach links. Dann sind wir bei der 0. Und jetzt nochmals -2 nach links. Und dann sind wir bei -2. Die Zahlen vorher waren alle positiv, sie haben also alle ein Plus-Vorzeichen. Und wenn wir jetzt nach links gehen, bekommen sie ein Minus-Vorzeichen. Sie sind also negativ. Wir merken uns an dieser Stelle also. 0+2 ist +2 und 0-2 ist -2. Wir haben positives und negatives Vorzeichen. Und diese Zahlen, die negativ sind, sind dann die Ganzen Zahlen. Und die Ganze Zahlen bekommen das Zeichen Z. Die Ganzen Zahlen haben also die negativen Zahlen, also von 0 beginnend negativ -1, -2, -3 und so weiter. Und wir können sie ablaufen, indem wir immer -1 rechnen, also 0-1 wäre ja -1. Dann diese -1 als neuer Wert, wieder -1, wäre -2. Wieder ein nach links. Dann diese -2-1 wäre -3 und so weiter. Also mit jeweils -1 kommen wir 1 nach links und werden immer kleiner. Also hier, selbst wenn wir eine ganz große negative Zahl haben und dann nochmals -1 rechnen, dann gehen wir wieder einen Schritt nach links. Und das ist auch ohne Ende möglich. Und ohne Ende hatten wir gesagt ist bis ins Unendliche, aber hier ins Minus Unendliche. Und das müsst ihr auch wissen: Die ganzen Zahlen enthalten nicht nur die negativen Zahlen, sondern auch noch die ganzen positiven Zahlen. Also die natürlichen Zahlen. Hier könnt ihr jetzt das N schreiben, bzw. die 1, die 2, die 3 und so weiter bis Plus Unendlich. Das heißt die ganzen Zahlen enthalten die Natürlichen Zahlen. Man kann dann hier unterteilen. Man hat dann hier die negativen ganzen Zahlen und man hat die positiven ganzen Zahlen. Und jede positive ganze Zahl ist auch eine Natürliche Zahl. Könnte man dann gerne so schreiben: Die Ganzen Zahlen mit einem kleinen Plus da dran ist gleich die Natürlichen Zahlen. Und für die, die sich die Ganzen Zahlen nicht so gut vorstellen können, die schauen sich mal bitte eine Thermometer an und gucken dort auf die Beschriftungen, dann werden sie feststellen, dass da etwas draufsteht wie +20°C oder 0°C. Und dann auch im unteren Bereich die Minusgrade, wie zum Beispiel -10°C. Das nur als Gedankenhilfe. Und ihr merkt euch, alles was bei 0 und darüber ist, sind die Natürlichen Zahlen, bzw. positive ganze Zahlen. Und alles was unter der 0 ist, ist nicht mehr natürlich. Das sind nur noch Ganze Zahlen. Und zwar nur noch negative ganze Zahlen. Und diese Zuordnung für eine Menge, das zeigt man wie folgt an: Man sagt also zum Beispiel 4 ist ein Element, und man schreibt dann dieses kleine E. 4 ist das Element aus den Natürlichen Zahlen. Und wenn man zum Beispiel sagen will -2, und dann ist wieder, ein Element aus den Ganzen Zahlen. Und wenn man jetzt sagen will -2 ist kein Element aus den Natürlichen Zahlen, dann schreibt man ein durchgestrichenes kleines E. -2 gehört nicht zu den Natürlichen Zahlen. Unter echteinfach.tv findet ihr dann übrigens die Grundrechenarten mit den Ganzen Zahlen und hier könnt ihr auch in den negativen Bereich gehen und ihr seht hier, wie sich negative Zahlen berechnen. Wie das konkret funktioniert, schauen wir uns in der Lektion „Rechnen mit Vorzeichen“ an. Dort erkläre ich dann das Rechnen mit positiven und negativen Zahlen im Detail und warum zum Beispiel und warum zum Beispiel Minus mal Minus Plus ist.