Mathe G22: Teilbarkeit und Teilbarkeitsregeln

Hallo und Willkommen zur Lektion „Teilbarkeit“. Bevor wir jedoch loslegen können, müssen wir noch eine Voraussetzung klären. Viele Schüler verwechseln den Begriff Zahl und Ziffer. Das ist jedoch nicht das gleiche. Eine Zahl wäre zum Beispiel die Zahl 1259. Und die Zahl 1259 besteht aus den Ziffern 9, 5, 2 und 1. Außerdem sagen wir für diese Lektion: Wir halten uns im Raum der ganzen Zahlen auf, das heißt nehmen wir zum Beispiel 3 dividiert durch 4. Und das ist im Raum der ganzen Zahlen nicht möglich, denn hier würde 0,75 rauskommen und das ist keine ganze Zahl. In diesem Fall wäre 4 kein Teiler von 3 im Raum der ganzen Zahlen. 4 durch 4 hingegen, das wäre 1, das wäre teilbar. 8 durch 4 wäre 2, wäre damit auch teilbar. Und so weiter.
Schauen wir uns als nächstes eine Regel an, die sehr wichtig ist für die Teilbarkeit und deren Nachweiser. Man sagt man kann jede Zahl in zwei Teile aufteilen hier dargestellt mit a gleich b plus c. Beispiel wäre 12 gleich 10 plus 2. Jetzt können wir, wie bei der Äquivalenzumformung, eine Division auf beiden Seiten durchführen. Wir teilen auf beiden Seiten durch t. Wir erhalten a durch t ist gleich b durch t plus c durch t. Für unser Beispiel nehmen wir eine Division durch 2. Dann steht da 12 durch 2 ist gleich 10 durch 2 plus 2 durch 2. Ausgerechnet er gibt das 6 gleich 5 plus 1. Wir können also schlussfolgern. Sind die Teiler einer Zahl, also im Beispiel 10 und 2, durch 2 teilbar. So ist auch die Summe, die 12, durch 2 teilbar. Und genau die Regel ist sehr wichtig für unsere Lektion.
Betrachten wir zu Beginn den Spezialfall Division durch 0. Wir hatten bei der Multiplikation kennen gelernt, dass so etwas wir 3 mal 0 auch geschrieben werden kann als 0 plus 0 plus 0 und das ergibt 0. Und das ist das gleiche wie 0 mal 3. Denn 0 steht für keinmal, keinmal mal die 3 ist wiederum die 0. Bei der Division durch 0, wie zum Beispiel 3 durch 0, fragt sich was da rauskommt. Allgemein kann man ja sagen, Division ist eine mehrfache Subtraktion, bei dem Beispiel 20 durch 4, kann man genauso gut rechnen: 20 minus 4 sind 16, minus 4 sind 12, minus 4 sind 8, minus 4 sind 4 und minus 4 sind 0. Wir haben also 5 mal die 4 und können schreiben: 20 minus 5 mal 4 oder 4 mal 5. Wenn wir jetzt also 20 durch 4 teilen, kommt 5 heraus, oder wenn wir 20 durch 5 teilen, kommt 4 heraus. Wenn wir dieses Wissen jetzt bei der 3 durch 0 anwenden, müssten wir rechnen: 3 minus 0 minus 0 minus 0 und so weiter. Jedoch sehen wir, dass wir bei keiner der Subtraktionen die 3 vermindern können. Die 3 bleibt im Wert immer konstant. Das heißt irgendetwas ist hier merkwürdig. Versuchen wir es stattdessen mit einer Äquivalenzumformung. Lasst uns also 3 durch 0 lösen und wir nehmen an, dass da eine Zahl z rauskommt. Um jetzt umformen zu können, wandeln wir die 3 durch 0 um in eine 3 mal 1 durch 0. 3 mal 1 ist ja wieder 3 und die durch 0 lassen wir stehen. Als nächstes schreiben wir die 1 durch 0 als Bruch, als 1/0. Jetzt können wir auf beiden Seiten durch 1/0 dividieren, dann fällt das mal 1/0 weg. Und wir erhalten z durch 1/0. Jetzt wissen wir, wenn wir durch einen Bruch dividieren, müssen wir seinen Kehrwert bilden und diesen multiplizieren. Wir erhalten z mal 0/1. Und jede Zahl durch sich selbst multipliziert ist die Zahl wieder selbst. Also 0 durch 1 ist 0. Doch jetzt erinnern wir uns daran, dass jede Zahl mal 0 immer 0 ergeben muss. Das heißt egal was wir für z einsetzen werden, es kommt immer 0 heraus und niemals die 3! Wie wir sehen haben wir hier einen Widerspruch. Und genau aus diesem Punkt ist die Division durch 0 nicht definiert. Sie ist nicht möglich.
Schauen wir uns als nächstes die Division durch 1 an. Wenn wir eine Zahl mit 1 multiplizieren, kommt die Zahl immer selbst heraus. Für die Beispiele: 1 mal 1 1, 2 mal 1 2, 3 mal 1 3. Allgemein: z mal 1 ist gleich z. Und da die Division die Umkehrung der Multiplikation ist, erhalten wir bei 3 durch 1 3, 2 durch 1 gleich 2, 1 durch 1 gleich 1. Allgemein also z durch 1 ist gleich z. Das heißt jede Zahl ist durch 1 dividierbar, wobei sich die Zahl nicht verändert. Daher spricht man auch bei der Mal 1 und der Division durch 1 von dem neutralen Element der Multiplikation bzw. der Division. „Neutral“, weil es den Wert nicht verändert.
Schauen wir uns als nächstes die Division mit der 2 an. Hier zu betrachten wir uns die Zweierfolge. 2, 4, 6, 8, 10 und so weiter. Hier können wir erkennen, dass sich bei jeder Erhöhung um 10, die letzte Ziffer wiederholt. Bei der 2, der 4, der 6, der 8 und der 0. Wir merken uns also: Sobald die letzte Ziffer eine gerade Zahl ist, ist die Zahl durch 2 teilbar. Die letzte Ziffer muss als 2, 4, 6, 8 oder 0 sein.
Interessanter wird es bei der Division durch 3. Denn da gilt die Regel: Ist die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar, so ist auch die gesamte Zahl durch 3 teilbar. Nehmen wir als Beispiel die 252. Quersumme heißt nun „addiere die einzelnen Ziffern“. Also 2 plus 5 plus 2. Wir erhalten 2 plus 5 sind 7. Plus 2 sind 9. Und 9 ist durch 3 teilbar, also ist auch die ganze Zahl, 252, durch 3 teilbar. Vielleicht fragt ihr euch, warum funktioniert die Quersumme? Im Folgenden schauen wir uns das an. Dazu nehmen wir die 252 auseinander, in 200 plus 50 plus 2, denn das ergibt ja 252. Jetzt können wir sagen, 200 ist das gleiche wie 2 mal 100. Und 50 das gleiche wie 5 mal 10. Nun schreiben wir die 100 als 99 plus 1, denn 99 ist die größte durch 3 teilbare Zahl innerhalb der 100. Und genauso machen wir aus der 10 eine 9 plus 1. Was machen wir als nächstes? Richtig, wir multiplizieren aus. Dann steht hier 2 mal 99 plus 2 mal 1 plus 5 mal 9 plus 5 mal 1 und hinten die plus 2. Jetzt übernehmen wir unsere Formel noch einmal und prüfen auf Teilbarkeit. Als erstes die 2 mal 99. Wie wir wissen ist 99 durch 3 teilbar. Also ist das Vielfache davon auch durch 3 teilbar. Ok, 2 mal 99 ist also durch 3 teilbar. Jetzt haben wir hier die 2 mal 1, bzw. 2, die ist nicht durch 3 teilbar. Schreiben wir sie nach hinten. Dann haben wir die 5 mal 9. 9 ist durch 3 teilbar. Also ist das fünffache davon auch durch 3 teilbar. Jetzt haben wir hier hinten noch die 5 mal 1 so stehen, das ist natürlich 5. Und jetzt ist zu prüfen; der Teil ist durch 3 teilbar, ist dieser Teil auch durch 3 teilbar? Denn trifft das zu, dann wäre auch die gesamte Zahl, die 252 durch 3 teilbar. An dieser Stelle schauen wir mal auf die Ziffern unserer Zahl. Da haben wir die 2, die 5 und die 2. Und genau die finden sich auch hier unten als 2 plus 5 plus 2 wieder. Die sind noch zu prüfen auf Teilbarkeit. 2 plus 5 plus 2, das ergibt 9. Das heißt der Rest ist durch 9 teilbar. Damit ist auch die ganze Zahl, 252, durch 3 teilbar. Denn wie wir gezeigt haben, sind alle ihre Teile durch 3 teilbar. Und hier erkennen wir die Regel, dass wir eigentlich nur die 2 plus 5 plus 2, die Quersumme unserer Zahl auf Teilbarkeit mit 3 zu prüfen haben.
Wie sieht es aus mit der Teilbarkeit durch 4? Betrachten wir uns zunächst die Folge mit der 4. Bei genauerem Hinsehen, erkennen wir, dass sich die 4, bei der 104 wiederholt. Die 8 bei der 108, die 12 112 und alle folgenden Zahlen. Wenn wir die 104 mal nehmen, sehen wir, dass da 100 plus 4 drinstecken. Und 100 ist stets durch 4 teilbar. Und wie wir wissen ist jedes Vielfache von 100 dann auch durch 4 teilbar. Wenn wir jetzt eine höhere Zahl haben, wie zum Beispiel die 8.104. Dann wären das 8.100 plus 4 und wir können schreiben 81 mal 100 plus 4. Wir sehen also, dass 100 durch 4 teilbar ist, also auch das 81-fache davon und dann nur noch die plus 4 zu prüfen ist. Hätten wir eine andere Zahl wie 8.126. Dann wüssten wir, dass das 81 mal 100 + 26 ist. Das ist durch 4 teilbar. Und ist 26 durch 4 teilbar? Nein! Also ist auch 8.126 nicht durch 4 teilbar. Für die Teilbarkeit durch 4 betrachten wir also stets die letzten beiden Ziffern einer Zahl. Wenn die durch 4 teilbar sind, dann ist auch die ganze Zahl durch 4 teilbar. Und ganz klar, alle Ziffern davor können wir immer mit mal 100 abtrennen und die sind damit automatisch durch 4 teilbar.

Willkommen zurück zu Teil 2. Schauen wir uns als nächstes die Division mit der 5 an. Werfen wir dazu einen Blick auf deren Folge. Dabei stellen wir fest, dass jede Zahl dieser Folge, hinten als letzte Ziffer die 5 oder die 0 hat. Und das kann man sich einprägen als die Teilbarkeitsregel für die 5. Ist die letzte Ziffer einer Zahl eine 0 oder eine 5, so ist die ganze Zahl durch 5 teilbar.
Betrachten wir uns als nächstes die Teilbarkeit mit der 6. Die Division mit der 6 kann man auch wie folgt schreiben: durch, und 6 ergibt sich ja schließlich aus 2 mal 3. Wenn wir das auflösen ergibt sich z durch 2 durch 3. Wenn wir also einen Zahl haben wir 612, müssen wir als erstes gucken, ob sie durch 2 teilbar ist, da hatten wir gesagt, man muss sich die letzte Ziffer anschauen. Hier ist es die 2 und die ist gerade und damit durch 2 teilbar. Und prüfen wir noch, ob sie durch 3 teilbar ist. Dazu nehmen wir uns die Quersumme: 2 plus 1 sind 3, 3 plus 6 sind 9. 9 ist durch 3 teilbar. Also ist 612 auch durch 3 teilbar. Folglich ist 612 auch durch 6 teilbar. Merken wir uns also: Teilbar durch 3, teilbar durch 2, dann auch teilbar durch 6.
Wie schaut es aus bei der Teilbarkeit durch die 7? Nehmen wir uns hierzu ein Beispiel. Prüfen wir die 1575. Wir trennen die Zahl als erstes durch 1500 plus 75. Als nächstes nehmen wir die 1500 auseinander in 15 mal 100. Jetzt ziehen wir wieder die größte durch 7 teilbare Zahl aus der 100 und das ist 98. Denn 98 durch 7 ist 14. Wir machen also aus der 100 eine 98 plus 2. Und die 2 bleibt als Rest übrig. Als nächstes multiplizieren wir aus: 15 mal 98 plus 15 mal 2. Die 75 lassen wir hinten wieder stehen. Jetzt wissen wir, dass 98 durch 7 teilbar ist Also ist auch das 15-fache durch 7 teilbar. Jetzt ist noch zu prüfen, ob dieser Term durch 7 teilbar ist. Denn wenn dem so ist, wäre die ganze Zahl 1575 durch 7 teilbar. Denn wie wir gesagt haben, sind alle Teiler einer Zahl teilbar, so ist auch die gesamte Zahl teilbar. Schauen wir uns also den Rest an: 15 mal 2 sind 30 plus 75 sind 105. Und 105 ist teilbar durch 7, denn da kommt 15 heraus. Also im Kopf rechnen: 105 ist 70 plus 35. 70 ist durch 7 teilbar und 35 ist auch durch 7 teilbar. Da nun dieser Term durch 7 teilbar ist und der vordere Term auch durch 7 teilbar ist, ist die gesamte Zahl durch 7 teilbar. Was müsst ihr als überprüfen um zu erkennen, dass die Zahl durch 7 teilbar ist? Hierzu müsst ihr euch die letzten beiden Ziffern einer Zahl nehmen und alle Ziffern davor mit 2 multiplizieren und darauf addieren. Die Summe daraus muss dann durch 7 teilbar sein, dann ist auch die gesamte Zahl durch 7 teilbar. Nehmen wir uns noch ein Beispiel: 12111. Die letzten beiden Ziffern, 1 1, schreiben wir nach hinten. Und die vorderen Ziffern multiplizieren wir mit 2. 2 mal 121 ergibt 242. Und 242 plus 11 sind 253. Und jetzt haben wir die Möglichkeit die 253 auch nochmal zu prüfen auf Teilbarkeit durch 7. Und zwar mit dem gleichen Verfahren. Hierzu nehmen wir die letzten zwei Ziffern. Die 53. Und addieren auf die 53, 2 mal die vordere Ziffer. Das ist die 2, also steht da 2 mal 2 ist 4 plus 53 ist 57. Und 57 ist nicht durch 7 teilbar, also ist auch die 253 nicht durch 7 teilbar und die 12111 auch nicht.
Division mit der 8. Schauen wir uns hierzu die Folge der 8 an. Als erstes stellen wir fest, dass die letzten Ziffern immer gerade sind, was jedoch noch nicht das Kriterium für die Teilbarkeit mit 8 ist. Die Regel für die 8 lautet: Wenn die letzten drei Ziffern durch 8 teilbar sind, dann ist auch die ganze Zahl durch 8 teilbar. Betrachten wir uns hierzu ein Beispiel. Schauen wir uns die 1088 an. Dann müssten wir uns also die letzten drei Ziffern nehmen. Das sind 0 8 8. Wir erhalten also 88. Und da 88 durch 8 teilbar ist, ist auch 1088 durch 8 teilbar. Vielleicht fragt ihr euch, warum die letzten drei Ziffern? Schauen wir einmal. Schreiben wir die 1088 als 1000 plus 88. Und dann müsst ihr wissen, dass die 1000 immer durch 8 teilbar ist, denn 1000 durch 8 sind 125. So ist also nur der Rest, bei uns die 88, auf Teilbarkeit durch 8 zu testen. Hätten wir beispielsweise eine 1888, dann müssen wir jetzt wieder die letzten drei Ziffern testen, also 888 und würden feststellen, dass die durch 8 teilbar ist. Also ist auch die ganze Zahl durch 8 teilbar. Der ein oder andere fragt sich jetzt, wir hatten ja vorher bei der Division mit der 4 die 100 herausgezogen, warum geht das bei der 8 nicht genauso? Und zwar geht das nicht, weil 100 durch 8 12,5 ergibt und somit keine ganze Zahl. Die 1000 hingegen ist, wie wir gezeigt haben, durch 8 teilbar. Aus diesem Grund müssen wir immer die letzten drei Ziffern bei der Division mit der 8 überprüfen. Und selbstverständlich, hätten wir eine größere Zahl, wie zum Beispiel 54888, so könnten wir sagen 54 mal 1000 plus 888. 1000 ist durch 8 teilbar, also das Vielfache davon auch. Daher sind immer nur die letzen drei Ziffern zu überprüfen.
Betrachten wir uns als nächstes die Teilbarkeit durch 9. Und bei der 9 wissen wir, sie ergibt sich aus 3 mal 3, bzw. 3². Und tatsächlich haben wir auch eine ähnliche Teilbarkeitsregel. Wir müssen die Quersumme bilden. Schauen wir uns ein Beispiel hierzu an. Prüfen wir die 252 auf Teilbarkeit durch 9. Nehmen wir die 252 auseinander und schreiben 200 plus 50 plus 2. Dann machen wir aus der 200 eine 2 mal 100 und aus der 50 eine 5 mal 10. Und die 2 lassen wir stehen. Die 100 trennen wir in 99 plus 1. Denn 99 ist die größte durch 9 teilbare Zahl in der 100. Und bei der 10 schreiben wir dann 9 plus 1. Multiplizieren wir als nächstes aus: 2 mal 99 plus 2 mal 1 plus 5 mal 9 plus 5 mal 1 und hinten die plus 2. Dann wissen wir 2 mal 99 ist durch 9 teilbar. 2 mal 1 ist nicht durch 9 teilbar. 5 mal 9 ist auf jeden Fall durch 9 teilbar. Und der Rest, der übrig bleibt, ist auf Teilbarkeit mit 9 zu prüfen. Und wie ihr sehen könnt, entspricht der Rest tatsächlich der Quersumme, 2 plus 5 plus 2. Zusammenaddiert ergibt das 9. Und 9 ist durch 9 teilbar. Das heißt die ganze Zahl 252 ist durch 9 teilbar. Merkt euch also: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Als letztes betrachten wir uns die Division durch 10. Ihre Folge wäre 10, 20, 30, 40 und so weiter. Und wie man gut sehen kann, jede Zahl hat hinten die Ziffer 0. Und das ist auch schon die Regel für die Teilbarkeit durch 10. Sobald eine Zahl hinten die Ziffer 0 hat, ist sie durch 10 teilbar.
Schauen wir uns zum Schluss noch ein Anwendungsbeispiel an. Nehmen wir uns hierzu einen Bruch und nutzen die Teilbarkeitsregel um ihn zu kürzen. Hierzu schauen wir uns als erstes die letzten Ziffern an. Oben die 2 unten die 4. Beide Zahlen sind gerade, also durch 2 teilbar. Schauen wir, ob sie auch durch 3 teilbar sind. Dann haben wir oben für 34722 die Quersumme zu bilden. Wir addieren alle Ziffern. Dann erhalten wir 4, 11 ,15, 18. 18 durch 3 ist 6. Also ist die Zahl durch 3 teilbar. Und unten haben wir die 24 und diese Zahl ist auch durch 3 teilbar. Wir sehen also, dass beide Zahlen durch 2 und durch 3 teilbar sind, also auch durch 6 teilbar. Und das können wir jetzt anwenden um diesen Bruch zu kürzen. Wir dividieren Zähler und Nenner durch 6. Und im Nenner sind 24 durch 6 gleich 4. Und oben im Zähler würde sich 5787 ergeben. Jetzt fragt sich, können wir weiter kürzen? Wir haben ja unten die 4 stehen und erkennen, 87 ist nicht durch 4 teilbar und auch nicht durch 2. Das heißt der Bruch ist so weit wie möglich gekürzt.
Fassen wir unsere Teilbarkeitsregel also nochmals kurz zusammen. Teilbarkeit durch 1 ist für jede Zahl möglich. Bei der Teilbarkeit durch 2 müssen wir darauf achten, dass die Zahl gerade ist. Dann ist sie auch durch 2 teilbar. Bei der Teilbarkeit durch 3, müssen wir die Quersumme bilden und wenn die durch 3 teilbar ist, ist auch die Zahl durch 3 teilbar. Bei der Teilbarkeit durch 4 müssen wir uns stets die letzten zwei Ziffern der Zahl angucken und wenn die durch 4 teilbar sind, so ist auch die ganze Zahl durch 4 teilbar. Bei der Teilbarkeit durch 5, sagten wir, die letzte Ziffer muss eine 0 oder eine 5 sein, dann ist auch die ganze Zahl durch 5 teilbar. Bei der Division durch 6, da sagten wir, die ganze Zahl muss durch 2 und 3 teilbar sein. Bei der Teilbarkeit durch 7, die etwas schwieriger zu merken ist, da sagten wir, wir müssen die letzten zwei Ziffern der Zahl nehmen und alle vorderen Ziffern mit 2 multiplizieren und darauf addieren, wenn dann diese Summe durch 7 teilbar ist, ist auch die ganze Zahl durch 7 teilbar. Bei der Teilbarkeit durch 8 müssen wir die letzten drei Ziffern auf Teilbarkeit mit 8 prüfen. Bei der Teilbarkeit durch 9, müssen wir die Quersumme bilden und wenn die durch 9 teilbar ist, ist die ganze Zahl durch 9 teilbar. Und Division durch 10: Wenn die letzte Ziffer eine 0 ist, ist die Zahl durch 10 teilbar. Und nicht vergessen, ganz zu Beginn hatten wir gesagt: Division durch 0 ist nicht definiert. Noch kurz der Hinweis: Unter echteinfach.tv findet ihr ein Programm mit dem ihr die Teilbarkeit von diversen Zahlen testen könnt. Auch höhere Zahlen und ihr erhaltet immer sämtlicher Teiler einer Zahl angezeigt.