Mathe G06: Rechnen mit Vorzeichen

Willkommen zur nächsten Lektion zum „Rechnen mit Vorzeichen“. Um diese Lektion verstehen zu können, wäre es hilfreich, wenn ihr euch „Natürliche und Ganze Zahlen“ angesehen habt. Da haben wir unter anderem gelernt, dass wir eine positive Zahl, wie beispielsweise die 3 mit einem Vorzeichen versehen können. Also einem Plus. Wir haben also eine positive 3. Und auf einem Zahlenstrahl hieße das, wir müssen nach rechts gehen. Schauen wir mal. Wir starten hier bei der 0 und sollen jetzt 1, 2, 3 nach rechts gehen. Und das machen wir und wir sehen wir gelangen bei der +3, bei der positiven 3 an. Wenn wir jetzt jedoch eine negative 3 haben, hieße das, wir müssen nicht nach rechts gehen, sondern nach links gehen, in die entgegengesetzte Richtung. Und dann haben wir hier das Plus zum Minus und ihr seht, wir gelangen dann zur -3 hier links. Wir merken uns also: Eine Zahl kann entweder ein Plusvorzeichen haben, man sagt dann „positiv“, oder sie kann an Minusvorzeichen haben, man sagt dann „negativ“. In der Mathematik kommt es vor, dass nicht nur ein Vorzeichen vor einer Zahl steht, sondern auch mehrere. Diese Fälle schauen wir uns als nächstes an. Wir nehmen dazu zwei Beispielzahlen. Wir nehmen eine 3+2. Und jetzt hatten wir gelernt, dass man an jede Zahl selbst das Vorzeichen schreiben kann. Also ob sie positiv oder negativ ist, schreibt ihr an die Zahl ran. Wir setzen eine Klammer um die beiden Zahlen. Und jetzt sagen wir die 3 ist positiv und die 2 ist auch positiv. Und das ist dann 3+2 und das ist 5. Das können wir uns gerne mit unserer Software anschauen. Stellen wir als erstes die 3 ein und dann Plus. Und jetzt noch die 2. Und ihr seht, wir kommen hier drüben bei der 5 an. 3+2 heißt 3 nach rechts gehen und dann 2 nach rechts gehen und wir kommen bei +5 an. Und wir können uns hier auch die Vorzeichen anzeigen lassen. Positive 3 plus positive 2 ergibt positive 5. Was passiert nun, wenn wir eins der Vorzeichen hier ändern? Schauen wir einmal und schreiben positive 3 plus, und jetzt eine negative 2. Was kommt da heraus? Und da müssen wir uns überlegen. Plus 3, positive 3, heißt immer 3 nach rechts gehen und jetzt plus und nicht die positive 2, 2 nach rechts, sondern jetzt eine negative 2, also 2 nach links heransetzen. Schauen wir einmal graphisch. Wir haben jetzt also keine positive 2, sondern, richtig, eine negative 2. Und eine negative 2 zeigt nach links. Das heißt 3 nach rechts und dann 2 nach links und dann kommen wir bei 1 an. Dieses Plus hier könnt ihr als Verknüpfung sehen. Man sagt übrigens auch dazu „Operationszeichen“. In unserem Fall heißt es also „und“: Und gehe -2, also 2, nach links und wir erhalten die 1. Und richtig, das ist das gleiche als wenn wir rechnen würden 3-2. Schreiben wir das hier so hin. Und wie wir gesehen haben, hier kommt 1 heraus. Gut, der nächste Fall, dass wir eine positive 3 haben und dann die Subtraktion rechnen. Hier war es ja die Addition, jetzt nehmen wir die Subtraktion, also Minus, und jetzt ziehen wir eine positive 2 ab. Was kommt hier heraus? Schauen wir mal. Hier ist 3-0 eingestellt. Und jetzt machen wir aus der 0 eine positive 2. Und wenn hier jetzt ein Plus stehen würde, hieße das, gehe 2 nach rechts. Da jetzt hier aber ein Minus steht, heißt das, gehe 2 nach links. Also die +2 entgegengesetzt. Und richtig, hier erkennt man, das ist das gleiche wie 3-2. Wo ebenfalls 1 herauskommt. Schreiben wir das hier hin. Das ist 3-2 und da kommt 1 heraus. Und der nächste Fall: Was passiert, wenn wir eine positive 3 nehmen und von dieser jetzt eine negative 2 abziehen. Was kommt da heraus? Hier hatten wir 3 minus eine positive 2. Und jetzt machen wir diese positive 2 zur negativen 2. Und hier müsst ihr aufpassen. Hier steht ja die 3, dann sind wir bei dieser Stelle hier. Dann steht ja da entgegengesetzt. Und jetzt nicht entgegengesetzt 2, sondern -2. Und durch dieses weitere Minus hier, heißt ja jetzt nicht nach links, sondern nach rechts gehen. Hätten wir jetzt zum Beispiel ein Plus und gehe 2 nach links. Und durch dieses weitere Minus, heißt das nicht nach links, sondern doch wieder nach rechts. Und richtig, 3-(-2) entspricht ja auch 3+2. Denn da kommen wir auch bei der 5 an. Und da sehen wir, dass Minus und Minus Plus ergibt. Also wir können hier hinschreiben: 3+2. Und das ist 5. Und jetzt können wir uns die Regeln anschauen, wobei uns in diesem Fall immer nur die beiden Zeichen vor der 2 interessieren. Die 3 ist uns sozusagen egal. Wir wollen jetzt nur wissen, wie sich ein Plus Plus, ein Plus Minus, ein Minus Plus und ein Minus Minus verändern. Hier haben wir also Plus Plus stehen und daraus ergab sich dann wieder eine Plus. Hier vor der 2 haben wir ein Plus Minus stehen. Und Plus Minus ergibt Minus. Hier haben wir ein Minus Plus stehen. Und Minus und Plus ergibt Minus. Und als letztes: Minus und Minus ergibt wiederum Plus. Und hier sehen wir gut. Hier oben kommt 3+2 gleich 5 heraus und hier unten kommt 3+2 gleich 5 raus. Das heißt die beiden Werte 3+(+2) und 3-(-2) stimmen überein. Und auch hier bei dem Fall 3-2 ist 1 und auch hier 3-2 ist 1. Das heißt bei Plus Minus oder Minus Plus kommt letztlich das gleiche heraus. Und wenn wir uns jetzt mal vorstellen, dass diese 3 hier wegfällt, also sozusagen zu 0 wird. Und hier auch wegfällt, dann dürfen wir an dieser Stelle die 0 auch wegnehmen. Und wir merken uns bitte, wenn eine Zahl so dasteht, wie zum Beispiel -(-2), dass dann auch da das Vorzeichen geändert werden kann zu +2. Und gleiches gilt für die anderen Fälle. Und hier ist auch eben die Regel, die ihr euch unbedingt merken müsst. Ersetzen wir die 2 noch durch eine Variable z, also für jede beliebige Zahl gilt das: Wenn wir zwei gleiche Vorzeichen vor einer Zahl stehen haben, also beim ersten Fall hier und bei dem Fall hier unten Minus Minus, kommt immer ein positives Vorzeichen heraus. Haben wir jedoch zwei unterschiedliche Vorzeichen vor einer Zahl stehen. Plus Minus oder Minus Plus, so wird das Ergebnis immer negativ werden. Also wird immer ein Minus herauskommen. Diese Regel lässt sich übrigens auch auf mehrere Vorzeichen vor einer Zahl anwenden. Nehmen wir mal ein Beispiel. Sagen wir mal, wir bekommen so etwas -(+(-(-5))), dann können wir jetzt unsere Regel anwenden von links nach rechts. Minus und Plus ist Minus. Minus und Minus ist Plus. Und Plus und Minus ist Minus. Das heißt eine negative 5 wird hier rauskommen. Wir tragen also ein: Ist gleich -5. Ihr könnt also beliebig viele Vorzeichen mit unserer Regel bearbeiten. Nehmen wir uns nochmals unser ursprüngliches Beispiel. Es könnte auch mal vorkommen, dass ihr keinen positiven Wert stehen habt, sondern einen negativen Wert. Also machen wir mal daraus eine -3. Dann gilt diese Regel der Vorzeichen hier immer noch. Wir müssen jetzt nur das Minus vor diese 3en hier schreiben und unsere Werte neu berechnen. Jetzt haben wir hier -3+2. Das heißt wir stellen als erstes Mal -3 ein, dann kommen wir auf die linke Seite und jetzt noch die +2 dazu. Wir gehen also 2 nach rechts. Und wir kommen bei -1 an. Hier kommt also raus -1. Als nächstes -3-2. Wir sind also bei -3 hier links und dann die -2 und dazu nehmen wir hier jetzt einfach die Subtraktion und wir sehen -3-2 ergibt -5. Wir gehen also 2 weiter nach links. Erst 3 nach links und dann 2 nach links. Und wir kommen bei -5 an. Hier -3-2 ist das gleiche. Wir erhalten -5. Und hier -3+2. Das hatten wir als erstes berechnet, ist -1. Was wir der Form halber noch erwähnen müssen ist übrigens, sobald ihr zwei Vorzeichen nebeneinander stehen habt, bitte immer diese Klammer setzen. Zwei Vorzeichen dürfen nie direkt nebeneinander stehen. Wenn ihr so etwas schreiben würdet, wäre das nicht korrekt. Es muss also immer die Klammer dastehen.
Zu Beginn dieser Lektion hatten wir uns angeschaut, was passiert wenn wir positive oder negative Zahlen addieren oder subtrahieren. Jetzt schauen wir uns an, wenn die erste Zahl kleiner ist als die zweite Zahl. Also anstatt 2 nehmen wir jetzt einfach mal eine 4. Und jetzt haben wir den Fall, dass wir eine größere Zahl von einer kleineren Zahl abziehen, also 3-4 rechnen müssen. Auf dem Zahlenstrahl ist das noch relativ einfach. Wir gehen zur 3, also 3 nach rechts und dann 1, 2, 3, 4 Schritte nach links und wir kommen bei -1 an. Wir können jetzt also hinschreiben: Kommt raus -1. Doch der ein oder andere hat Probleme, wenn es um größere Zahlen geht. Wie könnte man das also am besten schematisch Rechnen? Und hier gibt es eine einfache Möglichkeit. Wenn die hintere Zahl größer ist als die vordere Zahl, also bei 3-4, könnt ihr ganz einfach rechnen 4-3. Und bei 4-3 kommt 1 heraus. Und dieses Ergebnis als negativer Wert ergibt unser Ergebnis. Wir haben also in diesem Beispiel nichts weiter gemacht, als eine positive 3 zu einer negativen 3 gewandelt und eine negative 4 zu einer positiven 4 gewandelt. Wobei wir deren Position getauscht hatten. Und unser Ergebnis ergibt sich, indem wir dann wieder das Vorzeichen umkehren. Also die +1 wird zur -1. Also nehmen wir ein zweites Beispiel: Sagen wir 14-24. Was kommt da heraus? Da rechnet ihr also im Kopf 24-14. Da kommt 10 heraus: Das heißt hier oben erhalten wir -10. Wir haben also einfach das Vorzeichen gedreht. Wer dieses Verfahren zu schwierig findet, der kann auch einen anderen Weg gehen. Kopieren die 3-4 nochmal hier runter. Und wir können jetzt folgendes sagen: Diese -4 ist ja das gleiche wie -3-1, denn -3-1 sind -4. Und dann können wir die 3 mit der -3 verrechnen zu 0. Da kommt also dann -1 heraus unser Ergebnis. Wählen wir noch ein zweites Beispiel mit 12-58. Da können wir jetzt die -58 auftrennen in -12-46, denn das sind ja nachher wieder -58 und dann können wir 12-12 zu 0 verrechnen und wir erhalten -46. Oder wir rechnen hier unten eben gleich im Kopf 58-12. Das ergibt 46 und wir setzen das Minus davor. Auf beiden Wegen kommt man zum selben Ergebnis. Gucken wir nochmal zu unserer Übersicht. Den zweiten Fall mit 3-4 hatten wir gerade behandelt. Der dritte Fall ist ja ebenfalls 3-4. Und der vierte Fall 3+4 entspricht dem ersten Fall. Hier ist die normale Addition zu rechnen. Betrachten wir als nächstes den Fall, dass wir hier eine -3 stehen haben, dann verändert sich auch dieser Wert hier und jetzt sind wieder diese beiden Fälle zu klären. Das heißt wir untersuchen der ersten und danach den zweiten Fall. -3+4. Die zweite Zahl ist größer als die erste Zahl. Was machen wir? Ganz einfach: Wir verwenden wieder das Kommutativgesetz und drehen beide um. Das heißt die 4 geht nach vorne, das Plus bleibt erhalten und jetzt kommt (-3). Und wie wir gesehen haben Plus und Minus ergibt Minus. Wir können also ganz einfach rechnen 4-3 und da kommt 1 heraus. Das heißt -3+4 ist ebenfalls 1. Ihr merkt euch also, ihr könnt jederzeit bei der Addition die beiden Summanden vertauschen, da kann man einfach 4-3 rechnen und wir erhalten das Ergebnis. Bei dem anderen Fall, wenn wir von einer negativen eine Zahl abziehen, könnt ihr euch das wie folgt vorstellen: Bei -3-4, gucken wir nochmal kurz auf unsere Software, erhalten wir das folgende Bild: Wir gehen -3 und dann nochmal die -4 nach links und wir kommen bei -7 an. Hier kommt also -7 heraus. Und jetzt überlegen wir: Diese 7 kann man auch schreiben als 3+4. Und hier sehen wir das folgende: Wenn wir von einem negativen Wert einen anderen negativen Wert abziehen ist das das gleiche, als ob wir die beiden positiv addieren und dann wieder das Minus davor schreiben. Also -3-4; 3+4 sind 7 und das Minus davor und wir haben -7. Bei dem anderen Beispiel: Sagen wir -12-87, da können wir sagen, das ist das gleiche wie 12+87, jedoch nicht vergessen das Minus davorzusetzen. Und 12+87 sind, richtig, 99. Hier kommt also -99 heraus. Als Fazit dieser Lektion merkt euch bitte: Stehen zwei gleiche Vorzeichen vor einer Zahl wird sie positiv, genauso wie hier unten. Stehen zwei unterschiedliche Vorzeichen vor einer Zahl, wird diese Zahl negativ. Als nächstes schauen wir uns die Multiplikation und die Division an. Und wir lösen mehrere Beispielaufgaben. Auf geht es!

Im Gegensatz zur Addition und Subtraktion interessiert uns bei der Multiplikation und Division das Vorzeichen an der jeweiligen Zahl. Also wenn wir eine positive Zahl mit einer anderen positiven Zahl multiplizieren, also 3*5 rechnen, erhalten wir eine weitere positive Zahl. Schauen wir uns jetzt also das Vorzeichen hier vor der 3 an, das Vorzeichen vor der 5 und schauen was beim Ergebnis für ein Vorzeichen herauskommt. Hier wäre das eine positive 15, also eine +15. Diese Regel wäre also Plus mal Plus ergibt Plus. Schauen wir uns die anderen Fälle an, wenn die 3 positiv ist, jedoch die 5 negativ. Wenn die 3 negativ ist und die 5 positiv. Und wenn die 3 negativ ist und die 5 negativ. Wir nutzen wieder unseren Zahlenstrahl: Als erstes wollen wir nochmal gucken, wie 3*5 dargestellt werden kann. Haben wir 0 mal, also keinmal die 5, landen wir bei der 0. Haben wir sie einmal, landen wir bei der 5. Haben wir sie zweimal landen wir bei der 10 und haben wir sie dreimal landen wir bei der 15. Wir haben also nichts weiter gemacht, als 5+5+5 gerechnet. Und zwar dreimal. Haben wir dreimal die -5, dürfen wir folgendes machen. Wir stellen uns als erstes die -5 ein. Gehen also einmal -5 nach links. Zweimal -5 nach links und dreimal -5 nach links. Und wir kommen bei -15 an. Unser Ergebnis -15. Wir erkennen also, dass die +15, bei 3*5, durch ein Minus in dieser Multiplikation gespiegelt wurde auf die linke Seite. Wir also anstatt Plus Minus herausbekommen haben. Man kann sich das auch so vorstellen: Wir haben hier 3*5 gerechnet zu +15. Und sobald wir ein Minus hier in der Multiplikation haben, nehmen wir unseren Strahl und spiegeln ihn auf die andere Seite zu -15. Wir merken uns: Jedes einzelne Minus in eine Multiplikation ändert die Richtung bzw. das Vorzeichen. Und gleiches gilt bei dem Fall -3*5. Hier ist auch wieder ein Minus in der Multiplikation, das heißt hier müssen wir die 3*5, 15, auch rüberspiegeln und hier kommt auch -15 heraus. Und im letzten, interessantesten Fall -3*(-5). Hier haben wir ein Minus und noch ein weiteres Minus, das heißt wir müssen den gesamten Strahl noch einmal spiegeln, jetzt also wieder zurück auf die rechte Seite und wir kommen bei +15 an. Tragen wir die hier ein. Ihr merkt euch also, haben wir ein Minus in der Multiplikation ist das Ergebnis negativ und haben wir zweimal das Minus in der Multiplikation, dann erhalten wir ein positives Ergebnis. Als Fazit merkt ihr euch bitte für die Multiplikation diese Aufstellung hier. Sobald einer der beiden Faktoren negativ ist, hier das -b, hier das -a, ist das gesamte Ergebnis negativ. Und sobald beide Faktoren negativ sind ist das Ergebnis positiv. Und achtet bitte stets darauf, dass sich Multiplikation und Addition unterscheiden: Rechnet ihr zum Beispiel -1+(-1), dann wäre das ja -1-1 und da kommt -2 heraus. Rechnet ihr jedoch -1*(-1), dann wissen wir, wir müssen 1*1 rechnen, die Beträge, da kommt 1 heraus und dann Minus und Minus ergibt Plus. Wie ihr seht haben wir hier verschiedene Ergebnisse. Als nächstes fragt sich ob die Vorzeichenregeln der Multiplikation auch für die Division gelten. Und die Antwort ist ganz einfach ja, denn die Division ist die Umkehrung der Multiplikation. Wie wir später sehen werden, kann jede Division auch als Multiplikation ausgedrückt werden. Und an dieser Stelle ein kleiner Zusatz für die, die gerne sehen wollen, dass Minus und Minus Plus ergibt. Da könnt ihr folgendes sagen: Bei der Division wurde definiert, dass ein Wert durch sich selbst immer 1 ergibt, also allgemein: Eine Zahl durch sich selbst ist immer 1. Und das gilt dann auch für die negativen Zahlen: (-3)/(-3) ist dann auch 1. Und 1 ist positiv. Und hier seht ihr Minus durch Minus ist Plus. Noch der Hinweis: Durch 0 ist natürlich nicht definiert, wie wir in der Lektion „Teilbarkeit“ sehen werden.
Nun haben wir die Rechenregeln für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division mit Vorzeichen kennen gelernt. Was uns noch fehlt ist ein wenig Übung. Daher berechnen wir als nächstes noch ein paar Beispielaufgaben. Legen wir los mit einer einfachen Aufgabe: -8+22-7+5-14. Um so etwas schnell zu rechnen, empfiehlt es sich alle negativen Zahlen als erstes zusammenzuschreiben und alle positive Zahlen. Das heißt wir schreiben als erstes die -8, dann die -7, dann die -14. Und jetzt alle positiven Zahlen: +22 und die +5. Jetzt kopieren wir das nochmals runter. Als nächstes fassen wir alle negativen Zahlen zusammen, dazu rechnen wir deren positive Beträge in einer Addition. Also 8+7+14. Dann erhalten wir 7+14 21. 8+21 29. Da alle negativ sind, muss das Ergebnis auch negativ sein. Also kommt -29 raus. Dann hier hinten haben wir noch die +22+5. Und 22+5 sind 27. Jetzt können wir uns folgendes überlegen. Wir haben jetzt -29+27. Und entweder wir drehen die beiden um und rechnen 27-29, dann hätten wir hier -2. Oder aber, ein kleiner Rechentrick, der es einfacher macht: Wir können die -29 aufteilen in -2-27, denn das sind ja -29. Und jetzt können wir rechnen -27+27 sind 0. Und die 0 kann man dann weg nehmen. Und hier sehen wir auch, dass -2 herauskommt. Als Ergebnis. Nehmen wir uns eine zweite Aufgabe. Die Aufgabe lautet -5*2*(-3)*3. Und an der Stelle müsste euch sofort auffallen, hier das darf so nicht stehen. Ein Mal neben einem Minus. Hier muss immer die Klammer hin! Deswegen setzen wir jetzt hier noch die Klammer. Hier entgegen steht das Vorzeichen alleine. Hier darf man das so schreiben. Aber es ist natürlich strukturierter, wenn man hier auch noch die Klammer setzt. Und um das jetzt schnell zu rechnen können wir folgendes machen. Wir rechnen einfach alle Werte, aber positiv zusammen. 5*2 von oben sind 10. 10*3 sind 30. Und 30*3 sind 90. Und jetzt schauen wir, welche Vorzeichen wir haben. Negativ und positiv. Das hier ist negativ. Negativ und positiv, das hier ist negativ. Und dann sehen wir: Negativ und negativ ist natürlich positiv. Das heißt diese 90 ist positiv. Hätten wir hier ein Minus mehr oder weniger, dann hätten wir ein negatives Ergebnis. Also wenn hier zum Beispiel noch eine *(-1) gestanden hätte, dann wäre -90 herausgekommen. Wenn da noch eine -1 gestanden hätte, richtig, dann wäre hier wieder +90 rausgekommen. Wie wir gelernt hatten: Jedes Minus in einer Multiplikation wechselt die Richtung bzw. das Vorzeichen. Gut, eine dritte Aufgabe lautet -15/(-3)+-(-4). Wie rechnen wir das? Und da sehen wir Minus durch Minus ist Plus. Das heißt die beiden Minus können wir wegfallen lassen, da das Ergebnis hieraus positiv sein wird. Und dann können wir rechnen 15/3, ganz klar, sind 5. Und jetzt hier hinten noch: 12-(-4). Wenn zwei Minus nebeneinander stehen wird es immer Plus. Also hier wird gerechnet Plus 4. Und jetzt wird es einfach 5+12 sind 17. Und 17+4 sind 21. Das Ergebnis unserer Aufgabe hier oben. Die vierte Aufgabe soll lauten -1*7-2*8. Hier können wir folgendes machen: -1*7, das bedeutet Minus mal Plus. Das heißt hier kommt -7 heraus. Und hier hinten 2*8 sind 16. Und wie wir gesehen hatten -7-16. Das heißt wir können die 7 und die 16 addieren. Und 7+16, da ergibt sich 23. Und dann müssen wir noch das Minus davorsetzen. Das Ergebnis ist also -23 für diese Aufgabe. Und schauen wir uns die allerletzte Aufgabe an, die etwas länger wird. Kopieren wir sie einfach nochmal herunter und gehen sie Stück für Stück durch. Fangen wir an: Positive 4 mal negative 12, kommt ein negatives Ergebnis raus. Und 4*12 sind 48, das heißt hier kommt -48 heraus. Jetzt kommt +(-121). Das heißt Plus und Minus wird Minus. Dann geht es weiter -(-17). Minus und Minus sind Plus. Wir schreiben das Plus hier hin. Und hier hinten -26/(-13), da sehen da ist ein negativer Wert durch einen anderen negativen Wert gerechnet wird. Und Minus durch Minus ist Plus. Und 26/13 ist 2. Also ersetzen wir diesen Teil mit dem Teilergebnis +2. Und jetzt wird die ganze Sache schon einfacher, kopieren wir es nochmals runter und können jetzt -48-121 zusammenfassen: 48+121 sind 169. Und das Minus davor sind -169. Und hier hinten +17+2. 17+2 sind 19. Und jetzt der letzte Schritt: -169+19. Nun können wir wieder das anwenden, was ich euch gerade gezeigt hatte. Wir denken uns -169 also -150-19, denn das sind ja dann -169. Und jetzt können wir hinten die -19+19 zu 0 auflösen. Das heißt unser Ergebnis ist -150. Gut, mit diesen Beispielaufgaben seid ihr wahrscheinlich etwas sicherer. Übt auch nochmals mit der Software auf unserer Website und viel Erfolg beim Rechnen mit Vorzeichen.