Mathe G21: Irrationale Zahlen, Reelle Zahlen

Willkommen zur Lektion „Irrationale Zahlen“. Wir schauen uns an, was diese Zahlen sind und wo sie herkommen. Vorher wiederholen wir jedoch noch einmal die Zahlenmengen. Wir hatten ja bereits die natürlichen Zahlen kennengelernt. 1, 2, 3 und so weiter. Dann hatten wir die ganzen Zahlen kennen gelernt, also -1, -2 und so weiter, die ja die natürlichen Zahlen mit einschließen. Und wir hatten die rationalen Zahlen kennengelernt, das waren die Zahlen, die als Bruch schreibbar sind. Und klar, die ganzen Zahlen und die natürlichen Zahlen lassen sich als Bruch schreiben. Hier als Beispiel: -1 ist -1/1. Oder diese 3, kann man auch als 3/1 schreiben. Als nächstes kommen wir zu den irrationalen Zahlen, einer neuen Zahlenmenge. Wie sich diese ergibt, schauen wir uns im Folgenden an. Wir hatten gerade gesagt, rationale Zahlen sind als Bruch a/b darstellbar. Die irrationalen Zahlen hingegen sind nicht als Bruch darstellbar. Genau so eine Zahl wollen wir jetzt finden. Bedienen wir uns hier zu der Wurzeln. Wir hatten bei der Wurzel, zum Beispiel Wurzel 9, da kommt 3 heraus, da ja 3² wieder 9 ergibt. Was passiert denn, wenn wir die Wurzel aus der 2 ziehen? Nehmen wir hierzu den Taschenrechner und tippen ein: Wurzel aus 2 ist gleich 1,41421356237. Übernehmen wir den Wert. Und jetzt machen wir folgendes. Wir tippen genau diesen Wert wieder in den Taschenrechner ein. Also löschen und dann 1,41421356237 und da wir jetzt die Basis ausgerechnet haben, müssen wir sie quadrieren. Also zum Quadrat. Und wir erhalten nicht die 2, sondern 1,99999. Das heißt, dass unser Wert hier, den wir quadrieren, nicht zur 2 kommt, sondern zu einem anderen Wert. Hier stimmt also irgendetwas nicht. Das heißt also, offensichtlich ist dieser Wert hier gerundet, denn durch das Runden erhalten wir meist ungenaue Ergebnisse. Also ist diese Zahl hier nicht die Zahl, die quadriert werden muss, um auf 2 zu kommen. Prüfen wir daher als nächstes, ob Wurzel 2 wirklich zu den rationalen Zahlen gehört. Das heißt, ob die Wurzel 2 als Bruch darstellbar ist. Bevor wir jedoch starten, müssen wir eine Sache zu diesem Bruch hier festlegen. Zum einen vereinbaren wir, dass a und b ganze Zahlen sein müssen. Zum anderen legen wir fest, dass a und b voll gekürzt sind. Hier nochmal als Beispiel. Nehmen wir den Bruch 5/15, da erkennen wir, dass er nicht voll gekürzt ist, denn wir können jetzt oben und unten durch 5 teilen und dann kommt da raus 1/3. 1/3 hingegen ist voll gekürzt. Also, wenn wir noch mal einen zweiten Bruch hier hinzunehmen, zum Beispiel ¾, dann sehen wir, dieser Bruch lässt sich nicht kürzen. Nur durch 1 dividieren und das ist ja kein Kürzen. Das heißt wir erhalten wieder ¾. Und genau das soll für a/b gelten. Sie sollen beide voll gekürzt sein. Da dies wesentliche Voraussetzungen für unseren Nachweis ist, der gleich folgt, halten wir es hier rechts oben fest. Stellen wir als nächstes die Gleichung auf, dass die Wurzel 2 aus zwei ganzen Zahlen a und b bestehen soll. Also die Wurzel 2 soll als Bruch schreibbar sein. Dann lasst uns jetzt an dieser Stelle umformen. Wir wollen als erstes die Wurzel weghaben, dazu quadrieren wir auf beiden Seiten. Dann erhalten wir links Wurzel 2 ins Quadrat und hier rechts (a/b)². Dann wissen wir: Wurzel und Quadrat heben sich auf. Das heißt links bleibt die 2 übrig und rechts, das Quadrat können wir auf a und auf b ziehen. Das heißt hier steht dann a²/b². Als nächstes quadrieren wir b² auf beiden Seiten. Links steht dann 2 mal b² und rechts bleibt a² stehen. Wir haben also a² ist gleich 2 mal b². Und hier müssen wir folgendes überlegen: Wir erhalten immer eine gerade Zahl, hier mal als z dargestellt, wenn wir eine andere Zahl mit 2 multiplizieren. Hier mit k dargestellt. Also k mal eine Zahl wird immer eine gerade Zahl sein. Zum Beispiel 2 mal 1 wäre 2, oder 2 mal 5, das wäre 10 und so weiter. Wir erhalten also immer gerade Zahlen. Da wir hier oben stehen haben: 2 mal eine Zahl, dabei ist egal ob es ein Quadrat ist, heißt also, a² wird auf jeden Fall gerade sein. Und jetzt müssen wir uns noch eine Sache überlegen. Nimmt man eine beliebige gerade Zahl, quadriert man diese, so ist die quadrierte Zahl wieder eine gerade Zahl. Wer das nicht glaubt, kann sich das gerade mal herleiten: Die gerade Zahl ergibt sich ja aus 2 mal irgendeine Zahl. Also 2 mal k. Wenn wir jetzt beide Seiten quadrieren, dann steht da links z² und rechts (2 mal k)². Jetzt können wir die rechte Seite mal auflösen, dann steht, z² ist gleich 2 mal k mal 2 mal k. Und wenn wir jetzt die Klammern hier wegnehmen und dann noch k und k als k²schreiben, sehen wir, dass wir 2 mal einen Wert rechnen. Wir können hier auch noch kurz die Klammern setzen. Das heißt durch diese 2 mal ist z² auch wieder gerade. Also hier der Nachweis, dass wen z gerade ist auch dessen Quadrat gerade ist. Andersrum gesehen, wenn das z² gerade ist, dann ist auch z gerade. Wenn wir dieses Wissen auf das a² übertragen, heißt das, das a ebenfalls gerade ist. Blicken wir zurück auf unsere Formel und überlegen uns, wenn a eine gerade Zahl ist, dürfen wir sie auch als 2 mal k darstellen, denn eine gerade Zahl ergibt sich immer aus 2 mal eine andere Zahl. Und diese 2k setzen wir jetzt hier für a ein. Dann erhalten wir (2 mal k)² ist gleich 2 mal b². Wenn wir jetzt dieses Quadrat ausrechnen, steht da das Quadrat auf die 2 und auf das k gezogen und wir erhalten 2² mal k² ist gleich 2 mal b². Jetzt dividieren wir auf beiden Seiten durch 2. Das 2², das wissen wir, ist 4. Und 4 durch 2, kommt 2 heraus. Und auf der rechten Seite 2 mal b² durch 2, da bleibt nur b² stehen. Was wir jetzt erkennen, drehen wir mal die beiden Seite um und schreiben sie nochmals hin, dass sich b² aus 2 mal einen Wert ergibt. Das heißt b² ist auf jeden Fall gerade. Und genauso wie wir es bei a² gesagt hatten, dass a² gerade war und dann a gerade ist, ist bei einem b², das gerade ist, auch das b gerade. Mit anderen Worten, da gilt der gleiche Nachweis. Und jetzt können wir unsere Ergebnisse zusammenfassen. Wir hatten zu Beginn festgelegt, Wurzel 2 soll sein a/b und hatten durch die Äquivalenzumformungen schließlich festgestellt, dass a und b gerade sind. Das heißt a und b haben auf jeden Fall den Teiler 2, denn gerade Zahlen sind immer durch 2 teilbar. Jetzt erinnern wir uns an den Anfang der Lektion, da hatten wir gesagt, a und b sind voll gekürzt. Also durch nichts weiter teilbar als durch 1. Hier jedoch hatten wir gezeigt, dass a und b durch die Umformungen auch durch 2 teilbar wären. Das heißt hier gibt es einen Widerspruch. Und Widersprüche sind in der Mathematik nicht erlaubt. Mit anderen Worten: Wir finden keine ganze Zahlen a und b, die man als Bruch darstellen kann und die dann Wurzel 2 ergeben, bzw. Wurzel 2 kann nicht als a/b dargestellt werden. Und wir erhalten bei solchen Zahlen eine neue Zahlenmenge; die der irrationalen Zahlen, die wir am Anfang hier separat dargestellt hatten. Und man sagt, die irrationalen Zahlen und die Menge aller rationalen Zahlen ergibt dann die reellen Zahlen. Merken wir uns für die irrationalen Zahlen mit dem Zeichen I Strich, dass sie nicht als Bruch darstellbar sind, dass die im Taschenrechner angezeigte Lösung nicht vollständig ist, denn die Nachkommastellen sind in der Tat unendlich, das heißt sie gehen immer weiter ohne Ende und vor allem ihr werdet nie eine Periode finden. Also so etwas wie 1/3 mit dem Wert 0,3(Periode), wo sich immer die 3en wiederholen, werden wir hier nicht haben. Also wir sagen, eine irrationale Zahl ist nichtperiodisch. Natürlich gibt es neben der Wurzel 2 auch noch weitere irrationale Zahlen, wie zum Beispiel die Wurzel aus 3, die Wurzel aus 5, oder so etwas Schönes wie die Kreiszahl Pi. Merkt euch also zusammengefasst. Irrationale Zahlen sind nicht als Bruch darstellbar, sie haben unendlich viele Nachkommastellen, wobei die Nachkommastellen nicht periodisch sind. In diesem Zusammenhang. „irrational“ kommt aus dem Lateinischen. „ratio“ heißt „Berechnung“ und die Vorsilbe „ir“ heißt so viel wie „nicht“. Man will damit sagen: Irrationale Zahlen sind nicht komplett berechenbar bzw. kann man „ratio“ auch übersetzen als Verhältnis und es lässt sich sagen, irrationale Zahlen können sich nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausdrücken, also nicht als Bruch ausdrücken.