Mathe G15: Antiproportionalität

Hallo liebe Zuschauer und willkommen zur Lektion Antiproportionalität. Um diese Lektion verstehen zu können, müsst ihr vorher die Lektion Proportionalität gesehen haben. Denn in dieser Lektion hatten wir folgendes gelernt. Wir hatten an einem Beispiel erklärt, dass ein Schokoriegel, also hier ein Stück, 1,50 € kostet, der Proportionalitätsfaktor 1,50 € je Stück ist. Und zwei Stück entsprechend das doppelte also 3,00 € kosten. Natürlich könnten wir jetzt hier auch noch die Stückzahl erhöhen und wenn wir die Stückzahl erhöhen, erhöhen wir gleichzeitig den Betrag den wir bezahlen müssen. Beide Werte steigen. Das heißt wir haben eine direkte Proportionalität. Bei der Antiproportionalität sieht das etwas anders aus. Schauen wir uns hierzu ein kleines Beispiel an. Nehmen wir einmal 10 Ziegelsteine und sagen wir, ihr habt die Aufgabe die 10 Ziegelsteine weg zu transportieren. Das heißt ihr müsst einmal hinlaufen, einen Stein nehmen und zurück laufen und ihn hier ablegen. Jetzt ist die Frage: Wie oft müsst ihr laufen? Und das ist ganz klar. Ihr müsst hier 10 mal hin und her laufen. Schreiben wir das hier unten mal auf. Und zwar für 10 Ziegelsteine bei einer Person, dann müssen wir 10 mal laufen bzw. 10 Läufe. Was passiert, wenn ihr jetzt nicht alleine lauft, sondern 2 Personen laufen? Es sind immer noch 10 Ziegelsteine abzuholen und jetzt sehen wir schon, wenn zwei Personen laufen. Einmal hin, können sie zwei Steine nehmen und laufen wieder zurück. Das heißt, wenn jeweils zwei wegkommen, müssen wir nur noch 5 mal laufen. Schreiben wir das also hier unten hin: 10 Ziegelsteine dividiert durch 2 Personen und wir erhalten 5 Läufe. Wenn ihr nicht zu zweit seid, sondern zu fünft seid, dann werden bei einem Lauf 5 Steine wegtransportiert und beim nächsten Lauf wieder 5 Steine wegtransportiert. Also insgesamt 10 Ziegelsteine. Das heißt wir müssen nur noch 2 mal laufen. Und rechnerisch hier unten: 10 Ziegelsteine durch 5 Personen diesmal ergibt, richtig, 2 Läufe. Ihr fragt euch jetzt vielleicht, was hat das mit Antiproportionalität zu tun? Ganz einfach; wir stellen hier folgendes fest. Wenn wir die Personenanzahl erhöhen, also von 1 auf 2, wir verdoppeln sie, halbieren wir die Anzahl der Läufe von 10 auf 5. Und wir stellen fest, wenn wir die Personenanzahl verfünffachen, dann müssen wir die Läufe fünfteln, also durch 5 rechnen. Schreiben wir das nochmals richtig hin. Also halten wir nochmals fest. Hier sind 10 Ziegelsteine jeweils eingetragen. Und jetzt sagten wir, wenn wir die Personenanzahl jeweils verdoppeln, also mal 2 rechnen, dann müssen wir auf der anderen Seite bei den Läufen, diese halbieren, also durch 2 rechnen. Wenn wir die Personenanzahl mal 5 rechnen, dann müssen wir genau andersherum hier drüben nicht mal 5, sondern durch 5 rechnen. Und wie ich eben schon sagte: Andersherum. Deswegen sagt man bei der Antiproportionalität auch „indirekte Proportionalität“. Also nicht direkt, nicht dass sich zwei Werte gleichzeitig erhöhen, sondern indirekt. Einer geht hoch und einer geht im Wert runter. Und hier, genauso wie bei der Proportionalität gibt es einen Antiproportionalitätsfaktor. Die Frage ist, wie kommt er zustande? Und wenn ihr ein gutes Auge habt, seht ihr, dass, wenn wir eine Person mit 10 Läufen multiplizieren erhalten wir 10. Wenn wir 2 Personen mit 5 Läufen multiplizieren, 2 mal 5, erhalten wir 10. Und wenn wir 5 Personen mit 2 Läufen multiplizieren. 5 mal 2 erhalten wir ebenfalls 10. Unser Faktor der Antiproportionalität sind diese 10 Ziegelsteine, also die 10. Fassen wir also zusammen: Wenn wir die Personenzahl erhöhen, verringert sich die Anzahl der notwendigen Läufe. Bzw. aus der anderen Perspektive, wenn wir die Läufe erhöhen, verringert sich die Anzahl der Personen. Wir haben also immer entgegengesetzte Wertveränderungen.
Wer sich das nicht so gut vorstellen kann, kann auf echteinfach.tv diese Software hier ausprobieren. Wie hier schon steht: mehr Helfer, also weniger Läufe. Und der Antiproportionalitätsfaktor, das ist die Anzahl der Ziegelsteine. Wir hatten in unserem Beispiel ja 10 Ziegelsteine genommen. Wenn wir jetzt mal 10 auswählen. Seid ihr hier die Person, die den wegbringt und wie ihr seht: 1 Helfer. 10 Steine durch 1 Helfer die brauchen 10 Läufe. Wenn ich jetzt einen zweiten hinzusetze, brauchen wir noch 5 Läufe. Erhöhe ich die Helferzahl auf 3, 4, brauchen wir nur noch 2,5 Läufe. Bei 5 Helfern haben wir nur noch 2 Läufe pro Helfer. Und danach haben wir alle Steine transportiert. Ihr könnt wie gesagt euch selbst ein wenig ausprobieren und den Zusammenhang gerne einmal testen. Die Anzahl der Helfer erhöht sich, die Anzahl der Läufe reduziert sich.
Schauen wir uns noch eine Beispielaufgabe an. Die Aufgabe soll lauten: 20 Arbeiter bauen 10 Tage, um ein Haus fertigzustellen. Wie viele Tage benötigen 10 Arbeiter? Was ihr als erstes machen müsst: Ihr guckt erstmal was in der Aufgabe enthalten ist. Zum einen haben wir 20 Arbeiter und da steht die bauen 10 Tage. Schreiben wir erstmal so hin. Und dann steht hier wir haben 10 Arbeiter. Und wie lange bauen die? Also wie viele Tage bauen die denn? Und das gilt es jetzt zu klären. Und an dieser Stelle gibt es verschiedene Varianten das Ding zu lösen, wir machen es als erstes über den Antiproportionalitätsfaktor. Das heißt wir haben 20 Arbeiter und die brauchen 10 Tage. Also müssen mal 10 Tage gerechnet werden. Und wir erhalten 200, den Antiproportionalitätsfaktor. Und als nächstes können wir rechnen: 200 durch und jetzt diese 10 Arbeiter. Was ist 200 durch 10? Ganz einfach 20, also 20 Tage. Tragen wir die hier ein und falls ihr euch nicht sicher sein solltet, könnt ihr an der Stelle einfach mal rechnen: 200 durch – und jetzt mal den neuen Wert - die 20 Tage eintragen. Was ist denn 200 durch 20? Richtig…10! Und zwar 10 Arbeiter. Beide Werte hängen voneinander ab und müssen jeweils in der Multiplikation, also wenn wir hier ein Mal daraus machen, hier dann 200 ergeben. 10 mal 20 sind 200 und 20 mal 10 sind 200. Es gibt aber noch andere Wege das zu lösen. Gehen wir nochmals zurück. Und jetzt bestimmen wir einmal nicht den Antiproportionalitätsfaktor, sondern wenden diesen Dreisatz an, so wie ihr es in der Schule meistens lernt. Und zwar müsst ihr dazu erstmal auf einen Arbeiter runterrechnen und guckt dann, wie viele Tage dann herauskommen. Also Frage ist, wie kommt man von 20 auf 1? Und ihr dürft dazu nur Multiplikation und Division benutzen. Und klar. 20 durch 20 ergibt 1. Und wenn ihr jetzt hier durch 20 rechnet, müsst ihr auf der anderen Seite, auf der rechten Seite, mal 20 rechnen. Also genau umgekehrt. 10 mal 20 sind 200. Das heißt ein Arbeiter muss alleine 200 Tage arbeiten, um 1 Haus fertig zu stellen. Und als nächstes müssen wir sehen, wie wir von einem Arbeiter auf 10 Arbeiter kommen. Und ganz klar, da müssen wir 1 mal 10 rechnen. Und wenn wir hier links mal 10 rechnen, müssen wir drüben durch 10 rechnen. Und 200 durch 10 ergibt schließlich 20 Tage. Das was wir auch vorher schon herausbekommen hatten.
Unter echteinfach.tv findet ihr übrigens eine kleine Software, hier könnt ihr die Arbeiterzahl selbst festlegen. Könnt sagen wie viel Tage die brauchen. Erhaltet den Antiproportionalitätsfaktor. Und bei der Aufgabe waren ja 10 Arbeiter gegeben und wie ihr seht, 20 Tage erhalten wir als Lösung.
Wie wir also gesehen haben ist der Antiproportionalitätsfaktor immer konstant. Das kann man insbesondere an einer Fläche verdeutlichen. Wir haben hier 400 cm² als Gesamtfläche und verändere ich die Breite, also erhöht sich die Breite, verringert sich gleichzeitig die Höhe. Und erhöhe ich wiederum die Höhe, verringert sich die Breite. Und hier seht ihr den Zusammenhang gegeben. Der eine Wert ergibt sich immer durch 400 durch den anderen Wert. Und diesen Zusammenhang verallgemeinert man, in dem man links ein a hinsetzt und rechts bei der Division ein b. Die 400 wird allgemein als 1 Einheit geschrieben und das „ist gleich“ wird zur Tilde. Das heißt a ist proportional zu 1 durch b. Das heißt erhöhen wir die Größe b, verringert sich a entsprechend im Verhältnis. Das heißt nochmals ganz konkret mit den Werten: Verdoppeln wir a, müssen wir b halbieren. Das heißt 10 wird verdoppelt. Ich schreibe also hin: 2 mal 10. Und hier drüben, die 40 cm müssen wir dann halbieren. 2 mal 10 sind 20 und 40 durch 2 ergibt 20. 10 hat sich verdoppelt und 40 halbiert.