Mathe G13: Ungleichungen

Hallo und willkommen zur Lektion „Ungleichungen“. Es ist definitiv von Vorteil, wenn ihr euch vorher die Lektion „Termumformung und Äquivalenzumformung“ anschaut. Da hatten wir nämlich festgestellt, dass wir bei einer Gleichung wie zum Beispiel 6 gleich 10 minus 4 auf beiden Seiten die gleiche Operation durchführen können. Wie zum Beispiel mal 2. Dann stand da links 6 mal 2 und rechts 10 mal 2 minus 4 mal 2. 6 mal 2 sind 12. 20. 8. Und 20 minus 8 waren 12. Gut, was meint nun Ungleichung? Hört sich ja ein bisschen merkwürdig an. Nehmen wir mal ein einfaches Beispiel. Wir sagen einfach, ein Mensch, der 1,80 m groß ist, ist größer als ein Mensch der 1,50 m groß ist. Genauso können wir sagen: 1,50 m ist kleiner als 1,80 m. Und in der Mathematik kürzt man gerne ab. Man hat gesagt „größer als“ schreiben wir einfach als ein „spitzer Pfeil“. Wobei die Seite am Pfeil die offen ist, die größere Seite darstellt und die Spitze zeigt auf den kleineren Betrag. Und hier unten: 1,50 m ist „kleiner als“, und, da muss die Spitze nach links zeigen. Das heißt wir haben hier zwei neue Zeichen. Größer und kleiner. Die nennt man auch „Verhältniszeichen“. Und im Gegensatz zu unserer Gleichung, wo zum Beispiel wenn hier gestanden hätte: 1,80 m ist gleich 1,80 m, haben wir hier jetzt kein ist gleich, deswegen Ungleichung, denn beide Seiten – wir sagten auch Linksterm und Rechtsterm – sind nicht gleich. Und für „nicht gleich“ kann man im Übrigen auch schreiben „ungleich“. Beide Seiten sind ungleich und dann kann man eben klären, wie sind sie ungleich. Die linke Seite ist größer als die rechte Seite.
Wir können jetzt also eine Aufgabe bekommen, die da ganze einfach heißt, x größer 5. x, erinnert euch an die Lektion Termumformung, ist die Variable, die Unbekannte. Wir sagen jetzt eine Zahl muss größer als 5 sein. Und hier seht ihr das. x kann also sein, wenn wir uns bei den ganzen Zahlen aufhalten, zum Beispiel 6 oder 7 oder 8 usw.. Muss also größer als 5 sein. 4 wäre nicht größer! Wäre nicht möglich als Lösung für x! Okay, bekommt ihr jetzt eine kompliziertere Aufgabe wie zum Beispiel 2 mal x minus 5 soll größer sein als 2. Dann ist jetzt die Frage was ihr da macht. Und ihr dürft tatsächlich, hier, wie bei der Äquivalenzumformung, auf beiden Seiten die gleichen Operationen machen. Hier wären das, würden wir die 5 rüberholen, mit plus 5. Dann würde hier stehen bleiben 2x. Minus 5 fällt durch die plus 5 weg. Größer 2 plus 5. Fassen wir zusammen zu 7. Und jetzt steht hier drüben: 2 mal x, die wollen wir weg haben, dass hatten wir gemacht mit dividieren durch 2. Dann steht hier also x größer 7 durch 2, schreiben wir in dem Fall 3,5. Also die Lösung wäre x muss sein größer als 3,5. Testen wir das. Wir nehmen also eine Zahl, die größer ist als 3,5. So zum Beispiel 4. Und 2 mal 4 ist 8. 8 minus 5 ist 3. Und 3 ist größer als 2. Eine wahre Aussage. Ihr könnt also für dieses x beliebige Zahlen einsetzen. Sie müssen nur größer als 3,5 sein. Dann ist auch die linke Seite immer größer als die rechte Seite. Also immer größer als 2. Okay, jetzt sagt der ein oder andere „Hmm, das Spiel hatten wir schon. Kennen wir schon von der Äquivalenzumformung“. Aber halt. Hier gibt es noch eine Besonderheit! Nehmen wir ein ganz einfaches Beispiel mit zwei Zahlen: 10 größer 5. Wir wissen also jetzt, wenn wir auf beiden Seiten eine Operation durchführen wie plus eine Zahl. Nehmen wir als Beispiel die 2, dann würden das hier 12 größer 7 sein. Funktioniert einwandfrei. Wenn wir auf beiden Seiten 2 abziehen würde, stünde hier 8 größer 3. Stimmt immer noch! Mal 2, dann würde hier stehen 20 größer 10 und durch 2 wären dann 5 größer 2,5. Klappt also alles! Aber jetzt passt auf. Jetzt machen wir mal -2. Jetzt passiert folgendes. Die 10 wird zur -20 und die 5 wird zur -10. Und ihr wisst, wenn ihr euch den Zahlenstrahl einmal vorstellt, dass -20 weiter links liegt als -10. Was so viel heißt wie, -20 ist kleiner als -10. Das heißt durch diese mal -2 dreht sich das Größer-Kleiner-Zeichen um. Und das ist die einzige Schwierigkeit, die ihr euch merken müsst für Ungleichungen. Gleiches gilt übrigens auch für eine Division durch -2. Dann hätten wir 10 durch -2 sind -5. Und 5 durch -2 sind -2,5. -5 ist auch weiter links auf dem Zahlenstrahl, also kleiner als -2,5. Vorzeichen hatte sich umgedreht. Gucken wir uns als nächstes „größer gleich“ und „kleiner gleich“ an. Das heißt zum Beispiel für größer gleich. Eine Gleichung ist wahr, sofern beide Seiten gleich sind oder eine Seite größer ist. Gucken wir ein Beispiel hierzu an. 2 soll kleiner gleich sein wie 4 mal x, das heißt wir können jetzt hier, weil 4 mal x steht, auf beiden Seiten durch 4 rechnen. Die Äquivalenzumformung. Und dann steht da links, die 2 durch 4 sind 0,5 kleiner gleich x, was so viel heißt wie hier für x kann eine 0,5 eingesetzt werden, denn 0,5 mal 4 sind 2. Und 2 ist gleich 2. Diese Aufgabe gilt jedoch auch, wenn x größer als 0,5 ist. Das heißt nehmen wir mal eine Zahl die größer ist. Beispiel wäre die 1. Setzen wir die 1 ein für x. 4 mal 1 ist 4. Und 4 ist größer als 2. Natürlich könnt ihr auch Aufgaben lösen, wo dann steht 2 größer ein Wert und dann und dann können wir einfach dieses Zeichen umdrehen. Dies hieße ja, 2 soll größer gleich 4 mal x. Für den Wert 0,5 gilt das immer noch. Denn 4 mal 0,5 sind 2 und 2 ist gleich 2. Doch jetzt steht hier der x-Wert kann auch kleiner sein als 0,5. Das heißt wir könnten jetzt hier auch mal eine 0 einsetzen. Die ist kleiner als 0,5. 4 mal 0 sind 0. Und 0 ist kleiner als 2. Stimmt also auch.
Wir haben also heute gelernt: 3 größer x, dann wäre x irgendetwas unter 3, wie 2 oder 1. Können aber auch sagen 3 größer gleich x, dann kommt die 3 zu unserer Lösungsmenge hinzu. Genauso könnten wir sagen. 3 soll sein kleiner als x, dann wäre für x einzusetzen: x gleich 4, 5, 6 usw.. Wir könnten aber auch sagen: 3 kleiner gleich x, dann gehört 3 auch zur Lösungsmenge. Und dann wie am Anfang gesagt, könnten wir auch schreiben 3 ist nicht gleich 5 und dafür benutzt man 3 ungleich 5. Außerdem merkt euch bitte unbedingt, wenn wir so etwas haben wir 3 kleiner 5 und wir formen das um, also auf beiden Seiten multiplizieren wir mit einer negativen Zahl oder wir dividieren auf beiden Seiten durch eine negativen Zahl, dann dreht sich bei beiden Fällen das Vorzeichen um. Also wäre dann hier 3 mal die negative Zahl größer 5 mal die negativen Zahl.