Mathe G13: Ungleichungen

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In dieser Lektion werden folgende Fragen geklärt:

Voraussetzung:


Klassenstufe laut Lehrplan: 8. Klasse

Mathe-Videos

Nachdem wir uns in der Lektion Terme und Gleichungen angeschaut hatten, wie man Gleichungen umformt, lernen wir als nächstes die Ungleichungen kennen. Bei Ungleichungen dürfen wir ähnlich wie bei den Gleichungen auf beiden Seiten umformen, dabei müssen wir jedoch ein paar Besonderheiten beachten. Auch gibt es neue Rechenzeichen, die man für das Aufstellen von Ungleichungen benötigt. Welche das sind, erfahrt ihr im Lernvideo!

Dieses Video ist für Kunden zugänglich:


Wissen zur Lektion

Stellen wir zwei Zahlen gegenüber, so können wir eine Aussage treffen, welche größer und welche kleiner ist. Hierzu nutzen wir Verhältniszeichen ('aussagenlogische Symbole'):

8 < 10           10 > 8

Man kann aber auch Ungleichungen aufstellen, die eine Variable (eine Unbekannte x) enthalten. Dies wird dann "Aussageform" genannt. Die folgende Ungleichung hat die Lösung: x > 0 (das heißt, alle positiven Zahlen dürfen eingesetzt werden und die Aussage der Ungleichung bleibt wahr):

8 + x > 8

Durch das Größer-Gleich-Zeichen kommt für die Lösungsmenge die 0 auch noch hinzu.

8 + x ≥ 8

Die folgende Ungleichung hat die Lösung: x < 0 (das heißt, alle negativen Zahlen dürfen eingesetzt werden und die Aussage der Ungleichung bleibt wahr):

8 + x < 8

Durch das Kleiner-Gleich-Zeichen kommt auch noch die Null zur Lösungsmenge hinzu.

8 + x ≤ 8

Bei der nächsten Ungleichung sollen die Werte beider Terme verschieden bleiben. Somit kommen alle Zahlen außer 0 in Frage, da die Null dazu führen würde, dass 8 ungleich 8 dasteht, doch 8 = 8!

8 + x ≠ 8


Wichtig: Wie wir im Video gesehen hatten, ist beim Umformen von Ungleichungen darauf zu achten, dass man das Größer- bzw. Kleiner-Zeichen umdreht, wenn man beide Seiten mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert!

Leider wird das oft von Schülern vergessen und so gehen wertvolle Punkte verloren...

Mathe-Programme

Ein Programm, mit dem ihr Ungleichungen lösen könnt, befindet sich in Entwicklung!

Wenn ihr die Lösung einer Ungleichung sucht, so könnt ihr diese bei wolframalpha.com eingeben und erhaltet dort die Antwort. Beispiel: 2x-4>8

Weitere Lernprogramme aufrufen

Übungsaufgaben

Aufgaben als PDF herunterladen


Teste hier dein Wissen zum Thema Ungleichungen! Alle Aufgaben sind ohne Taschenrechner zu lösen. Auf geht es!

A. Vergleiche die jeweiligen Werte und setze das richtige Verhältniszeichen (größer, kleiner, gleich) zwischen ihnen ein.

1. 3 ___ 5
2. 1 ___ 0
3. (-3) ___ (-5)
4. 0,025 ___ 0,25
5. 0,001 ___ -0,001
6. (10·100) ___ (50+50·10)
7. (4·8) ___ (2·16)
8. (9 - 0 + 1) ___ (-5·2)
9. (77:7) ___ (121:11)
10. 10000 ___ 100000



B. Ungleichheit bei Brüchen. Du solltest die Lektion Brüche bereits kennen, um diese Aufgaben richtig lösen zu können.

1.
2.
3.
4.



C. Berechne die Ungleichungen, d. h. finde den Wert für x.

1. x+x+x < 9
2. 4·x > 48
3. 4·x - 14 < 45
4. 3·x + x ≥ 18
5. 12x - 1 ≥ 20
6. (4x + 25)·3 ≤ 1
7. x+2,5 ≤ 12·1,5x
8. x ≤ y
9. x·x ≤ x·2
10. 500+25·x > -1000
11. Welchen Wert darf x nicht annehmen, damit die folgende Ungleichung gilt (also beide Seiten ungleich bleiben): 2·x ≠ 25



D. Berechne die doppelten Ungleichungen.

1. x - 5 < 3·x - 3 < x
2. 3·x+10 > 4x-2 > x
3. x < 2x - 2 < 2x + 15
4. 2x < -7 < x



E. Löse die nachstehenden Aufgaben aus dem Alltag.

1. Stefan hat 25 Euro in seiner Tasche und möchte diese beim Glücksspiel (ab 18 Jahren!) einsetzen. Für den Eintritt zahlt er 2 Euro. Jedes einzelne Spiel kostet 0,50 Euro. Schreibe eine Ungleichung auf, die angibt, wie viele Spiele er maximal spielen kann.

2. Marko will ein Edelrestaurant eröffnen und ihm stehen 40.000 Euro zur Verfügung. Für die Einrichtung zahlt er einmalig 32.000 Euro, jetzt werden noch hochwertige Tische und Stühle benötigt. Jeder Tisch kostet 1.500 Euro, jeder Stuhl 400 Euro. Erstelle eine Ungleichung, mit der man feststellen kann, wie viele Tische und Stühle gekauft werden können.

3. Vor dem Kinofilm möchtest Du Dir und Deiner Freundin ein paar Kleinigkeiten kaufen. Du hast noch 20 Euro bei Dir. Der Preis für eine Cola-Flasche beträgt 2,50 Euro, einmal Popcorn kostet 3,50 Euro. Erstelle hierzu eine Ungleichung, damit Du feststellen kannst, wie viel Cola-Flaschen und Popcorn-Tüten Du kaufen kannst.

4. Johann schreibt seine Mathematik-Abschlussprüfung und muss 3 Aufgabenblöcke lösen. Für jeden Block gibt es 100 Punkte. Er hat ausgerechnet, dass er zum Bestehen durchschnittlich 68 Punkte je Aufgabenblock benötigt. Den ersten Block hat er mit 75 Punkten und den zweiten mit 70 Punkten bestanden. Erstelle aus den Angaben eine Ungleichung, um die Mindestpunktzahl für den dritten Aufgabenblock herauszufinden, die Johann benötigt, um die Prüfung zu bestehen.


Alle Lösungen im Lernzugang

Untertitel

Sucht ihr nach einer bestimmten Stelle in den Videos? Dann sucht hier direkt in den Untertiteln.

Hallo und willkommen zur Lektion „Ungleichungen“. Es ist definitiv von Vorteil, wenn ihr euch vorher die Lektion „Termumformung und Äquivalenzumformung“ anschaut. Da hatten wir nämlich festgestellt, dass wir bei einer Gleichung wie zum Beispiel 6 gleich 10 minus 4 auf beiden Seiten die gleiche Operation durchführen können. Wie zum Beispiel mal 2. Dann stand da links 6 mal 2 und rechts 10 mal 2 minus 4 mal 2. 6 mal 2 sind 12. 20. 8. Und 20 minus 8 waren 12. Gut, was meint nun Ungleichung? Hört sich ja ein bisschen merkwürdig an. Nehmen wir mal ein einfaches Beispiel. Wir sagen einfach, ein Mensch, der 1,80 m groß ist, ist größer als ein Mensch der 1,50 m groß ist. Genauso können wir sagen: 1,50 m ist kleiner als 1,80 m. Und in der Mathematik kürzt man gerne ab. Man hat gesagt „größer als“ schreiben wir einfach als ein „spitzer Pfeil“. Wobei die Seite am Pfeil die offen ist, die größere Seite darstellt und die Spitze zeigt auf den kleineren Betrag. Und hier unten: 1,50 m ist „kleiner als“, und, da muss die Spitze nach links zeigen. Das heißt wir haben hier zwei neue Zeichen. Größer und kleiner. Die nennt man auch „Verhältniszeichen“. Und im Gegensatz zu unserer Gleichung, wo zum Beispiel wenn hier gestanden hätte: 1,80 m ist gleich 1,80 m, haben wir hier jetzt kein ist gleich, deswegen Ungleichung, denn beide Seiten – wir sagten auch Linksterm und Rechtsterm – sind nicht gleich. Und für „nicht gleich“ kann man im Übrigen auch schreiben „ungleich“. Beide Seiten sind ungleich und dann kann man eben klären, wie sind sie ungleich. Die linke Seite ist größer als die rechte Seite.
Wir können jetzt also eine Aufgabe bekommen, die da ganze einfach heißt, x größer 5. x, erinnert euch an die Lektion Termumformung, ist die Variable, die Unbekannte. Wir sagen jetzt eine Zahl muss größer als 5 sein. Und hier seht ihr das. x kann also sein, wenn wir uns bei den ganzen Zahlen aufhalten, zum Beispiel 6 oder 7 oder 8 usw.. Muss also größer als 5 sein. 4 wäre nicht größer! Wäre nicht möglich als Lösung für x! Okay, bekommt ihr jetzt eine kompliziertere Aufgabe wie zum Beispiel 2 mal x minus 5 soll größer sein als 2. Dann ist jetzt die Frage was ihr da macht. Und ihr dürft tatsächlich, hier, wie bei der Äquivalenzumformung, auf beiden Seiten die gleichen Operationen machen. Hier wären das, würden wir die 5 rüberholen, mit plus 5. Dann würde hier stehen bleiben 2x. Minus 5 fällt durch die plus 5 weg. Größer 2 plus 5. Fassen wir zusammen zu 7. Und jetzt steht hier drüben: 2 mal x, die wollen wir weg haben, dass hatten wir gemacht mit dividieren durch 2. Dann steht hier also x größer 7 durch 2, schreiben wir in dem Fall 3,5. Also die Lösung wäre x muss sein größer als 3,5. Testen wir das. Wir nehmen also eine Zahl, die größer ist als 3,5. So zum Beispiel 4. Und 2 mal 4 ist 8. 8 minus 5 ist 3. Und 3 ist größer als 2. Eine wahre Aussage. Ihr könnt also für dieses x beliebige Zahlen einsetzen. Sie müssen nur größer als 3,5 sein. Dann ist auch die linke Seite immer größer als die rechte Seite. Also immer größer als 2. Okay, jetzt sagt der ein oder andere „Hmm, das Spiel hatten wir schon. Kennen wir schon von der Äquivalenzumformung“. Aber halt. Hier gibt es noch eine Besonderheit! Nehmen wir ein ganz einfaches Beispiel mit zwei Zahlen: 10 größer 5. Wir wissen also jetzt, wenn wir auf beiden Seiten eine Operation durchführen wie plus eine Zahl. Nehmen wir als Beispiel die 2, dann würden das hier 12 größer 7 sein. Funktioniert einwandfrei. Wenn wir auf beiden Seiten 2 abziehen würde, stünde hier 8 größer 3. Stimmt immer noch! Mal 2, dann würde hier stehen 20 größer 10 und durch 2 wären dann 5 größer 2,5. Klappt also alles! Aber jetzt passt auf. Jetzt machen wir mal -2. Jetzt passiert folgendes. Die 10 wird zur -20 und die 5 wird zur -10. Und ihr wisst, wenn ihr euch den Zahlenstrahl einmal vorstellt, dass -20 weiter links liegt als -10. Was so viel heißt wie, -20 ist kleiner als -10. Das heißt durch diese mal -2 dreht sich das Größer-Kleiner-Zeichen um. Und das ist die einzige Schwierigkeit, die ihr euch merken müsst für Ungleichungen. Gleiches gilt übrigens auch für eine Division durch -2. Dann hätten wir 10 durch -2 sind -5. Und 5 durch -2 sind -2,5. -5 ist auch weiter links auf dem Zahlenstrahl, also kleiner als -2,5. Vorzeichen hatte sich umgedreht. Gucken wir uns als nächstes „größer gleich“ und „kleiner gleich“ an. Das heißt zum Beispiel für größer gleich. Eine Gleichung ist wahr, sofern beide Seiten gleich sind oder eine Seite größer ist. Gucken wir ein Beispiel hierzu an. 2 soll kleiner gleich sein wie 4 mal x, das heißt wir können jetzt hier, weil 4 mal x steht, auf beiden Seiten durch 4 rechnen. Die Äquivalenzumformung. Und dann steht da links, die 2 durch 4 sind 0,5 kleiner gleich x, was so viel heißt wie hier für x kann eine 0,5 eingesetzt werden, denn 0,5 mal 4 sind 2. Und 2 ist gleich 2. Diese Aufgabe gilt jedoch auch, wenn x größer als 0,5 ist. Das heißt nehmen wir mal eine Zahl die größer ist. Beispiel wäre die 1. Setzen wir die 1 ein für x. 4 mal 1 ist 4. Und 4 ist größer als 2. Natürlich könnt ihr auch Aufgaben lösen, wo dann steht 2 größer ein Wert und dann und dann können wir einfach dieses Zeichen umdrehen. Dies hieße ja, 2 soll größer gleich 4 mal x. Für den Wert 0,5 gilt das immer noch. Denn 4 mal 0,5 sind 2 und 2 ist gleich 2. Doch jetzt steht hier der x-Wert kann auch kleiner sein als 0,5. Das heißt wir könnten jetzt hier auch mal eine 0 einsetzen. Die ist kleiner als 0,5. 4 mal 0 sind 0. Und 0 ist kleiner als 2. Stimmt also auch.
Wir haben also heute gelernt: 3 größer x, dann wäre x irgendetwas unter 3, wie 2 oder 1. Können aber auch sagen 3 größer gleich x, dann kommt die 3 zu unserer Lösungsmenge hinzu. Genauso könnten wir sagen. 3 soll sein kleiner als x, dann wäre für x einzusetzen: x gleich 4, 5, 6 usw.. Wir könnten aber auch sagen: 3 kleiner gleich x, dann gehört 3 auch zur Lösungsmenge. Und dann wie am Anfang gesagt, könnten wir auch schreiben 3 ist nicht gleich 5 und dafür benutzt man 3 ungleich 5. Außerdem merkt euch bitte unbedingt, wenn wir so etwas haben wir 3 kleiner 5 und wir formen das um, also auf beiden Seiten multiplizieren wir mit einer negativen Zahl oder wir dividieren auf beiden Seiten durch eine negativen Zahl, dann dreht sich bei beiden Fällen das Vorzeichen um. Also wäre dann hier 3 mal die negative Zahl größer 5 mal die negativen Zahl.

Tags: Ungleichung umstellen, umformen und lösen, Äquivalenzumformung, Termumformung, größer, kleiner, größer-gleich, kleiner-gleich, Äquivalenz

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